(共14张PPT)
第11章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
1. 三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于 .
符号语言：如图，在△ ABC 中，
∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°.
180°
①利用三角形内角和求度数时，若给出比例、倍分关
系，注意设未知数列方程求解.
②任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝
角或直角.
注意：
2. 三角形内角和定理的推论
（1）推论一：直角三角形的两个锐角 .
符号语言：如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，
∴∠ A ＋∠ B ＝90°.
互余
（2）推论二：有两个角互余的三角形是 三
角形.
符号语言：如图，在△ ABC 中，∠ A ＋∠ B ＝90°，
∴△ ABC 是直角三角形.
直角
3. 常见模型
图1
图2
数量关系：如图1，∠1＋∠2＝∠3＋∠4；
数量关系：如图2，∠1＋∠2＝∠3＋∠ ACB .
图3
图4
数量关系：如图3，∠1＋∠2＝∠3＋∠4；
数量关系：如图4，∠ A ＋∠ B ＝∠ C ＋∠ D .
题型一 三角形内角和定理的应用
（1）在△ ABC 中，∠ A ＝70°，∠ A 比∠ B 大10°，
则∠ C ＝ ；
（2）如图，在△ ABC 中，∠ B ＝32°，∠ C ＝48°， AD
平分∠ BAC ，则∠ ADC 的度数是（ B ）
50°
B
A. 80°
B. 82°
C. 98°
D. 100°
如图，在△ ABC 中， BF 平分∠ ABC ， CF 平分
∠ ACB ，∠ A ＝65°.
（1）求∠ BFC 的大小；
解：（1）∵ BF 平分∠ ABC ， CF 平分∠ ACB ，
∴∠ FBC ＝ ∠ ABC ，∠ FCB ＝ ∠ ACB .
∵∠ A ＝65°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－65°＝115°.
∴∠ FBC ＋∠ FCB ＝ （∠ ABC ＋∠ ACB ）＝57.5°.
∴∠ BFC ＝180°－（∠ FBC ＋∠ FCB ）＝122.5°.
（2）若将题目中“∠ A ＝65°”改为“∠ A ＝α”，则
∠ BFC 的大小是多少？
解：（2）由（1）中推理易知：∠ BFC ＝
90°＋ α.
1. 在△ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5，则∠ C 等
于（ C ）
A. 45° B. 60° C. 75° D. 90°
C
2. 如图为两直线 l ， m 与△ ABC 相交的情形，其中 l ， m
分别与 BC ， AB 平行.根据图中标示的角度，则∠ B 的度
数为（ A ）
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
（第2题）
A
题型二 直角三角形的性质和判定的应用
如图，点 D 为△ ABC 的角平分线 AE 的延长线上一
点，过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F . 若∠ B ＝80°，∠ C ＝
50°，则∠ D 的度数是（ C ）
C
A. 10°
B. 13°
C. 15°
D. 17°
在△ ABC 中，如果∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ C ，试判断
△ ABC 的形状.
解：设∠ A ＝ x ，则∠ B ＝2 x ，∠ C ＝3 x .
由三角形内角和定理，得 x ＋2 x ＋3 x ＝180°，
解得 x ＝30°.
∴∠ A ＝30°，∠ B ＝60°，∠ C ＝90°.
∴△ ABC 为直角三角形.
3. 如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的高， BE 平分
∠ ABC 交 AC 边于点 E ，∠ BAC ＝60°，∠ ABE ＝25°，
则∠ DAC 的大小是（ B ）
A. 15° B. 20°
（第3题）
B
C. 25° D. 30°
4. 如图，在△ ABC 中， AD 是角平分线， AE 是高.已知
∠ BAC ＝2∠ B ，∠ B ＝2∠ DAE ，那么∠ ACB 的度数
为 .
（第4题）
72° (共19张PPT)
第11章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
1. 三角形的有关概念及表示
由不在同一条直线上的三条线段 顺次相接所组
成的图形叫做三角形.
如图，线段 AB ， BC ， CA 是三角形的 ，点 A ，
B ， C 是三角形的 ，∠ A ，∠ B ，∠ C 是相邻
两边组成的角，叫做三角形的 ，简称三角形
的 .
首尾
边
顶点
内角
角
三角形的边有时也用小写字母表示.如图，顶点 A 所对的
边 BC 用 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 表
示，顶点 C 所对的边 AB 用 表示.
顶点是 A ， B ， C 的三角形，记作 ，读作
“三角形 ABC ”.
a
b
c
△ ABC
2. 三角形按角分类
三角形
3. 三角形按边分类
三角形
4. 三角形三边的关系
三角形两边的和 第三边，三角形两边的差
第三边.即若 a ， b ， c 为三角形的三边，则
＜ c ＜ a ＋ b .
注意：判断三边能否组成三角形，只需判断两条较小边
之和是否大于第三条边.若大于，则能组成三角形；若
小于或等于，则不能组成三角形.
大于
小
于
题型一 三角形的有关概念及表示
如图所示.
（1）图中有 个三角形，分别是
；
7
△ ADE 、 △ AEF 、
△ CEF 、△ BDC 、△ AEC 、△ ACD 、△ ABC
（2）在△ ABC 中，∠ B 所对的边是 ；在△ AEF
中， AE 边所对的角是 .
[方法点拨] 例（1）问最好用“先小后
大”的方法数，即由一部分构成的三
角形，由两部分构成的三角形，由三
部分构成的三角形等，做到不重复，
不遗漏.
AC
∠ AFE
1. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角
形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有
（ B ）
A. 2对 B. 3对
（第1题）
B
C. 4对 D. 6对
2. 如图，在△ BCE 中，边 BE 所对的角是 ，
∠ CBE 所对的边是 ；在△ ACE 中，边 AE 所对
的角是 ，∠ AEC 所对的边是 ；∠ A
为内角的三角形是 .
（第2题）
∠ BCE
CE
∠ ACE
AC
△ ABD ，△ ABC ，△ ACE
题型二 三角形三边的大小关系
（1）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形
的是（ C ）
A. 2 cm，4 cm，6 cm
B. 2 cm，5 cm，9 cm
C. 7 cm，8 cm，10 cm
D. 6 cm，6 cm，13 cm
C
（2）在△ ABC 中，若 AB ＝3， BC ＝4，且周长为奇
数，则第三边的长可以是（ C ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 8
C
（3）三角形的三边长分别是6，2 a －2，8，则 a 的取值
范围是 .
[方法归纳] （1）判断三条线段能否组成三角形，只需
判断较短的两条线段之和能否大于最长的线段或较长的
两条线段之差能否小于最短的线段即可；（2）求第三
边范围时，常用“两边之差＜第三边＜两边之和”建立
不等关系求解.
2＜ a ＜8
3. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是
（ B ）
A. 1cm，2cm，3cm B. 3cm，4cm，5cm
C. 4cm，5cm，10cm D. 6cm，9cm，2cm
B
4. 现有四根木棒，长度分别为4 cm，6 cm，8 cm，
10 cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数
为 个.
3
题型三 三角形三边关系的应用
一个等腰三角形的周长为40 cm.
（1）求腰长的取值范围；
解：（1）设腰长为 x cm，则底边长为（40－2 x ）cm.
由题意，得
解得10＜ x ＜20.
（2）若一边的长为10 cm，求另外两边的长.
解：（2）由（1）知，这一条边为底边，
∴腰长为 ＝15 （cm）.
∴另外两边的长为15 cm，15 cm.
[易错点拨] 在等腰三角形中，当不清楚已知的边是腰还
是底时，一定要分类讨论.在求出等腰三角形的边长
后，还要根据三角形的三边关系看这三条线段能否组成
三角形.
5. 已知三角形的三边长分别为2， a －1，4，则化简 ＋ 的结果为（ C ）
A. 2 a －10 B. 10－2 a
C. 4 D. －4
C
6. 已知△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c .
（1）若 a ， b ， c 满足（ a － b ）2＋（ b － c ）2＝0，试
判断△ ABC 的形状；
解：（1）∵（ a － b ）2＋（ b － c ）2＝0，
∴ a － b ＝0， b － c ＝0，
∴ a ＝ b ＝ c ，
∴△ ABC 是等边三角形.
（2）若 a ＝5， b ＝2，且 c 为整数，求△ ABC 的周长的
最大值及最小值.
解：（2）∵ a ＝5， b ＝2，
∴5－2＜ c ＜5＋2，即3＜ c ＜7.
∵ c 为整数，∴ c ＝4，5，6.
当 c ＝4时，△ ABC 的周长最小，
最小值为5＋2＋4＝11；
当 c ＝6时，△ ABC 的周长最大，
最大值为5＋2＋6＝13.(共14张PPT)
第11章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
1. 多边形的有关概念
在平面内，由一些线段 顺次相接组成的封闭图
形叫做多边形.如果一个多边形由 n （ n ≥3）条线段组
成，那么这个多边形就叫做 边形.
多边形相邻两边组成的角叫做它的 .
多边形的边与它的邻边的 组成的角叫做多边
形的外角.连接多边形 的两个顶点的线段，
叫做多边形的对角线.
首尾
n
内角
延长线
不相邻
注意：（1）从 n 边形的一个顶点出发，能引出
条对角线，一共有 条对角线.经过 n
边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成
个三角形.
（2）一个 n 边形截去一个角后， n 边形的边数可能
为 .
（ n －
3）
（ n －
2）
n 或（ n －1）或（ n ＋1）
2. 凸多边形及正多边形的定义
画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形
都在这条直线的 ，那么这个多边形就是凸
多边形.
3. 正多边形的定义
各个角都 ，各条边都 的多边形叫做正
多边形.
同一侧
相等
相等
题型一 关于多边形的有关概念
在如图所示的图形中，属于多边形的有（ A ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
A
下列说法：①各个角都相等的多边形是正多边形；
②正方形、六边形、半圆都是多边形；③由一些线段首
尾顺次相接组成的图形叫做多边形；④连接多边形不相
邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；⑤三角形没
有对角线.其中正确的是（ C ）
A. ①④⑤ B. ③④⑤
C. ④⑤ D. ②④⑤
[方法点拨] 判断某些选项也可举反例，只要找到一个反
例，便可判断为错误.
C
1. 下列说法正确的是（ A ）
A. 三角形一定是凸多边形
B. 各边相等的多边形是正多边形
C. 四条线段一定能组成四边形
D. 正多边形的各条对角线相等
A
2. 下列说法中，正确的有（ B ）
①三角形是边数最少的多边形；②由 n 条线段连接起来
组成的图形叫做多边形；③ n 边形有 n 条边， n 个顶
点，2 n 个内角和2 n 个外角；④正方形是正四边形.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
3. 将一个六边形用刀截去一个角后，它不可能是
（ C ）
A. 六边形 B. 五边形
C. 四边形 D. 七边形
C
题型二 有关多边形对角线问题的考查
观察下面图形，并回答问题：
图1
（1）如图1，四边形有 条对角线，五边形有
条对角线，六边形有 条对角线；
2
5
9
（2）如图2， n 边形从一个顶点可以引 条
对角线，从 n 个顶点出发有 条对角线，
但是每条对角线所在两个顶点算了两次，所以 n 边形对
角线的总条数是 条；
（ n －3）
n （ n －3）
n （ n －3）
图2
（3）十五边形的对角线有 条；
（4） 边形的边数与对角线的条数相等.
90
五
4. 一个多边形的对角线的条数是它的边数的2倍，则这
个多边形的边数是（ A ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
5. 过 m 边形的一个顶点有4条对角线， n 边形没有对角
线， p 边形有 p 条对角线，则（ m － p ） n ＝ .
A
8
（第6题）
6. 如图是一张正方形纸片，请问纸片剪下一个角后，
纸片还剩几个角？剩下的纸片是几边形？它共有几条
对角线？
解：纸片剪下一个角后，剩余的纸片有三种情况，如答
案图.
①有5个角，是五边形，共有5条对角线；
②有3个角，是三角形，没有对角线；
③有4个角，是四边形，共有2条对角线.
（答案图）(共13张PPT)
第11章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
1. n 边形的内角和公式： .
注意：（1） n 边形的内角和与边数 n 有关，且边数每增
加一条，其内角和就增加 ；
（2）正 n 边形的每个内角都等于 .
（ n －2）×180°
180°
2. 多边形的外角和等于 .正 n 边形的每个外角
为 .
注意：多边形的外角和是指在多边形的每个顶点处只取
一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.
360°
题型一 多边形的内角和定理
（1）已知一个正多边形的内角和为1 800°，则这
个多边形是（ B ）
A. 正六边形 B. 正十二边形
C. 正八边形 D. 正十边形
B
（2）如图1，在五边形 ABCDE 中，∠ A ＋∠ B ＋∠ E ＝
300°， DP ， CP 分别平分∠ EDC ，∠ BCD ，则∠ P 等
于（ C ）
A. 50° B. 55°
C
图1
C. 60° D. 65°
（3）如图2，六边形 ABCDEF 的内角都相等， AD ∥
BC ，则∠ DAB 的度数为 .
图2
60°
1. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是
（ A ）
A. 七边形 B. 八边形
C. 九边形 D. 十边形
A
2. 如图， AC 是正五边形 ABCDE 的对角线，则∠ ACD
的度数为 .
（第2题）
72°
3. 如图所示，则∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F
＋∠ G 的度数为 .
（第3题）
540°
题型二 多边形的外角和定理
（1）已知一个多边形的每个外角都等于45°，则它
的边数是 ；
（2）一个多边形的内角和是外角和的2倍多180°，它
是 边形；
8
七
（3）如图，小亮从点 A 出发，沿直线前进10 m后向左
转30°；再沿直线前进10 m，又向左转30°；…；照这样
走下去，他第一次回到出发地点 A 时，一共走
了 m.
120
4. 若一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形
的内角和等于（ C ）
A. 1 440° B. 1 620°
C. 1 800° D. 1 980°
C
5. 一个正 n 边形的一个外角等于36°，则 n ＝ .
6. 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和
是其外角和的2倍，那么原多边形的边数为 .
10
5或6或7(共17张PPT)
第11章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角
1. 三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的 组成的角，叫做三
角形的外角.
延长线
2. 三角形外角的性质（三角形内角和定理的推论）
三角形的外角等于 的两个内角的和.
三角形的外角和等于 .
与它不相邻
360°
温馨提示：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶
角，所以三角形共有六个外角.通常每个顶点处取一个
外角，因此，我们常说三角形有三个外角.因为三角形
的每个外角与它相邻的内角是互补的，由三角形的内角
和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°.
3. 基本几何图形——飞镖形
数量关系：∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C .
题型一 利用三角形外角的性质求角度
（1）将一副三角板△ ABC 和△ ABD 按图1方式叠
放，其中∠ C ＝45°，∠ D ＝30°，则∠ AEB 等于
（ A ）
A
A. 75° B. 60°
图1
C. 45° D. 30°
（2）（2024·成都石室）如图2，在△ ABC 中，∠ B ＝
30°，∠ C ＝60°， D 是 BC 上一点，将△ ABD 沿 AD 翻折
后得到△ AED ，边 AE 交射线 BC 于点 F . 若 DE ∥ AC ，
则∠ ADC 等于（ A ）
图2
A
A. 60° B. 65°
C. 70° D. 80°
1. 如图，∠ A ＝28°，∠ C ＝35°，∠ BDC ＝100°，则
∠ B 的度数是（ D ）
A. 43° B. 33°
（第1题）
D
C. 47° D. 37°
2. 如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是边 AB 和 BC 上的
点，连接 ED 并延长交 CA 的延长线于点 F . 若∠ B ＝
35°，∠ C ＝56°，∠ F ＝47°，则∠ ADF 的度数
为 .
（第2题）
42°
题型二 利用三角形外角的性质进行证明
如图，下面是有关三角形内角、外角平分线的探
究，阅读后请按要求作答：
（1）如图1， BP ， CP 分别是∠ ABC 和
∠ ACB 的平分线且相交于点 P ，请猜想
∠ A 与∠ P 之间的数量关系，并说明理由；
解：（1）∠ P ＝90°＋ ∠ A . 理由如下：
∵ BP ， CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的平分线，
∴∠ PBC ＝ ∠ ABC ，∠ PCB ＝ ∠ ACB .
∵∠ P ＝180°－（∠ PBC ＋∠ PCB ），
∴∠ P ＝180°－ （∠ ABC ＋∠ ACB ）＝180°－ （180°
－∠ A ）＝90°＋ ∠ A .
（2）如图2， BP ， CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 外角的
平分线且相交于点 P ，请猜想∠ A 与∠ P 之间的数量关
系，并说明理由；
解：（2）∠ P ＝90°－ ∠ A . 理由如下：
∵ BP ， CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 外角的平分线，
∴∠ PBC ＝ ∠ DBC ，∠ PCB ＝ ∠ ECB ，
∴∠ PBC ＝ （180°－∠ ABC ），
∠ PCB ＝ （180°－∠ ACB ），
∴∠ P ＝180°－（∠ PBC ＋∠ PCB ）＝180°－ （360°
－∠ ABC －∠ ACB ）＝180°－ [360°－（180°－
∠ A ）]＝90°－ ∠ A .
（3）如图3， BP 为∠ ABC 的平分线， CP 为∠ ACB 的
外角∠ ACF 的平分线，它们相交于点 P ，请直接写出
∠ A 与∠ P 之间的数量关系.
解：（3）∠ P ＝ ∠ A . 理由如下：
∵ BP 为∠ ABC 的平分线， CP 为∠ ACF 的平分线，
∴∠ PBC ＝ ∠ ABC ，∠ PCF ＝ ∠ ACF .
∵∠ PCF ＝∠ PBC ＋∠ P ，
∴∠ P ＝∠ PCF －∠ PBC ＝ ∠ ACF － ∠ ABC ＝
（∠ ACF －∠ ABC ）＝ ∠ A .
3. 如图，在△ ABC 中， BP 是∠ ABC 的平分线， CP 是
∠ ACB 的外角的平分线.若∠ ABP ＝20°，∠ ACP ＝60°，
则∠ A －∠ P 等于（ D ）
A. 70° B. 60°
（第3题）
D
C. 50° D. 40°
4. 如图，在△ ABC 中，将△ ADE 沿 DE 翻折，点 A 落在
点 F 处，则∠ A ，∠ BDF ，∠ CEF 三者之间的关系是
（ D ）
A. ∠ CEF ＝∠ BDF ＋∠ A
B. ∠ CEF －3∠ A ＝∠ BDF
C. ∠ CEF ＝2（∠ BDF ＋∠ A ）
D. ∠ CEF －∠ BDF ＝2∠ A
（第4题）
D
5. 如图，在三角形纸片 ABC 中，∠ A ＝75°，∠ B ＝72°.
将三角形纸片的一角折叠，使点 C 落在△ ABC 内.如果
∠1＝32°，那么∠2的度数为 .
（第5题）
34° (共12张PPT)
第11章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.3 三角形的稳定性
三角形的稳定性
由于构成三角形的三边的长固定时，三角形的形状和大
小不会发生变化，所以三角形具有 ，而四边
形不具有稳定性.
通过添加适当的线段，可以将多边形转化为由若干
个 组成的图形，使不具有稳定性的多边形转
化为具有稳定性的多个三角形.
稳定性
三角形
题型一 生活中三角形的稳定性的应用
（1）如图1，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主
要是为了（ C ）
A. 节省材料，节约成本 B. 保持对称
C. 利用三角形的稳定性 D. 美观漂亮
图1
C
（2）下列设备，没有利用三角形的稳定性的是
（ A ）
A. 活动的四边形衣架 B. 起重机
C. 屋顶三角形钢架 D. 相机支架
A
（3）如图2，木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着
钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是
.
图2
三角
形具有稳定性
1. 空调安装在墙上时，一般用如图所示的方法固定，
（第1题）
该方法应用的几何原理是（ C ）
C
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 三角形的稳定性
D. 垂线段最短
2. 如图所示是一幅电动伸缩门的图片，电动门能伸缩的
几何原理是： .
（第2题）
四边形的不稳定性
题型二 对几何图形稳定性的设计与判断
如图，工人在墙内镶嵌了一个四边形窗框，为了防
止变形，工人师傅需采用一种加固方法，下面四种方
案，你认为错误的是（ D ）
D
A B C D
3. 将几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面
内不具有稳定性的是（ C ）
A B C D
C
4. 如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木
条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种
加固木条的方法，不能固定形状的是钉在哪两点上的木
条（ D ）
A. A ， F B. C ， E
C. C ， A D. E ， F
（第4题）
D
5. （1）下列图形中具有稳定性的是 ；（填
序号）
（第5题）
①④⑥
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使
之具有稳定性.
解：（2）如答案图所示.
（答案图）
（第5题）(共24张PPT)
第11章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂
线， 与 之间的线段叫做三角形的高.
（1）三角形的三条高线（或其延长线）交于 ；
顶点
垂足
一点
（2）锐角三角形的三条高线交点在三角形 ，直
角三角形的三条高线交点即为 ，钝角三角
形的三条高线的延长线交点在三角形 .
内
直角顶点
外
注意：①三角形的三条高所在直线交于同一点，如图.
②三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部
的数量 3 1 1
三条高之间是否
相交 相交 相交 不相交
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三条高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角 顶点 三角形
外部
2. 三角形的中线：连接三角形的顶点与 的
线段叫做三角形的中线.
（1）三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角
形的 ；
（2）三角形的三条中线交点在三角形 ；
（3）三角形的一条中线可以等分三角形的面积.
对边中点
重心
内
3. 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与
它的对边相交，连接这个角的 和 之
间的线段叫做三角形的角平分线，也叫做三角形的内
角平分线.
（1）三角形的三条角平分线交于 ；
（2）三角形的三条角平分线交点在三角形 .
注意：三角形的高线、中线、角平分线都是线段，既不
是射线，也不是直线.
顶点
交点
一点
内
4. 归纳与小结
三角形的重
要线段 图形 符号语言
三角形的高线 ∵ AD 是△ ABC 的高线，
∴ AD ⊥ BC ，
∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°
三角形的中线 ∵ AD 是△ ABC 的边 BC 上
的中线，∴ BD ＝ CD ＝ BC
三角形的重
要线段 图形 符号语言
三角形的角
平分线 ∵ AD 是△ ABC 的角平分
线，
∴∠1＝∠2＝ ∠ BAC
题型一 三角形的高
（1）如图1，在△ ABC 中， AB 边上的高
是 ， BC 边上的高是 ；在△ BCF 中， CF
边上的高是 ；
图1
CE
AD
BC
；
（2）如图2，△ ABC 的三条高线交于点 H ，则有∠ HAE
＝ ，∠ HAF ＝ ，∠ HBF
＝ ； S△ ABC ＝ BC · AD ＝ AC · BE
＝ ；
图2
∠ HBD
∠ HCD
∠ HCE
AC · BE
AB · CF
（3）如图3， AD ， BE 分别是△ ABC 中 BC ， AC 边上的
高， BC ＝8 cm， AC ＝4 cm.若 AD ＝3 cm，则 BE 的长
为 cm.
图3
6
1. 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ AB ，有下列三个结论：①
AD 是△ ACD 的高；② AD 是△ ABD 的高；③ AD 是
△ ABC 的高.其中正确的结论是（ D ）
A. ①和②
B. ①和③
C. ②和③
D. 只有②正确
（第1题）
D
2. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠1＝∠ B .
（1）试说明 CD 是△ ABC 的高；
解：（1）∵∠ ACB ＝90°，
∴∠1＋∠ BCD ＝90°.
又∵∠1＝∠ B ，
∴∠ B ＋∠ BCD ＝90°，
∴∠ BDC ＝90°，
即 CD ⊥ AB ，
∴ CD 是△ ABC 的高.
（第2题）
（2）如果 AC ＝8， BC ＝6， AB ＝10，求 CD 的长.
解：（2）∵∠ ACB ＝∠ BDC ＝90°，
∴ S△ ABC ＝ AC · BC ＝ AB · CD ，
∴ CD ＝ ＝ ＝ .
（第2题）
题型二 三角形的中线
（1）如图1，在△ ABC 中，已知点 E ， F 分别是
AD ， CE 的中点，且 S△ ABC ＝4 cm2，则 S△ BEF
＝ cm2；
图1
1
（2）如图2，在△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别在三边
上， E 是 AC 的中点， AD ， BE ， CF 交于一点 G ， BD
＝2 DC ， S△ BGD ＝8， S△ AGE ＝3，则△ ABC 的面积
是 ；
图2
30
（3）在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AC 边上的中线 BD 把△
ABC 的周长分成12 cm和15 cm的两部分，则这个等腰三
角形的腰长是 cm.
[方法归纳] （1）三角形的中线将三角形分成面积相等
的两部分；（2）等底不等高的三角形的面积之比等于
高之比；（3）等高不等底的三角形的面积之比等于底
之比.
8或10
3. 如图，在△ ABC 中， D ， E ， F 分别是 AC ， BD ，
AE 的中点.若△ DEF 的面积为1，则△ ABC 的面积为
（ C ）
A. 3 B. 4 C. 8 D. 12
（第3题）
C
4. 在△ ABC 中， AM 是 BC 边上的中线.已知 AB － AC ＝
5，且△ AMC 的周长是20，则△ ABM 的周长是 .
25
题型三 三角形的角平分线
（1）如图1，在△ ABC 中， AD ， CE 是△ ABC 的角平分线.若∠ BAC ＝60°，∠ ACE ＝40°，则∠ DAC ＝ ，∠ BCE ＝ ，∠ ABC ＝ ；
图1
30°
40°
40°
（2）如图2，在△ ABC 中，∠ BAC ＝100°， AD ⊥ BC
于点 D ， AE 平分∠ BAC 交 BC 于点 E . 若∠ C ＝26°，则
∠ DAE 的度数为 .
图2
14°
5. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论中错误的是
（ D ）
A. BD 是△ ABC 的角平分线
B. CE 是△ BCD 的角平分线
C. ∠3＝ ∠ ACB
D. CE 是△ ABC 的角平分线
（第5题）
D
6. 如图，△ ABC 的三条角平分线交于点 I ，则有：
（第6题）
∠ BAD ＝ ，
∠ ABE ＝ ，
∠ ACB ＝2 .
∠ CAD
∠ ABC
∠ ACF 或∠ BCF
