(共6张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.3 一元一次方程的应用
第3课时 本息问题
1.王先生到银行存了一笔三年期的定期存款,年利率是2.65%.设王先生存入的本金为x元,若到期后取出,得到本息(本金+利息)共计33 825 元,则可列方程为 ( )
A.x+3×2.65%x=33 825 B.x+2.65%x=33 825
C.3×2.65%x=33 825 D.3(x+2.65x)=33 825
2.晓华把400元存入银行,年利率是2.66%,到期时晓华得到本息453.20元,则她一共存了( )
A.6年 B.5年
C.4年 D.3年
本息问题
A
B
3.张叔叔买了年利率是3.52%的五年期国库券,若他想五年后得到利息6 688元,则现在张叔叔应买这种国库券_________元.
4. 教材变式·P106练习T1 小丽将600元压岁钱存入银行,一年后,连本带息共取出615元,则年利率是____________.
38 000
2.5%
5.晓芬的父母为了积攒晓芬5年后上大学的学费6万元,他们计划现在就参加教育储蓄,直接存入一个五年期.已知五年期教育储蓄的年利率是4%,求晓芬的父母开始应存入多少元.
解:设晓芬的父母开始应存入x元.
根据题意,得x(1+4%×5)=60 000.
解得x=50 000.
答:晓芬的父母开始应存入50 000元.
6.某银行将三年期定期存款的年利率作了调整,调整前是3%,调整后为2.35%.某客户在该银行存入三年期定期存款若干,到期后所得利息将比利率调整前存入所得利息少1 053元,则该客户存入该银行的本金为 ( )
A.4.8万元 B.5.2万元
C.5.4万元 D.5.8万元
C
7.已知住房公积金贷款20年期的年利率是 3.1%,普通住房贷款5年期的年利率是3.5%.王老师在购房时同时用两种方式共贷款150万元,20年付清.第一年需付息5.01万元,求王老师贷了住房公积金贷款和普通住房贷款各多少万元.
解:设王老师贷了住房公积金贷款x万元.
根据题意,得0.031x+0.035(150-x)=5.01,解得x=60,
所以150-x=90(万元).
答:王老师贷了住房公积金贷款60万元,普通住房贷款90万元.(共6张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程及其解法
第2课时 去括号解一元一次方程
1.解方程-2(2x+1)=x,下列去括号中正确的是 ( )
A.-4x+1=-x B.-4x+2=-x
C.-4x-1=x D.-4x-2=x
2.解方程:5(x+8)-5=6(2x-7).
解:去括号,得____________________,
移项,得______________________,
合并同类项,得__________,
系数化为1,得 ________.
3.若5(x-2)与2(3-x)互为相反数,则x的值是____.
去括号解一元一次方程
D
5x+40-5=12x-42
5x-12x=-42-40+5
-7x=-77
x=11
4.教材变式·P99例2解下列方程.
(1)3x-2(10-x)=5.
解:去括号,得3x-20+2x=5,
移项,得3x+2x=5+20,
合并同类项,得5x=25,
两边同除以5,得x=5.
(2)3(4x-1)=7(2x-1)+1.
解:去括号,得12x-3=14x-7+1,
移项,得12x-14x=-7+1+3,
合并同类项,得-2x=-3,
两边同除以-2,得x=1.5.
5.设P=2y-2,Q=2y+3,且3P-Q=1,求y的值.
解:根据题意,得3(2y-2)-(2y+3)=1,
去括号,得6y-6-2y-3=1,
移项、合并同类项,得4y=10,
两边同除以4,得y=.
6.若方程3x+2a+1=x-(3a+2)的解是0,则a的值是____.
7.解下列方程.
(1)-2(x-1)-4(x-2)=1.
解:x=.
(2)2(3x+1)-3=-2.
解:x=-1.
-
8.已知y=1是方程2-(m-y)=2y的解,求关于x的方程m(x-3)-2=m(2x-5)的解.
解:因为y=1是方程2-(m-y)=2y的解,
所以2-(m-1)=2,
去括号,得2-m+1=2,
移项、合并同类项,得 -m=-1,
两边同除以-1,得m=1,
故所求方程为x-3-2=2x-5,
移项、合并同类项,得-x=0,
两边同除以-1,得x=0.(共11张PPT)
第3章 一次方程与方程组
*3.6 三元一次方程组及其解法
第1课时 三元一次方程组及其解法
1.下列方程组中,不是三元一次方程组的是 ( )
A.
C.
三元一次方程组及其解法
D
2.解方程组最简单的方法是( )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上都错误
C
3.三元一次方程组消去一个未知数后,所得二元一次方程组为( )
A.
C.
A
4.已知方程组则a+b+c=______.
5.已知三个整数a,b,c满足a=b+3,b=c+3,c=a+b+3,则a的值为________.
2
-6
6.解方程组:(1)
解:(1)②-①,得-2y=4,解得y=-2.
把y=-2代入①,得x-2+z=4,即x+z=6,④
把y=-2代入③,得4x-4+z=17,即4x+z=21,⑤
由④和⑤组成一个二元一次方程组
解得
所以原方程组的解是
(2)
解:①×2+③,得6x-3y=-3④,
①×7+②,得10x-2y=4⑤,
④×2-⑤×3,得-18x=-18,
解得x=1,
把x=1代入④,得y=3,
把x=1,y=3代入①,得z=-1.
故方程组的解为
7.(1)数学活动:探究不定方程
小张,小王两位同学在学习方程过程中,发现三元一次方程组虽然解不出x,y,z的具体数值,但可以解出x+y+z的值.请在以下横线处补全两人的解法.
小张的解法:
②×3-①×2,整理可得y=________,
①×3-②×2,整理可得x=________,
所以x+y+z=4;
小王的解法:①+②,整理可得________③,
所以________,得x+y+z=4.
(2)请利用解不定方程的思路解决以下问题:已知买4本英语簿,5本数学簿,2本作文本需要6元;买4本英语簿,8本数学簿,2本作文本需要7.2元,求买2本英语簿,3本数学簿,1本作文本需要多少元.
解:(1)解方程组
由题意得,小张的解法:②×3-①×2,
整理可得y=3-2z,
①×3-②×2,整理可得x=z+1,
所以x+y+z=4;
小王的解法:①+②,整理可得5x+5y+5z=20③,
所以③÷5得x+y+z=4.
故答案为3-2z;z+1;5x+5y+5z=20;③÷5.
(2)设1本英语簿x元,1本数学簿y元,1本作文本z元.
由题意,得
所以②-①,得3y=1.2,
解得y=0.4.
又由①×8-②×5整理,得2x+z=2,
所以2x+3y+z=3.2.(共10张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.1 方程
第2课时 等式的基本性质
1.若a=b,则下列变形中错误的是 ( )
A.a+3=b+3 B.a-c=b-c
C.2a=3b D.=
2.设x,y,c是有理数,则下列说法中错误的是( )
A.若x=y,则x+c=y+c B.若x=y,则x-c=y-c
C.若=,则2x=3y D.若x=y,则=(c≠0)
3.若a=b,则a+5=__________;3-a=__________;
-3a+1=________;=____.
1
等式的基本性质
C
C
b+5
3-b
-3b+1
4.下列方程的变形中正确的是 ( )
A.由7-x=9,得x=9-7
B.由3x=4,得x=
C.由x=6,得x=2
D.由3-x=5,得x=-2
2
利用等式的基本性质解方程
D
5.填空:
(1)在等式x+3=7的两边都________,得x=4,根据是____________________.
(2)在等式x-5=8的两边都________,得x=13,根据是____________________.
(3)在等式-=4的两边都__________,得x=__________,根据是____________________.
(4)如果-4x=-8,那么x=______,是等式两边都____________得到的,根据是________________.
减3
等式的基本性质1
加5
等式的基本性质1
乘-3
-12
等式的基本性质2
2
除以-4
等式的性质2
6. 教材变式·P97习题T2 根据等式的基本性质解方程.
(1)5-x=-2.
解:两边都减5,得-x=-7,
两边都除以-1,得x=7.
(2)3x-6=-30.
解:两边都加6,得3x=-24,
两边都除以3,得x=-8.
7.下列等式变形中正确的是 ( )
A.若s=a,则a=
B.若x=6,则x=3
C.若x-3=y-3,则x-y=0
D.若mx=my,则x=y
C
8.学习了等式的基本性质后,小言说利用等式的基本性质我可以得到5等于4.小佩说不可能,你怎么能得到.小言将解答写出,如下:
问题:有等式5x-8=4x-8.
解:因为5x-8=4x-8,
所以5x=4x,(第一步)
所以5=4.(第二步)
(1)上述过程中,第一步和第二步是怎么得到的
(2)小言的解法错误吗 若错误,错在哪一步 并说明理由.
解:(1)第一步依据等式的基本性质1,两边都加8得到,第二步依据等式的基本性质2,两边同时除以x得到.
(2)小言的解法错误,错在第二步.理由如下:等式两边都除以x,当x=0时,无意义.
9. 新考法 阅读材料,回答下列问题.
我们将关于x的方程ax=b称为含字母系数的方程,在解这样的方程时,需要进行分类讨论,解答过程如下.
解:当a≠0时,方程有唯一解x=;
当a=0,b=0时,即0x=0,方程有任意解;
当a=0,b≠0时,即0x=b,方程无解.
(1)请问关于x的方程(a-1)x=b+2什么时候有唯一解,并求出该解.
(2)请问关于x的方程2x+bx+4=a什么时候有任意解.
解:(1)因为方程(a-1)x=b+2有唯一解,
所以a-1≠0,解得a≠1,此时x=.
(2)由2x+bx+4=a得,(2+b)x=a-4.
因为方程有任意解,所以2+b=0,a-4=0,
所以a=4,b=-2.(共7张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程及其解法
第1课时 移项解一元一次方程
1.下列方程:3x-y=2,x+-2=0,x=,x2-2x-3=0,其中是一元一次方程的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.若关于x的方程(k-1)x-3k=0是一元一次方程,则k满足( )
A.任意数 B.k≠1
C.k=1 D.k>1
3.若3x2m-3+7=1是关于x的一元一次方程,则m的值是______.
1
一元一次方程的概念
A
B
2
4.对于方程3x-1=2x,移项,得3x-2x=1,也可以理解为方程两边同时 ( )
A.加上(-2x+1) B.减去(-2x+1)
C.加上(2x+1) D.减去(2x+1)
5.方程3x+6=2x-8移项后,正确的是( )
A.3x+2x=6-8 B.3x-2x=-8+6
C.3x-2x=-6-8 D.3x-2x=8-6
2
移项解一元一次方程
A
C
6.用适当的数或式子填空.
(1)若x+8=10,则x=10+____________.
(2)若4x=3x+7,则4x-________=7.
7.解方程x-2=-x时,移项,得_____________,合并同类项,得____________,系数化为1,得________.
(-8)
3x
x+x=2
x=2
x=
8.解方程.
(1)7x+2=5x-8.
解:移项,得7x-5x=-8-2,
合并同类项,得2x=-10,
两边同除以2,得x=-5.
(2)1-x=3x+.
解:移项,得-x-3x=-1,
合并同类项,得-x=,
两边同除以-,得x=-.
9.通过移项将下列方程变形,错误的是 ( )
A.由2x-3=-x-4,得2x-x=-4+3
B.由x+2=2x-7,得x-2x=-2-7
C.由5y-2=-6,得5y=-4
D.由x+3=2-4x,得5x=-1
10.若x=-1 是方程2ax=a-3 的解,则a的值是______.
11.若方程1+3x=4x-1和2m+x=4的解相同,则m的值是______.
A
1
1
12.当m为何值时,关于x的一元一次方程4x-2m=3x-1的解是x=2x-3的解的2倍
解:x=2x-3,移项,得x-2x=-3,
合并同类项,得-x=-3,
两边同除以-1,得x=3,
所以方程4x-2m=3x-1的解是x=6,
代入,得4×6-2m=3×6-1,-2m=-7,
m=.(共9张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第2课时 行程问题
1.教材变式·P120练习T3已知轮船顺流航行时的速度是 10 km/h,逆流航行时的速度是 6 km/h.若设水流速度是x km/h,
轮船在静水中的速度是y km/h,则可列方程组为____________.
行程问题
2.A,B两地相距126 km.一辆小汽车和一辆货车同时从A,B两地相向出发,经过 h相遇,相遇时小汽车比货车多行6 km.设小汽车和货车的速度分别是x km/h,y km/h,则可列方程组为
____________________.
3.新情境我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经,沿途降妖除魔,历经九九八十一难,到达西天取得真经修成正果的故事.现在请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗:悟空顺风探妖踪,千里只行四分钟,归时四分行六百,风速多少才称雄 解释:孙悟空顺风去查妖精的行踪,4 min就飞跃1 000里,逆风返回时4 min走了600里,则风速是________里/min.
50
4.A,B两地相距36 km,甲从A地步行到B地,乙从B地步行到A地,两人同时相向出发,4 h后两人相遇,6 h后,甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍,求两人的速度.
解:设甲的速度为x km/h,乙的速度为y km/h.
由题意,得解得
答:甲的速度为4 km/h,乙的速度为5 km/h.
5.甲、乙两人练习跑步,若乙先跑10 m,甲跑5 s就可追上乙;若乙先跑2 s,甲跑4 s就可追上乙.设甲的速度为x m/s,乙的速度为y m/s,则可列方程组为 ( )
A.
C.
B
6.滨德高速(S12)是连通滨州德州的重要路线,全长约144 km.一辆小汽车和一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出,经过45 min相遇,“……”.设小汽车和货车的速度分别为x km/h, y km/h,可以列出方程组为则“……”处省略的条件为( )
A.相遇时货车比小汽车多行12 km
B.相遇45 min后货车比小汽车少行12 km
C.相遇时小汽车比货车多行12 km
D.相遇45 min后小汽车比货车多行12 km
C
7.从小明家到学校,先是一段上坡路,然后是一段下坡路,小明走上坡路的平均速度为每分钟 60 m,下坡路的平均速度为每分钟90 m.他从家走到学校需要21 min,从学校走到家需要24 min,求小明家到学校的距离.
解:设上坡路有x m,下坡路有y m.
由题意,得解得
540+1 080=1 620(m).
答:小明家到学校的距离是1 620 m.
8. 教材变式·P123习题T7 一列火车通过某铁路桥,火车从上桥到完全离开桥共用30 s,而整列火车在桥上的时间为20 s.已知火车的速度为20 m/s,求铁路桥长和火车的长.
解:设铁路桥长为x m,火车长为y m.
由题意,得解得
答:铁路桥长为500 m,火车长为100 m.(共13张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.3 一元一次方程的应用
第1课时 图形问题
1.一块长方形土地的周长为18 m,长是宽的2倍多3 m,设宽为 x m,下列关于x的一元一次方程正确的是 ( )
A.x+(3+x)=18 B.2x+(3+x)=18
C.2(2x+3)+x=18 D.2(2x+3+x)=18
2.一个长方形的周长为32 cm,若长减少4 cm,宽增加2 cm,长方形就变成了正方形.若设原长方形的长为x cm,则可列方程为____________________.
1
与周长有关的问题
D
x-4=-x+2
3.用6 m长的铝合金条制成“日”字形窗框(如图),已知窗框的宽比高少0.5 m,若设窗框的宽为x m,则可列方程_____________.
3x+2(x+0.5)=6
4.如图,某小区长方形绿地的长、宽分别为35 m和15 m.现计划对其进行扩建,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的长方形绿地.若扩充后的长方形绿地的长是宽的2倍,求新的长方形绿地的长与宽.
解:设绿地的长、宽增加的长度为x m.
由题意,得35+x=2(15+x),解得x=5,
所以35+x=40,15+x=20.
答:新的长方形绿地的长与宽分别为40 m,20 m.
5.如图,将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm 的长条,且两次剪下的长条的面积正好相等,设正方形的边长为x cm,则可列方程为 ( )
2
与面积或体积有关的问题
A.4x=5(x-4)
B.4(x-4)=5x
C.4x=5(x+4)
D.4(x+4)=5x
A
6.如图,把同样多的水装入两个不同的量筒中,根据图中给出的信息,可列方程为 ( )
A.π·x=π··(x+5)
B.π·x=π··(x-5)
C.π·82x=π·62·(x+5)
D.π·82x=π·62×5
A
7.如图,长方形纸片的长是15 cm,长、宽上各剪去宽是3 cm的长条,剩下长方形纸片的面积是原长方形纸片的面积的,求原长方形纸片的面积.
解:设原长方形纸片的宽是
x cm,则原长方形纸片的面积是15x cm2,长、宽上各剪去宽是 3 cm的长条,剩下的面积是12(x-3)cm2.
根据题意,得15x×=12(x-3),
所以9x=12(x-3),解得x=12,
所以原长方形纸片的面积是
15×12=180(cm2).
答:原长方形纸片的面积是180 cm2.
8.如图是一栅栏围成的一边靠墙的长方形养鸡场,已知AD= 8 m,AB=3 m,现想增加宽度,重新用这些栅栏围了一个新的长方形养鸡场,若新围成的栅栏靠墙的长度AD=5 m,则新的长方形养鸡场的面积为 ( )
A.22.5 m2
B.23 m2
C.23.5 m2
D.24 m2
A
9.如图,把一块长为40 cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5 cm的小正方形,然后把纸板沿虚线折起,做成一个无盖长方体纸盒.若纸盒的体积是1 500 cm3,则长方形硬纸板的宽为________cm.
20
10.如图,大长方形由5个全等的小长方形和1个边长为6 cm的正方形拼成,求大长方形的周长.
解:根据题意可知,小长方形的长为6 cm.
设小长方形的宽为x cm,
则2×6=3x+6,解得x=2,
所以大长方形的宽为2+6=8(cm),
所以大长方形的周长为2×(2×6+8)=40(cm).
11.已知A,B,C三个圆柱形容器的底面积之比是1:2:3,且容器的高都是10 cm.若A,B,C三个容器中分别装有液面高度是6 cm, 8 cm,6 cm的液体,现把C容器中的液体分别倒入A,B两个容器中,直至装满这两个容器(无溢出),此时C容器中还剩120 cm3的液体.
(1)若设A容器的底面积为x cm2,请用含有x的单项式表示三个容器中液体的总体积.
(2)求C容器的体积.
(3)若A,B,C三个容器中的液体可互相倒入(无溢出),最后是否能使三个容器中的液体体积都相等 若能,求出每个容器中的液体体积;若不能,说明理由.
解:(1)6x+8×2x+6×3x=40x.
(2)120=3x×6-(10-6)x-2x×(10-8),
解得x=12,
所以C容器体积为3×12×10=360(cm3).
(3)不能.理由如下:
40×12÷3=160>120,
所以A容器容积不够,不能使三个容器中的液体体积相等.(共14张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程及其解法
第3课时 去分母解一元一次方程
1.解方程-1=时,为了去分母应将方程两边同乘( )
A.3 B.4
C.7 D.12
2.方程3-=-,去分母得( )
A.3-2(3x+5)=-(x+7)
B.12-2(3x+5)=-x+7
C.12-2(3x+5)=-(x+7)
D.12-6x+10=-(x+7)
去分母解一元一次方程
D
C
3.将方程-=1去分母得到2(2x-1)-3x+1=6,错在( )
A.最简公分母找错
B.去分母时分子部分没有加括号
C.去分母时漏乘3项
D.去分母时各项所乘的数不同
B
4.解方程-=1.
解:去分母,得___________________,
(____________________)
去括号,得___________________,(______________)
移项,得__________________,(____________________)
合并同类项,得____________,
系数化为1,得__________.(____________________)
5.若A=,B=2-,则当x=____ 时,A与B的值相等.
2(2x+1)-(x+2)=6
等式的基本性质2
4x+2-x-2=6
去括号法则
4x-x=6+2-2
等式的基本性质1
3x=6
x=2
等式的基本性质2
6. 教材变式·P101习题T2 解下列方程.
(1)+=4.
解:去分母,得3(x-3)+2(x-1)=24,
去括号,得3x-9+2x-2=24,
移项,得3x+2x=24+9+2,
合并同类项,得5x=35,
两边同除以5,得x=7.
(2)-=5.
解:去分母,得2x-3(30-x)=60,
去括号,得2x-90+3x=60,
移项、合并同类项,得5x=150,
两边同除以5,得x=30.
(3)-2=.
解:去分母,得3(x-1)-24=2(2x-3),
去括号,得3x-3-24=4x-6,
移项,得3x-4x=-6+3+24,
合并同类项,得-x=21,
两边同除以-1,得x=-21.
7.已知关于x 的方程2x-=0的解是x=-2,则a的值是( )
A.-21 B.21
C.-3 D.3
8.下列各方程的变形中,正确的是( )
A.方程=的分母化成整数,得15x=2
B.方程0.01-=5,去分母,得1-x=5
C.方程-=1,去分母、去括号,得2y-2-y+2=4
D.方程5%x=2%×3%,去分母,得5x=2×3
C
A
9.若比 的值大1,则2-a=________.
10.小强在解方程=1-时,不小心把其中一个数字用墨水污染成了△,他翻阅了答案知道这个方程的解为x=2,于是他判断污染了的数字△应该是______.
-3
-
11.解下列方程.
(1)0.4-0.6(y-3)=y-(y-7).
解:去分母,得6-9(y-3)=5y-9(y-7),
去括号,得6-9y+27=5y-9y+63,
移项,得-9y-5y+9y=63-6-27,
合并同类项,得-5y=30,
两边同除以-5,得y=-6.
(2)-=1.
解:原方程可化为-=1.
去分母,得30x-7(17-20x)=21,
去括号,得30x-119+140x=21,
移项,得30x+140x=21+119,
合并同类项,得170x=140,
两边同除以170,得x=.
12.某同学在对方程=-2去分母时,方程右边的-2没有乘3,这时方程的解是x=2.求a的值,并求出原方程正确的解.
解:由题意,得x=2是方程2x-1=x+a-2的解,
把x=2代入2x-1=x+a-2,得a=3.
把a=3代入原方程,得=-2,
去分母,得2x-1=x+3-6,
移项,得2x-x=3-6+1,
合并同类项,得x=-2.
所以a=3,原方程正确的解是x=-2.
13. 新考法 我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如:方程:2x=6与方程4x=12的解都为x=3,所以它们为同解方程.
(1)若方程2x-3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程,求k的值.
(2)若关于x的方程x-2(x-m)=4和-=1是同解方程,求m的值.
解:(1)2x-3=11,解得x=7.
因为方程2x-3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程,
所以把x=7代入方程4x+5=3k,得28+5=3k,
解得k=11,
所以k的值为11.
(2)因为x-2(x-m)=4,
所以x=2m-4.
因为方程x-2(x-m)=4和-=1是同解方程,
所以-=1,
所以3(3m-4)-2(2m-4)=6,
所以m=2.(共10张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.3 一元一次方程的应用
第5课时 比例问题
1.一箩筐内有梨、香蕉、苹果共450个,它们的数量比是2∶2∶5,则梨有 ( )
A.50个 B.100个
C.150个 D.250个
2. 数学文化 《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三十……”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米),其意为“50单位的粟,可换得30单位的粝米……”.若有2斗的粟(1斗=10升),按照此“粟米之法”,则可以换得的粝米为________升.
比例问题
B
12
3.甲、乙两个容器的容积之比为2∶5,它们的容积之差是 30 dm3,则甲、乙两个容器的容积分别是________ dm3和________ dm3.
4.将一个圆分割成四个扇形,它们的圆心角的度数比为1∶2∶3∶4,则其中最大扇形圆心角的度数为____________.
5.一个两位数,个位上的数字与十位上的数字的比是3∶2,将个位上的数字与十位上的数字对调后所得的两位数比原数大9,则原来的两位数是________.
6.甲、乙二人去商店买东西,他们所带钱数之比是7∶6,甲用掉50元,乙用掉60元,二人余下的钱数之比是3∶2,则甲余下的钱数是________元.
20
50
144°
23
90
7.已知质量为45 g的某种三色冰激凌中,咖啡色、红色和白色配料的比是1∶2∶6,则这种三色冰激凌中咖啡色、红色和白色配料的质量分别是多少
解:设这种三色冰激凌中咖啡色配料是x g,则红色和白色配料分别是2x g和6x g.
根据题意,得x+2x+6x=45,
解得x=5,则2x=2×5=10(g),6x=6×5=30(g).
答:这种三色冰激凌中咖啡色、红色和白色配料的质量分别是5 g,10 g和30 g.
8.学校运动会上,七(1)班参加比赛的女生与全班人数的比是1:6,参加比赛的男生与全班人数的比是1:4,参加比赛的男生比女生多5人.求七(1)班共有多少人.
解:设参加比赛的女生有x人,那么全班人数有6x人,参加比赛的男生有×6x人.
根据题意,得×6x-x=5,解得x=10.
6x=6×10=60(人).
答:七(1)班共有60人.
9.参加某次数学竞赛的女生人数和男生人数之比为1∶3,这次竞赛的平均成绩是82分,其中男生的平均成绩是80分,则女生的平均成绩是 ( )
A.82分 B.86分
C.87分 D.88分
D
10.桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子,杯深均为15 cm,各装有10 cm高的水,而且甲、乙、丙三个杯子的底面积分别为60 cm2,80 cm2,100 cm2.现将甲、乙两杯内的一些水倒入丙杯,过程中水没有溢出,使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5,则甲杯内水的高度变为 ( )
A.5.4 cm B.5.7 cm
C.7.2 cm D.7.5 cm
C
11. 数学文化 程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题:
意思是有100个和尚分100个馒头,若大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完.设大和尚有x人,则可列方程为________________.
3x+=100
12.某制药厂制造一批药品,若用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t;若用新工艺,则废水排量比环保限制的最大量少100 t,新、旧工艺的废水排量之比是2∶5,求新、旧两种工艺的废水排量分别是多少.
解:设新、旧两种工艺的废水排量分别是2x t,5x t.
根据题意,得5x-200=2x+100,解得 x=100.
则2x=2×100=200(t),5x=5×100=500(t).
答:新、旧工艺的废水排量分别是200 t和500 t.
13.甲、乙、丙三人每天生产机器零件数量的情况如下:甲、乙之比是4:3;乙、丙之比是6:5;甲与丙的和比乙的2倍多12件.求甲、乙、丙每天生产机器零件各多少件.
解:设乙每天生产机器零件6x件,则甲每天生产机器零件8x件,丙每天生产机器零件5x件.
根据题意,得8x+5x=2×6x+12,
解得x=12.
8x=96(件),6x=72(件),5x=60(件).
答:甲每天生产机器零件96件,乙每天生产机器零件72件,丙每天生产机器零件60件.(共9张PPT)
第3章 一次方程与方程组
*3.6 三元一次方程组及其解法
第2课时 三元一次方程组的应用
1.已知甲、乙两数之和为5,乙、丙两数之和为8,甲、丙两数之和为
6.设甲数为x,乙数为y,丙数为z,则可列方程组为_______________.
2.已知y=ax2+bx+c,若当x=1时,y=0;当x=-1时,y=6;当x=2时,y=3;则当x=-2时,y的值为( )
A.13 B.14
C.15 D.16
三元一次方程组的应用
C
3.学校的篮球数比排球数的2倍少3个,足球数与排球数的比是2∶3,三种球共41个,则篮球的个数为 ( )
A.21 B.12
C.8 D.35
A
4.某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个,甲、乙、丙三种零件各一个可以配成一套.现要在63天的生产中,使生产的三种零件全部配套,这个车间应对这三种零件的生产各用几天,才能使生产出来的零件配套
解:设甲、乙、丙三种零件的生产分别用了x天、y天、z天.
由题意,得解得
答:甲、乙、丙三种零件的生产分别用15天、30天、18天.
5.某次足球联赛在进行了12场比赛后,前三名的比赛成绩如下表所示:
胜/场 平/场 负/场 积分
A队 8 2 2 26
B队 6 5 1 23
C队 5 7 0 22
求每队胜1场、平1场、负1场各积多少分.
解:设每队胜1场积x分,平1场积y分,负1场积z分.
根据题意,得解得
答:每队胜1场积3分,平1场积1分,负1场积0分.
6.已知多项式ax2+bx+c中a,b,c为常数,x的取值与多项式对应的值如下表所示:
x 1 -5 2 -6
ax2+bx+c M M+12 7 N
则N的值为 ( )
A.15 B.19
C.21 D.23
D
7.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方把信息加密后发送给接收方,接收方收到信息解密后才能使用信息,加密规则为a,b,c加密为a+2b,2b+c,2c.例如1,2,3加密后为5,7,6,当接收方收到信息6,10,16时,发送方发送的信息为 ( )
A.4,1,1 B.4,6,7
C.4,1,8 D.1,6,8
C
8.某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售.晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒,但他身上的钱还差3元;若改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒,他身上的钱会剩下3元.每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵 ( )
A.1元 B.2元
C.3元 D.7元
B(共14张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第3课时 百分率问题
1.用8%的盐水和5%的盐水混合制成6%的盐水300 g,则这两种盐水各需多少克 设需用8%的盐水x g,5%的盐水y g,则可列方
程组为_____________________________.
2. 教材变式·P134复习题T13 用含药30%和75%的两种防腐药水配制成含药50%的防腐药水18 kg,则含药30%的药水需__________kg,含药75%的药水需______kg.
1
混合物问题
10
8
3.西部山区某县为响应国家“退林复耕”的号召,将该县一部分林地改为耕地,改还后,林地面积和耕地面积共180 km2,林地面积是耕地面积的25%.设改还后,林地面积为x km2,耕地面积为
y km2,则可列方程组为____________________.
4.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款,共计68万元,还贷期间每年需付8.42万元利息.已知甲种贷款每年的利率为12%,乙种贷款每年的利率为13%,则该公司申请的乙种贷款的金额是________万元.
2
百分比问题
26
5.小李家去年节余50 000元,今年可节余95 000元,并且今年收入比去年高10%,支出比去年低15%,今年的收入与支出各是多少 设去年的收入为x元,支出为y元,则可列方程组为 ( )
A.
B.
C.
D.
3
变化率问题
C
6.某校去年的学生人数是800人,今年是930人,与去年相比,男生人数增加了20%,女生人数增加了10%,则去年该校学生中男生人数是 __________人,女生人数是 __________人.
500
300
7.(2023·安徽)根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整:甲地上涨10%,乙地降价5元,已知销售单价调整前甲地比乙地少10元,调整后甲地比乙地少1元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
解:设调整前甲地该商品的销售单价为x元,乙地该商品的销售单价为y元.
根据题意,得
解得
答:调整前甲地该商品的销售单价为40元,乙地该商品的销售单价为50元.
8.商场销售某品牌运动套装,上衣和裤子一套售价为500元.若将上衣单价下调5%,将裤子单价上调8%,则这样一套运动套装的售价提高0.2%.设上衣和裤子在调价前单价分别为x元和y元,则可列方程组为 ( )
A.
B.
C.
D.
C
9.一、二两班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81%.如果一班学生的体育达标率为87.5%,二班学生的体育达标率为75%,请根据以上信息填写下表.
一班 二班 两班总和
学生人数 __________ __________ ____________
达标学生人数 __________ __________ __________
48
52
100
42
39
81
10.(2022·安徽)某地区2020年进出口总额为520亿元.2021年进出口总额比2020年有所增加,其中进口额增加了25%,出口额增加了30%.注:进出口总额=进口额+出口额.
(1)设2020年进口额为x亿元,出口额为y亿元,请用含x,y的代数式填表:
年份 进口额/ 亿元 出口额/ 亿元 进出口总
额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y _________________
1.25x+1.3y
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元,求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元.
解:(2)根据题意,得
解得
1.25x=1.25×320=400,1.3y=1.3×200=260.
答:2021年进口额为400亿元,出口额是为260亿元.
11. 新情境 营养对促进中学生机体健康具有重要意义.在对一份学生快餐进行检测后得到以下信息:
①快餐总质量为300 g.
②快餐的成分:碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质.
③蛋白质和脂肪共占50%;矿物质的含量是蛋白质含量的;蛋白质和碳水化合物含量共占70%.
根据上述信息回答下面问题:
(1)这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共__________g.
(2)分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量.
150
(3)学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为碳水化合物∶脂肪∶蛋白质=8∶1∶9,同时三者含量为总质量的90%.试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比” 如果符合,直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比;如果不符合,求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量(总质量仍为300 g).
解:(2)设矿物质的质量为x克,则蛋白质的质量为3x克,脂肪的质量为y克.
由题意,得解得
答:这份快餐中脂肪的质量为60 g,矿物质的质量为30 g.
(3)碳水化合物,脂肪,蛋白质的质量分别为120 g,60 g,90 g,
所以碳水化合物∶脂肪∶蛋白质=4∶2∶3,不符合理想比.
300×90%=270(g),
270÷(8+9+1)=15(g),
300×(1-90%)=30(g).
答:符合“理想比”的四种成分中脂肪的质量为15 g,矿物质的质量为30 g.(共12张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第1课时 二元一次方程组
1.下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.-y+xy=2 B.3x-11=5x
C.3x=2+y D.-=
2.已知方程(m-2)x|m|-1+y=5 是关于x,y 的二元一次方程,则m的值是( )
A.±2 B.2
C.-2 D.不存在
3.若2xm-2-3y-n+5=0是关于x,y的二元一次方程,则m=______, n=________.
1
二元一次方程
C
C
3
-1
4.下列方程组中,不是二元一次方程组的是 ( )
A.
C.
5.下列方程(组):①x+2=0;②3x-2y=1;③xy+1=0;④⑤其中一元一次方程是______,二元一次方程是______,二元一次方程组是______.(均填序号)
2
二元一次方程组
C
①
②
④
6.若方程组 是关于x,y的二元一次方程组,则a=________,b=________.
-3
-2
7.小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果,甲种水果每千克4元,乙种水果每千克6元,且乙种水果比甲种水果少买了2 kg,求小亮妈妈两种水果各买了多少千克.设小亮妈妈买了甲种水果x kg,乙种水果y kg,则可列方程组为 ( )
A.
C.
3
根据实际问题列二元一次方程组
A
8.某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,则可列方程组为
____________________.
9.如图,根据图中提供的信息,设一个暖瓶的价格为x元,一个杯
子的价格为y元,则可列方程组为_________________.
10. 新情境 沙滩上有一群小朋友在玩沙子,女孩戴着红色小帽,男孩戴着黄色小帽,每个人都看不到自己的帽子,每位男孩看到的红色小帽比黄色小帽多6个,而每位女孩看到的红色小帽比黄色小帽多两倍.设女孩有x人,男孩有y人,则可列方程组为
________________.
11. 数学文化 据《九章算术》记载:“以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺,问绳长井深各几何 ”译文:用绳子测量水井深度,若将绳子折成三等份,则每等份井外余绳四尺;若将绳子折成四等份,则每等份井外余绳一尺.问绳长和井深各几尺 设绳长x尺,井深y尺.由题意可得方程组为
_______________.
12.已知关于x,y的方程为(|m|-4)x2+(m-4)x+(n-1)y=1.
(1)当m,n为何值时,它是一元一次方程
(2)当m,n为何值时,它是二元一次方程
解:(1)当m=4,n≠1或m=-4,n=1时,它是一元一次方程.
(2)当m=-4,n≠1时,它是二元一次方程.
13.根据题意,列出二元一次方程组.
(1)学校举行的环保知识竞赛共有60道题,曾浩同学答对的题数比答错(不答视为答错)的题数的7倍还多4道,求他答对了多少道题.
(2)有一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为11,把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调,所得的新数比原数大63,求原两位数.
解:(1)设曾浩同学答对x道题,答错y道题.
根据题意,得方程组
(2)设原两位数的个位上的数字为x,十位上的数字为y,则用代数式表示原两位数为10y+x.
根据题意,得方程组(共8张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第4课时 调配与配套问题
1.新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土,平均每人每天挖土5 m3或运土3 m3.如何分配挖土和运土的人数,使得挖出的土刚好能被运完 若设分配x人挖土,y人运土,为求x和y的值,小聪正确地列出了其中一个方程x+y=96,你所列的另一个方程为______________.
2.甲、乙两个工程队分别有员工80人、100人,现在从外部调90人充实两队,调配后甲队人数是乙队的,则甲队得__________人,乙队得________人.
1
调配问题
5x=3y
28
62
3.服装厂第二车间的人数比第一车间的人数的2倍少10人,从第二车间调5人到第一车间后,两个车间的人数一样多.求这两个车间原来各有多少人.
解:设第一车间原来有x人,第二车间原来有y人.由题意,得解得
答:第一车间原来有20人,第二车间原来有30人.
4.(2024·赤峰)用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板;用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板,问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块 若设用A型钢板x块,用B型钢板y块,则可列方程组为 ( )
A.
C.
2
配套问题
C
5.某工厂一车间有51名工人,某月接到加工两种轿车零件的生产任务,每个工人每天能加工甲零件16个或加工乙零件21个,而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个,为了每天能配套生产应如何安排工人
解:设应分配x人生产甲零件,y人生产乙零件.
由题意,得解得
答:应安排35人生产甲零件,16人生产乙零件.
6.在手工制作课上,老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒.全班共有学生50人,其中男生x人,女生y人,男生人数比女生人数少2人.已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个.
(1)求这个班男生、女生各有多少人.
(2)原计划男生负责剪筒底,女生负责剪筒身,若要求一个筒身配两个筒底,请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套 如果不配套,请说明如何调配人员,才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套
解:(1)由题意,得解得
答:这个班男生有24人,女生有26人.
(2)男生剪筒底的数量24×120=2 880(个),
女生剪筒身的数量26×40=1 040(个),
因为一个筒身配两个筒底,2 880:1 040≠2:1,
所以原计划男生负责剪筒底,女生负责剪筒身,每小时剪出的筒身与筒底不能配套.
设男生应向女生支援a人.由题意,得120(24-a)=(26+a)×40×2,解得a=4.
答:原计划男生负责剪筒底,女生负责剪筒身,每小时剪出的筒身与筒底不能配套;男生应向女生支援4人,才能使每小时剪出的筒身与筒底配套.(共15张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第2课时 代入消元法
1.方程组的解是( )
A.
C.
1
二元一次方程组的解
C
2.下列各组解:①②③④⑤其中方程2x-3y=3的解是_________;方程x+y=4的解是__________;方程组的解是________.(均填序号)
3.请写出一个以x,y为未知数的二元一次方程组,且同时满足下列两个条件:①由两个二元一次方程组成;②方程组的解为这样的方程组可以是___________________________.
①③
②③④
③
(答案不唯一)
4.已知3x+y=4,则用含x的代数式表示y可得 ( )
A.x= B.x=
C.y=-3x+4 D.y=3x+4
5.用代入消元法解方程组时,将方程①代入方程②中,所得的方程是( )
A.5x+3x-3=6 B.5x+3x-1=6
C.5x+9x-3=6 D.5x+9x-1=6
2
代入消元法解二元一次方程组
C
C
6.数学老师设计了一个解方程组的接力游戏,学习小组4名同学每人完成一步.如图,这是4个人合作完成解方程组的过程,合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是 ( )
A.甲、乙、丙
B.甲、乙、丁
C.甲、丙、丁
D.乙、丙、丁
B
7. 教材变式·P111练习T2 用代入消元法解下列方程组.
(1)
解:把①代入②,得2(y-3)+3y=7.
去括号,得2y-6+3y=7.
移项、合并同类项,得5y=13,解得y=.
把y=代入①,得x=y-3=-3=-.
所以
(2)
解:由①,得y=3x-7③.
把③代入②,得5x+2(3x-7)=8.
去括号,得5x+6x-14=8.
移项、合并同类项,得11x=22,解得x=2.
把x=2代入③,得y=3×2-7=-1.
所以
(3)
解:将②代入①,得2x=x+2.
移项、合并同类项,得x=2.
把x=2代入①,得2×2=3y,
解得y=.所以
8. 教材变式·P112练习T3 已知是二元一次方程组的解,则m-n 的值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
9.已知-ax+yb6与4a4bx-y的和是单项式,则x,y的值分别是( )
A.x=5,y=-1 B.x=-1,y=5
C.x=5,y=1 D.x=6,y=-2
B
A
10.若方程2x-y=的解中,x,y互为相反数,则x=___,y=______.
11.已知方程组 的解也是关于x,y的方程ax+y=4的
一组解,则a的值为____.
-
12.用代入消元法解下列方程组.
(1)
解:由①,得y=4x-5.③
将③代入②,得2x+2=5×(4x-5)-5.
去括号,得2x+2=20x-25-5.
移项、合并同类项,得-18x=-32,解得x=,把x=代入③,得y=4×-5=.
所以
(2)
解:
13.已知关于x,y的二元一次方程组若该方程组的解x,y的值相等,求k的值.
解:把x=y代入方程4x+3y=14,
得7x=14,解得x=2,即x=y=2.
把x=2,y=2代入kx+(k-1)y=3,
得2k+2(k-1)=3,解得k=.
14.“整体代换”是一种常用的数学思想,在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想.例如:解方程组
将②变形,得3(x+2y)+y=24③,
将①代入③,得3×7+y=24,解得y=3,
将y=3代入①,得x+2×3=7,解得x=1,
所以方程组的解为
用“整体代换”法解方程组
解:解方程组
将②变形,得3(3x-2y)+2y=19③,
将①代入③,得15+2y=19,解得y=2,
将y=2代入①,得3x-2×2=5,解得x=3,
即方程组的解为(共17张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
第3课时 加减消元法
1.用加减消元法解方程组时,②-①得( )
A.x=6 B.3x=6
C.3x=2 D.x=2
2.用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中可以消元的是( )
A.①+② B.①-②
C.①+②×2 D.②×3-①
1
用加减消元法解二元一次方程组
D
D
3.用加减消元法解方程组:
解:①-②,得______________,所以x=______.
把__________代入①,得y=________.
所以原方程组的解为____________.
4.已知a,b满足方程组则a+b=____,a-b=______.
2x=10
5
x=5
-4
2
-2
5. 教材变式·P114练习T1 用加减消元法解下列方程组.
(1)(2024·苏州)
解:①-②,得4y=4,解得y=1,
将y=1代入①,得x=3,
所以方程组的解为
(2)(2024·浙江)
解:①×3+②,得10x=5,解得x=,
将x=代入①,得1-y=5,解得y=-4,
所以方程组的解为
6.老师留的作业中有这样一道解方程组的题: 小明同学完成的过程如下:
①-②,得y=6,第一步
将y=6代入②,得3x-6=7,第二步
解得x=,第三步
则方程组的解为第四步
(1)老师发现小明同学的解答有错误,小明同学的解答从第______步开始出现错误.
一
(2)请给出此题的正确解答过程.
解:(2)①-②,得3y=6,解得y=2,
将y=2代入①,得3x+2×2=13,
解得x=3,
所以方程组的解为
7.解方程组的最佳方法是( )
A.代入消元法消去a,由②,得a=b+2
B.代入消元法消去b,由①,得b=7-2a
C.加减消元法消去a,①-②×2,得3b=3
D.加减消元法消去b,①+②,得3a=9
2
选择合适的解法解二元一次方程组
D
8.用适当方法解下列方程组:
(1)
解:(1)①×2-②,得3y=6,解得y=2,
将y=2代入①,得x+2×2=5,解得x=1,
所以原方程组的解为
(2)
解:(2)①+②,得2x=3-x,解得x=1,
将x=1代入①,得=6-1,解得y=-14,
所以原方程组的解为
(3)
解:(3)将①代入②,得3x+2x+3=13,解得x=2,
将x=2代入①,得2y=4+3,解得y=,
所以原方程组的解为
9.若|x-2y+1|与(x+y-5)2互为相反数,则x=______,y=______.
10.在解关于x,y的二元一次方程组时,若①+②可以直接消去一个未知数,则m,n之间的数量关系可以用等式表示为______________.
11.已知关于x,y的方程组与方程组的解相同,则a=____,b=______.
3
2
m+n=0
1
12.用加减消元法解下列方程组.
(1)
解:①+②,得+=16,
即x+y=24.③
②-①,得+ =6,即x-y=12.④
联立③④得方程组解得
(2)
解:原方程组可化为
①+③×5,得 27x=17 550,解得 x=650④,
把④代入①,得y=50.
所以
13.已知方程组的解满足方程x+y=8,求m的值.
解:①+②,得
5x+5y=2m+2,5(x+y)=2m+2.
又因为x+y=8,所以5×8=2m+2,解得m=19.
14.已知关于x,y的二元一次方程组其中a为实数.
(1)当a=2时,求方程组的解.
(2)求x+y的值.(用含a的代数式表示)
解:(1)当a=2时,原方程组为
①+②,得4x=4,解得x=1,
将x=1代入②,得1-y=-2,解得y=3,
所以方程组的解为
(2)解方程组
①-②,得2x+2y=6a-4,
解得x+y=3a-2.(共17张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.5 二元一次方程组的应用
第1课时 简单的实际问题
1.(2024·湖北) 数学文化 《九章算术》中记载这样一个题:牛5头和羊2只共值10金,牛2头和羊5只共值8金,问牛和羊各值多少金 设每头牛值x金,每只羊值y金,可列方程为 ( )
A.
C.
简单的实际问题
A
2.某市的青少年校园足球联赛的比赛规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某校足球队在第一轮比赛中赛了9场,只负了2场,共得17分.那么该队胜了几场,平了几场 设该队胜了x场,平了y场,根据题意可列方程组为 ( )
A.
C.
A
3.(2024·泰安)数学文化我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容如下:九百九十九文钱,甜果苦果买一千,……,……,试问甜苦果几个,又问各该几个钱 若设买甜果x个,买苦果y个,列出符合题意的二元一次方程组:根据已有信息,题中用“……,……”表示的缺失的条件应为( )
A.甜果九个十一文,苦果七个四文钱
B.甜果七个四文钱,苦果九个十一文
C.甜果十一个九文,苦果四个七文钱
D.甜果四个七文钱,苦果十一个九文
A
4.某班环保小组收集废旧电池,数据统计如表所示,求1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少.设1节5号电池的质量为x克,1节7号电池的质量为y g,列方程组,由消元法可得x的值为________.
5号电池/节 7号电池/节 总质量/g
第一天 2 2 72
第二天 3 2 96
24
5.一次竞赛有20道选择题,每答对一道题得5分,答错或不答一道题扣2分.小亮答完全部竞赛题共得65分,则小亮答对________道题.
15
6.某商店推销有机黑胡椒和有机白胡椒.已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元,购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元,求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价.
解:设每千克有机黑胡椒的售价为x元,每千克有机白胡椒的售价为y元.
根据题意,得解得
答:每千克有机黑胡椒的售价为50元,每千克有机白胡椒的售价为60元.
7.(2024·安徽)乡村振兴战略实施以来,很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地,采用新技术种植A,B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表所示:
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共60万元.问A,B这两种农作物的种植面积各多少公顷
解:设A农作物的种植面积为x公顷,B农作物的种植面积为y公顷.
由题意,得解得
答:A农作物的种植面积为3公顷,B农作物的种植面积为4公顷.
8. 数学文化 《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中记载了这样一个题目:今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金,银各重几何 其大意是甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),两袋重量相等,两袋互换一枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金,白银各重几两 设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为 ( )
D
A.
B.
C.
D.
9.有大小两种货车,3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22 t,5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25 t,则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货____________t.
23.5
10.小华、小芳和小明玩掷飞镖游戏,每人掷8次,飞镖掷中的位置与得分情况如图所示.记小圆内的部分为A区,大圆内小圆外的部分为B区,掷中A区、B区的得分不同.
(1)求掷中A区、B区一次各得多少分.
(2)求小明的得分.
解:(1)设掷中A区一次得x分,掷中B区一次得y分.
根据题意,得解得
答:掷中A区一次得10分,掷中B区一次得9分.
(2)由(1),得4x+4y=4×10+4×9=76(分).
答:小明的得分为76分.
11.某校体育组长王老师,到超市为学校购买乒乓球拍、羽毛球拍共三次,有一次购买时,乒乓球拍、羽毛球拍同时打折,其余两次均按标价购买,三次购买乒乓球拍、羽毛球拍的数量及费用如下表所示:
乒乓球拍的 数量/副 羽毛球拍的 数量/副 总费用/元
第一次购买 6 5 1 140
第二次购买 3 7 1 110
第三次购买 9 8 1 062
(1)按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第几次购买 (不需要说明理由)
(2)求乒乓球拍、羽毛球拍的标价.
(3)若乒乓球拍、羽毛球拍的折扣相同,则超市是打几折出售的
解:(1)按打折价购买乒乓球拍、羽毛球拍是第三次购买.
(2)设乒乓球拍、羽毛球拍的标价分别为x元、y元.
根据题意,得解得
(3)设超市是打a折出售的.
根据题意,得(90×9+8×120)=1 062.
解方程,得a=6.
答:(2)乒乓球拍、羽毛球拍的标价分别为90元、120元.
(3)超市是打六折出售的.(共13张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.3 一元一次方程的应用
第4课时 销售和利润问题
1.超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第一次降价打八折,第二次降价每个又减10元,经两次降价后售价为90元,则可列方程为 ( )
A.0.8x-10=90 B.0.08x-10=90
C.90-0.8x=10 D.x-0.8x-10=90
2.一件服装的进价为150元,标价为300元,现按一定折扣销售,每件仍可获利60元,则这件服装应打( )
A.九折 B.八折
C.七折 D.六折
销售和利润问题
A
C
3.临近春节,商场开展打折促销活动,某商品若按原售价的八折出售,将盈利20元,而按原售价的六折出售,将亏损60元,则该商品的原售价为 ( )
A.300元 B.320元
C.350元 D.400元
4.某人以八折的优惠价购买了一件衣服省了10元,那么他购买这件衣服实际用了________元.
D
40
5.列方程解应用题:一件衬衫先按进价加价60元标价,再以八折出售,仍可获利24元,这件衬衫的进价是多少元
审题:设__________________________.
填表:
进价/元 标价/元 折数 售价/元 利润/元
______ ________ ________ ____________ _______________
列方程:______________________.
这件衬衫的进价是x元
x
x+60
八折
0.8(x+60)
[0.8(x+60)-x]
0.8(x+60)-x=24
6.一家商店在销售某种服装时,按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额,与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价.
解:设这种服装每件的标价是x元.
由题意,得
10×0.8x=11(x-30),解得x=110.
答:这种服装每件的标价为110元.
7.(2024·连云港)我市将5月21日设立为连云港市“人才日”,以最大诚意礼遇人才,让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元,其中邮费和优惠方式如下表所示:
邮购数量 1~99 100以上(含100)
邮寄费用 总价的10% 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元,求两次邮购的折扇各多少把.
解:若每次购买都是100把,则200×8×0.9=1 440≠1 504,
所以一次购买少于100把,另一次购买多于100把.
设一次邮购折扇x(x<100)把,则另一次邮购折扇(200-x)把.
由题意,得8x(1+10%)+0.9×8(200-x)=1 504,
解得x=40.
所以200-x=200-40=160.
答:两次邮购的折扇分别是40把和160把.
8.商店元旦促销,某款衣服打八折销售,每件比标价少35元,仍获利15元.下列说法中正确的是 ( )
A.标价为每件170元
B.促销单价为135元
C.进价为每件125元
D.不打折时利润为每件45元
9.某玩具店销售一种玩具,按规定会员购买打八折,非会员购买打九折.同样购买一样玩具,小芳按会员购买比小明按非会员购买少花了3元钱,则这种玩具按会员购买的价格是________元.
C
24
10.(2024·合肥新站期末)有一批进价为9元/kg的苹果1 000 kg,在运输和仓储的损耗率为10%,为保证这批苹果的利润率达到20%,则售价应为________元/kg.
12
11.超市销售甲、乙两种商品,乙种商品的单价比甲种商品少20元.由于市场供需变化,超市决定将甲种商品提价20%,乙种商品降价10%,调价后,乙种商品的单价是甲种商品的一半.求调价后甲种商品的单价.
解:设调价前甲种商品的单价是x元,则乙种商品的单价是(x-20)元.
根据题意,得(1+20%)x=2×(1-10%)(x-20),解得x=60,
所以(1+20%)x=72(元).
答:调价后甲种商品的单价是72元.
12.某商场经销A,B两种商品,A种商品每件进价40元,利润率是50%;B种商品每件进价50元,售价80元.
(1)A种商品每件的售价是________元,B种商品每件的利润率是__________.
(2)若该商场同时购进A,B两种商品共50件,恰好总进价为2 100元,求购进A种商品的数量.
解:(2)设购进A种商品为x件,则购进B种商品为(50-x)件.
根据题意,得40x+50(50-x)=2 100,
解得x=40,
故购进A种商品40件.
60
60%
(3)在“春节”期间,该商场对A,B两种商品进行如下的优惠促销活动:
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过450元 不优惠
超过450元,但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠,超过600元的部分打七折
按上述优惠条件,若小华一次性购买A,B商品实际付款522元,求若没有优惠促销,小华在该商场购买同样的商品要付多少元.
(3)设小华打折前应付款y元.
①打折前购物总金额超过450元,但不超过600元,根据题意,得0.9y=522,
解得y=580;
②打折前购物总金额超过600元,
600×0.8+(y-600)×0.7=522,
解得y=660.
答:若没有优惠促销,小华在该商场购买同样的商品要付580元或660元.(共15张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.3 一元一次方程的应用
第2课时 行程问题
1.小明和小刚从相距25 km的两地同时相向而行,3 h后两人相遇,小明的速度是4 km/h,设小刚的速度是x km/h,则可列方程为 ( )
A.4+3x=25 B.12+x=25
C.3(4+x)=25 D.3(4-x)=25
1
相遇问题
C
2. 教材变式·P104练习T3 运动场环形跑道的周长是400 m,小林跑步的速度是爷爷的2倍,他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发,5 min 后小林第一次与爷爷相遇,小林跑步的速度是 ( )
A.120 m/min B.160 m/min
C.180 m/min D.200 m/min
B
3.甲、乙两人分别从相隔50 km的A,B两地同时出发,甲骑自行车的速度为每小时20 km,乙步行的速度为每小时5 km.
(1)甲、乙分别从A,B两地同时出发,相向而行,经过几小时两人相遇
(2)甲、乙两人同时从A地出发,同向而行,当甲到达B地时立刻掉头返回A地,经过几小时两人相遇
解:(1)设经过x h两人相遇.
由题意,得20x+5x=50,解得x=2,
答:经过2 h两人相遇.
(2)设经过y h两人相遇.
由题意,得20y+5y=50×2,解得y=4,
答:经过4 h两人相遇.
4.一天小明以4.8 km/h的速度出发去上学,5 min 后,小明的爸爸发现小明忘了带数学书,于是小明的爸爸立即以10.4 km/h的速度去追小明,并在途中追上了小明,求小明的爸爸追上小明用了多长时间.若设小明的爸爸用了x h追上小明,则可列方程为 ( )
A.10.4x=4.8x+4.8×5
B.10.4x+4.8×5=4.8x
C.10.4x=4.8x+4.8×
D.10.4x+4.8×=4.8x
2
追及问题
C
5.(2024·扬州) 数学文化 《九章算术》是中国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题,可理解为速度快的人每分钟走 100 m,速度慢的人每分钟走60 m,现在速度慢的人先走100 m,速度快的人去追他,则速度快的人追上他需要__________min.
2.5
6.学校组织七年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学游活动,小李因事迟到了10 min才赶到学校,他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发,沿相同的路线用了30 min在路上追上了大客车.已知小汽车比大客车每小时多行驶20 km,分别求大客车、小汽车的速度.
解:设大客车的速度为x km/h,则小汽车的速度为(x+20)km/h.
由题意可得,(x+20)=x,
解得x=60,
所以x+20=60+20=80.
答:大客车的速度为60 km/h,小汽车的速度为80 km/h.
7.一架飞机在两城之间飞行,风速为24 km/h,顺风飞行需要2 h 50 min,逆风飞行需要3 h.若设无风时飞机的飞行速度为x km/h,则可列方程为________________________________.
8.李明早上骑自行车上学,中途因道路施工推自行车步行了一段路,到学校共用时15 min.他骑自行车的平均速度是 250 m/min,推自行车步行的平均速度是80 m/min,他家离学校的路程是2 900 m.设他推自行车步行的时间为x min,则可列方程为________________________.
3
变速问题,顺风、顺水问题
(x+24)×2=(x-24)×3
250(15-x)+80x=2 900
9.一艘货船从甲地顺流而下到达乙地再返回,已知货船在静水中的速度是40 km/h,水流速度是10 km/h,且从甲地顺流到达乙地比从乙地逆流到达甲地所花的时间少1 h.设从甲地到达乙地的路程为x km,则可列方程为 ( )
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
C
10.从甲地到乙地,公共汽车原来需要行驶7 h,开通高速公路后,路程缩短了20 km,车速平均每小时增加了40 km,只需要4 h即可到达,则甲、乙两地之间高速公路的路程是 ( )
A.320 km B.380 km
C.400 km D.420 km
C
11. 新情境 为提高学生的科创兴趣,学校科创小组准备在学校举办机器人接力跑步比赛.比赛过程中,位于最后一棒的机器人甲,在收到接力信号后,以平均0.5 m/s的速度出发向终点跑去,20 s后,位于另一跑道最后一棒的机器人乙在收到接力信号后,开始以平均0.6 m/s的速度开始追赶机器人甲,若此刻机器人甲距离终点还有60 m,则到达终点前,机器人乙是否能够追赶上机器人甲
解:设机器人乙x s可以追上机器人甲.
根据题意,得0.6x-20×0.5=0.5x,解得x=100.
所以在经过100 s后,机器人甲距离终点还有60-0.5× 100=10(m),
所以在到达终点前,机器人乙能够追赶上机器人甲.
12.甲、乙两地相距180 km,一列慢车以40 km/h的速度从甲地匀速驶往乙地,慢车出发30 min 后,一列快车以60 km/h的速度也从甲地匀速驶往乙地,两车相继到达终点乙地.在此过程中(从快车出发开始计算),求两车恰好相距10 km的时间.
解:设快车出发x h时,两车恰好相距10 km.
①当快车未超过慢车时,
40-10=60x,解得x=;
②当快车超过慢车10 km时,
40+10=60x,解得x=;
③当快车到达终点乙地后,
40=180-10,解得x=,
所以快车出发 h, h或 h,两车恰好相距10 km.(共11张PPT)
第3章 一次方程与方程组
3.1 方程
第1课时 方程和方程的解
1.下列不是方程的是 ( )
A.5x+3=3x+7 B.2x+1=3
C.+ D.x=4
2.下列说法中正确的是( )
A.方程5x+5=5的解是5
B.5x+5<5是方程
C.等式一定是方程
D.方程一定是等式
1
方程的概念
C
D
3.下列解为x=2的方程是 ( )
A.4x=2 B.3x+6=0
C.x=0 D.7x-14=0
4.若x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根,则下列等式正确的是( )
A.a+b+c=1 B.a-b+c=0
C.a+b+c=0 D.a-b-c=0
5.若关于x的方程+a=4的解是x=2,则a的值为______.
2
方程的解(根)的概念
D
C
3
6.检验下列各小题后面括号里的数是不是它前面方程的解.
(1)3y-1=2y+1.(y=2,y=4)
(2)3(x+1)=2x-1.(x=2,x=-4)
解:(1)将y=2代入3y-1=2y+1中,得左边=5,右边=5,
由左边=右边,得y=2是方程的解;
将y=4代入3y-1=2y+1中,得左边=11,右边=9,
由左边≠右边,得y=4不是方程的解.
(2)将x=2代入3(x+1)=2x-1,得
左边=9,右边=3,
由左边≠右边,得x=2不是方程的解;
将x=-4代入3(x+1)=2x-1中,
得左边=-9,
右边=-9,
由左边=右边,得x=-4是方程的解.
7.根据“x的3倍与5的和等于x的”,列出的方程是( )
A.3x+5= B.3x+5=x+
C.3(x+5)= D.3(x+5)=x+
8.根据题意列方程:
(1)x的2倍比它的一半大3,则列方程为______________.
(2)x的5倍比x的2倍小12,则列方程为____________________.
3
根据实际问题列方程
A
2x-x=3
5x=2x-12
9. 教材变式·P92问题 根据下列题干设未知数列方程.
(1)从60 cm的木条上截去两段同样长的木条,还剩下10 cm长的短木条,截下的每段为多少
(2)小红对小敏说:“我是6月份出生的,我的年龄的2倍加上10天,正好是我出生的那个月的总天数,你猜我有几岁 ”
解:(1)设截下的每段为x cm.由题意,得60-2x=10.
(2)设小红的岁数为x.由题意,得2x+10=30.
10. 数学文化 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录的一道题其内容是:“分田地,三人分之二,留三亩,问田地几何 ”设田地有x亩,则可列方程为 ( )
A.=x+3 B.=x-3
C.=2x+3 D.=2x-3
B
11.下面是一个被墨水污染过的方程:2x-=3x- ,答案显示此方程的解是x=-1,被墨水遮盖的是一个常数,则这个常数是( )
A.1 B.-1
C.- D.
12.若三个连续偶数的和为18,设最大的偶数为x,则可列方程为____________________.
13.若y=1是方程my=y+2的解,则m2-3m+1的值为______.
C
x+(x-2)+(x-4)=18
1
14.在一次手工活动中,甲班制作工艺品的数量比乙班多20%,乙班制作工艺品的数量比甲班的一半多10个.设乙班制作工艺品的数量为x个.
(1)列两个不同的含x的整式表示甲班制作工艺品的数量.
(2)根据题意列出含有未知数x的方程.
(3)检验甲班、乙班制作工艺品的数量是不是分别为35个和25个.
解:(1)根据甲班制作工艺品的数量比乙班多20%,得甲班制作工艺品的数量为(1+20%)x.
根据乙班制作工艺品的数量比甲班的一半多10个,得甲班制作工艺品的数量为2(x-10).
(2)由题意,得(1+20%)x=2(x-10).
(3)将x=25代入(1+20%)x=2(x-10),
得左边=右边,所以x=25是原方程的解,
所以甲班制作工艺品的数量为
25×(1+20%)=30≠35,
所以甲班制作工艺品的数量是30个,而不是35个,乙班制作工艺品的数量是25个.
