(共22张PPT)
第3课时 用树状图求概率
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1.用树状图求概率
当一次试验要涉及三个或更多的因素时,列表就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法.
注意:画树状图求概率的步骤(如下图):
①把第一个因素所有可能的结果列举出来;
②随着事件的发展,在第一个因素的每一种可能上都会发生第二个因素的所有的可能;
③随着事件的发展,在第二个因素的每一种可能上都会发生第三个因素的所有的可能.
2.列表法和画树状图法的区别与联系:
(1)当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用画树状图法;
(2)当试验在三步或三步以上时,用画树状图法更方便.
典例导思
题型一 用画树状图法求两步试验的概率
例1 一个不透明的口袋中装有4个大小、质地完全相同的乒乓球,球面上分别标有数-1,2,-3,4.摇匀后先从中任意摸出1个球(不放回),再从余下的3个球中任意摸出1个球.
(1)用画树状图的方法表示两次摸球的情况;
解:(1)画树状图如答案图1.
(2)求乒乓球球面上的数之和是正数的概率.
(2)画树状图如答案图2.
共有12种等可能的结果,其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果有8种,
∴两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率为=.
跟踪训练
1.如图所示,小明、小刚利用两个转盘进行游戏,规则为小明将两个转盘各转一次,如配成紫色(红与蓝),小明胜,否则小刚胜,此规则 ( )
A.公平 B.对小明有利
C.对小刚有利
D.公平性不可预测
C
2.某中学为进一步提高研学质量,着力培养学生的核心素养,选取了A“青少年科技馆”,B“中都文庙”,C“城市展馆”,D“莲花湖湿地公园”四个研学基地组织研学活动.学校想从选择研学基地D的四名学生中选取两名学生,了解他们对研学活动的看法,已知选择研学基地D的四名学生中恰好有两名女生.
解:(1)∵基地D的学生中恰有两名女生,则有2名男生,画树状图如答案图.
(1)请用画树状图的方法列举出所有可能的情况;
(2)求出所选两人都是男生的概率.
(2)由(1)可知共有12种等可能的结果,其中所选两人都是男生的结果有2种,
∴所选两人都是男生的概率为=.
题型二 用画树状图法求三步试验的概率
例2 有2部不同的电影A,B,甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看.
(1)求甲选择电影A的概率;
解:(1)∵甲可选择电影A或B,
∴甲选择电影A的概率为.
(2)求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率.(请用画树状图的方法给出分析过程,并求出结果)
(2)甲、乙、丙3人选择电影情况如答案图.
由图可知总共有8种情况,甲、乙、丙3人选择同一部电影的情况有2种,
∴P(甲、乙、丙3人选择同一部电影) ==.
跟踪训练
3.同时投掷三枚质地均匀的硬币,至少有两枚硬币正面朝上的概率是 ( )
A. B. C. D.
B
4.甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有数字1,2;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有数字3,4,5;丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有数字6,7.从三个口袋中各随机取出1个小球,用画树状图求:
(1)取出的3个小球上恰好只有一个偶数数字的概率;
解:画树状图如答案图所示.
∵共有12种等可能的结果,取出的3个小球上恰好有1个偶数数字的有5种情况,
∴取出的3个小球上恰好只有一个偶数数字的概率是.
(2)取出的3个小球上全是奇数数字的概率.
解:画树状图如答案图所示.
∵共有12种等可能的结果,取出的3个小球上全是奇数数字的有2种情况,
∴取出的3个小球上全是奇数数字的概率是=.(共23张PPT)
第2课时 用列表法求概率
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用列表法求概率
当一次试验要涉及 因素,并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法.
两个
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式,以及某一事件发生的可能的次数和方式,并求出概率的方法.
温馨提示:(1)列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时,求概率的问题;
(2)列表法适用于求涉及两步试验的随机事件发生的概率.
典例导思
题型一 用列表法求概率
例1 如图,甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份,每份内均标有数字.分别旋转这两个转盘,将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘.
(1)请将所有可能出现的结果填入如下表:
1
2
3
4
2
4
6
8
3
6
9
12
(2)从1~12这12个整数中,随机选取1个整数,该数不是(1)中所填数字的概率为 .
跟踪训练
1.(2023·重庆B卷)有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片,将其背面朝上并洗匀,从中随机抽取一张,记下卡片正面上的汉字后放回,洗匀后再从中随机抽取一张,则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 .
2.某书店有一个抽奖活动,其规则是:准备3张大小一样,背面完全相同的卡片,3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》,将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张,抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍.
(1)在上面的活动中,如果从中随机抽出一张卡片,记下内容后不放回,再随机抽出一张卡片,请用列表的方法,求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率;
解:(1)先将《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别记作A,B1,B2,然后列表如下:
总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而2张卡片都是《辞海》的有2种:(B1,B2),(B2,B1),
∴P(2张卡片都是《辞海》) ==.
(2)再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片,将所有卡片背面朝上洗匀后,任意抽出一张,使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为,那么应添加多少张《消防知识手册》卡片 请说明理由.
(2)设再添加x张和原来一样的《消防知识手册》卡片,由题意,得=,解得x=4.
经检验,x=4是原方程的根.
∴应添加4张《消防知识手册》卡片.
题型二 利用概率判断游戏公平性
例2 在一个不透明的口袋里有分别标注2,4,6的3个小球(小球除数字不同外,其余都相同),另有3张背面完全一样,正面分别写有数字6,7,8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球,再从3张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片.
(1)请你用列表的方法,表示出所有可能出现的结果;
解:(1)列表如下:
(2)小红和小莉做游戏,制定了两个游戏规则.
规则1:若两次摸出的数字,至少有一次是“6”,小红赢;否则,小莉赢.
规则2:若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时,小红赢;否则,小莉赢.
小红要想在游戏中获胜,她应该选择哪一种规则 请说明理由.
(2)规则1:由(1)可知,至少有一次是“6”的情况有5种,
∴小红赢的概率是P(至少有一次是“6”) =,
小莉赢的概率是.
∵ >,∴此规则小红获胜的概率大.
规则2:摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍的有(2,6),(2,8),(4,8),(6,6),共4种情况,
∴小红赢的概率是P(卡片上的数字是球上数字的整数倍)= ,小莉赢的概率是.
∵ >,∴此规则小莉获胜的概率大,
∴小红要想在游戏中获胜,她应该选择“规则1”.
跟踪训练
3.小明和小红玩抛硬币游戏,连续抛两次,小明说:“如果两次都是正面,那么你赢;如果两次是一正一反,则我赢.”小红赢的概率是 ,据此判断该游戏 (填“公平”或“不公平”).
不公平
4.甲、乙两名同学玩一个游戏:在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球(除标号外无其他差异).从口袋中随机摸出一个小球,记下标号后放回口袋中,充分摇匀后,再从口袋中随机摸出一个小球,记下该小球的标号,两次记下的标号分别用x,y表示.若x+y为奇数,则甲获胜;若x+y为偶数,则乙获胜.
(1)用列表法求(x,y)所有可能出现的结果总数;
解:(1)列表如下:
(x,y)所有可能出现的结果共有16种.
(2)你认为这个游戏对双方公平吗 请说明理由.
(2)这个游戏对双方公平.理由如下:
由表格可知,在16种可能出现的结果中,每种结果出现的可能性相等.
∵x+y为奇数的有8种情况,
∴P(甲获胜) ==.
∵x+y为偶数的有8种情况,
∴P(乙获胜) ==,
∴P(甲获胜)=P(乙获胜),
∴这个游戏对双方公平.(共20张PPT)
25.3 用频率估计概率
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1.当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时,要用 来估计概率.
2.一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率P(A)= .
频率
p
注意:用频率估计概率,不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制,使得可求概率的随机事件的范围扩大.
典例导思
题型一 用频率估计概率
例1 有10个同学,每人进行了500次抛掷硬币的试验,他们试验的结果如下:
怎样利用这些数据对硬币落地后“正面朝上”的概率进行估计
小明的解题思路是:将这10个人的数据合起来,就相当于做了5 000次试验,可以将试验数据整理如下:
请将表格补充完整,
0.500
0.504
0.502
0.504
0.503
由表格信息可以看出,硬币落地后“正面朝上”的频率稳定在 附近,由此估计硬币落地后“正面朝上”的概率约为 .(精确到0.1)
0.5
0.5
跟踪训练
1.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.
下面有三个推断:
①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616;
②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;
③若再次用计算机模拟试验,则当投掷次数为1 000时,“钉尖向上”的概率一定是0.620.
其中合理的是 ( )
A.① B.② C.①② D.①③
B
2.如图是康康某软件的二维码示意图,用黑白打印机打印于边长为10 cm的正方形区域内,为了估计图中黑色部分的总面积,在正方形区域内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右,据此可以估计黑色部分的总面积约为 .
65 cm2
3.在一个不透明的袋中装有若干个红球,为了估计袋中红球的个数,小明在袋中放入3个黑球(每个球除颜色外其余都与红球相同),摇匀后每次随机从袋中摸出一个球,记下颜色后放回袋中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.85左右,则袋中红球约有 个.
17
题型二 如何利用频率估计概率为生活服务
例2 某水果公司新进了10 000千克柑橘,销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘,进行了“柑橘损坏率”统计,并把获得的数据记录在下表中:
(1)写出a= ,b= ;(精确到0.001)
(2)估计这批柑橘的损坏概率为 ;(精确到0.1)
0.103
0.098
0.1
(3)该水果公司以2元/千克的成本进的这批柑橘,公司希望这批柑橘能够获得利润5 000元,那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时,求出每千克大约定价为多少元时比较合适(精确到0.1).
解:(3)设每千克大约定价为x元时比较合适.
由题意,得10 000(1-0.1)x-2×10 000=5 000,解得x≈2.8.
答:每千克大约定价为2.8元时比较合适.
跟踪训练
4.某园林基地特地考察一种花卉移植的成活率,对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计,并绘制了如图所示的统计图.
请你根据统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)这种花卉成活的频率稳定在 附近,估计成活概率为 ;(精确到0.1)
(2)该园林基地已经移植这种花卉10 000棵.
①估计这批花卉成活的棵数;
解:(2)①10 000×0.9=9 000(棵).
答:估计这批花卉成活的棵数为9 000棵.
0.9
0.9
②根据某大型小区需要成活99 000棵这种花卉,估计还需要移植多少棵
②99 000÷0.9-10 000=100 000(棵).
答:估计还需要移植100 000棵.(共16张PPT)
25.1.2 概 率
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1.概率的意义
一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的 ,称为随机事件A发生的概率,记为P(A).
注意:概率从数量上反映发生可能性的大小.
数值
2.等可能事件的概率计算
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)= .
3.必然事件发生的概率是 ;不可能事件发生的概率是 ;任一事件发生的概率P(A)的范围是 .
1
0
0≤P(A)≤1
典例导思
题型一 概率的意义
例1 已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为,下列说法错误的是 ( )
A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B.连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
( )
C.大量反复抛一枚均匀硬币,平均每100次出现正面朝上可能有50次
D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
A
跟踪训练
1.下列说法正确的是 ( )
A.概率很小的事情不可能发生
B.投掷一枚质地均匀的硬币1 000次,正面朝上的次数一定是500次
C.13名同学中,至少有两人的出生月份相同是必然事件
D.从1,2,3,4,5中任取一个数是偶数的可能性比较大
C
题型二 概率的计算
例2 (1)四张背面完全相同的卡片,正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形,现在把它们的正面朝下,随机的摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是 ( )
A.14 B.12 C.34 D.1
C
(2)在一个不透明的袋子中装有n个小球,这些球除颜色外均相同,其中红球有2个,如果从袋子中随机摸出一个球,这个球是红球的概率为,那么n的值是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
A
(3)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30 s,绿灯亮25 s,黄灯亮5 s,当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率是 ( )
A. B. C. D.
D
跟踪训练
2.(2023·黑龙江)如图,一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形,颜色标注为红,黄,绿,指针的位置固定,转动转盘停后,其中某个扇形会恰好
停在指针所指的位置(指针指向两个扇
形的交线时,当作指向右边的扇形),则下
列说法正确的是 ( )
( )
A.指针指向黄色的概率为
B.指针不指向红色的概率为
C.指针指向红色或绿色的概率为
D.指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率
B
3.(1)在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球7个,黑球5个,黄球n个,搅匀后随机从中摸取一个,恰好是黄球的概率为,则放入的黄球总数n= ;
(2)从-2,-1,0,2,5中任取一个数记为a,则a的值使一元二次方程2x2-3x+a=0有实数根的概率为 .
6
题型三 简单几何概率的求法
例3 (1)如图1,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是 ( )
A. B. C. D.
A
(2)谢尔宾斯基三角形通过分形可以设计出许多优美的图形.如图2是一个谢尔宾斯基三角形草坪,阴影部分小三角形是全等的等边三角形,一只蚂蚁在草坪上自由爬行,并随机停留在草坪上,则它停在空白部分的概率是 .
跟踪训练
4.正方形ABCD的边长为2,以各边为直径在正方形内画半圆,得到如图所示的阴影部分,若随机向正方形
ABCD内投一粒米,则米粒落在阴影部分的概率为
( )
A. B. C. D.
A(共10张PPT)
25.2 用列举法求概率
第1课时 简单事件的概率
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用列举法求概率
在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,那么我们可以通过列举试验结果的方法,求出随机事件发生的概率.
注意:要不重不漏.
典例导思
题型一 用列举法求简单事件的概率
例1 (1)现有4条线段,长度依次是2,4,6,7,从中任选三条,能组成三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
B
(2)有5张正面分别写有数字-3,-2,-1,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为k,则使关于x为自变量的一次函数y=kx+(k+3)不经过第三象限,且k不是一元二次方程x2+x-2=0的解的概率是 .
跟踪训练
1.如图所示,一只蚂蚁从点A出发到点D,E,F处寻觅食物.假定蚂蚁在每个岔路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处,也可以向右下到达C处,其中A,B,C都是岔路口),那么,蚂蚁从A点出发到达E处的概率是 .
2.从甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名参加社区志愿者服务活动,则甲、乙两人都没被选到的概率是 .
题型二 几何概率型
例2 如图所示,A,B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点,在格点中任意放置点C,恰好能使△ABC的面积为1的概率是 .
(图中带色的点为符合要求的格点)
[方法点拨] 本题可采取找到符合要求的一点(注意AB的两侧均存在),然后过这个点作AB的平行线,看此线穿过多少个格点,此法易做到不重不漏.
跟踪训练
3.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
D
4.如图,在5×5的正方形网格中已有5块被涂成阴影,则在未涂的空格中,任选一格涂成阴影,可使阴影部分成为轴对称图形的概率是 .(共15张PPT)
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
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事件的分类
(1)在一定条件下,有些事件 发生,这样的事件称为必然事件;
(2)在一定条件下,有些事件 发生,这样的事件称为不可能事件;
必然会
必然不会
事件
注意:是在一定的条件下,如果条件变化了,事件也可能发生变化.
(3)在一定条件下, 的事件,称为随机事件.
可能发生也可能不发生
温馨提示:(1)必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”,随机事件又称为“不确定事件”;
(2)要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地,必然事件发生的可能性最大,不可能事件发生的可能性最小,随机事件发生的可能性有大有小,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
典例导思
题型一 事件的判断与分类
例1 指出下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)太阳从西边下山; (2)某人的体温是100 ℃;
(3)a2+b2=-1(其中a,b都是实数);
(4)度量三角形的内角和,结果是360°;
(5)经过某一有交通信号灯的路口,遇到红灯;
(6)某射击运动员射击一次,命中靶心;
(7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解;
(8)标准大气压下加热到100 ℃时,水沸腾;
(9)姚明在罚球线上投篮一次,命中;
(10)掷一次骰子,向上的一面是6点.
解:必然事件:(1),(7),(8);
不可能事件:(2),(3),(4);
随机事件:(5),(6),(9),(10).
跟踪训练
1.下列事件中,为必然事件的是 ( )
A.在有理数中选出一个无理数
B.任意选择一个实数,它的绝对值大于0
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.投掷一枚骰子,出现的点数为奇数
C
2.“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件是 事件.(填“必然”“不可能”或“随机”)
必然
题型二 可能性大小的估计
例2 判断下列事件中,哪些事件发生的可能性是相同的,哪些不是.
(1)抛一枚质地均匀的骰子,出现1点或5点朝上的机会;
解:(1)出现的可能性相同,因为一枚均匀的骰子上只有一个“1”和一个“5”.
(2)从装有5个红球、3个白球的不透明袋中任取一球,取到红球或白球的可能性;
(2)出现的可能性不同,其中取到红球的可能性大.
(3)从一副牌面朝下的扑克牌中任取一张,取到小王或黑桃5的可能性;
(3)出现的可能性相同,因为一副扑克牌中只有一张小王和一张黑桃5.
(4)掷两枚质地均匀的骰子,出现的点数和是“2”或“5”的可能性.
(4)出现的可能性不同,因为出现点数和为“2”的只有1+1这一种可能情况,而点数和为“5”的有1+4,2+3,3+2,4+1这四种可能情况.
跟踪训练
3.一个不透明口袋中装有3个红球2个白球,除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,下列叙述正确的是 ( )
A.摸到红球是必然事件
B.摸到白球是不可能事件
C.摸到红球的可能性比白球大
D.摸到白球的可能性比红球大
C
4.请用“一定”“很可能”“可能”“可能性小”“可能性极小”“不可能”等语言来描述下列事件的可能性.
(1)买20注七星彩票,获特等奖500万;
(2)一个不透明袋中有40个球,4个红的,36个白的,从中任取一个球,取到红色的球;
可能性极小.
可能性小.
(3)掷一枚质地均匀的骰子,6点朝上;
(4)100件产品中有2件次品,98件正品,从中任取一件,刚好是正品;
(5)早晨太阳从东方升起;
(6)小丽能跳4 m高.
可能.
很可能.
一定.
不可能.
