(共20张PPT)
23.1 图形的旋转
第1课时 图形的旋转(1)
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1.旋转的定义
把一个平面图形绕着平面内某一点O ,叫做图形的 ,点O叫做 ,转动的角叫做 .如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点就叫做这个旋转的 .
旋转
转动一个角度
旋转中心
旋转角
对应点
注意:(1)旋转只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小;
(2)旋转三要素:
①旋转中心(只有一个,可以是任意位置);
②旋转方向(顺时针方向或逆时针方向);
③旋转角(小于360°的角).
2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离 ;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ;
(3)旋转前、后的图形 .
相等
旋转角
全等
典例导思
题型一 旋转的定义
例1 如图,C是线段AB上一点,△ACD和△BCE都是等边三角形,△DCB经过旋转后得到△ACE.
(1)请指出旋转中心是哪一点;
解:(1)旋转中心是点C.
(2)旋转了多少度
(3)图中还存在是旋转关系的三角形吗
(2)逆时针旋转了60°.
(3)存在,△PCE与△QCB、△APC与△DQC是旋转关系.
跟踪训练
1.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )
B
2.如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△DEC,连接AD.若∠BAC=25°,则∠BAD= .
70°
题型二 旋转性质的运用
例2 (1)如图,将△AOB绕点O逆时针旋转30°后得到△COD.若CD恰好经过点A,且OC⊥OB,则∠B的度数为 ;
45°
(2)如图,在△ABC中,∠BCA=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处,分别延长BC与ED交于点F,连接AF,CE.若S四边形ABFD=12,AC=4,求CE的长.
解:由旋转的性质,可得S△ADE=S△ABC,∠AEF=∠ACB=90°,AC=AE.
∵S四边形ABFD=12,
∴S四边形ACFD+S△ABC=12,
∴S四边形ACFD+S△ADE=12,
∴S四边形ACFE=12.
又∵AC=AE,AF=AF,∴Rt△ACF≌Rt△AEF(HL),
∴CF=EF,S△ACF=S△AEF=S四边形ACFE=6,
∴S△ACF=AC·CF=6, ∴CF=3.
在Rt△ACF中,由勾股定理,得
AF==5.
∵AC=AE,CF=EF,
∴AF垂直平分CE,即AF⊥CE,CG=EG,
∴S△ACF=AF·CG=6,
∴CG=,
∴CE=2CG=.
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC绕点A旋转至△AEF的位置,延长BC交EF于点D.若BD=10,BC=8,则DE的长为 ( )
A.9 B.6
C.8 D.7
B
4.如图,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置,使CD∥AB,则旋转角的度数为 .
50°
5.如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN=45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证:△AEM≌△ANM;
(1)证明:由旋转的性质,可得△ADN≌△ABE,
∴∠DAN=∠BAE,AN=AE.
∵∠DAB=90°,∠MAN=45°,
∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=
∠DAN+∠BAM=90°-45°=45°,
∴∠MAE=∠MAN.
又∵MA=MA,
∴△AEM≌△ANM(SAS).
(2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长.
(2)解:设BC=CD=x,
则CM=x-3,CN=x-2.
∵△AEM≌△ANM,∴ME=MN.
∵△ADN≌△ABE,∴BE=DN=2,
∴MN=ME=BM+BE=5.
∵∠C=90°,∴MN2=CM2+CN2,
即25=(x-3)2+(x-2)2,
解得x=6或x=-1(舍去),
∴正方形ABCD的边长为6.(共13张PPT)
23.2.3 关于原点
对称的点的坐标
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关于原点对称的点的坐标特征
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号 ,即点P (x,y)关于原点的对称点为 .
注意:与关于x轴或y轴对称的点的坐标特征区分开.
相反
P '(-x,-y)
典例导思
题型一 求关于原点对称的点的坐标
例1 (1)已知点A(2,2),如果点A关于x 轴的对称点是点B,点B 关于原点的对称点是点C,那么点C 的坐标是 ( )
A.(2,2) B.(-2,2)
C.(2,-2) D.(-2,-2)
B
(2)若点A(-4+2m,1-2m)关于原点对称的点在第一象限,则m的取值范围是 ( )
A.m>2 B.m<
C
(3)若点M(3,a-2),N(b,a)关于原点对称,则a+b= .
C
-2
跟踪训练
1.已知点P(1,a-2)在x轴上,则点Q(-1,a)关于原点对称的点的坐标为 ( )
A.(1,2) B.(1,-2)
C.(-1,-2) D.(-1,2)
B
2.(1)若点P(a-1,5)与点Q(5,1-b)关于原点成中心对称,则a+b= ;
(2)若点P(5-a,a+3)关于原点对称的点在第三象限,则a的取值范围为 .
2
-3题型二 利用关于原点对称的点的坐标特征作图
例2 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,1),C(-1,2).
(1)将△ABC向右平移4个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2;
(3)将△ABC绕原点O旋转180°,画出旋转后的△A3B3C3;
(1)(2)(3)如图所示.
(4)在△A1B1C1,△B2C2和△A3B3C3中, 与
成轴对称,对称轴是 ;
与 成中心对称,对称中心的坐标是 .
△A2B2C2
y轴
(2,0)
△A3B3C3
△A1B1C1
△A3B3C3
跟踪训练
3.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(0,4),B(0,2),C(3,2).
(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1;
解:(1)△A1B1C1如图所示.
(2)将△ABC平移后得到△A2B2C2,若点A的对应点A2的坐标为(2,2),求△A1C1C2的面积.
(2)由(1)得,A1(0,-4),C1(-3,-2).
∵△ABC平移后点A的对应点A2的坐标为(2,2),
∴易得C2(5,0).△A1C1C2如图所示.
∴=4×8-×2×8-×3×2-×5×4=11.(共16张PPT)
23.2.2 中心对称图形
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1.中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转 ,如果旋转后的图形能够与 重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
180°
原来的图形
2.中心对称图形的性质
(1)对应点所连线段都经过 ,并且被对称中心 ;
(2)对应线段 且 .
对称中心
平分
相等
平行(或在同一直线上)
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系
典例导思
题型一 识别中心对称图形
例1 (1)下列四个图形中,是中心对称图形的是 ( )
B
(2)下列图形:线段、等边三角形、平行四边形、圆.其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
跟踪训练
1.下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是 ( )
A
2.下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④等边三角形.其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 .(填序号)
②③
题型二 作中心对称图形
例2 在如图所示的方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,使之与图中阴影部分构成中心对称图形,则该小正方形的序号是 .
②
跟踪训练
3.如图,图1和图2均是由若干个全等的小正三角形组成的网格,每个网格图中有3个小正三角形涂上阴影,请按要求在余下的小正三角形中选取一个涂上阴影.
(1)使得图1中阴影部分是轴对称图形,但不是中心对称图形;
解:(1)如图,在①②③④⑤五个位置任选其一即可.
(2)使得图2中阴影部分是中心对称图形,但不是轴对称图形.
(2)如图,在①②两个位置任选其一即可.
4.如图,网格中的每个小正方形的边长均为1,点A,B,C在小正方形的格点上.
(1)在图中确定点D,点D在小正方形的格点上,连接DC,DA,使得到的四边形ABCD为中心对称图形;
解:(1)点D的位置如答案图所示.
(2)在(1)中确定点D后,在图中确定点E,点E(不与点C重合)在小正方形的格点上,连接ED,EB得到凸四边形ABED,使∠EBA=∠EDA,直接写出ED的长.
(2)点E的位置如答案图所示,此时∠EBA=45°,连接EA.
∵AD 2=AE 2=12+22=5,DE 2=12+32=10,
∴AD 2+AE 2=DE 2.
∴△ADE是等腰直角三角形,且∠DAE=90°.
∴∠EDA=45°.
∴∠EDA=∠EBA,此时ED= .(共18张PPT)
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
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1.中心对称的概念
把一个图形绕着某一点旋转 ,如果它能够与另一个图形 ,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做 .这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.
注意:中心对称是特殊的旋转,其特殊性在于旋转的角度为180°.
180°
重合
对称中心
2.中心对称的性质
(1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 ,而且被对称中心所 ;
(2)中心对称的两个图形是 ;
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段
且 .
对称中心
平分
全等图形
平分(或在同一直线上)
相等
典例导思
题型一 中心对称的性质
例1 如图,在△ABC 中,BC=2AB,D,E 分别是边BC,AC 的中点.将△CDE 绕点E 旋转180°,得到△AFE.
[分析] (1)先证明四边形ABDF是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可;(2)连接AD,BF相交于点O.设OA=x,OB=y,构建方程组求出2xy即可解决问题.
(1)判断四边形ABDF的形状,并证明;
解:(1)四边形ABDF是菱形.证明如下:
∵D,E分别是边BC,AC的中点,
∴DE∥AB,AB=2DE.
由旋转的性质,得DE=EF,点D,E,F在一条直线上,
∴AB=DF,AB∥DF,
∴四边形ABDF是平行四边形.
∵BC=2AB,BD=DC,
∴AB=BD,
∴四边形ABDF是菱形.
(2)已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积.
(2)如答案图,连接AD,BF交于点O.
∵四边形ABDF是菱形,
∴AD⊥BF,OA=OD,OB=OF.
设OA=x,OB=y,
则有
∴x+y=4,
∴x2+2xy+y2=16, ∴2xy=7,
∴S菱形ABDF=AD·BF=2xy=7.
跟踪训练
1.如图,已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列判断不正确的是 ( )
A.OA=OA' B.∠BOC=∠B'A'C'
C.AB=A'B' D.∠ABC=∠A'B'C'
B
2.如图,BO是等腰三角形ABC的底边AC的中线,AC=2,BO=,△PQC与△BOC关于点C成中心对称,连接AP,则AP的长是 ( )
A.4 B.4
C.3 D.2
D
3.如图,△ABO与△CDO关于点O成中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE,连接BE,DF.求证:BE=DF,BE∥DF.
∵AF=CE,∴OF=OE,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴BE=DF,BE∥DF.
证明:如答案图,连接BF,DE.
∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称,
∴OB=OD,OA=OC.
题型二 中心对称作图
例2 如图,已知等边△ABC和中心O(角平分线的交点),画出△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于点O成中心对称.
解:如答案图所示.画法如下:
①连接AO并延长AO 到点A',使OA'=OA,则点A' 就是点A关于点O的对称点;
②同样作出点B的对称点B',点C 的对称点C';
③顺次连接A'B',B'C',C'A',则△A'B'C'就是所求作的三角形.
跟踪训练
4.如图,两个半圆分别以点P,O为圆心,它们成中心对称,点A1,P,B1,B2,O,A2在同一条直线上,则对称中心为 ( )
A.A2P 的中点
B.A1B2的中点
C.A1O 的中点
D.PO 的中点
D
5.如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上,请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A'B'C';
如图.
(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB'C'.
(2)作图如答案图2所示.(共14张PPT)
23.3 课题学习 图案设计
图案设计过程:
(1)明确设计意图;
(2)确定基本图案和整体图案;
(3)运用平移、轴对称、旋转分析整体图案是如何通过“基本图案”变换形成的.
知识导航
注意:(1)进行图案设计时,应该清楚图案的设计目的.
(2)我们已经学过的图形变换有 变换、
变换、 变换,我们可以利用其中的一种进行图案设计,也可以利用几种变换的组合进行图案设计.
轴对称
平移
旋转
典例导思
题型一 分析图形变换的特点
例1 如图,图(1)(2)(3)(4)(5)中的②是由①经过轴对称、平移、旋转这三种运动变换而得到的,请分别指出它们是如何运动变换的.
解:图(1)中①向上平移3个单位长度,再向右平移3个单位长度得到②;图(2)中①以点C为中心,旋转180°得到②;
图(3)中①以点A为中心,旋转180°得到②;图(4)中①以AB所在直线为对称轴,通过轴对称变换得到②;图(5)中①以点B为中心,旋转180°得到②.(答案合理即可)
跟踪训练
1.下列图形中,能由一个基本图案旋转得到的图形共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
题型二 利用图形变换设计图案
例2 以给出的图形“○，○，△，△，＝”(两个相同的圆、两个相同的三角形、两条平行线)为构件,分别设计一个构思独特且有意义的轴对称图形、中心对称图形和既是轴对称图形又是中心对称图形的图案.
举例:如图,左框中是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗 请在右框中画出与之不同的图形.
解:如答案图所示.(答案不唯一)
跟踪训练
2.图案设计:正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉,要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案.下面是三种不同设计方案中的一部分,
请把图1、图2补成既是轴对称图形,又是中心对称图形,并画出一条对称轴;把图3补成只是中心对称图形,并把对称中心标上字母P.(在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉)
解:此题答案不唯一,如答案图各举一例.(共20张PPT)
23.1 图形的旋转
第2课时 图形的旋转(2)
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旋转作图的一般步骤:
(1)确定旋转中心、旋转角、旋转方向;
(2)找出图形的关键点;
(3)作出关键点经旋转后的对应点;
(4)按图形的顺序连接所作的点,得到旋转后的图形.
典例导思
题型一 旋转作图
例1 如图,作出△ABC绕点O顺时针旋转60°后的三角形.
解:如答案图所示,△DEF 即为所求作.画法如下:
①连接OA,OB,OC;
②分别以OA,OB,OC 为一边按顺时针方向作∠AOD,∠BOE,∠COF,使得∠AOD=∠BOE=∠COF=60°;
③分别在射线OD,OE,OF上截取OD=OA,OE=OB,OF=OC;
④连接DE,EF,FD,则△DEF就是△ABC绕点O顺时针旋转60°后的三角形.
跟踪训练
1.如图,Rt△OCB的斜边在y 轴上,OC=,含30°角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限.将Rt△OCB绕原点O 顺时针旋转120°后得到△OC'B',则点B的对应点B'的坐标是 ( )
A.(,-1) B.(1,-)
C.(2,0) D.(,0)
A
2.(1)在如图所示的网格中画出△ABC 绕点P 顺时针旋转180°后的图形△A'B'C';
解:(1)作图如图所示.
(2)当平面直角坐标系中每个小正方形的边长均为1个单位长度时,写出点C,P,C'的坐标;并观察和思考点C,P,C'的横坐标之间的数量关系,纵坐标之间是否也有相同的数量关系呢 请用等式表示出来;
(2)C(-1,2),P(1,1),C'(3,0).
点C,P,C'的横坐标之间的数量关系为=1,纵坐标之间的数量关系为=1.
(3)根据(2)的数量关系求点D (x1,y1)和点D' (x2,y2)所连线段DD' 的中点M 的坐标.(用含x1,y1,x2,y2的式子表示)
(3)根据(2)的数量关系,可得线段DD' 的中点M的坐标为.
题型二 利用旋转设计图案
例2 按下面的要求画图:
将(1)中的图案沿虚线翻折到(2)的方格中;
将翻折后的图案向右平移到(3)的方格中;
将平移后的图案绕点P 旋转180°到(4)的方格中.
解:如图所示.
跟踪训练
3.如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的,它也可以看作是以一个图案为“基本图案”,通过旋转得到的.下列图案中,不能作为“基本图案”的是 ( )
B
题型三 利用旋转思想作辅助线问题
例3 已知△ABC是等腰三角形,AB=AC.
(1)特殊情形:如图1,当DE∥BC时,有DB EC(填“>”“<”或“=”);
=
(2)发现探究:若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置,则(1)中的结论还成立吗 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
解:(2)成立.证明如下:
在图1中,∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE.
由旋转的性质,得∠DAB=∠EAC.
易证△DAB≌△EAC,∴DB=EC.
(3)拓展运用:如图3,P是等腰Rt△ABC内的一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.
(3)如答案图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°得到△CEA,连接PE,则△CPB≌△CEA,
∴CP=CE=2,BP=AE=1,∠PCB=∠ECA,
∴∠PCE=90°,
∴∠CEP=∠CPE=45°,
PE==2.
在△PEA中,PE2+AE2=9=AP2,
∴△PEA是直角三角形,且∠PEA=90°,
∴∠AEC=∠CEP+∠PEA=135°.
又∵△CPB≌△CEA,
∴∠BPC=∠AEC=135°.
[方法点拨] 在有公共端点的等长线段的条件中,经常把含等长线段的三角形绕公共端点旋转来作辅助线,把题目中的条件进行转化而求解.
跟踪训练
4.如图,点P是等边三角形ABC内的一点,PA=,PB=3,PC=2,则S△ABP+S△BCP= ,AB的长为 .