2024-2025学年广东省汕头市潮南区高三（上）摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕头市潮南区高三（上）摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则集合( )
A. B. C. D.
2.设复数在复平面内对应的点为，则的模为( )
A. B. C. D.
3.，为单位向量，当，的夹角为时，向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.双曲线的一条渐近线为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知数列，则数列的前项中的最小项和最大项分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象与的图象关于点对称，且的图象与直线相切，则实数( )
A. B. C. D.
8.如图为一款电子触控灯面板，每个方格中的灯只有“亮”与“不亮”两种状态，触摸灯一次，将导致自身和所有相邻的灯状态发生改变例如，在面板灯全不亮状态下，触摸号灯时，号灯亮起，周围的、、、号灯也发亮，其他号灯仍保持“不亮”状态如果在面板灯都“不亮”状态下，只要号灯亮，则需要触摸面板灯最少次数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校高三年级选考地理科的学生有名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则参考数据：；；
A. 这次考试等级分的标准差为
B. 这次考试等级分超过分的约有人
C. 这次考试等级分在内的人数约为人
D.
10.函数图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，的一条对称轴，且，下列叙述正确的是( )
A. 函数的解析式为
B. 的一个对称中心，且在上单调递减
C. 向左平移个单位得到的图象关于轴对称且
D. 对任意，恒成立时，满足条件的值可为
11.已知曲线上点满足：到定点与定直线轴的距离的差为定值，其中，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，选项正确的为( )
A. 若，则曲线的图像为一条抛物线
B. 若，则曲线的方程为
C. 当时，对于任意的和，都有
D. 当时，对于任意的和，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则 ______．
13.已知函数的定义域为，数列满足，已知两个条件：函数在是减函数；是递减数列写出一个满足和的函数解析式：______；写出一个满足但不满足的函数解析式：______．
14.某填空题有两小问，按目前掌握信息：十个人中有四人能够答对第一问；在第一问答错情况下，第二问答对的概率仅为；第一问答对的情况下，第二问答错的概率为用频率估计概率，选择有效信息估计该题两小问均答错的概率：______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在五边形中，，，，，．
求的长度；
求三角形周长的最大值为多少？
16.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点的坐标为．
求椭圆的标准方程；
如图，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：．
17.本小题分
多面体的底面为梯形，，，，，且四边形为矩形，点为线段上一点异于点、．
若点为线段中点，求证：平面；
是否存在点，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
为提高我国公民整体健康水平，年月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的中国人群身体活动指南以下简称指南正式发布指南建议岁的成年人每周进行分钟中等强度或分钟高强度的有氧运动以下简称为“达标成年人”经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期达标成年人的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访记采访的岁的市民数为随机变量，且该市随机抽取的岁的市民是达标成年人的概率为，抽查结果相互独立．
求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；
若抽取的岁的市民数不超过的概率大于，求整数的最小值．
19.本小题分
悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明；
对任意，恒有成立，求实数的取值范围；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.答案不唯一 答案不唯一
14.
15.解：中，，，，，，
在中，由正弦定理知，
即，解得，
在中，由余弦定理知，
即，
化简得，解得或舍负，
故BE的长度为；
在中，由余弦定理知，
所以，所以，
即，当且仅当时等号成立，
此时，的最大值为．
所以三角形周长的最大值为．
16.解：因为点在椭圆上，且椭圆的右焦点的坐标为，
所以，
解得，
则椭圆的标准方程为；
证明：当直线的斜率时，
可得，
此时满足；
当时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
因为，，
所以，
此时，
因为，
所以，
故．

17.解：证明：由条件可知，所以，
则，
即为等腰直角三角形，所以，
取的中点，连接，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为四边形为矩形，点为线段中点，所以，
同理有平面，
而，、平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面；
取的中点，连接，，

根据题意知，即为等腰直角三角形，
所以，
则，
因为，、底面，所以底面，
过作，易知，
如图所示建立空间直角坐标系，易知，，，，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，即，
设直线与平面所成的角为，
则，
解之得，即．
18.解：依题意，采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，
因抽取的市民只有“是达标成年人”或“不是达标成年人”两个结果，且抽查结果相互独立，
故这是个重伯努利概型，
故“这一天采访刚好到第五位可停止当天采访”的概率为；
依题意，可列出随机变量的分布列：
于是，
化简得，，
即，
不妨记，
则，
由，可得，，
即，
故得，代入整理得，，
设，
由可知，是递减数列，
又，
而，故整数的最小值为．
19.解：平方关系：；
和角公式：；
导数：；
理由如下：平方关系，
；
，
和角公式：
，
故；
导数：，；
构造函数，，由可知，
当时，由可知，
故F，故F单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
，，
令，则，
令，则，
当时，由可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值．
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