2024-2025学年山东省新高考联合质量测评高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省新高考联合质量测评高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D. 无数个
2.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
4.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
6.若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若函数的图象与直线有个不同的交点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设，用表示不超过的最大整数已知数列满足，，若，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数，，满足，则( )
A. B.
C. D.
10.记为正项等比数列的前项和，则( )
A. 是递增数列
B. 是等比数列
C. 不是等比数列
D. ，，，成等比数列
11.已知，，且，若，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，且“，，且”是假命题，则实数的取值范围为______．
13.等比数列的前项和记为，若，，则 ______．
14.已知曲线，，若曲线，恰有一个交点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解关于的不等式：．
16.本小题分
在数列中，，，．
求证：数列为等比数列；
设数列满足，求数列的前项和的最小值．
17.本小题分
如图，一海岛离岸边最近点的距离是，在岸边距点的点处有一批药品要尽快送达海岛已知和之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为，快艇时速为设海运起点到点的距离为参考数据：
写出运输时间关于的函数；
当点选在何处时运输时间最短？
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若函数，求函数极值点的个数；
当时，若在上恒成立，求证：．
19.本小题分
已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，．
若是和的等差中项，求数列的通项公式；
设双曲线的离心率为，且，证明：；
在的条件下，记集合，，若将所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，为数列的前项和，求使得成立的的最小值．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：由题意可知，，即，
也即．
当时，不等式可化为，解得．
若，则，
当时，且，解得或．
当时，且，解得．
当时，且，解得．
当时，原不等式可化为，解集为．
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
16.解：证明：因为，，
整理得，，通分，，
．
，
，
，而，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由得，则，
，，
所以．
，
因为数列递增，则，所以数列的最小值为．
17.解：由题意知，，
；
，
令，得，
当时，，
当时，，
所以时，取最小值，
所以当点选在距点时运输时间最短．
18.解：的定义域为，，，
所以，，所以曲线在处的切线方程为．
，，
对于方程，，
当时，，，此时没有极值点；
当时，方程的两根为，，不妨设，
则，，，当或时，，
当时，，此时，是函数的两个极值点；
当时，方程的两根为，，且，，
故，，当时，，故没有极值点；
综上，当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点．
证明：由在上恒成立，
得在上恒成立，
设，，
当时，，在上单调递增，此时显然不恒成立．
当时，若，则，在上单调递增，
若，则，在上单调递减，
所以，
所以．
要证成立，因为，即证明．
因为，
令，，，令得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，所以，所以成立．
19.解：由，知当时，，两式相减可得，
所以从第二项开始是公比为的等比数列，
当时，代入可得，即，
所以是公比为的等比数列，
又是和的等差中项，
所以，
即，解得或舍去，
所以．
证明：由双曲线的性质可知，，
由知是首项为，公比为的等比数列，
故，得，
故，
则，
则．
由，，
可得新数列为，
由上可得规律：
、新数列中元素前只有个元素，且到之间有个元素，
到之间有个元素，
到之间有个元素，
到之间有个元素，
到之间有个元素，依次类推；
、数列中、、、、、、外，其它元素均来自集合，
由上，元素之前含，新数列共有元素个数为个，其中个来自，个来自，
则，
元素之前含，新数列共有元素个数为个，其中个来自，个来自，
则，
所以成立的的最小值出现在到之间的某个位置，
其中间元素有，，，，，，，，，，，，，，，，
则，
而，
，
，
综上，，而，
所以使得成立的的最小值为．
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