2024-2025学年河南省许昌市许昌高级中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省许昌高级中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
2.命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
4.将，，，，这个数据作为总体，从这个数据中随机选取个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知正实数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 没有最大值
8.已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则注：，
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，则( )
A. 当时，满足的点有个
B. 的周长一定小于
C. 的面积可以大于
D. 若恒成立，则的离心率的取值范围是
10.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若， D. 的最小值为
11.函数，关于的方程，则下列正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 函数的单调减区间为，
C. 当时，则方程有个不相等的实数根
D. 若方程有个不相等的实数根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于任意实数，，定义，设函数，，则函数的最小值是______．
13.甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为，，，，，的个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得分，数字更小者得分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜甲获得分的概率为______．
14.过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，若，则双曲线的离心率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，，，．
求数列的通项公式；
设数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱柱中，平面，底面为梯形，，，，为的中点．
在上是否存在点，使直线平面，若存在，请确定点的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
若中点存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
17.本小题分
函数的定义域为，且满足对于任意，，有，当时，．
证明：在上是增函数；
证明：是偶函数；
如果，解不等式．
18.本小题分
届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级名学生中随机抽取了名学生的体检数据，并得到如图的频率分布直方图．
年级名次
是否近视
近视
不近视
若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数精确到；
该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的名学生名次在名和名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系？
在中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这人中任取人，至少有人的年级名次在名的概率．
，其中．
19.本小题分
在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线：的左，右焦点分别为，，的离心率为点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于，两点当轴时，直线为的等线．
求的方程；
若是四边形的等线，求四边形的面积；
设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线．
参考答案
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15.解：由可知数列是以公差的等差数列，
又得，
解得，
故，
即．
因为，
所以
．
16.解：存在，证明如下：
在四棱柱中，因为平面平面，
所以可在平面内作，
由平面几何知识可证≌，所以，可知是中点，
因为平面，所以平面
即存在线段的中点，满足题设条件．
满足条件的点只有一个，证明如下：
当平面时，因为平面，
所以过作平行于的直线既在平面内，也在平面内，
而在平面内过只能作一条直线，
故满足条件的点只有唯一一个．
所以，有且只有的中点为满足条件的点，使直线平面，
过点作，垂足为，又因为平面，
所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则有，即
即
令，得，，
所以，
设平面的法向量为，
则有
即
令，得，，
所以，
所以，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
17.解：证明：设，则，
由于，所以，所以，
所以，所以，
所以在上是增函数；
证明：因对定义域内的任意，，有，
令，，则有，
又令，得，
再令，得，从而，
于是有，所以是偶函数．
由于，所以，
于是不等式可化为，
由可知函数是偶函数，则不等式可化为，
又由可知在上是增函数，所以可得，
解得，所以不等式的解集为．
18.解：由图可知，第三组和第六组的频数均为人，第五组的频数为人，
所以前四组的频数和为人，
而前四组的频数依次成等比数列，
故第一组的频数为人，第二组的频数为人，第四组的频数为人，
所以中位数落在第四组，设为，
因为第四组的频率组距为，所以，
解得，
所以中位数是．
因为，
因此能在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系．
依题意，随机抽取的人中年级名次在名和名的分别有人和人，
从人中任意抽取人的基本事件共个，
至少有人来自于名的基本事件有个，
所以至少有人的年级名次在名的概率为．
19.解：由题意知，，，显然点在直线的上方，
因为直线为的等线，所以，，，
解得，
所以的方程为；
设，切线：，代入，
得，
所以，
该式可以看作关于的一元二次方程，
所以，即方程为，
当斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为，不妨设在上方，
联立得，，
故，
所以是线段的中点，
因为，到过的直线距离相等，则过点的等线必满足：，到该等线距离相等且分居两侧，
所以该等线必过点，即的方程为，
由，解得：，
所以，
所以，
所以，所以；
证明：设，由，所以，，
故曲线的方程为，
由知切线为，即，即，
易知与在的右侧，在的左侧，分别记，，到的距离为，，，
由知，，
所以，
由得，
，
因为，
所以直线为的等线．
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