2024-2025学年山东省菏泽市曹县一中等学校高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省菏泽市曹县一中等学校高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
4.如果随机变量，且，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.某兴趣小组组织四项比赛，只有甲、乙、丙、丁四人报名参加且每项比赛四个人都参加，每项比赛冠军只有一人，若每项比赛每个人获得冠军的概率均相等，则甲恰好拿到其中一项比赛冠军的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
10.记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数，的定义域均为，的图象关于对称，是奇函数，且，，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据为，，，，，，，，则这组数据第百分位数为______．
13.已知圆的半径为，，是圆的两条直径，若，则 ______．
14.已知函数若存在实数，满足，且，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为．
求的值；
若，求的面积．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，．
求证：平面平面；
设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，且，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
已知直线：与曲线相交于，两点，直线：，过点作，垂足为，设点为坐标原点，求面积的最大值．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若，设，证明：对任意两个不等实数，，不等式恒成立．
19.本小题分
已知数集，具有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于．
分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
证明：且；
当时，若，写出集合．
参考答案
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14.
15.解：因为，由正弦定理，
得，又，
所以，
即，
整理得，
因为，可得，所以，
又因为，所以；
由余弦定理，可得，
又，整理得，
解得或舍，
所以的面积．
16.证明：平面，平面，
，
又，，且，平面，
平面，
平面，，
又，，且，平面，
平面，
平面，
平面平面．
解：由知平面，
平面，
，
四边形为正方形，即，且，
以点为原点，，所在直线分别为，轴，以过点和垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，，
同理可得，平面的一个法向量为，
，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：设，，，
因为，
所以，
即，
由，
得，
所以，
将，代入，
得，
所以动点的轨迹的方程为．
由，
得，
设，，
则，
显然，
所以，
即，
因为，
所以直线的方程为，
令，得，
将代入，
得，
故直线过定点，
即定点．
在中，，
所以
，
又直线过定点，
所以
，
令，
则，
又在上单调递增，
所以在上单调递减，
故当，即时，的面积取得最大值
即．
18.解：由函数的定义域为，
且，
令，可得，
当时，即时，此时，所以在上单调递增；
当时，即时，由，
可得且，
令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，无单调递减区间；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
证明：因为，所以，
不妨设，
则要证明，
只需证明，
即，
即证，
设，则只需证明，化简得，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增．
所以当时，，即，得证．
19.解：因为与均不属于数集，所以数集不具有性质；
因为都属于数集，
所以数集具有性质．
证明：由具有性质，得与中至少有一个属于，
由，得，即，从而，则，
由，得，则，
由具有性质，知，
又，于是，
从而，
所以．
由知，，即，
由，得，则，由数集具有性质，得，
由，得，且，于是，即，
因此，数列是首项，公比的等比数列，即，
所以．
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