(共18张PPT)
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定（一）（SSS）
1. 边边边公理
三边分别相等的两个三角形 .（可以简写成
“边边边”，用字母表示为“SSS”）
符号语言：
如图，在△ABC 和△DEF 中，
全等
∴△ ABC ≌△ DEF （SSS）.
注意：（1）在所给的两个三角形中，如果有两边对应
相等，又没有角对应相等时，往往寻找或构造第三组边
也相等，从而利用“SSS”证明全等.
（2）证明两个三角形全等的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
④写出结论：写出全等结论.
2. 用尺规作一个角等于已知角
已知α，作∠ AOB ＝α.
题型一 利用“SSS”进行证明
已知：如图， AB ＝ CD ， AE ＝ CF ， DE ＝ BF . 求
证：
（1）△ABF ≌△ CDE ；
证明：（1）∵ AE ＝ CF ，
∴ AE ＋ EF ＝ CF ＋ EF ，即 AF ＝ CE .
在△ ABF 和△ CDE 中，
∴△ ABF ≌△ CDE （SSS）.
（2） AB ∥ CD .
证明：（2）∵△ ABF ≌△ CDE ，
∴∠ A ＝∠ C ，∴ AB ∥ CD .
[方法点拨] 用“SSS”证全等时，找相等的边主要有以
下几种方式：①已知相等的边；②中点；③公共边；④
一部分相等，另一部分是公共边.
1. 已知：如图，点 A ， D ， C ， B 在同一条直线上， AD
＝ BC ， AE ＝ BF ， CE ＝ DF ，求证： AE ∥ BF .
（第1题）
证明：∵ AD ＝ BC ，
∴ AD ＋ CD ＝ BC ＋ CD ，
即 AC ＝ BD .
在△ ACE 和△ BDF 中，
∴△ ACE ≌△ BDF （SSS），
∴∠ A ＝∠ B ，∴ AE ∥ BF .
（第1题）
题型二 利用“SSS”解决实际问题
如图是一个测平架， AB ＝ AC ，在 BC 的中点 D 处
挂一个重锤，自然下垂，使用时调整架身，使点 A 恰好
在重锤线上，就说明此时 BC 处于水平位置，你能说明
其中的道理吗？
解：∵点 D 是 BC 的中点，∴ BD ＝ CD .
在△ ABD 和△ ACD 中，
∴△ ABD ≌△ ACD （SSS），∴∠ ADB ＝∠ ADC .
又∵∠ BDC ＝180°，
∴∠ ADB ＝90°，即 AD 与 BC 垂直.
∵ AD 是垂直于地面的，
∴此时 BC 处于水平位置.
2. 如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD ，其中 AB ＝ AD ， BC ＝ DC . 将仪器上的点 A 与∠ PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD ，使它们分别落在角的两边上，过点 A ， C 画一条射线 AE ， AE 就是∠ PRQ 的
平分线.
（第2题）
小敏根据角平分仪的画图原理得到以下结论：①△ ABC ≌△ ADC ；②∠ BCA ＝∠ DCA ；③∠ ABC ＝∠ ADC ；④∠ BAE ＝∠ ACD . 其中正确的结论有 .（填序号）
①②③
（第2题）
题型三 添辅助线构造“SSS”证明角相等
如图，已知 AB ＝ DC ， DB ＝ AC .
求证：∠ ABD ＝∠ DCA .
证明：连接 AD .
在△ BAD 和△ CDA 中，
∴△ BAD ≌△ CDA （SSS），∴∠ ABD ＝∠ DCA .
[方法归纳] 本题作辅助线的意图是构造全等的三角
形，即两个三角形的公共边，构造公共边是常添的辅
助线之一.
3. 如图1，已知∠ AOB ，求作∠ A ' O ' B '，使∠ A ' O ' B '
＝∠ AOB . 作法如下：
①作射线O'A'；
②以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA 于点 C ，
交 OB 于点 D （如图2）；
③以点O'为圆心， OC 长为半径画弧，交O'A'于点C'；
④以点C'为圆心， CD 长为半径画弧，与③中所画的弧
相交于点D'；
⑤过点D'画射线O'B'，∠A'O'B'就是所求作的角（如图
3）.
（第3题）
作图依据是： .
SSS，全等三角形的对应角相等
4. 如图， AB ＝ AD ， BC ＝ DC ，求证：∠ ABC ＝
∠ ADC .
（第4题）
证明：连接 AC .
在△ ABC 和△ ADC 中，
∴△ ABC ≌△ ADC （SSS），
∴∠ ABC ＝∠ ADC .(共17张PPT)
第12章 全等三角形
12.1 全等三角形
1. 全等形的定义
能够 的两个图形叫做全等形.
2. 全等三角形的有关概念
能够 的两个三角形叫做全等三角形，
的顶点叫做对应顶点， 的边叫做对应
边， 的角叫做对应角.
全等用符号“ ”表示，读作“ ”.
完全重合
完全重合
重
合
重合
重合
≌
全等于
温馨提示：（1）在表示三角形全等时，通常把对应顶
点的字母写在对应的位置上.
（2）对应边、对应角的确定方法：
对应元素确定方法
3. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边 ，全等三角形的对应
角 .
符号语言：
如图，若△ABC ≌△DEF ，
则 AB ＝ DE ， BC ＝ EF ， AC ＝ DF ，
∠ A ＝∠ D ，∠ B ＝∠ E ，∠ C ＝∠ F .
相等
相等
温馨提示：全等三角形的周长和面积都分别对应相等，
但周长和面积都分别相等的两个三角形不一定全等.
4. 几种常用的全等变换方式
平移、旋转、翻折.
全等三角形常见的典型类型：
题型一 全等三角形对应元素的确定
如图，图中均存在三角形与△ABC 全等（每个图形
均为△ABC 分别经过平移、旋转或翻折得到），找一找
各全等图形的对应元素.
图1
图2
图3
图4
解：图1中对应顶点：点 A 与点 D ，点 B 与点 E ，点 C 与
点 F ；
对应边： AB 与 DE ， AC 与 DF ， BC 与 EF ；
对应角：∠ A 与∠ D ，∠ B 与∠1，∠2与∠ F .
图2中对应顶点：点 A 与点 A ，点 B 与点 E ，点 C 与点
D ；
对应边： AB 与 AE ， AC 与 AD ， BC 与 ED ；
对应角：∠ B 与∠ E ，∠ ACB 与∠ ADE ，∠ BAC 与
∠ EAD .
图3中对应顶点：点 A 与点 A ，点 B 与点 E ，点 C 与点
F ；
对应边： AB 与 AE ， AC 与 AF ， BC 与 EF ；
对应角：∠ BAC 与∠ EAF ，∠ B 与∠ E ，∠ C 与∠ F .
图4中对应顶点：点 A 与点 C ，点 B 与点 D ，点 C 与点
A ；
对应边： AB 与 CD ， AC 与 CA ， BC 与 DA ；
对应角：∠ B 与∠ D ，∠ ACB 与∠ CAD ，∠ BAC 与
∠ DCA .
1. 如图，点 E ， F 在线段 BC 上，△ABF 与△DCE 全
等，点 A 与点 D ，点 B 与点 C 是对应顶点， AF 与 DE 交
于点 M ，则∠ C 等于（ A ）
A. ∠ B B. ∠ A
C. ∠ EMF D. ∠ AFB
（第1题）
A
2. 如图，△ABE ≌△ACD ，且∠1＝∠2，∠ B ＝∠ C ，
则下列等式不正确的是（ D ）
A. AB ＝ AC B. ∠ BAE ＝∠ CAD
C. EB ＝ DC D. AD ＝ DE
（第2题）
D
3. 如图，点 B ， C ， D 在一条直线上，△ABC ≌△BED ，则 AC 的对应边是 ，∠ ABC 的对应角是 .
（第3题）
BD
∠ E
题型二 全等三角形的性质定理及应用
如图，△ABC 沿 BC 方向平移到△DEF 的位置.
（1）若∠ B ＝30°，∠ F ＝45°，求∠ A 的度数；
解：（1）由平移可知
△ABC ≌△DEF ，
∴∠ ACB ＝∠ F ＝45°，
∴∠ A ＝180°－∠ B －∠ ACB ＝105°.
（2）若 BF ＝10， EC ＝4，求平移的距离.
解：（2）∵△ABC ≌△DEF ，
∴ BC ＝ EF ，
∴ BC － EC ＝ EF － EC ，
∴ BE ＝ CF ＝ （ BF － EC ）＝3，
∴平移的距离为3.
[方法归纳] 利用全等三角形的性质，可以得到相等的线
段和相等的角，这是以后证明线段相等或角相等时常用
的方法.
4. 如图，△ACF ≌△BDE ，点 A ， B ， C ， D 在同一条
直线上，下列结论中错误的是（ B ）
A. AF ∥ BE B. ∠ ACF ＝∠ DBE
C. AB ＝ CD D. CF ∥ DE
（第4题）
B
5. 如图，已知△ABC ≌△EDF ，点 F ， A ， D 在同一条
直线上， AD 是∠ BAC 的平分线.若∠ EDA ＝20°，∠ F
＝60°，则∠ DAC 的度数是 .
（第5题）
50°
6. 如图，△ACF ≌△DBE ，且点 A ， B ， C ， D 在同一
条直线上，∠ A ＝50°，∠ F ＝40°.
（1）求△DBE 各内角的度数；
解：（1）∵△ACF ≌△DBE ，
∴∠ E ＝∠ F ＝40°，
∠ D ＝∠ A ＝50°，
∴∠ EBD ＝180°－∠ E －∠ D ＝90°.
（第6题）
（2）若 AD ＝16， BC ＝10，求 AB 的长.
解：（2）∵△ACF ≌△DBE ，
∴ AC ＝ DB ，
∴ AC － BC ＝ DB － BC ，即 AB ＝ CD ，
∴ AB ＝ ＝ ＝3.
（第6题）(共18张PPT)
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时 三角形全等的判定（四）（HL）
1. 直角三角形全等的判定“HL”
分别相等的两个直角三角形全
等.（可以简写成“斜边、直角边”，用字母表示为
“HL”）
斜边和一条直角边
符号语言：
如图，∠ C ＝∠ F ＝90°，
在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，
∴Rt△ABC ≌Rt△DEF （HL）.
2. 直角三角形全等的五种判定方法
（1） ；（2） ；（3） ；
（4）AAS；（5）HL.
SSS
SAS
ASA
题型一 运用“HL”证明直角三角形全等
如图，在△ABC 中， AB ＝ AC ， DE 是过点 A 的直
线， BD ⊥ DE 于点 D ， CE ⊥ DE 于点 E .
（1）若点 B ， C 在 DE 的同侧（如图1），且 AD ＝
CE ，求证： AB ⊥ AC ；
图1
（1）证明：∵ BD ⊥ DE ， CE ⊥ DE ，
∴∠ ADB ＝∠ AEC ＝90°.
在Rt△ABD 和Rt△CAE 中，
∴Rt△ABD ≌Rt△CAE （HL），
∴∠ DAB ＝∠ ECA . ∵∠ EAC ＋∠ ECA ＝90°，
∴∠ EAC ＋∠ DAB ＝90°，
∴∠ BAC ＝180°－（∠ EAC ＋∠ DAB ）＝90°，
∴ AB ⊥ AC .
图1
（2）若点 B ， C 在 DE 的两侧（如图2），且 AD ＝
CE ，其他条件不变， AB 与 AC 仍垂直吗？若是请给出
证明；若不是，请说明理由.
图2
（2）解： AB ⊥ AC . 证明如下：
同（1）可证得Rt△ABD ≌Rt△CAE ，
∴∠ DAB ＝∠ ECA .
∵∠ CAE ＋∠ ECA ＝90°，
∴∠ CAE ＋∠ DAB ＝90°，即∠ BAC ＝90°，
∴ AB ⊥ AC .
1. 如图， DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC ，垂足分别为 E ， F ，且
DE ＝ BF . 若利用“HL”可直接证明△DEC ≌△ BFA ，
则需添加的条件是（ B ）
A. EC ＝ FA B. DC ＝ BA
C. ∠ D ＝∠ B D. ∠ DCE ＝∠ BAF
（第1题）
B
2. 如图，已知 BE ⊥ CD 于点 E ，且 BE ＝ DE ， BC ＝
DA ，延长 DA 交 BC 于点 F . 求证：
（1）△BEC ≌△ DEA ；
证明：（1）∵ BE ⊥ CD ，
∴∠ BEC ＝∠ DEA ＝90°.
在Rt△BEC 和Rt△DEA 中，
∴Rt△BEC ≌Rt△DEA （HL）.
（第2题）
（2） BC ⊥ FD .
证明：（2）由（1）知△BEC ≌△ DEA ，
∴∠ B ＝∠ D .
又∵∠ D ＋∠ DAE ＝90°，
∠ DAE ＝∠ BAF ，
∴∠ BAF ＋∠ B ＝90°，即∠ BFA ＝90°，
∴ BC ⊥ FD .
（第2题）
3. 如图， AC ⊥ AD ， BC ⊥ BD ， AC ＝ BD ，求证： AD
＝ BC .
（第3题）
证明：如答案图，连接 DC .
∵ AC ⊥ AD ， BC ⊥ BD ，
∴∠ A ＝∠ B ＝90°.
在Rt△ADC 和Rt△BCD 中，
∴Rt△ADC ≌Rt△BCD （HL），∴ AD ＝ BC .
（答案图）
题型二 直角三角形全等的综合运用
如图，已知 DE ⊥ AC 于点 E ， BF ⊥ AC 于点 F ，
AD ＝ CB ， DE ＝ BF ，求证： AB ∥ DC .
证明：∵ DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC ，
∴∠ DEA ＝∠ BFC ＝∠ DEC ＝∠ BFA ＝90°.
在Rt△ADE 和Rt△CBF 中，
∴Rt△ADE ≌Rt△CBF （HL），
∴ AE ＝ CF ，∴ AE ＋ EF ＝ CF ＋ EF ，即 AF ＝ CE .
在△ABF 和△CDE 中，
∴△ ABF ≌△ CDE （SAS），
∴∠ BAC ＝∠ DCA ，
∴ AB ∥ DC .
[方法点拨] 在证一次全等不能解决问题时，可考虑证两
次全等或三次全等，证第一次全等是为证第二次全等准
备边或角相等的条件.在分析问题时，可“执因索
果”，也可“执果索因”，这样可使问题简化.
4. 下列说法中，正确的有 个.
①两条边对应相等的两个直角三角形全等；
②有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等；
③一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全
等；
④面积相等的两个直角三角形全等.
3
5. 如图，在△ABC 中，∠ C ＝90°， AD 是∠ BAC 的平分
线， DE ⊥ AB 于点 E ，点 F 在边 AC 上，连接 DF .
（1）求证： AC ＝ AE ；
（1）证明：∵∠ C ＝90°， DE ⊥ AB ，∴∠ C ＝∠ AED
＝90°.∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ CAD ＝∠ EAD .
在△ACD 和△AED 中，
∴△ ACD ≌△ AED （AAS），∴ AC ＝ AE .
（第5题）
（2）若 DF ＝ DB ，试说明∠ B 与∠ AFD 的数量关系；
（2）解：∠ B ＋∠ AFD ＝180°.理由如下：
由（1）知，△ACD ≌△ AED ，∴ DC ＝ DE .
在Rt△CDF 和Rt△EDB 中，
∴Rt△CDF ≌Rt△EDB （HL），
∴∠ CFD ＝∠ B .
∵∠ CFD ＋∠ AFD ＝180°，
∴∠ B ＋∠ AFD ＝180°.
（第5题）
（3）在（2）的条件下，若 AB ＝ m ， AF ＝ n ，求 BE
的长.（用含 m ， n 的代数式表示）
（3）解：由（2）知，Rt△CDF ≌Rt△EDB ，
∴ CF ＝ BE .
由（1）知， AC ＝ AE .
∵ AB ＝ AE ＋ BE ，
∴ AB ＝ AC ＋ BE ＝ AF ＋ CF ＋ BE ＝ AF ＋2 BE .
∵ AB ＝ m ， AF ＝ n ，∴ BE ＝ （ m － n ）.
（第5题）(共21张PPT)
第12章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
1. 作已知角的平分线
作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规
作图法，
其中尺规作图法的依据是“SSS”和全等三角形对应角
相等的性质.
用尺规作已知角的平分线如图所示.
2. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的 相等.
符号语言：
如图，∵ OC 平分∠ AOB ，点 P 在 OC 上， PD ⊥ OA ，
PE ⊥ OB ，
∴ PD ＝ PE .
注意：（1）不能直接得到 OE ＝ OD ；
距离
（2）角是一个轴对称图形，对称轴是角平分线所在的
直线.
3. 证明几何命题的一般步骤
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求
证；
（3）根据题意，写出证明的 .
过程
4. 角平分线基本图形及结论
已知：如图， AD 平分∠ BAC .
结论： ＝ .
提示：利用角平分的性质及等积法即可得到结论.
题型一 角平分线的作法及性质
如图， OP 平分∠ AOB ， PA ⊥ OA ， PB ⊥ OB ，垂
足分别为 A ， B . 下列结论中不一定成立的有（ A ）
① PA ＝ PB ；② PO 平分∠ APB ；
③ OA ＝ OB ；④ AB ＝ OP .
A. 1个 B. 2个
A
C. 3个 D. 4个
如图，∠ EAC 是△ABC 的外角， AB ＝ AC .
（1）请你用尺规作图的方法作∠ EAC 的平分线 AD ；
（不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）如答案图， AD 即
为所求作.
（答案图）
解：（2） AD ∥ BC . 理由如下：
∵ AD 平分∠ EAC ，
∴∠ EAD ＝∠ CAD .
∵ AB ＝ AC ，
∴∠ B ＝∠ C .
又∵∠ EAC ＝∠ B ＋∠ C ，
∴∠ DAC ＝∠ C ，
∴ AD ∥ BC .
（2）判断 AD 与 BC 的位置关系，并说明理由.
1. 如图， AD 是△ABC 的角平分线，从点 D 向 AB ， AC
两边作垂线段，垂足分别为 E ， F ，那么下列结论中错
误的是（ C ）
A. DE ＝ DF B. AE ＝ AF
C. BD ＝ CD D. ∠ ADE ＝∠ ADF
（第1题）
C
2. 如图，用直尺和圆规作一个已知角的角平分线，要说
明∠ AOC ＝∠ BOC ，需要证明△CON 和△COM 全等，
则这两个三角形全等的依据是 .
（第2题）
SSS
3. 如图， CD ⊥ AB ， BE ⊥ AC ，垂足分别为 D ， E ，
BE ， CD 相交于点 O ，∠1＝∠2.求证： OB ＝ OC .
（第3题）
证明：∵∠1＝∠2，∴ AO 平分∠ CAB .
又∵ OE ⊥ AC ， OD ⊥ AB ，∴ OE ＝ OD .
在△ COE 和△ BOD 中，
∴△ COE ≌△ BOD （ASA），∴ OC ＝ OB .
题型二 利用角平分线的性质构造辅助线进行推理
（1）如图， AB ⊥ BC ， DC ⊥ BC ， AE 平分
∠ BAD ， DE 平分∠ ADC ，以下结论：① DE ＝ BE ；
②点 E 是 BC 的中点；③∠ AED ＝90°；④ AD ＝ AB ＋
CD . 正确的是（ D ）
D
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
（2）如图，在△ABE 中， D ， C 分别在 AE ， BE 上，
且 CD ＝ CB ， AC 平分∠ EAB ， CH ⊥ AB 于点 H .
①求证：∠ ADC ＋∠ B ＝180°；
（2）①证明：如答案图，过点 C 作 CM ⊥ DE ，垂足为 M .
∵ AC 平分∠ EAB ， CH
⊥ AB ， CM ⊥ DE ，
（答案图）
∴Rt△ DMC ≌Rt△ BHC （HL），
∴ DM ＝ BH ，∠ CDM ＝∠ B .
∵∠ CDM ＋∠ ADC ＝180°，∴∠ ADC ＋∠ B ＝180°.
∴ CM ＝ CH ，∠ CMA ＝∠ CHB ＝90°.
在Rt△ DMC 和Rt△ BHC 中，
②若 AD ＝3， AB ＝8，求 AH 的长.
②解：在Rt△ AMC 和Rt△ AHC 中，
∴Rt△ AMC ≌Rt△ AHC （HL），∴ AM ＝ AH ，
设 BH ＝ DM ＝ x ，则 AH ＝8－ x ， AM ＝3＋ x ，
∴8－ x ＝3＋ x ，解得 x ＝2.5，
∴ AH ＝8－2.5＝5.5.
[方法点拨] 若题目中存在角平分线，可添加角平分线上
的点到角两边的垂线段，根据角平分线的性质定理可直
接获得等量条件.
4. （1）如图，在△ABC 中， CD 是边 AB 上的高， BE 平
分∠ ABC ，交 CD 于点 E ， BC ＝10， DE ＝3，则△ BCE
的面积为（ B ）
A. 16 B. 15
[第4（1）题]
B
C. 14 D. 13
（2）如图，在△ABC 中， BD 是∠ ABC 的平分线， DE
⊥ AB 于点 E . 若 S△ ABC ＝42， AB ＝13， BC ＝8，则 DE
的长为 .
[第4（2）题]
4
5. 如图，在△ABC 中，∠ B ＝60°，∠ BAC ，∠ ACB 的
平分线 AE ， CF 相交于点 O . 求证： OE ＝ OF .
（第5题）
证明：如图，过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ， OM ⊥ BC 于点 M ， ON ⊥ AB 于点 N ，连接 OB .
∵ AE 平分∠ BAC ， CF 平分∠ ACB ，
∴ OH ＝ ON ， OH ＝ OM ，∴ OM ＝ ON .
在Rt△ BON 和Rt△ BOM 中，
∴Rt△ BON ≌Rt△ BOM （HL），
∴∠ NBO ＝∠ MBO .
又∵∠ OEM ＝∠ ABC ＋ ∠ BAC ＝60°＋ ∠ BAC ，
∠ OFN ＝∠ BAC ＋ ∠ ACB ＝ （∠ BAC ＋∠ ACB ）
＋ ∠ BAC ＝ ×（180°－∠ ABC ）＋ ∠ BAC ＝60°＋
∠ BAC ，
∴∠ OEM ＝∠ OFN .
在△ ONF 和△ OME 中，
∴△ ONF ≌△ OME （AAS），∴ OE ＝ OF .(共27张PPT)
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第3课时 三角形全等的判定（三）
（ASA与AAS）
1. 角边角公理
两角和它们的 分别相等的两个三角形全等.
（可以简写成“角边角”，用字母表示为“ASA”）
符号语言：
如图，在△ ABC 和△ DEF 中，
夹边
∴△ ABC ≌△ DEF （ASA）.
2. 角角边定理
两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三
角形全等.（可以简写成“角角边”，用字母表示为
“AAS”）
符号语言：
如图，在△ ABC 和△ DEF 中，
对边
∴△ ABC ≌△ DEF （AAS）.
注意：（1）两个三角形，如果具备两个角和一边对应
相等，则可判断其全等，但其中“对应”必不可少；
（2）三个角分别相等的两个三角形 （填
“一定”或“不一定”）全等.
不一定
题型一 利用“ASA”证明三角形全等
如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， CE ⊥ AB
于点 E ， AD 与 CE 交于点 F ，且 AD ＝ CD .
（1）求证：△ ABD ≌△ CFD ；
（1）证明：∵ AD ⊥ BC ， CE ⊥ AB ，
∴∠ ADB ＝∠ CDF ＝∠ CEB ＝90°，
∴∠ BAD ＋∠ B ＝∠ FCD ＋∠ B ＝90°，
∴∠ BAD ＝∠ FCD .
在△ABD 和△CFD 中，
∴△ ABD ≌△ CFD （ASA）.
（2）已知 BC ＝9， AD ＝6，求 AF 的长.
（2）解：由（1）知，△ABD ≌△ CFD ，∴ BD ＝ DF .
∵ BC ＝9， AD ＝ CD ＝6，
∴ BD ＝ BC － CD ＝3，
∴ AF ＝ AD － DF ＝ AD － BD ＝3.
证明：∵ DE ⊥ AC ，∠ B ＝90°，∴∠ DEC ＝∠ B ＝90°.
∵ CD ∥ AB ，∴∠ A ＝∠ DCE .
在△CED 和△ABC 中，
∴△ CED ≌△ ABC （ASA）.
1. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°， CD ∥ AB ， DE ⊥
AC 于点 E ，且 CE ＝ AB . 求证：△ CED ≌△ ABC .
（第1题）
题型二 利用“AAS”证明三角形全等
如图，在△ ABC 中，点 D 在射线 BC 上，过 AC 的中
点 E 作线段 FG 交 AB 于点 G ，且∠ DCF ＝∠ B .
（1）求证：△ AEG ≌△ CEF ；
（1）证明：∵∠ B ＝∠ DCF ，
∴ CF ∥ AB ，
∴∠ FCA ＝∠ A ，∠ F ＝∠ FGA .
∵点 E 是 AC 的中点，∴ AE ＝ CE .
在△AEG 和△CEF 中，
∴△ AEG ≌△ CEF （AAS）.
（2）若 CF ＝6， AC ＝ BC ＝10， AG ＝3 BG ，求△ ABC 的周长.
（2）解：∵△ AEG ≌△ CEF ，
∴ AG ＝ CF ＝6.
又∵ AG ＝3 BG ，∴ BG ＝2，∴ AB ＝8，
∴△ ABC 的周长＝ AB ＋ AC ＋ BC ＝28.
如图1，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，
过点 C 在△ ABC 外作直线 MN ， AM ⊥ MN 于点 M ， BN
⊥ MN 于点 N .
（1）求证： MN ＝ AM ＋ BN ；
（1）证明：∵∠ ACB ＝90°，点 M ， C ， N 在同一条直线上，∴∠ ACM ＋∠ BCN ＝90°.
∵ AM ⊥ MN ， BN ⊥ MN ，
∴∠ AMC ＝∠ BNC ＝90°，
∴∠ ACM ＋∠ CAM ＝90°，∴∠ CAM ＝∠ BCN .
在△ACM 和△CBN 中，
∴△ ACM ≌△ CBN （AAS），
∴ AM ＝ CN ， CM ＝ BN ，
∴ MN ＝ CN ＋ CM ＝ AM ＋ BN .
（2）如图2，若过点 C 作直线 MN 与线段 AB 相交， AM
⊥ MN 于点 M ， BN ⊥ MN 于点 N ，（1）中的结论是否
仍然成立？成立请说明理由，不成立请说明 MN ，
AM ， BN 之间的关系；
（2）解：（1）中的结论不成立，结论为 MN ＝ AM － BN . 理由如下：
∵∠ ACB ＝90°，
∴∠ ACM ＋∠ BCN ＝90°.
∵ AM ⊥ MN ， BN ⊥ MN ，
∴∠ AMC ＝∠ BNC ＝90°，
∴∠ ACM ＋∠ CAM ＝90°，∴∠ CAM ＝∠ BCN .
在△ACM 和△CBN 中，
∴△ ACM ≌△ CBN （AAS），
∴ AM ＝ CN ， CM ＝ BN ，
∴ MN ＝ CN － CM ＝ AM － BN .
（3）在图2中，若 MN 与 AB 相交的位置可以改变，（2）中的结论是否一定成立？若不一定成立，你还能得出什么结论？请直接写出这个结论.
（3）解：（2）中的结论不一定成立.
还能得到的结论： MN ＝ BN － AM .
2. 如图，点 E 在△ ABC 的边 AC 上，且∠ ABE ＝∠ C ，
AF 平分∠ BAE 交 BE 于点 F ， FD ∥ BC 交 AC 于点 D .
（第2题）
（1）求证：△ ABF ≌△ ADF ；
（1）证明：∵ FD ∥ BC ，
∴∠ ADF ＝∠ C .
又∵∠ ABE ＝∠ C ，
∴∠ ABE ＝∠ ADF .
∵ AF 平分∠ BAE ，
∴∠ BAF ＝∠ DAF .
在△ABF 和△ ADF 中，
∴△ ABF ≌△ ADF （AAS）.
（第2题）
（2）若 BE ＝7， AB ＝8， AE ＝5，求△ EFD 的周长.
（2）解：∵△ ABF ≌△ ADF ，
∴ AD ＝ AB ＝8， BF ＝ DF .
∵ AE ＝5，∴ DE ＝ AD － AE ＝3，
∴△ EFD 的周长＝ EF ＋ DF ＋ DE
＝ EF ＋ BF ＋ DE ＝ BE ＋ DE
＝7＋3＝10.
（第2题）
题型三 全等判定方法的综合应用
已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ ABE
≌△ ADE .
证明：在△ DEC 和△ BEC 中，
∴△ DEC ≌△ BEC （ASA），∴ DE ＝ BE .
∵∠3＝∠4，∴∠ AED ＝∠ AEB .
在△ABE 和△ADE 中，
∴△ ABE ≌△ ADE （SAS）.
3. 已知△ ABN 和△ ACM 的位置如图所示， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠1＝∠2.求证：
（1） BD ＝ CE ；
证明：（1）在△ ABD 和△ ACE 中，
∴△ ABD ≌△ ACE （SAS），∴ BD ＝ CE .
（第3题）
（2）∠ M ＝∠ N .
证明：（2）∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠ DAE ＝∠2＋∠ DAE ，
即∠ BAN ＝∠ CAM .
由（1）知△ABD ≌△ ACE ，
∴∠ B ＝∠ C .
又∵ AC ＝ AB ，∠ CAM ＝∠ BAN ，
∴△ ACM ≌△ ABN （ASA），
∴∠ M ＝∠ N .
（第3题）
题型四 添辅助线构造“ASA”或“AAS”全等
我们知道，“对称补缺”的思想是解决问题时一种
重要的添加辅助线的策略.请参考这种思想，解决本
题：如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°， D
是 AC 上一点， AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，且 BD
是∠ ABC 的平分线.求证： AE ＝ BD .
证明：如答案图，延长 AE ， BC 交于点 F .
（答案图）
∵ AE ⊥ BE ，∠ ACB ＝90°，
∴∠ BEF ＝∠ BEA ＝90°，∠ ACF ＝∠ ACB ＝90°，
∴∠ DBC ＋∠ AFC ＝∠ FAC ＋∠ AFC ＝90°，
∴∠ DBC ＝∠ FAC .
在△ ACF 和△ BCD 中，
∴△ ACF ≌△ BCD （ASA），
∴ AF ＝ BD .
∵ BD 是∠ ABC 的平分线，
∴∠ ABE ＝∠ FBE .
在△ ABE 和△ FBE 中，
∴△ ABE ≌△ FBE （ASA），
∴ AE ＝ EF ＝ AF ，
∴ AE ＝ BD .
4. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，
3），且 AO ＝ BO ，∠ AOB ＝90°，则点 B 的坐标
为 .
（第4题）
（－3，2） (共22张PPT)
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第2课时 三角形全等的判定（二）（SAS）
边角边公理
和它们的 分别相等的两个三角形全
等.（可以简写成“边角边”，用字母表示为“SAS”）
符号语言：
如图，在△ ABC 和△DEF 中，
两边
夹角
∴△ ABC ≌△ DEF （SAS）.
注意：“SAS”中的角必须是两条边的夹角，而不是其
中一边的对角，两边和其中一边的对角对应相等的两个
三角形 （填“一定”或“不一定”）全等.
如图所示的两个三角形的两组边及一条边的对角分别相
等，很明显这两个三角形不全等.
不一定
题型一 利用“SAS”证明三角形全等
已知：如图， AB ∥ DE ，且 AB ＝ DE ， AF ＝ DC .
求证：∠ B ＝∠ E .
证明：∵ AB ∥ DE ，
∴∠ A ＝∠ D .
∵ AF ＝ DC ，
∴ AF ＋ CF ＝ DC ＋ CF ，
即 AC ＝ DF .
在△ ABC 和△DEF 中，
∴△ ABC ≌△ DEF （SAS），
∴∠ B ＝∠ E .
[方法点拨] 利用“SAS”判定两个三角形全等时，一定
要注意角是两边的夹角.边相等的条件与“SSS”中的条
件相同，角相等的条件有以下几种：①已知相等的角；
②公共角；③对顶角；④角平分线；⑤角的和差；⑥平
行线的性质；⑦垂直；⑧等角的余角或补角；⑨全等三
角形的性质.
1. 如图，已知 AD ＝ BC ，若再添加一个条件∠ ADB ＝
∠ CBD ，证得△ ABD ≌△ CDB ，则证三角形全等的依
据是（ A ）
A. SAS B. SSS
（第1题）
A
C. AAS D. ASA
2. 如图，△ ABC 是等边三角形， D ， E 在直线 BC 上，
DB ＝ EC . 求证：∠ D ＝∠ E .
（第2题）
证明：∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AB ＝ AC ，∠ ABC ＝∠ ACB ，
∴∠ ABD ＝∠ ACE .
在△ADB 和△AEC 中，
∴△ ADB ≌△ AEC （SAS），∴∠ D ＝∠ E .
题型二 全等三角形判定（SAS）与性质的综合运用
如图， AC ⊥ BC ， DC ⊥ EC ， AC ＝ BC ， DC ＝
EC ， AE 与 BD 交于点 F .
（1）求证： AE ＝ BD ；
（1）证明：∵ AC ⊥ BC ， DC ⊥ EC ，
∴∠ ACB ＝∠ ECD ＝90°，
∴∠ ACB ＋∠ BCE ＝∠ ECD ＋∠ BCE ，
即∠ ACE ＝∠ BCD .
在△ ACE 和△ BCD 中，
∴△ ACE ≌△ BCD （SAS），∴ AE ＝ BD .
（2）求∠ AFD 的度数.
（2）解：∵△ ACE ≌△ BCD ，∴∠ A ＝∠ B .
设 AE 与 BC 交于点 O ，则∠ AOC ＝∠ BOF .
∵∠ A ＋∠ AOC ＋∠ ACO
＝∠ B ＋∠ BOF ＋∠ BFO ＝180°，
∴∠ BFO ＝∠ ACO ＝90°，
∴∠ AFD ＝180°－∠ BFO ＝90°.
3. 如图，△ ABC 中， D 是 BC 延长线上一点，满足 CD ＝
AB ，过点 C 作 CE ∥ AB 且 CE ＝ BC ，连接 DE 并延长，
分别交 AC ， AB 于点 F ， G .
（1）求证：△ ABC ≌△ DCE ；
（第3题）
（1）证明：∵ CE ∥ AB ，
∴∠ B ＝∠ ECD .
在△ABC 和△DCE 中，
∴△ ABC ≌△ DCE （SAS）.
（2）若∠ B ＝50°，∠ D ＝22°，求∠ AFG 的度数.
（2）解：∵△ ABC ≌△ DCE ，
∴∠ A ＝∠ D ＝22°，
在△ AGF 中，∠ AGF ＝∠ B ＋∠ D
＝72°，
∴∠ AFG ＝180°－∠ AGF －∠ A ＝
180°－72°－22°＝86°.
（第3题）
题型三 利用“SAS”解决实际问题
要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示
的卡钳， O 为卡钳两柄的交点，且有 OA ＝ OB ＝ OC ＝
OD . 如果圆形工件恰好通过卡钳 AB ，则此工件的外径
必是 CD 之长，你能说明其中的道理吗？
解：连接 AB ， CD .
在△AOB 和△ COD 中，
∴△ AOB ≌△ COD （SAS），∴ AB ＝ CD .
4. 如图， A ， B 两点位于高墙外，不能直接到达.为在该高楼的楼顶上搭建一个支架，需要在地面测量出 A ， B 间的距离.学习了三角形全等知识后，小明给出了如下的方案：先在地面上取一点可以直接到达点 A 和点 B 的点 O ，连接 AO 并延长到点 C ，使 OC ＝ OA ；连接 BO 并延长到点 ，使 OD ＝ OB ；连接 CD 并测量出 CD 的长度， CD 的长度就是 A ， B 间的距离.请根据以上的信息，说明 AB ＝ CD 的理由.
（第4题）
解：在△AOB 与△COD 中，
∴△ AOB ≌△ COD （SAS），
∴ AB ＝ CD .
（第4题）
题型四 添辅助线——倍长中线构造“SAS”全等
如图， AC 是△ ABD 的中线， AD 是△ ABE 的中
线， BA ＝ BD . 求证： AE ＝2 AC .
证明：如图，延长 AC 到点 F ，使 CF ＝ AC ，连接 DF .
∵ AC 是△ABD 的中线，
∴ BC ＝ DC .
在△ABC 和△ FDC 中，
∴△ ABC ≌△ FDC （SAS），
∴∠ B ＝∠ FDC ， DF ＝ BA .
∵ BA ＝ BD ， AD 是△ ABE 的中线，
∴∠ BAD ＝∠ BDA ， BA ＝ BD ＝ DF ＝ DE ，
∴∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ＝∠ FDC ＋∠ BDA
＝∠ ADF .
在△ ADE 和△ADF 中，
∴△ ADE ≌△ ADF （SAS），
∴ AE ＝ AF ＝2 AC .
[方法总结] 遇到“中点”或“中线”时，可考虑倍长中
线模型，倍长中线构造全等三角形，利用中线的性质证
明三角形全等.
5. 如图，在△ ABC 中， AB ＝8， AC ＝6， AD 是 BC 边上
的中线，则 AD 长的取值范围是（ C ）
A. 6＜ AD ＜8
B. 2＜ AD ＜4
C. 1＜ AD ＜7
D. 无法确定
（第5题）
C(共18张PPT)
第12章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线的判定
1. 角的平分线的判定
角的 到角的两边的距离 的点在角的平
分线上.
符号语言：
如图，在∠ AOB 中，
∵ PC ⊥ OA ， PD ⊥ OB ， PC ＝ PD ，
∴点 P 在∠ AOB 的平分线 OE 上，即 OP 平分∠ AOB .
内部
相等
2. 三角形的角平分线的特点
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形的
三边的距离相等.
题型一 角的平分线的判定
（1）如图1，在△ABC 中， P 为 BC 上一点， PM
⊥ AB ，垂足为 M ， PN ⊥ AC ，垂足为 N ，∠ CAP ＝
∠ APQ ， PM ＝ PN ，下面的结论：① AN ＝ AM ；② QP
∥ AM ；③△BMP ≌△ CNP . 其中正确的是（ A ）
A
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
图1
（2）如图2， BD ＝ CD ， BF ⊥ AC 于点 F ， CE ⊥ AB 于
点 E . 求证：点 D 在∠ BAC 的平分线上.
图2
证明：∵ BF ⊥ AC ， CE ⊥ AB ，
∴∠ BED ＝∠ CFD ＝90°.
在△ BDE 和△ CDF 中，
∴△ BDE ≌△ CDF （AAS），∴ DE ＝ DF ，
∴点 D 在∠ BAC 的平分线上.
如图， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠ BAC ＝∠ DAE ，
连接 BD ， CE 交于点 O ，连接 OA . 求证： OA 平分
∠ BOE .
证明：如答案图，过点 A 作 AM ⊥ BD ， AN ⊥ CE ，垂足分别为 M ， N .
（答案图）
∵∠ BAC ＝∠ DAE ，
∴∠ BAC ＋∠ CAD ＝
∠ DAE ＋∠ CAD ，
即∠ BAD ＝∠ CAE .
在△ BAD 和△ CAE 中，
∴△ BAD ≌△ CAE （SAS），∴∠ B ＝∠ C .
∵ AM ⊥ BD ， AN ⊥ CE ，∴∠ BMA ＝∠ CNA ＝90°.
在△ ABM 和△ ACN 中，
∴△ ABM ≌△ ACN （AAS），∴ AM ＝ AN .
又∵ AM ⊥ BD ， AN ⊥ CE ，∴ OA 平分∠ BOE .
[方法点拨] 角平分线的判定方法有两种思路：①由定义
证角相等；②由判定定理证垂线段相等.
1. 如图，已知 DB ⊥ AE 于点 B ， DC ⊥ AF 于点 C ，且
DB ＝ DC ，∠ BAC ＝40°，∠ ADG ＝130°，则∠ CDG 的
度数为（ D ）
A. 30° B. 40°
（第1题）
D
C. 50° D. 60°
2. 如图， O 是△ABC 内一点，且点 O 到 AB ， BC ， CA
三边的距离 OF ， OD ， OE 相等.若∠ BAC ＝70°，则
∠ BOC 的度数为 .
（第2题）
125°
3. 如图， CA ＝ CB ，点 E 在 BC 上，且 CE ＝ CD ，
∠ ACB ＝∠ DCB ＝90°， AE 的延长线交 BD 于点 F ，
连接 CF . 求证：
（1） AE ＝ BD ；
证明：（1）在△ ACE 与△ BCD 中，
∴△ ACE ≌△ BCD （SAS），∴ AE ＝ BD .
（第3题）
（2） FC 平分∠ AFD .
证明：（2）如图，过点 C 作 CG ⊥
AF ， CH ⊥ BD ，垂足分别为 G ， H .
由（1）知，△ ACE ≌△ BCD ，
∴ AE ＝ BD ， S△ ACE ＝ S△ BCD ，
即 AE · CG ＝ BD · CH ，∴ CG ＝ CH .
又∵ CG ⊥ AF ， CH ⊥ DF ，∴ FC 平
分∠ AFD .
（第3题）
题型二 三角形的角平分线及其实际应用
如图，三条公路两两相交于 A ， B ， C 三点，现计
划修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相
等，可供选择的地方有多少处？你能在图中画出来吗？
②分别作出△ ABC 两外角的平分线，其交点分别为 O2， O3， O4.
综上所述，满足条件的修建点有四处，即点 O1， O2， O3， O4所在的地方.
解：如答案图.
①作出△ ABC 两内角的平分线，其交点为 O1；
（答案图）
[知识总结] 三角形两个外角平分线的交点到三角形三边
所在直线的距离也是相等的.
4. 如图， AD ， CE 为△ABC 的角平分线且交于点 O ，
∠ DAC ＝30°，∠ ECA ＝35°，则∠ ABO 等于（ A ）
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 40°
（第4题）
A
5. 如图，有一块空闲的三角形土地，其三边长分别为
30 m，40 m，50 m，现在要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
（第5题）
解：如答案图，将△ ABC 分为△ ABP ，△ ACP ，△ BCP 三个小三角形，即可符合面积比为3∶4∶5.
（答案图）
