2024-2025学年福建省名校联盟高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年福建省名校联盟高三（上）质检数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若向量，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知是奇函数，且在上单调递减，则( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
7.“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度( )
A. B. C. D.
8.已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 在上单调递减
B. 在上单调递增
C. 有个零点
D. 直线与的图象仅有个公共点
10.记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则的周长可能为( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称 D. 是的极大值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ______．
13.已知，，且，则 ______，的最小值为______．
14.对于任意的，，函数满足，函数满足若，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
求的单调区间与最大值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若，，求；
若，求的值．
17.本小题分
已知函数
求函数的解析式；
若函数在上单调，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
将化成的形式；
求的单调区间；
若在上的值域为，求的取值范围．
19.本小题分
若函数在上存在，，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中，称为在上的中值点．
判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由．
已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，，是在上的中值点．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：，
所以，切线方程为，
又，所以，则．
的定义域为．
，当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以的最大值为．
16.解：由及正弦定理得，．
因为，所以，则，即．
因为，所以．
根据余弦定理得，即，解得或舍去，故．
方法一：由和正弦定理，得，即．
，即，则得．
方法二：根据余弦定理得，则．
，则角是锐角，故，
则．
17.解：令，得，
则，
得，
即；
当时，，在上不单调，
当在上单调递增时，，
解得，
当在上单调递减时，，
解得，
综上，的取值范围为．
18.解：
；
令，解得，
所以的单调递增区间为．
令，解得，
所以的单调递减区间为．
．
则的最小正周期，
令，解得，
图象的对称轴为直线．
若在上单调，则，，解得，
则
．
因为，则，
可得，所以；
若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点，
且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同．
假设在上的图象的最高点为，则，
当，即时，，此时取得最小值，且最小值是．
又因为，则，
所以；
综上所述：的取值范围为．
19.解：函数是上的“双中值函数”理由如下：
因为，所以．
因为，，所以，
令，得，即，解得，
因为，所以是上的“双中值函数”．
因为，所以，
因为是上的“双中值函数”，所以．
由题意可得．
设，则，
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数，
故，
因为，所以，所以，即的取值范围为；
证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证，
设，
则，
设，则，
所以在上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
由可知在上单调递增，所以，即，得证
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