2024-2025学年广东省揭阳市普宁市国贤学校高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省揭阳市普宁市国贤学校高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
3.已知是幂函数，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. 或
C. D.
7.已知，则的值等于( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的是( )
A. 若：，，则：，
B. 若不等式的解集为，则
C. 若，，且，则的最小值为
D. 函数且的图象恒过定点
10.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 函数的周期是
B. 函数的图象的一条对称轴为
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数
11.关于函数，下列判断正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知函数若关于的方程有解，则的取值范围为______．
14.若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，且，求的面积．
16.本小题分
已知双曲线：的实轴长为，右焦点为．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线交于不同的两点，，求．
17.本小题分
如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段的中点，，，四边形为矩形．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程．
若函数有两个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
为等差数列的前项和已知，．
求的通项公式．
设，求数列的前项和．
参考答案
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15.解：因为，
由正弦定理可得，
在中，，
所以，
因为，
则可得，又因，
所以；
根据余弦定理可知，，
则可得，
又因为，且，可得，
所以，
可得，
则．
16.解：由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为；
由，得，
则，
设，，则，，
所以．
17.解：证明：设，连接，
因为四边形为矩形，所以为中点，
又为中点，则，又平面，平面，
所以平面；
以为坐标原点，，，的正方向分别为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：当时，，所以，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
，
由得，
的图象有个交点，
令，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
且时，，，
所以时，，所以的大致图象如下，
所以若函数有两个零点，
则，
所以实数的取值范围为．
19.解：设数列的公差为，
由题意得
解得，，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为，．
由知，，
所以．
设数列的前项和为，
则
．
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