(共19张PPT)
第13章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
1. 轴对称图形的概念
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够 ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直
线就是它的 .这时，我们也说这个图形关于
这条直线（成轴）对称.
注意：①对称轴是一条直线（不能是线段或射线）；②
一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条甚
至无数条.
互相重合
对称轴
2. 轴对称的概念
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个
图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线（成
轴）对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点
是对应点，叫做 .
轴对称图形和轴对称的区别和联系总结如下表：
轴对称图形 两个图形成轴对称
区别 一个图形 两个图形
重合
对称轴
对称点
轴对称图形 两个图形成轴对称
联
系 ①沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能够
互相重合（即直线两旁的两部分全等）； ②都有对称轴（至少一条）； ③如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图
形，那么这两个图形关于这条直线（即对称轴）
对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图
形，那么这个图形是轴对称图形
3. 线段的垂直平分线的定义
经过线段 并且 于这条线段的直线，叫
做这条线段的垂直平分线.
中点
垂直
4. 轴对称图形和轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是
任何一对 所连线段的 .
（2）轴对称图形的对称轴，是任何一对 所
连线段的 .
注意：关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形
（对应边相等，对应角相等），而全等的两个图形不一
定成轴对称.
对应点
垂直平分线
对应点
垂直平分线
题型一 生活中的轴对称图形及对称轴的认识
（1）下列图片中，是轴对称图形的是（ D ）
D
（2）下列图形中， 是轴对称图形，其中只
有1条对称轴的是 ，有2条对称轴的是 ，有
3条对称轴的是 .（填序号）
① ② ③ ④ ⑤
①②③
①
③
②
1. （2023·湖南）下列图形中，是轴对称图形的是
（ D ）
A
B
C
D
D
2. 下列四个图形中，是轴对称图形且对称轴的条数为2
的图形的个数是（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第2题）
C
3. 如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成
了灰色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂
成灰色，与原来3个灰色方格组成的图形成为轴对称图
形，则符合要求的白色小正方形有 个.
（第3题）
4
题型二 轴对称图形和轴对称的联系和区别
请在下列这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在
规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形.
4. 图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数
为 .
（第4题）
2
5. 如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线 l 对
称，请在图中补全该字母，并写出这个英语单词
为 .
（第5题）
BOOK
题型三 轴对称和轴对称图形的性质
如图，已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线
MN 对称，∠ D ＝130°，∠ A ＋∠ B ＝155°， AD ＝
4 cm， EF ＝5 cm.
（1）求出 AB ， EH 的长度以及∠ G 的度数；
解：（1）∵∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＝360°，
∴∠ C ＝360°－155°－130°＝75°.
∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称，
∴ AB ＝ EF ＝5 cm， EH ＝ AD ＝4 cm，
∠ G ＝∠ C ＝75°.
（2）连接 AE ， DH ， AE 与 DH 平行吗？为什么？
解：（2） AE ∥ DH . 理由如下：
∵ A ， E 关于 MN 对称， D ， H 关
于 MN 对称，
∴ MN ⊥ AE ， MN ⊥ DH ，
∴ AE ∥ DH .
6. 如图，直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点 P 是直
线 MN 上的点，下列判断错误的是（ B ）
A. AM ＝ BM
C. ∠ MAP ＝∠ MBP
（第6题）
B
B. AP ＝ BN
D. ∠ ANM ＝∠ BNM
7. 如图，直线 m 是多边形 ABCDE 的对称轴，若∠ A ＝
130°，∠ B ＝110°，则∠ D 的度数为 ；若 AE ＝
2， AB ＝1， BC ＝3，则多边形 ABCDE 的周长
为 .
（第7题）
110°
10 (共21张PPT)
第13章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1. 线段的垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
.
图1
符号语言：
相
等
如图1，已知线段 AB ，∵直线 l ⊥ AB ，垂足为 C ，且 AC ＝ CB ，点 P 在直线 l 上，∴ PA ＝ PB .
2. 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
上.
符号语言：
如图2，∵ PA ＝ PB ，
∴点 P 在 AB 的垂直平分线 l 上.
注意：线段的垂直平分线可以看成是与
A ， B 两点的距离相等的点的集合.
垂
直平分线
图2
3. 尺规作图
（1）作已知线段的垂直平分线：
（2）过一点作已知直线的垂线：
已知点 P 在直线上时，如图1所示；
已知点 P 在直线外时，如图2所示.
题型一 线段的垂直平分线的性质的应用
（1）如图1，在△ ABC 中， DE 是线段 AC 的垂直
平分线，且分别交 BC ， AC 于点 D ， E ，∠ B ＝55°，
∠ C ＝40°，则∠ BAD 等于（ B ）
A. 40° B. 45°
图1
B
C. 50° D. 55°
（2）如图2，在△ ABC 中， AB 的垂直平分线分别交
AB ， BC 于点 D ， E ， AC 的垂直平分线分别交 AC ，
BC 于点 F ， G . 若 BG ＝8， CE ＝10，且△ AEG 的周长
为15，则 EG 的长为 .
图2
3
如图，在△ ABC 中， AC 的垂直平分线 DE 交 AC 于
点 E ，交∠ ABC 的平分线于点 D ， DF ⊥ BC 于点 F . 求
证： BC － AB ＝2 CF .
证明：如图，连接 DA ， DC ，过点 D 作 AB 的垂线交 BA 的延长线于点 G .
∵ BD 平分∠ ABC ， DF ⊥ BC ，
∴∠ ABD ＝∠ CBD ，∠ BGD ＝∠ BFD ＝90°， DG ＝ DF .
∴△ BDG ≌△ BDF （AAS）.∴ BG ＝ BF .
∵ DE 垂直平分 AC ，∴ DC ＝ DA .
在Rt△ DAG 与Rt△ DCF 中，
∴Rt△ DAG ≌Rt△ DCF （HL）.∴ AG ＝ CF .
∴ BC － AB ＝ BF ＋ CF －（ BG － AG ）＝ CF ＋ AG ＝
2 CF .
1. 如图，在△ ABC 中， BC 的垂直平分线分别交 AC ，
BC 于点 D ， E . 若△ ABD 的周长为13， BE ＝5，则
△ ABC 的周长为（ C ）
A. 14 B. 18
C. 23 D. 28
（第1题）
C
2. 如图，在四边形 ABCD 中， M ， N 分别是 CD ， BC 的
中点，且 AM ⊥ CD ， AN ⊥ BC .
（1）求证：∠ BAD ＝2∠ MAN ；
（1）证明：如图，连接 AC ，
∵ M 是 CD 的中点， AM ⊥ CD ，
∴ AM 是线段 CD 的垂直平分线，∴ AC ＝ AD .
又∵ AM ⊥ CD ， AM ＝ AM ，∴Rt△ ACM ≌Rt△ ADM （HL），∴∠3＝∠4.同理可得∠1＝∠2，
∴∠2＋∠3＝ ∠ BAD ，即∠ BAD ＝2∠ MAN .
（第2题）
（2）连接 BD ，若∠ MAN ＝70°，∠ DBC ＝40°，求
∠ ADC .
（2）解：∵ AM ⊥ CD ， AN ⊥ BC ，∠ MAN ＝70°，
∴∠ BCD ＝360°－90°－90°－70°＝110°，
∠ BAD ＝2∠ MAN ＝140°，
∴∠ BDC ＝180°－∠ DBC －∠ BCD ＝30°.
由（1）易得 AB ＝ AD ，
（第2题）
∴∠ ADB ＝∠ ABD ＝ （180°－∠ BAD ）＝20°，
∴∠ ADC ＝∠ ADB ＋∠ BDC ＝50°.
题型二 线段的垂直平分线的判定的应用
如图，Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， D 是 AB 上一
点， BD ＝ BC ，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E ，求
证： BE 垂直平分 CD .
证明：∵∠ ACB ＝90°， DE ⊥ AB ，
∴∠ ACB ＝∠ BDE ＝90°.
在Rt△ BDE 和Rt△ BCE 中，
∴Rt△ BDE ≌Rt△ BCE （HL），∴ ED ＝ EC .
∵ ED ＝ EC ， BD ＝ BC ，∴ BE 垂直平分 CD .
[方法点拨] 要证明一条直线是线段的垂直平分线，只需
证明直线上有两个点到该线段两端点的距离相等即可.
3. 如图，点 E ， F ， G ， Q ， H 在一条直线上，且 EF ＝
GH ，我们知道按如图所作的直线 l 为线段 FG 的垂直平
分线.下列说法正确的是（ A ）
A. l 是线段 EH 的垂直平分线
B. l 是线段 EQ 的垂直平分线
C. l 是线段 FH 的垂直平分线
D. EH 是 l 的垂直平分线
（第3题）
A
4. 如图，在△ ABC 中， EF 是 AB 的垂直平分线， MN 是
BC 的垂直平分线， EF 与 MN 相交于点 O . 求证：点 O 必
在 AC 的垂直平分线上.
（第4题）
证明：连接 AO ， BO ， CO .
∵ EF 垂直平分 AB ，点 O 在 EF 上，
∴ OA ＝ OB .
又∵ MN 垂直平分 BC ，点 O 在 MN 上，
∴ OB ＝ OC . ∴ OA ＝ OC .
∴点 O 必在 AC 的垂直平分线上.
题型三 尺规作图及在实际中的应用
（2023·陕西）如图，已知锐角△ ABC ，∠ B ＝
48°，请用尺规作图法，在△ ABC 内部求作一点 P ，使
PB ＝ PC ，且∠ PBC ＝24°.（保留作图痕迹，不写作
法）
解：如答案图，点 P 即为所求.
（答案图）
5. 如图，在△ ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B
和点 C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交
于点 M ， N ；②作直线 MN 交 AC 于点 D ，连接 BD . 若
AC ＝6， AD ＝2，则 BD 的长为（ C ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
（第5题）
C
6. 如图，点 C 在线段 AB 上， AD ∥ BE ， AC ＝ BE ， AD
＝ BC ， DE 交 AB 于点 G .
（第6题）
（1）尺规作图：过点 A 作线段 DE 的垂线交 DE 于点
F ；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
如答案图所示.
（答案图）
（2）求证： DF ＝ FG . 请将证明过程补充完整.
证明：∵ AD ∥ BE ，
∴① .
在△ ACD 和△ BEC 中，
∴△ ACD ≌△ BEC （SAS），
∴∠ ADC ＝② ， CD ＝ CE ，
∴③ ＝∠ CED ，
∠ DAB ＝∠ B
∠ BCE
∠ CDE
（第6题）
∴∠ ADC ＋∠ CDE ＝∠ BCE ＋∠ CED ，
∴∠ ADG ＝∠ AGD ，
∴④ .
∵ AF ⊥ DG ，
∴ DF ＝ FG .
AD ＝ AG
（第6题）(共27张PPT)
第13章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
1. 等边三角形的定义
的三角形叫做等边三角形.
2. 等边三角形的性质
（1）等边三角形的三边都 .
（2）等边三角形的三个内角都 ，并且每一个
角都等于 .
（3）等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分
线，分别互相 .
（4）等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴.
三边都相等
相等
相等
60°
重合
三
3. 等边三角形的判定
（1）根据定义：三边都 的三角形是等边三
角形.
（2）三个角都 的三角形是等边三角形.
（3）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
4. 三角形按边的分类方法
三角形
相等
相等
60°
题型一 等边三角形的性质的应用
△ ABC 为等边三角形，点 M 是 BC 边上任意一点，
点 N 是 CA 边上任意一点，且 BM ＝ CN ， BN 与 AM 相交
于点 Q ，求∠ BQM 的度数.
解：∵△ ABC 为等边三角形，
∴∠ ABC ＝∠ C ＝∠ BAC ＝60°， AB ＝ BC .
又∵ BM ＝ CN ，
∴△ AMB ≌△ BNC （SAS），
∴∠ BAM ＝∠ CBN ，
∴∠ BQM ＝∠ ABQ ＋∠ BAM ＝∠ ABQ ＋∠ CBN ＝
∠ ABC ＝60°.
如图，△ ABC 是等边三角形， D 为 BC 边上一个动
点（点 D 与点 B ， C 均不重合）， AD ＝ AE ，∠ DAE ＝
60°，连接 CE .
（1）求证：△ ABD ≌△ ACE ；
（1）证明：∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝60°.
∵∠ DAE ＝60°，
∴∠ BAD ＋∠ DAC ＝∠ CAE ＋∠ DAC ，
即∠ BAD ＝∠ CAE .
在△ ABD 和△ ACE 中，，
∴△ ABD ≌△ ACE （SAS）.
（2）求证： CE 平分∠ ACF ；
（2）证明：∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ B ＝∠ BCA ＝60°.
∵△ ABD ≌△ ACE ，
∴∠ ACE ＝∠ B ＝60°.
∴∠ ECF ＝180°－∠ ACE －∠ BCA ＝60°.
∴∠ ACE ＝∠ ECF . ∴ CE 平分∠ ACF .
（3）若 AB ＝2，当四边形 ADCE 的周长取最小值时，
求 BD 的长.
（3）解：∵△ ABD ≌△ ACE ，∴ BD ＝ CE .
∵ AD ＝ AE ，
∴四边形 ADCE 的周长＝ CE ＋ DC ＋ AD ＋
AE ＝ BD ＋ DC ＋2 AD ＝2＋2 AD .
∴当 AD ⊥ BC 时，即 D 为 BC 的中点时，
AD 的值最小，即四边形 ADCE 的周长取最小值.
∵ AB ＝ AC ＝ BC ＝2，∴ BD ＝ BC ＝ ×2＝1.
1. 下列关于等边三角形的说法中，不正确的是
（ C ）
A. 等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线都是它
的对称轴
B. 等边三角形是特殊的等腰三角形
C. 等边三角形与等腰三角形具有相同的性质
D. 等边三角形的三条角平分线的长度相等
C
2. 如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 B ， C ， D ， E
在同一直线上，且 CG ＝ CD ， DF ＝ DE ，则∠ E 的度
数为 .
（第2题）
15°
题型二 等边三角形的性质与判定的综合应用
如图，在等边△ ABC 中，点 P 在△ ABC 内，点 Q 在
△ ABC 外，且∠ ABP ＝∠ ACQ ， BP ＝ CQ ，问△ APQ
是什么形状的三角形？试证明你的结论.
解：△ APQ 为等边三角形.证明如下：
∵△ ABC 为等边三角形，
∴ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝60°.
又∵ BP ＝ CQ ，∠ ABP ＝∠ ACQ ，
∴△ ABP ≌△ ACQ （SAS），
∴ AP ＝ AQ ，∠ BAP ＝∠ CAQ .
∵∠ BAC ＝∠ BAP ＋∠ PAC ＝60°，
∴∠ PAQ ＝∠ CAQ ＋∠ PAC ＝60°，
∴△ APQ 是等边三角形.
在△ ABC 中， AC ＝ BC ， BC 边上的中垂线 DF 分
别交直线 BC ， AC 于点 D ， F . ∠ ACB 的平分线交直线
DF 于点 E ，连接 AE ， BE ， BF .
（1）如图1，当∠ ACB ＝30°时，
①求证：△ ABE 是等边三角形；
（1）①证明：∵∠ ACB ＝30°且 CE 平分∠ ACB ，
∴∠ ACE ＝∠ BCE ＝ ∠ ACB ＝15°.
在△ ACE 和△ BCE 中，
∴△ ACE ≌△ BCE （SAS），
∴ AE ＝ BE ，∴△ ABE 是等腰三角形.
∵ DF 是边 BC 的垂直平分线，∴ CE ＝ BE ，
∴∠ CBE ＝∠ BCE ＝15°.
∵在△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝30°，
∴∠ BAC ＝∠ ABC ＝ ×（180°－30°）＝75°，
∴∠ EBA ＝∠ ABC －∠ CBE ＝75°－15°＝60°，
∴△ ABE 是等边三角形.
②探究 AF ， BF ， EF 三条线段之间的数量关系，并
证明；
（答案图）
②解： AF ＋ EF ＝ BF . 证明如下：
如答案图，在边 FB 上取一点 G ，使 FG ＝ FE ，
∴△ EFG 是等腰三角形.
∵ DF 是边 BC 的垂直平分线，
∴ FC ＝ FB ，∠ FDB ＝90°，
∴∠ FCB ＝∠ FBC ＝30°，
∴△ EFG 是等边三角形，
∴ FE ＝ GE ，∠ FEG ＝60°.
∴∠ BFD ＝180°－90°－30°＝60°，
由①，知△ ABE 是等边三角形，
∴ AE ＝ BE ，∠ AEB ＝60°.
∵∠ AEF ＝∠ GEF －∠ AEG ，
∠ BEG ＝∠ BEA －∠ AEG ，
∴∠ AEF ＝∠ BEG .
在△ AEF 和△ BEG 中，
∴△ AEF ≌△ BEG （SAS），∴ AF ＝ BG ，
∴ AF ＋ EF ＝ BG ＋ FG ＝ BF .
（2）如图2，当∠ ACB ＝150°时，请直接写出线段
AF ， BF ， EF 三条线段之间的数量关系.
（2）解： AF ＋ BF ＝ EF .
[方法点拨] 判断一个三角形是等边三角形有三种方法：①证三边相等（定义法）；②证三个内角相等；③先证其为等腰三角形，再证它有一个内角为60°.
3. 如图，在△ ABC 中， AB ＝3， BC ＝5，∠ B ＝60°，
将△ ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到△ ADE ，当
点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时， CD 的长为 .
（第3题）
2
4. 如图，等边△ ABC 的边长为10，点 P 是边 AB 的中
点， Q 为 BC 延长线上一点， CQ ∶ BC ＝1∶2，过点 P
作 PE ⊥ AC 于点 E ，连接 PQ 交 AC 边于点 D ，则 DE 的
长为 .
（第4题）
5
5. 如图，在等边△ ABC 中， D ， E ， F 分别是各边上的
一点，且 AD ＝ BE ＝ CF . 求证：△ DEF 是等边三角形.
（第5题）
证明：∵△ ABC 为等边三角形，且 AD ＝ BE ＝ CF ，
∴ AF ＝ BD ＝ CE ，
∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°，
∴△ ADF ≌△ BED ≌△ CFE （SAS），
∴ DF ＝ ED ＝ EF ，
∴△ DEF 是等边三角形.
6. 如图，△ ABC 和△ CDE 都为等边三角形，点 E 在 BC
上， AE 的延长线交 BD 于点 F .
（1）求证： AE ＝ BD ；
（1）证明：∵△ ABC 和△ CDE 都为等边
三角形，
∴∠ ACE ＝∠ BCD ＝60°，
AC ＝ BC ， CE ＝ CD ，
∴△ ACE ≌△ BCD （SAS），
∴ AE ＝ BD .
（第6题）
（2）求∠ AFB 的度数；
（2）解：∵△ ACE ≌△ BCD ，
∴∠ CAE ＝∠ CBD .
又∵∠ AEC ＝∠ BEF ，
∴∠ AFB ＝∠ ACB ＝60°.
（第6题）
（3）连接 CF ，求证： CF 平分∠ AFD ；
（3）证明：如答案图1，作 CM ⊥ AF 于点
M ， CN ⊥ DF 于点 N .
∵△ ACE ≌△ BCD ，
∴ S△ ACE ＝ S△ BCD ， AE ＝ BD ，
∴ AE · CM ＝ BD · CN ，
∴ CM ＝ CN ，
∴ CF 平分∠ AFD .
（第6题）
（答案图1）
（4）探究 EF ， DF ， CF 之间的数量关系，并证明.
（4）解： EF ＋ DF ＝ CF . 证明如下：
如答案图2，连接 CF ，延长 AF 到点 Q ，使
FQ ＝ DF ，连接 DQ .
∵∠ AFB ＝∠ ACB ＝60°，
∴∠ DFQ ＝60°，
∴△ DFQ 是等边三角形，
（第6题）
（答案图2）
∴ DQ ＝ DF ，∠ FDQ ＝∠ CDE ＝60°，
∴∠ CDF ＝∠ EDQ .
又∵ CD ＝ DE ， DF ＝ DQ ，
∴△ CDF ≌△ EDQ （SAS），∴ CF ＝ EQ .
∴ EF ＋ DF ＝ EF ＋ FQ ＝ EQ ＝ CF .(共13张PPT)
第13章 轴对称
13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
1. 作对称点的依据
连接任意一对对应点的线段被对称轴 ，
利用这一性质可以作出任意一点关于对称轴对称的对
称点.
2. 画轴对称图形的方法
几何图形都可以看作由点组成.对于某些特殊图形，只
要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的
，连接这些 ，就可以得到原图形的轴对
称图形.即作轴对称图形 作对称点.
垂直平分
对称
点
对称点
3. 画轴对称图形的步骤
（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；
（2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点；
（3）连——依次连接各对称点.
题型一 作已知图形的轴对称图形
已知：△ ABC 和过点 A 的直线 MN （如图）.
求作：△A'B'C'，使△A'B'C'与△ ABC 关于 MN 对称.
（写出作法）
解：作法：①过点 B 作 BD ⊥ MN ，垂足为 D ，延长 BD
到点B'，使DB'＝ BD ，得到点 B 的对称点B'；
②同理，作点 C 的对称点C'；
③因为点 A 在对称轴 MN 上，所以点 A 的对称点A'与点
A 重合；
④连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'就是所求作的三角形.（如答案图所示）
（答案图）
1. 画出△ ABC 关于直线 l 的对称图形.
（第1题）
解：答案如图所示.
2. 如图，分别以直线 l 为对称轴，将数字作轴对称变
换，作出变换后所得的图形.
（第2题）
解：画图略.
题型二 利用轴对称变换设计简单图案
正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求
种植的花卉能组成轴对称图形.下面是两种不同设计方
案中的一部分，请把图1、图2补成轴对称图形，并画出
一条对称轴（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影
部分表示两种不同颜色的花卉）.
图1 图2
解：答案如图所示
（答案不唯一）.
3. 在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示3×3的
正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图
形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，
如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要
剪掉的部分）.
请在图3中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪
掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例
图除外）.
解：答案如图3所示.（答案不唯一）
（第3题）
题型三 镜子中的对称
小明从镜子中看到对面电子钟的示数如图所示，这
时的实际时刻应是 .
10：51
[思维点拨] 若镜子里是数字电子钟（如题），则使用对
称的方式获取正确时间，或从纸的背面看，获取实际时
间；若镜子里是指针时钟，可用对称的方式或从背面
看，也可以用12：00减去从镜子里看到的时间，获取实
际时间.
4. 如图，小芳在镜子里看到镜子对面指针时钟的示数是
2：35，则现在的实际时间是 .
（第4题）
9：25 (共17张PPT)
第13章 轴对称
13.2 画轴对称图形
第2课时 用坐标表示轴对称
1. 用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特点：
（1）点（ x ， y ）关于 x 轴对称的点的坐标为
；
（2）点（ x ， y ）关于 y 轴对称的点的坐标为
；
（ x ，
－ y ）
（－ x ，
y ）
（3）已知两个点的坐标分别为 P1（ x1， y1）， P2
（ x2， y2），若 x1＝ x2， y1＋ y2＝0，则点 P1， P2关于 x
轴对称；若 x1＋ x2＝0， y1＝ y2，则点 P1， P2关于 y 轴对
称.反之也成立.
2. 在坐标系中画轴对称图形的方法
（1）计算——计算对称点的坐标；
（2）描点——根据对称点的坐标描点；
（3）连接——依次连接所描的各点得到成轴对称的
图形.
题型一 求一个点关于 x （或 y ）轴或直线
x ＝ m （或 y ＝ n ）对称的点的坐标
（1）点 M （－2，1）关于 x 轴对称点 N 的坐标
是 ，关于 y 轴对称点 Q 的坐标
是 ；
（2）若点 A （1＋ m ，2）与点 B （－3，1－ n ）关于 y
轴对称，则 m ＋ n 的值是 ；
（－2，－1）
（2，1）
1
（3）点 P （1，2）关于直线 y ＝1对称的点的坐标
是 ，关于直线 x ＝－2对称的点的坐标
是 .
[规律点拨] 通过在坐标系中寻找对称的规律，我们还可
以得到如下结论：
①点 P （ x0， y0）关于直线 x ＝ m 对称的点的坐标为（2
m － x0， y0）；
②点 P （ x0， y0）关于直线 y ＝ n 对称的点的坐标为
（ x0，2 n － y0）.
（1，0）
（－5，2）
1. 在平面直角坐标系中，点 A （2，1）与点 B 关于 x 轴
对称，则点 B 的坐标是（ A ）
A. （2，－1） B. （－2，1）
C. （－2，－1） D. （2，1）
A
2. 如果 A （ a －1，3）， B （4， b －2）关于 x 轴对称，
则 a ＝ ， b ＝ ；若关于 y 轴对称，则 a
＝ ， b ＝ ；若关于直线 x ＝1对称，则 a
＝ ， b ＝ .
5
－1
－3
5
－1
5
题型二 在平面直角坐标系中利用坐标轴
的对称性作轴对称图形
如图，△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A （1，1）， B （4，2）， C （3，4）.
（1）作出与△ ABC 关于 y 轴对称的
△ A1 B1 C1，并写出三个顶点的坐标为： A1（ ）， B1（ ）， C1（ ）；
解：（1） A1（－1，1）； B1
（－4，2）； C1（－3，4）.作
图如图所示.
（2）在 x 轴上找一点 P ，使 PA ＋ PB 的值最小，请直接
写出点 P 的坐标；
解：（2）如图，找出点 A 的对
称点A'（1，－1），连接BA'，
与 x 轴交点即为 P ，点 P 的坐标
为（2，0）.
（3）在 y 轴上是否存在点 Q ，使得 S△ AOQ ＝ S△ ABC ？如
果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由.
解：（3）设存在点 Q ，使得
S△ AOQ ＝ S△ ABC ，
如图，过点 A 作 AD ⊥ y 轴于点 D ，
设点 Q 的坐标为（0， y ），则
OQ ＝ ， AD ＝1，
S△ ABC ＝3×3－ ×3×1－ ×2×1－ ×3×2＝ .
由题意，得 × ×1＝ × ，
解得 y ＝ 或 y ＝－ ，
∴点 Q 的坐标为 或 .
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个顶点
坐标分别是 A （－3，1）， B （－1，－2）， C （2，
4），其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
（1）请画出与△ ABC 关于 y 轴对称
的△ A1 B1 C1；
（第3题）
（答案图）
解：（1）如答案图所示，△ A1 B1 C1
为所求作.
（2）在（1）问的条件下，若 P （ a ， b ）是△ ABC 中
AB 边上的一点，则点 P 在△ A1 B1 C1中对应点的坐标
为 ；
（－ a ， b ）
（3）求△ A1 B1 C1的面积.
解：（3）如图所示，过点 B1作
与 x 轴平行的直线，过点 A1作 A1 E ⊥
EF 于点 E ，过点 C1作 C1 F ⊥ EF 于点
F .
＝ － －
＝ － － ＝ .(共31张PPT)
第13章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
1. 最短路径问题
（1）两点之间， 最短；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中， 最短.
2. 图形的轴对称及平移的性质
（1）连接任意一对对称点所得的线段被对称轴
；
（2）图形的平移过程中，对应线段之间的关系是
.
线段
垂线段
垂直
平分
平
行（或在一条直线上）且相等
3. 模型解读
模型一：两定一动型
类型1：如图1，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到
异侧两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA ＋ PB 最小.
作法：连接 AB ，与定直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的
点，即当动点 P 运动到点 Q 处， PA ＋ PB
最小，且最小值等于 AB .
原理：两点之间，线段最短.
图1
类型2：如图2，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到
同侧两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA ＋ PB 的和
最小.
作法：作定点 B 关于定直线 l 的对称点 C ，
连接 AC ，与定直线 l 的交点 Q 即为所要
寻找的点，即当动点 P 运动到点 Q 处，
PA ＋ PB 最小，且最小值等于 AC .
原理：两点之间，线段最短.
图2
模型二：两动一定型
类型3：如图3，在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C ，使得△ ABC 的周长最小.
作法：作点 A 关于 OM 的对称点A'，作点 A 关于 ON 的对称点 A ″，连接A'A″，与 OM 交于点 B ，与 ON 交于点 C ，连接 AB ， AC ，△ ABC 即为所求.
图3
模型三：两定两动型
类型4：如图4，在∠ MON 的内部有 A ， B 两点，在 OM
上找一点 C ，在 ON 上找一点 D ，使得四边形 ABDC 的
周长最小.
作法：作点 A 关于 OM 的对称点A'，作点
B 关于 ON 的对称点B'，连接A'B'，与 OM
交于点 C ，与 ON 交于点 D ，连接 AC ，
BD ， AB ，四边形 ABDC 即为所求.
图4
类型5：如图5，已知 A ， B 是两个定点，在定直线 l 上
找两个动点 M 与 N ，且 MN 长度等于定长 d （动点 M 位
于动点 N 左侧），使 AM ＋ MN ＋ NB 的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移.
图5
作法一：将点 A 向右平移 d 个单位长度得到点 A '，作点
A '关于定直线 l 的对称点 A ″，连接 A ″ B ，交定直线 l 于
点 N ，将点 N 向左平移 d 个单位长度，得到点 M .
作法二：作点 A 关于定直线 l 的对称点 A1，将点 A1向右
平移 d 个单位长度得到点 A2，连接 A2 B ，交定直线 l 于
点 N ，将点 N 向左平移 d 个单位长度，得到点 M .
类型6：（造桥选址）如图6，直线 l1∥ l2，点 A ， B 分别
在直线 l1， l2的两侧.在直线 l1上找一点 C ，直线 l2上找一
点 D ，使得 CD ⊥ l2，且 AC ＋ BD ＋ CD 的值最小.
图6
作法：将点 A 沿 CD 方向向下平移 CD 长度至点 A '，连接 A ' B ，交 l2于点 D ，过点 D 作 DC ⊥ l2，交 l1于点 C ，连接 AC ，则桥 CD 即为所求，此时最小值为 A ' B ＋ CD .
模型四：垂线段最短型
类型7：如图7，在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C ，使得 AB ＋ BC 的值最小.
作法：作点 A 关于 OM 的对称点A'，过点A'作A'C⊥ ON ，交 OM 于点 B ，则点 B ， C 即为所求.
图7
类型8：如图8，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到
两个定点 A 与 B 的距离之差最小，即 最小.
作法：连接 AB ，作 AB 的中垂线，与直线 l 的交点 P 即
为所求点，此时 ＝0.
图8
模型五：线段差最大问题
类型9：如图9，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点
P 到同侧两个定点 A 与 B 的距离之差最大，即
最大.
作法：延长 BA 交直线 l 于点 P ，点 P 即为
所求，即 B ， A ， P 三点共线时，最大值
为 AB 的长度.
图9
类型10：如图10，在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P
到异侧两个定点 A 与 B 的距离之差最大，即
最大.
作法：作点 B 关于 l 的对称点B'，连接
AB'，交直线 l 于点 P ，则点 P 即为所求，
最大值为AB'的长度.
图10
题型一 将军饮马——两定一动求线段和的最小值
如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，
点 C 在直线 MN 上，∠ BCN ＝30°，点 P 为 MN 上一动
点，连接 AP ， BP . 当 AP ＋ BP 的值最小时，∠ CBP 的
度数为 .
15°
[分析]如答案图，作点 B 关于 MN 的对称点 D ，连接 AD
交 MN 于点 P ，连接 BP ， CD . 由对称性可知， BC ＝
CD ，∠ CBP ＝∠ CDP ，∠ BCN ＝∠ DCN ，由此可以
判断出△ BCD 的形状，进而求得∠ ACD 的度数，由 AC
＝ BC ＝ CD 可求得∠ CDP 的度数，即∠ CBP 的度数.
（答案图）
1. 如图，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别为 AD ， BC 的
中点， P 为对角线 BD 上的一个动点，则下列线段的长
等于 AP ＋ EP 最小值的是（ D ）
A. AB B. DE
C. BD D. AF
（第1题）
D
题型二 将军饮马——两动一定求线段和的最小值
如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ ABC ＝
30°， AC ＝2，以 BC 为边向左作等边△ BCE ，点 D 为
AB 的中点，连接 CD ，点 P ， Q 分别为 CE ， CD 上的
动点.
（1）求证：△ ADC 为等边三角形；
（1）证明：∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝
90°，∠ ABC ＝30°， AC ＝2，∴∠ BAC ＝
60°， AB ＝2 AC ＝4.
∵点 D 为 AB 的中点，
∴ AD ＝ BD ＝ AB ＝2，
∴ AD ＝ AC ，
∴△ ADC 是等边三角形.
（2）求 PD ＋ PQ ＋ QE 的最小值.
（2）解：如答案图，连接 PA ， QB .
∵△ BCE 和△ ADC 都是等边三角形，
∴∠ BCE ＝60°，∠ ACD ＝60°，
∴∠ ACE ＝∠ ACB －∠ BCE ＝30°
＝ ∠ ACD ，
∴ CE 垂直平分 AD ，∴ PA ＝ PD .
（答案图）
同理可得， CD 垂直平分 BE ，∴ QB ＝ QE ，
∴ PD ＋ PQ ＋ QE ＝ PA ＋ PQ ＋ QB ，
由两点之间线段最短可知，当点 A ， P ， Q ， B 共线
时， PA ＋ PQ ＋ QB 取得最小值为 AB 的长，
故 PD ＋ PQ ＋ QE 的最小值为4.
2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝10，△ ABC 的面积是
40， AD 是∠ BAC 的平分线.若 P ， Q 分别是 AD 和 AC 上
的动点，则 PC ＋ PQ 的最小值是 .
（第2题）
8
3. 已知∠ AOB ＝30°，点 P 在∠ AOB 的内部， OP ＝4，
OA 上有一点 M ， OB 上有一点 N ，当△ MNP 的周长取
最小值时，∠ MPN ＝ °，△ MNP 的周长
为 .
（答案图）
120
4
提示：如答案图，作点 P 关于直线 OA 的对称点P'，作点 P 关于直线 OB 的对称点 P ″，连接P'P″，交 OA 于点 M ，交 OB 于点 N ，则此时△ MNP 的周长最小.
题型三 将军饮马——两动两定求线段和的最小值
如图，点 A 在 y 轴上， G ， B 两点在 x 轴上，且 G
（－3，0）， B （－2，0）， HC 与 GB 关于 y 轴对称，
∠ GAH ＝60°， P ， Q 分别是 AG ， AH 上的动点，则 BP
＋ PQ ＋ CQ 的最小值是（ B ）
B
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
[分析]如答案图，分别作 B ， C 关于 AG 和 AH 对称的点
B'，C'，连接 BP ， CQ ，B'P，C'Q， PQ ，得出 BP ＋
PQ ＋ CQ 的最小值为B'C'的长，再依据等边三角形的性
质和判定以及轴对称的性质分别求得B'P＋ PN 和C'Q＋
QN 的值即可求解.
（答案图）
4. 如图，角形铁架∠ MON 小于60°， A ， D 分别是
OM ， ON 上的点，为实际应用的需要，需在 ON 和
OM 上各找点 B ， C ，使 AB ＋ BC ＋ CD 最小，则应
如何找？
（第4题）
解：如答案图，利用对称性“化折为直”，分别作出点
A ， D 关于 ON ， OM 的对称点A'，D'，连接A'D'分别与
ON ， OM 交于点 B ， C ，则 B ， C 两点即为所求的点.
（答案图）
题型四 将军饮马——线段差的最大值
如图所示， A ， B 两点在直线 l 的两侧，在 l 上找一
点 C ，使点 C 到点 A ， B 的距离之差最大，并说明理由.
解：如答案图所示，以直线 l 为对称轴，作点 A 关于直
线 l 的对称点A'，A'B的连线交直线 l 于点 C ，则点 C 即
为所求.理由如下：
在直线 l 上任找一点C'（异于点 C ），
连接 CA ， C ' A ， C ' A '， C ' B .
∵点 A ，A'关于直线 l 对称，
∴直线 l 为线段AA'的垂直平分线，
则有C'A＝C'A'， CA ＝CA'.
（答案图）
在△A'BC'中，C'A'－C'B＜A'B，
∴ C ' A － C ' B ＜ CA － CB .
∴ CA － CB ＝ CA '－ CB ＝ A ' B .
5. 如图，在等边△ ABC 中， E 是 AC 边的中点， P 是
△ ABC 的中线 AD 上的动点，且 AB ＝6，则 BP － PE
的最大值是 .
（第5题）
3
6. 如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝8， AC 与 BD 交于点
O ， N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM ＝6， P 为
对角线 BD 上一点，则 PM － PN 的最大值为 .
（第6题）
2 (共27张PPT)
第13章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1. 等腰三角形的定义
有 相等的三角形叫做等腰三角形.
符号语言：
如图1，∵ AB ＝ AC ，
∴△ ABC 是等腰三角形.
两边
注意：在等腰三角形中，相等的两边都叫做 ，另
一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底
边的夹角都叫做 .
腰
底边
顶角
底角
2. 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）；
符号语言：
如图2，在△ ABC 中，
AB ＝ AC ，
∴∠ B ＝∠ C （等边对等角）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
上的高相互重合（简写成“三线合一”）.
符号语言：
如图2，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ＝ DC ，
∴ AD ⊥ BC ，∠ BAD ＝∠ CAD （三线合一）.
或在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，
∴ BD ＝ DC ，∠ BAD ＝∠ CAD （三线合一）.
或在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAD ＝∠ CAD ，
∴ BD ＝ DC ， AD ⊥ BC （三线合一）.
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角
平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
题型一 利用等腰三角形的性质进行角度计算或证明
（1）等腰三角形的一个外角为100°，那么它的底
角为（ C ）
A. 50° B. 80°
C. 50°或80° D. 无法确定
C
（2）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人
提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分
任意角.如图2，这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA ，
OB 组成，两根棒在点 O 相连并可绕点 O 转动，点 C 固
定， OC ＝ CD ＝ DE ，点 D ， E 可在槽中滑动.若∠ BDE
＝75°，则∠ CDE 的度数是（ D ）
D
A. 60° B. 65°
C. 75° D. 80°
证明：∵ AE ＝ BE ，∴∠ EAB ＝∠ EBA . ∵ AB ∥ DC ，
∴∠ DEA ＝∠ EAB ，∠ CEB ＝∠ EBA .
∴∠ DEA ＝∠ CEB . ∵点 E 是 CD 的中点，∴ DE ＝ CE .
在△ ADE 和△ BCE 中，，
∴△ ADE ≌△ BCE （SAS）.∴∠ D ＝∠ C .
（3）如图3，在四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ，点 E 是
CD 的中点， AE ＝ BE . 求证：∠ D ＝∠ C .
图3
[方法点拨] 当角的关系较多时，常设较小角为 x ，其他
角用含 x 的式子表示，然后观察图形，寻找隐含条件，
如三角形内角和为180°等来建立方程，从而得解.
1. 如图，在△ ABC 中，点 D 为边 AC 上一点，且 AB ＝
DB ＝ DC ，∠ C ＝40°，则∠ ABD 的度数是（ A ）
A. 20° B. 40°
（第1题）
A
C. 60° D. 80°
2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D ， E 分别是 AC ，
AB 上的点，且 BC ＝ BD ， AD ＝ DE ＝ EB ，则∠ A 的度
数为 .
（第2题）
45°
3. 如图，在△ ABC 中，点 E 在 AB 上，连接 CE ，满足
AC ＝ CE ，线段 CD 交 AB 于点 F ，连接 AD .
（1）若∠ DAF ＝∠ BCF ，∠ ACD ＝∠ BCE ，求证：
AD ＝ BE ；
（第3题）
（1）证明：∵∠ D ＋∠ DAF ＝∠ BCF ＋∠ B ，
∠ DAF ＝∠ BCF ，∴∠ D ＝∠ B .
在△ ACD 和△ ECB 中，
∴△ ACD ≌△ ECB （AAS）.
∴ AD ＝ BE .
（第3题）
（2）若∠ ACD ＝24°， EF ＝ CF ，求∠ BAC 的度数.
（2）解：∵ AC ＝ CE ，∴∠ AEC ＝∠ BAC .
∵ EF ＝ CF ，∴∠ AEC ＝∠ ECF .
∴∠ AEC ＝∠ ECF ＝∠ BAC .
在△ ACE 中，∠ AEC ＋∠ BAC ＋∠ ACE
＝180°，即∠ AEC ＋∠ BAC ＋∠ ECF ＋
∠ ACD ＝180°，
∴3∠ BAC ＋∠ ACD ＝180°，∴∠ BAC ＝52°.
（第3题）
题型二 利用等腰三角形的性质进行线段计算或证明
（1）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为
3cm，则该等腰三角形的底边长为 ；
3cm
①当12是腰长与腰长一半时，
AC ＋ AC ＝12，解得 AC ＝8，
∴底边长＝9－ ×8＝5，
此时三边为8，8，5，能构成三角形；
解：根据题意，
（2）在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，一边上的中线 BD 将
这个三角形的周长分为12和9两个部分，则该等腰三角
形的底边长为多少？
②当9是腰长与腰长一半时，
AC ＋ AC ＝9，解得 AC ＝6，
∴底边长＝12－ ×6＝9，
此时三边为6，6，9，能构成三角形.
∴该等腰三角形的底边长为5或9.
4. 如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝36°，将
△ ABC 中的∠ A 沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处.若
AE ＝ ，则 BC 的长是 .
（第4题）
5. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D ， E 是 BC 边上的
点，且 BD ＝ CE ，求证： AD ＝ AE .
（第5题）
证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C .
在△ ABD 和△ ACE 中，
∴△ ABD ≌△ ACE （SAS），
∴ AD ＝ AE .
题型三 利用“三线合一”作辅助线进行计
算或证明
已知：如图，在△ ABC 中， AB ＝2 AC ，∠1＝
∠2， DA ＝ DB . 求证： DC ⊥ AC .
证明：如答案图，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E .
∵ DA ＝ DB ， DE ⊥ AB ，
∴ AE ＝ EB ＝ AB ，∠ AED ＝90°.
（答案图）
∵ AB ＝2 AC ，
∴ AC ＝ AB .
∴ AC ＝ AE .
在△ ACD 和△ AED 中，
∴△ ACD ≌△ AED （SAS）.
∴∠ ACD ＝∠ AED ＝90°.∴ DC ⊥ AC .
[方法点拨] 遇“等腰三角形”常作辅助线构造全等三角
形，再利用全等三角形的性质解题，这是一种非常重要
的方法，注意掌握.
6. 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ， CE 为△ ABC 的中
线， BD 为 AC 边上的高， BF 平分∠ CBD 交 CE 于点
G ，交 AC 于点 F ，连接 AG 交 BD 于点 M . 若∠ AFG ＝
63°，则∠ AMB 的度数为 .
（第6题）
117°
7. 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°，点 E
是 AB 边的中点，点 F ， G 分别在 AC ， BC 上，且 EF ⊥
EG .
（1）求证： AF ＝ CG ；
（1）证明：如图，连接 CE .
∵ AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°，点 E 是 AB 边
的中点，
∴∠ A ＝∠ B ＝45°， AE ＝ BE ＝ CE ，
∠ AEC ＝∠ BEC ＝90°.
（第7题）
∴∠ ECG ＝45°＝∠ A .
∵ EF ⊥ EG ，
∴∠ FEG ＝∠ FEC ＋∠ CEG ＝90°.
∵∠ AEC ＝∠ AEF ＋∠ FEC ＝90°，
∴∠ AEF ＝∠ CEG .
在△ AEF 和△ CEG 中，
∴△ AEF ≌△ CEG （ASA），∴ AF ＝ CG .
（第7题）
（2）若 AC ＝4，求四边形 CFEG 的面积.
（2）解：由（1）知，△ AEF ≌△ CEG ，
∴ S△ AEF ＝ S△ CEG ，
∴ S四边形 CFEG ＝ S△ CEF ＋ S△ CEG ＝ S△ CEF ＋
S△ AEF ＝ S△ ACE ＝ S△ ABC ＝ AC · BC ＝4.
（第7题）(共13张PPT)
第13章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第2课时 “30°角所对直角边等于斜边的一半”的运用
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于 .
符号语言：
如图，在Rt△ ABC 中，∵∠ C ＝90°，
∠ A ＝30°，∴ BC ＝ AB .
斜边的一半
注意：该性质反过来说也成立，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
题型一 利用“30°角所对直角边等于斜边的一半”进行
计算
如图， E 是∠ AOB 的平分线上的一点， EC ⊥
OB ， ED ⊥ OA ，垂足分别为 C ， D ，连接 CD 交 OE 于
点 F . 若∠ AOB ＝60°.
（1）求证：△ OCD 是等边三角形；
（1）证明：∵点 E 是∠ AOB 的平分线
上的一点， EC ⊥ OB ， ED ⊥ OA ，
∴ DE ＝ CE .
在Rt△ ODE 和Rt△ OCE 中，
∴Rt△ ODE ≌Rt△ OCE （HL）.∴ OD ＝ OC .
∵∠ AOB ＝60°，∴△ OCD 是等边三角形.
（2）若 EF ＝5，求线段 OE 的长.
（2）解：∵△ OCD 是等边三角形， OE
平分∠ AOB ，
∴ OE ⊥ DC ，∠ ODF ＝60°.
∵ ED ⊥ OA ，
∴∠ EDF ＝90°－∠ ODF ＝30°.
∴ DE ＝2 EF ＝10.∵∠ AOB ＝60°，
∴∠ AOE ＝∠ BOE ＝ ∠ AOB ＝30°，
∴ OE ＝2 DE ＝20.
1. 如图，在Rt△ ABC 中， CM 平分∠ ACB 交 AB 于点
M ，过点 M 作 MN ∥ BC 交 AC 于点 N ，且 MN 平分
∠ AMC . 若 AN ＝1，则 BC 的长为（ B ）
A. 4 B. 6
（第1题）
B
C. 8 D. 10
2. （1）如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， DE 垂直平分
AB ，交 BC 于点 E ，垂足为 D ，连接 AE . 若 BE ＝6cm，
∠ B ＝15°，则 AC ＝ cm；
[第2（1）题]
3
（2）如图1所示的是某超市入口的双翼闸门，当它的双
翼展开时，如图2，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离
为12cm，双翼的边缘 AC ＝ BD ＝62cm，且与闸机侧立
面夹角∠ ACP ＝∠ BDQ ＝30°.当双翼收起时，则可以通
过闸机的物体的最大宽度为 cm.
74
[第2（2）题]
题型二 利用“30°角所对直角边等于斜边的一半”进行
证明
如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ C ＝30°， AB ⊥
AD ， DE ⊥ AC .
（1）求证： AE ＝ EC ；
（1）证明：∵ AB ＝ AC ，∠ C ＝30°，
∴∠ B ＝30°，∠ BAC ＝120°.
∵ AB ⊥ AD ，
∴∠ DAC ＝30°，
∴∠ DAC ＝∠ C ，∴ DA ＝ DC .
∵ DE ⊥ AC ，∴ AE ＝ EC .
（2）若 DE ＝2，求 BC 的长.
（2）解：∵∠ C ＝30°， DE ⊥ AC ，
∴ DC ＝2 DE ＝4.
∵ AB ⊥ AD ，∠ B ＝30°，
∴ BD ＝2 AD ＝2 DC ＝8，
∴ BC ＝ BD ＋ DC ＝12.
3. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 边上的点，
DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为 E ， F ，∠ BAC ＝
120°.求证： DE ＋ DF ＝ BC .
（第3题）
证明：在△ ABC 中， AB ＝ AC ，
∠ BAC ＝120°，
∴∠ B ＝∠ C ＝30°.
∵ DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，
∴ DE ＝ BD ， DF ＝ CD .
∴ DE ＋ DF ＝ （ BD ＋ CD ）＝ BC .
（第3题）(共10张PPT)
第13章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时 作对称轴
1. 轴对称图形的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一
对对称点所连线段的 ；或者说，轴对称
图形的对称轴，是任何一对对称点所连 的垂直
平分线.
注意：这个性质实际上体现了线段垂直平分线的尺规作
图，我们也可以用此法确定线段中点.
垂直平分线
线段
2. 用尺规法作轴对称图形的对称轴的基本步骤
（1）找出（任意）一对对称点；
（2）作对称点的连线段；
（3）作出连线段的垂直平分线.
题型一 作简单几何图形的对称轴
画出下面各图形所有的对称轴.
解：答案如图所示.
[规律点拨] 当一个图形的对称轴的条数超过1条时，各
对称轴往往交于一点.
1. 下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是
（ A ）
A. ①② B. ②③
C. ②④ D. ③④
（第1题）
A
2. 画出下面各图形所有的对称轴.
① ② ③ ④
（第2题）
解：画图略.
题型二 折叠中的轴对称
（1）将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中
①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁
剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是
（ A ）
A
（2）如图，将△ ABC 三个角分别沿 DE ， HG ， EF 翻
折，三个顶点均落在点 O 处，则∠1＋∠2的度数
为 .
180°
3. 动手折一折：将一张正方形纸片按下列图示对折3次
得到图③，再如图④，在 AC 边上取一点 D ，使 AD ＝
AB ，沿虚线 BD 剪开，展开△ ABD 所在部分得到一个正
多边形，则这个正多边形的一个内角的度数是 .
（第3题）
135°
4. 如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A
落在 CD 边上的点 G 处，点 B 落在点 H 处.若∠ FIH ＝
40°，则图中∠ BFE 的度数为 .
（第4题）
115° (共18张PPT)
第13章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
1. 等腰三角形的判定（一）：
用等腰三角形的定义判定.
符号语言：
如图，∵ AB ＝ AC ，
∴△ ABC 是等腰三角形.
2. 等腰三角形的判定（二）：
用垂直平分线的性质判定.
符号语言：
如图，在△ ABC 中，∵ AD ⊥ BC ， BD ＝ CD ，
∴ AB ＝ AC .
3. 等腰三角形的判定（三）：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边
也相等（简写成“等角对等边”）.
符号语言：
如图，在△ ABC 中，∵∠ B ＝∠ C ，
∴ AB ＝ AC （等角对等边）.
4. 思考：分别找出下图中的等腰三角形：
△ ABP 、△ ABC 、△
APC
△ ABC 、△ ABE 、△ BCE
已知：∠ ABC 和∠ ACB 的平分线交于点 O ，过点 O 作 EF ∥ BC 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ，
则 为等腰三角形.
△ BEO 和△ CFO
题型一 等腰三角形的判定
如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD 是 AB 边上
的高， AE 是∠ BAC 的平分线， AE 与 CD 交于点 F ，求
证：△ CEF 是等腰三角形.
证明：∵在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，
∴∠ B ＋∠ BAC ＝90°.
∵ CD 是 AB 边上的高，
∴∠ ACD ＋∠ BAC ＝90°，∴∠ B ＝∠ ACD .
∵ AE 是∠ BAC 的平分线，
∴∠ BAE ＝∠ EAC ，
∴∠ B ＋∠ BAE ＝∠ ACD ＋∠ EAC ，
即∠ CEF ＝∠ CFE ，
∴ CE ＝ CF ，∴△ CEF 是等腰三角形.
[方法点拨] “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依
据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形
中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立.
1. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的平分线交于
点 E ，过点 E 作 MN ∥ BC 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N .
若 BM ＋ CN ＝9，则线段 MN 的长为（ D ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
（第1题）
D
证明：∵ BA ＝ BC ，∴∠ A ＝∠ C .
∵ DF ⊥ AF ，
∴∠ A ＋∠ AEF ＝90°，∠ C ＋∠ D ＝90°.
∴∠ AEF ＝∠ D . ∵∠ DEB ＝∠ AEF ，
∴∠ D ＝∠ DEB . ∴ BD ＝ BE .
∴△ DBE 是等腰三角形.
2. 如图，已知在△ ABC 中， BA ＝ BC ，点 D 是 CB 延长
线上一点， DF ⊥ AC ，垂足为 F ， DF 和 AB 交于点 E .
求证：△ DBE 是等腰三角形.
（第2题）
题型二 等腰三角形的性质与判定的综合应用
如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点
D ，点 E 是 BC 的中点，线段 EF ∥ AD 交线段 AB 于点
G ，交线段 CA 的延长线于点 F .
（1）若 CF ＝6， AG ＝2，求 AC 的长；
（1）解：∵ AD 平分∠ BAC ，
∴∠ BAD ＝∠ CAD . ∵ EF ∥ AD ，
∴∠ CAD ＝∠ F ，∠ BAD ＝∠ AGF ，
∴∠ F ＝∠ AGF ，
∴ AF ＝ AG ＝2.
∴ AC ＝ CF － AF ＝6－2＝4.
（2）求证： BG ＝ CF .
（2）证明：如答案图，延长 FE 至点
H ，使 EH ＝ EF ，连接 BH .
∵点 E 是 BC 的中点，
∴ BE ＝ CE .
在△ BEH 和△ CEF 中，
（答案图）
∴△ BEH ≌△ CEF （SAS），
∴ FC ＝ HB ，∠ F ＝∠ H .
由（1），知∠ F ＝∠ AGF ＝∠ BGH ，
∴∠ H ＝∠ BGH ，∴ BG ＝ BH ，
∴ BG ＝ CF .
3. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝74°，边 AC 的垂直平分线
交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E . 若 AB ＋ BD ＝ BC ，则
∠ BAC 的度数为（ B ）
A. 74° B. 69°
（第3题）
B
C. 65° D. 60°
4. 如图，点 E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上，点 D 在 AB
边上， DE 交 BC 于点 F ， DF ＝ EF ， BD ＝ CE . 求证：
△ ABC 是等腰三角形.
（第4题）
证明：如图，过点 D 作 DG ∥ AC 交 BC 于点 G .
∵ DG ∥ AC ，
∴∠ GDF ＝∠ E ，∠ DGB ＝∠ ACB .
在△ GDF 和△ CEF 中，
∴△ GDF ≌△ CEF （ASA），∴ GD ＝ CE .
∵ BD ＝ CE ，∴ BD ＝ GD ，
∴∠ B ＝∠ DGB ＝∠ ACB ，
∴ AB ＝ AC ，
∴△ ABC 是等腰三角形.
（第4题）
