2024-2025学年湖北省武汉市部分学校高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市部分学校高三（上）9月调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中项的系数是( )
A. B. C. D.
4.设等差数列的前项和为，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
5.某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为( )
A. B. C. D.
6.已知且，若函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数是上的奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某科技公司统计了一款最近个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则( )
月份编号
下载量万次
A. 与负相关 B.
C. 预测第个月的下载量是万次 D. 残差绝对值的最大值为
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为
11.定义在上的函数满足，当时，，则( )
A. 当时，
B. 当为正整数时
C. 对任意正实数，在区间内恰有一个极大值点
D. 若在区间内有个极大值点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，，若，则 ______．
13.若双曲线的离心率为，则 ______．
14.两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点均在半径为的球面上，若二面角的大小为，则的边长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，平面．
求的长；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调区间．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，为边上一点，为的平分线，且，求的面积．
18.本小题分
已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为，设其圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点．
求直线的斜率；
证明：直线与交于定点．
19.本小题分
有编号为，，，的个空盒子，另有编号为，，，的个球，现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球放球时，先将号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个记号球能放入号盒子的概率为．
求；
当时，求；
求．
参考答案
1.
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5.
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8.
9.
10.
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14.
15.解：取中点，连，，由，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
由平面，得，所以，
又，所以，又，所以平面，
由平面，所以，
由平面，得，所以，
又，所以；
以为坐标原点，，为，轴的正方向，以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系．
由，得为正三角形，所以，
又，，，所以，，
设平面的法向量，则，即，
取，得到平面的一个法向量．
又，设直线与平面所成角的大小为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为，即．
由题意可知：的定义域为，且，
若，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增；
若，令，解得或，
当，即时，令，解得或；
令，解得，
可知在内单调递减，在，内单调递增；
当，即时，则，可知在内单调递增；
当，即时，令，解得或；
令，解得，
可知在内单调递减，在，内单调递增；
综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为；
若，的单调递减区间为，单调递增区间为，；
若，的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，的单调递减区间为，单调递增区间为，．
17.解：由及正弦定理，
可得，
又，
则有，
又，，所以，
即，又，
所以，即；
由为的平分线，可得，
由，
可得，
整理得，即，
由余弦定理，可得，
即，
由可得：，解得或舍去，
故．
18.解：设圆心为，
由题意可得：，整理可得，
所以曲线的方程为；
由题意可知：直线的斜率不存在，且不为，
设：，，
联立方程，消去可得，则，
可得，，
可知直线，
联立方程，消去可得，
由题意可知：，即，且，
可得，
同理可得：，
则，
因为，则，即，
整理可得，
由题意可知：点不在直线：上，则，即，可得，
即，所以直线的斜率；
证明：由可知：，
则的中点，又因为，
即，
则的中点，
即直线：，
由梯形的性质可知：直线与的交点即为直线与的交点，
因为直线的斜率，
则直线：，
令，
可得，
即直线与直线的交点为，
所以直线与交于定点．
19.解：号球放入号盒中的概率为，此时，号球分别放入，号盒中，
号球放入号盒中的概率为，
欲使号球放入号盒中，则号球需放入号盒中，概率为，
号球放入号盒中，此时号球不能放入号盒中，
综上所述：．
号球放入号，号，号，号盒中的概率为，
此时号球可放入号盒中，
号球放入号盒中的概率为，欲使号球放入号盒中，
则号球需放入号，号，号，，号盒中，概率为，
号球放入号盒时，此时号球不能放入号盒中，
综上，．
号球放入号，号，号，号，，号盒的概率为，
此时，号球可放入号盒中，
号球放入号盒中的概率为，
此时号，号，，号球都可以放入对应的编号的盒中，
剩下编号为是，，，，的球和编号为，，，，的空盒，
此时号盒非空，号球在所有空盒中随机选择一个放入，
此时要让号盒中的放法总数等价于将编号为，，，的球，
按照题设规则放入编号为，，，的盒中号球仍随机选择一个盒子放入，
概率为，
号球放入号盒时，此时号球不能放入号盒中，
，
整理得，
分别有和替换和，可得：
，
由式相减，整理得：，
等于号球不放在号盒的概率，
，
．
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