2024-2025学年四川省眉山市彭山一中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省眉山市彭山一中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则包含的元素个数为( )
A. B. C. D.
3.已知且，则“”是“函数为偶函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若函数的图象如图所示，则的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
5.的展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数为实数为偶函数，记，，，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量，若，，则
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C. 已知，则
D. 从一批含有件正品、件次品的产品中任取件，则取得件次品的概率为
10.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则( )
A. B. 的图像关于点成中心对称
C. D.
11.已知正方体的棱长为，点是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则( )
A. 移动两次后，“”的概率为
B. 对任意，移动次后，“平面”的概率都小于
C. 对任意，移动次后，“平面”的概率都小于
D. 对任意，移动次后，四面体体积的数学期望注：当点在平面上时，四面体体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，，，若，则 ______．
13.已知是椭圆：的一个焦点，为上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率为______．
14.已知正数，，满足，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，已知．
求角的大小；
求的值．
16.本小题分
良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为，两组，规定每名学生从，两组题目中各随机抽取道题作答已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为假设学生甲每道题是否答对相互独立．
求学生甲恰好答对道题的概率；
设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，平面，，，分别是棱，的中点．
证明：平面．
求平面与平面的夹角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，定义域为．
讨论的单调性；
求当函数有且只有一个零点时，的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为为坐标原点．
求双曲线的标准方程；
直线与双曲线的右支交于点，在的上方，过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为的直线与双曲线交于点，在的上方，再过点，分别作，的平行线，交于点，，这样一直操作下去，可以得到一列点．
证明：，，，共线；
判断是否为定值，若是定值求出定值；若不是定值，说明理由．
参考答案
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15.解：因为，
所以由余弦定理得：，
因为，所以．
因为，
所以，
因为，
所以．
16.解：易知学生甲恰好答对道题有以下两种情况：
第一种情况是学生甲答对组的道题和组的道题，
此时概率；
第二种情况是学生甲答对组的道题和组的道题，
此时概率．
则学生甲恰好答对道题的概率；
易知的所有可能取值为，，，，，
此时，
，
，
，
由知，
则的分布列为：
故．
17.解：证明：因为，分别为，的中点，
所以，，
又因为，
所以，
又，
所以，，
所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又面，面，
所以面．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系：
则，，，，，，
平面的法向量为，
又，，
设面的法向量，
所以，
令，则，，
所以面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
，，
所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
18.解：因为，
当，即时，则在内恒成立，
可知在内单调递增；
当，即或时，可知有两个不相等的根，，
不妨令，，可知，
若，因为，可知，令，解得，
令，解得；可知在内单调递减，
在内单调递增；
若，因为，可知，令，解得或；
令，解得，可知在内单调递减，
在，内单调递增；
综上所述：当时，在内单调递增；
当时，在内单调递减，内单调递增；
当时，在内单调递减，
在内单调递增；
若，可知在内无零点，不合题意，
可知，令，整理得，
构造，原题意等价于与有且仅有一个交点，
因为，，构造，，
则，令，解得；
令，解得；可知在内单调递增，
在内单调递减，则，
即在内恒成立，可知在内单调递减，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
可得，即，所以的取值范围为．
19.解：因为双曲线的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，
所以，
解得，，
则双曲线的标准方程为；
证明：设斜率为，与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
因为该方程有两个正根，
所以，
由韦达定理得，
易知直线的方程为，
因为，
即，
直线的方程为，
因为，
即，
联立，
两式相加得，
则，
因为，
易知，
则，，，都在直线上，
所以，，，共线；
为定值．
证明：由得，设，直线方程为，
此时，
易知，，
．
故．
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