(共17张PPT)
第4章 几何图形初步
4.5 角的比较与补(余)角
第1课时 角的比较与角平分线
1.如图,射线OB,OD在∠AOC的内部,下列说法中不一定正确的是 ( )
A.∠AOC>∠BOC B.∠BOC>∠AOB
C.∠BOD<∠AOD D.∠BOD<∠AOC
1
角的大小比较
B
2.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都为1,则∠1与∠2的大小关系为 ( )
A.∠1<∠2 B.∠1=∠2
C.∠1>∠2 D.无法比较
A
3.如图,根据图形填空.
(1)∠AOC=____________+____________.
(2)∠AOB=____________-____________,
或∠AOB=____________-____________.
(3)若∠AOC=∠BOD,则∠AOB______(选填“>”“<”或“=”)∠COD.
(4)若∠AOB=∠COD,则∠AOC______(选填“>” “<”或“=”)∠BOD.
2
角的和差
∠AOB
∠BOC
∠AOC
∠BOC
∠AOD
∠BOD
=
=
4.如图,∠AOC=∠BOD=70°,∠BOC=30°,求∠AOD的度数.
解:因为∠AOC=70°,∠BOC=30°,
所以∠AOB=70°-30°=40°,
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+70°=110°.
5.如图,AM是∠BAC的平分线,下列结论中错误的是 ( )
A.∠BAC=∠BAM B.∠BAM=∠CAM
C.∠BAM=2∠CAM D.2∠CAM=∠BAC
3
角的平分线
C
6.如图,点O是直线AB上的一点,∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是 ( )
A.20° B.25°
C.30° D.70°
D
7.如图,∠AOB=120°,∠BOC=30°,OD是∠AOC的平分线,则∠BOD的度数是 ( )
A.45° B.75°
C.85° D.90°
B
8.如图,OC平分∠BOD,∠AOD=110°,∠COD=35°,求∠AOB和∠AOC的度数.
解:因为OC平分∠BOD,∠COD=35°,
所以∠BOD=2∠COD=70°.
又因为∠AOD=110°,
所以∠AOB=∠AOD-∠BOD=110°-70°=40°,
所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=∠COD+∠AOB=35°+40°
=75°.
9.如图是我们常用的一副三角尺.用一副三角尺不能拼出的角度是 ( )
A.105° B.75°
C.135° D.175°
D
10.已知∠AOB=60°,OM平分∠AOB,∠BOC=20°,ON平分∠BOC,则∠MON的度数是__________________.
11.如图,点O是直线AB上的一点,OD是∠AOC 的平分线,OE是∠COB的平分线,则∠DOE=__________.
20°或40°
90°
12.如图,∠AOC:∠COD:∠BOD=2:3:4,且A,O,B三点在一条直线上,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOD,OG平分∠EOF,求∠GOF的度数.将下列解题过程补充完整.
解:因为∠AOC:∠COD:∠BOD=2:3:4,
所以∠AOC=________,∠COD=_________,BOD=__________.
因为OE,OF分别平分∠AOC,∠BOD,
所以∠AOE=____________________,
∠BOF=____________________,
所以∠EOF=___________________________________.
又因为____________________,所以∠GOF=60°.
40°
60°
80°
∠EOC=20°
∠DOF=40°
∠EOC+∠COD+∠DOF=120°
OG平分∠EOF
13.如图,∠AOB=90°,∠AOC=30°,且OM平分∠BOC,ON平分∠AOC.
(1)求∠MON的度数.
(2)若∠AOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数.
(3)若∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数.
解:(1)因为∠AOB=90°,
∠AOC=30°,
所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+30°=120°.
因为OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,
所以∠COM=∠BOC=×120°=60°,
∠CON=∠AOC=×30°=15°,
所以∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°.
(2)因为∠AOB=90°,∠AOC=β,
所以∠BOC=90°+β.
因为OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,
所以∠COM=∠BOC=45°+,∠CON=∠AOC=,
所以∠MON=∠COM-∠CON=45°+-=45°.
(3)因为∠AOB=α,∠AOC=30°,
所以∠BOC=α+30°.
因为OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,
所以∠COM=∠BOC=+15°,
∠CON=∠AOC=×30°=15°,
所以∠MON=∠COM-∠CON=+15°-15°=.(共9张PPT)
第4章 几何图形初步
4.4 角
第1课时 角的概念和表示
1.下列说法中正确的是 ( )
A.有公共端点的两条射线组成的图形叫作角
B.两条射线组成的图形叫作角
C.两条线段组成的图形叫作角
D.一条射线从一个位置移到另一个位置所形成的图形叫作角
2.如图,下列说法中正确的是( )
A.∠ADE就是∠D
B.∠ABC可以用∠B表示
C.∠ABC和∠ACB是同一个角
D.∠BAC和∠DAE是不同的两个角
1
角的概念与表示
A
B
3.请将图中的角用不同方法表示出来,并填写下表:
方法一 ∠ABE
方法二 ∠1 ∠2 ∠3
∠ABC
∠ACB
∠ACF
∠α
4.如图,图中有______个角,分别是____________________ (用字母表示),其中∠AOB用数字表示为________,∠BOC用希腊字母表示为__________.
3
∠AOB,∠AOC,∠BOC
∠1
∠β
5.下列说法中正确的是 ( )
A.大于0°且小于90°的角是锐角
B.大于90°的角是钝角
C.大于0°且小于180°的角是锐角或钝角
D.直角既是锐角也是钝角
6.下列说法中正确的是( )
A.平角是一条直线
B.钝角是小于直角的角
C.锐角是大于直角的角
D.角的大小与角的两边的长短无关
2
角的分类
A
D
7.如图,AO与BD相互垂直,则图中的锐角是_______________,钝角是____________,直角是______________________,平角是____________.
∠AOC,∠BOC
∠DOC
∠AOD,∠AOB
∠BOD
8.下列各角中是锐角的是 ( )
A.平角 B.周角
C.直角 D.周角
9.如图,在边OB上取一点C,过点C作直线MN交OA于点D,图中所有角(平角、圆角除外)有______个,其中∠BCN和______________________构成平角.
B
9
∠BCM或∠DCO
10.如图:
(1)以点B为顶点的角有几个 分别表示出来.
(2)请分别指出以射线BA为边的角.
(3)以点D为顶点,DC为一边的角有几个 分别写出来.
解:(1)以点B为顶点的角:∠ABC,∠ABD,∠DBC,共3个.
(2)以射线BA为边的角:∠ABE,∠ABC.
(3)以点D为顶点,DC为一边的角:∠BDC,∠EDC,共2个.(共10张PPT)
第4章 几何图形初步
4.2 线段、射线、直线
第2课时 两点确定一条直线
1.同时经过平面上的两点,可作直线的条数是 ( )
A.一条 B.两条
C.三条 D.无数条
2.在墙壁上固定一根横放的木条,则至少需要钉子的枚数是( )
A.1枚 B.2枚
C.3枚 D.任意枚
1
两点确定一条直线
A
B
3.下列说法中错误的是 ( )
A.过一点可以作无数条直线
B.两条直线相交,只有一个交点
C.两点确定一条直线
D.过平面上的任意三点,一定能做三条直线
4.工人师傅在用地砖铺地时,常常打两个木桩,然后沿着拉紧的线铺地,这样地砖就铺得整齐,这样做的数学道理是____________________.
D
两点确定一条直线
2
两条直线相交
5.下列选项中所给的射线、直线能相交的是 ( )
B
6.如图,点A在直线______上,在直线______外;直线b不经过点______;直线a,b相交于点______.
a
b
A
O
7. 教材变式·P146习题T1 如图,已知A,B,C,D四点,根据下列语句用尺规作图.
(1)画直线AB.
(2)画射线BD.
(3)连接AC,交BD于点M.
解:如图所示.
8.平面上有四个点,经过每两点画一条直线,可以画出直线 ( )
A.1或4条 B.4或6条
C.1或6条 D.1或4或6条
D
9.如图,在平面内有A,B,C三点.
(1)画直线AC,线段BC,射线AB.
(2)在线段BC上任取一点D(不同于点B,C),连接线段AD,并反向延长.
(3)此时图中线段共有______条.
解:(1)(2)图略.
(3)图中线段共有6条.
6
10.如图:
(1)试验观察:若每过两点可以画一条直线,则:
第①组最多可以画______条直线;
第②组最多可以画______条直线;
第③组最多可以画________条直线.
3
6
10
(2)探索归纳:若平面上有n(n≥3)个点,且每3个点均不在同一条
直线上,则最多可以画_________(用含n的代数式表示)条直线.
(3)解决问题:某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手,则共握__________次手.
990(共10张PPT)
第4章 几何图形初步
4.4 角
第2课时 角的度量
1.如图,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
1
角的度量
C
2.(1)把26.29°转化为用度、分、秒表示的形式为_________.
(2)把33°24'36″转化成用度表示的形式为__________.
26°17'24″
33.41°
3. 教材变式·P156习题T3 计算.
(1)131°28'-32'15″.
解:131°28'-32'15″=130°55'45″.
(2)58°38'27″+47°42'40″.
解:58°38'27″+47°42'40″=106°21'7″.
(3)25°38'45″×3.
解:25°38'45″×3=76°56'15″.
(4)109°15'24″÷4.
解:109°15'24″÷4=27°18'51″.
4.(2024·广西)如图,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角为 ( )
A.20° B.40°
C.60° D.80°
2
角的实际应用
C
5.岛A和岛B处于东西方向的一条直线上,由岛A和岛B分别测得船C位于北偏东40°和北偏西50°方向上,下列符合条件的示意图是 ( )
D
6.从1点15分到1点35分,时钟的分针转了__________度,时针转了________度.
120
10
7.若∠A=26°18',∠B=26°15'30″,∠C=26.25°,则 ( )
A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C
C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B
8.(1)钟表上的时间是2时35分,此时时针与分针所成的夹角是________________.
(2)如图,在灯塔O处观测小岛B位于南偏西63°的方向上,同时小岛C在灯塔O的北偏东27°的方向上,则∠BOC的度数是____________.
A
132.5°
144°
9.计算:
(1)13°16'×5-18°12'÷6.
解:原式=66°20'-3°2'
=63°18'.
(2)182°36'÷4+22°16'×3.
解:原式=45°+(2°+36')÷4+66°48'
=45°+156'÷4+66°48'
=45°+39'+66°48'
=112°27'.
10.如图,∠1∶∠2∶∠3∶∠4=1∶2∶3∶4,求∠1,∠2,∠3,∠4的度数.
解:设∠1=x,则∠2=2x,∠3=3x,∠4=4x.
因为∠1,∠2,∠3,∠4构成一个周角,
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°,
即x+2x+3x+4x=360°.
化简,得10x=360°,
解得x=36°,
所以∠1=x=36°,∠2=2x=72°,
∠3=3x=108°,∠4=4x=144°.(共11张PPT)
第4章 几何图形初步
4.2 线段、射线、直线
第1课时 线段、射线、直线
1.手电筒发射出来的光线,类似于几何中的 ( )
A.线段 B.射线
C.直线 D.折线
2.下列图形中,可以表示为线段AB的是( )
1
线段、射线、直线的认识及表示
B
C
3.如图,下列说法中错误的是 ( )
A.线段AC与线段CA表示同一条线段
B.射线AC与射线BC表示同一条射线
C.直线AB与直线BC表示同一条直线
D.射线AB与射线AC表示同一条射线
B
4.如图,以点O为端点的射线共有______条,它们分别是____________________________________,图中线段有______条.
4
射线OA,射线OB,射线OC,射线OD
8
5.下列各种图形中,可以比较长短的是 ( )
A.两条射线 B.两条直线
C.直线与射线 D.两条线段
6.如图,下列说法中正确的是( )
A.点A在线段BO上
B.点A在射线BO上
C.点A在线段BO的延长线上
D.点A在线段BO的反向延长线上
2
线段、射线、直线的联系与区别
D
D
7.下列语句:①画直线AB=3 cm;②延长直线OA;③直线AB与直线BA是同一条直线,所以射线AB与射线BA也是同一条射线;④在同一个图形中,线段AB与线段BA是同一条线段.其中叙述正确的有 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
B
8.已知A,B,C,D四点,按给出的语句画出图形:①直线AB;②射线CB;③线段CD,并延长线段CD.下列四幅图中正确的是 ( )
D
9.如图,数轴上点O表示原点,点 A 表示-2,点 B 表示1,点 C 表示2.
(1)数轴可以看作是什么图形
(2)数轴上原点及原点左边的部分是什么图形 这个图形怎样表示
(3)射线OB 与射线 OC 是同一条射线吗 端点表示什么数
(4)射线AB 与射线 BA 是同一条射线吗 为什么
(5)数轴上表示绝对值不大于2的部分是什么图形 这个图形怎样表示
解:(1)数轴可以看作规定了原点、正方向、单位长度的直线.
(2)数轴上原点及原点左边的部分是射线,可表示为射线OA.
(3)射线OB与射线 OC 是同一条射线,端点表示0.
(4)射线AB 与射线BA 不是同一条射线.因为端点不同,延伸方向也不同.
(5)数轴上表示绝对值不大于2的部分是线段,可表示为线段AC 或线段CA.
10.往返于甲、乙两地的列车,中途需要停靠4个车站,如果每两站的路程都不相同.
(1)甲、乙两地之间有________种不同的票价.
(2)要准备________种不同的车票.(往返票价相同)
15
30
解:(1)如图:
根据线段的定义,可知图中的线段有AC,AD,AE,AF,AB,CD, CE,CF,CB,DE,DF,DB,EF,EB,FB共15条,所以甲、乙两地之间有15种不同的票价.
(2)因车票需要考虑方向性,如,“A→C”与“C→A”票价相同,但车票不同,故需要准备30种车票.(共10张PPT)
第4章 几何图形初步
4.5 角的比较与补(余)角
第3课时 作一个角等于已知角
1.下列对尺规作图步骤的描述不准确的是 ( )
A.作∠ABC,使∠ABC=∠α+∠β
B.作∠AOB,使∠AOB=2∠α
C.以点A为圆心,线段a的长为半径作弧
D.以点O为圆心作弧
作一个角等于已知角
D
2.如图,用直尺和圆规作一个角等于已知角,下列说法: ①OA=O'A';②OB=O'B';③CD=C'D';④∠AOB=∠A'O'B'.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
3.如图,已知∠AOB,以点O为圆心,任意长度为半径画弧①,分别交OA,OB于点E,F,再以点E为圆心,EF的长为半径画弧,交弧①于点D,画射线OD.若∠AOB=26°,则∠AOD的度数为__________.
26°
4.作图:已知∠AOB,点P在OA上,请以点P为顶点,PA为一边,作∠APC=∠AOB.
解:如图所示,∠APC即为所求的角.
5.如图,已知∠α,∠β,求作∠AOB,使∠AOB=∠α-∠β.
解:如图所示,∠AOB即为所求.
6.如图为一副三角尺,其中∠α=60°,∠β=45°,作∠ABC=120°, ∠DEF=15°.
(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
解:如图所示,∠ABC,∠DEF即为所求.
7. 教材变式·P163习题T5 已知线段a,c,∠α.求作:三角形ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
解:如图所示:①先画射线BC;
②以∠α的顶点为圆心,任意长为半径画弧,分别交α的两边于点 A',C';
③以B为圆心,以B'C'为半径画弧,交BC于点F,以点F为圆心,以C'A'为半径画弧,交前弧于点E;
④以点B为圆心,以a为半径画弧交BC于点C,以点B为圆心,以c为半径画弧交BE的延长线于点A,连接AC.
如图所示,三角形ABC即为所求三角形.(共15张PPT)
第4章 几何图形初步
4.1 几何图形
1
认识常见的几何体
1.(2023·乐山)下列几何体中,是圆柱的是 ( )
B
2.把图中一些实物与类似它们的几何图形用线连起来,并在横线上写出几何图形的名称.
圆柱
四棱锥
长方体
球
3.下列几何体中,全是由曲面围成的是 ( )
A.圆柱 B.圆锥
C.球 D.正方体
4.下列立体图形中,只要两个面就能围成的是( )
2
平面与曲面
C
D
5.下列几何体中含有曲面的是 ( )
A.①② B.①③
C.②③ D.②④
B
6.下列几何体中不属于多面体的是 ( )
A.三棱锥 B.正方体
C.球 D.四面体
7.下列现象中能说明“线动成面”的是( )
A.天空划过一道流星
B.汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹
C.抛出一块小石子,小石子在空中飞行的路线
D.旋转一扇门,门在空间中运动的痕迹
3
点、线、面、体
C
B
8.(2024·陕西)如图,将半圆绕直径所在的虚线旋转一周,得到的立体图形是 ( )
C
9.下列几何图形:①三角形;②长方形;③正方体;④圆;⑤四面体;⑥圆柱.其中属于平面图形的是______________,属于立体图形的是______________.(均填序号)
10.六棱柱是一个立体图形,它有______个面,________条棱,________个顶点.
4
几何图形
①②④
③⑤⑥
8
18
12
11.下列说法中错误的是 ( )
A.五棱柱有10个顶点
B.棱柱侧面的形状可能是一个三角形
C.“天空划过一道流星”能说明“点动成线”
D.圆锥由两个面围成,这两个面中,一个面是平的,一个面是曲的
B
12.(2024·江西)如图是4×3的正方形网格,选择一空白小正方形,能与阴影部分组成正方体展开图的方法有 ( )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
B
13.一个棱柱有12个面,侧面为相等的正方形,所有的棱长之和为60 cm,则它的一条侧棱长为______cm.
2
14.如图1,把一张长10 cm、宽6 cm的长方形纸板分成甲、乙两个相同的直角三角形.(π取3.14)
(1)将甲三角形绕轴(如图2)旋转一周,可以形成一个怎样的几何体 它的体积是多少立方厘米
(2)将乙三角形绕轴(如图3)旋转一周形成一个几何体,求该几何体的体积.
解:(1)可以形成一个圆锥,
它的体积是×3.14×62×10
=3.14×12×10
=376.8(cm3).
(2)乙三角形旋转一周,可以形成一个空心的圆柱(被挖去一个圆锥).
体积为3.14×62×10-×3.14×62×10
=3.14×360-3.14×120
=3.14×240
=753.6(cm3).
15. 核心素养·推理能力 探索:若把一个多面体的顶点数记为V,棱数记为E,面数记为F,填表.
多面体 V F E V+F-E
四面体 ________ ________ ________ ________
长方体 ________ ________ __________ ________
五棱柱 __________ ________ __________ ________
4
4
6
2
8
6
12
2
10
7
15
2
(1)猜想:由上面的探究你能得到一个什么结论
(2)问题(1)的结论对所有的多面体都成立,伟大的数学家欧拉证明了这个关系式,上述关系式叫作欧拉公式.根据欧拉公式,想一想会不会有一个多面体,它有10个面,30条棱,20个顶点.
解:(1)多面体的顶点数V、棱数E、面数F满足关系式V+F-E=2.
(2)不会.理由如下:若有,则V+F-E=2,因为V+F-E=20+10-30=0,与欧拉公式矛盾,所以不会有一个多面体,它有10个面,30条棱,20个顶点.(共16张PPT)
第4章 几何图形初步
4.3 线段的长短
第2课时 线段的长度
1.如图,点M在线段AB上,下列条件中不能确定点M是线段AB的中点的是 ( )
1
线段的中点
A.BM=AB B.AM+BM=AB
C.AM=BM D.AB=2AM
2.若点C在线段AB的延长线上,BC=AC,AB=6,则BC的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
B
D
3.如图,点C是线段AB的中点,点D为线段AC的中点.若AB=8,则BD的长是 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
C
4.如图,AB=8,点M为线段AB的中点,点C将线段MB分成两部分,且MC:BC=1:3,求线段AC的长.
解:因为点M为线段AB的中点,
所以AM=BM=AB=4.
因为MC:BC=1:3,所以MC=MB=1.
因为AC=AM+MC,所以AC=4+1=5.
5.(2024·合肥经开期末)如图,A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD=2 cm,BC=2AB.
(1)求线段AD的长.
(2)若点M是BC的中点,求线段AM的长.
解:(1)由AB=CD=2 cm,BC=2AB可得,BC=2AB=4 cm,
AD=AB+BC+CD=8 cm.
(2)由点M是BC的中点,BC=4 cm可得,BM=2 cm,
AM=AB+BM=4 cm.
6.(2024·合肥庐阳期末)如图,从点A到点G,下列路径最短的是 ( )
A.A→B→F→G
B.A→C→F→G
C.A→D→F→G
D.A→E→F→G
2
线段的基本事实及两点之间的距离
A
7.如图,从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道而横穿草坪,虽然明知不对,可他们还是要这样做,请用我们所学的数学知识解释这一现象:________________________.
两点之间,线段最短
8.如图,已知点D是线段AB的中点,延长线段AB至点C,使BC=AB,则下列结论:①AB=2AD;②AC=2BC;③AD=BD=AC;④BC=AC;⑤BD=BC;⑥AC=4BD.其中正确的是( )
A.①③④⑥ B.①②⑤⑥
C.①②③④ D.②③⑤⑥
B
9.(2024·安庆怀宁县期末)如图,点D,E顺次为线段AB上的点,且AB=20,BE-DE=8,C为AD中点,AE=n,则AC的长为 ( )
A.n-6 B.12-n
C.2n-18 D.4
10.平面上有一条线段AB,长度为10 cm,点C是线段AB的中点,点D是线段AC的中点,若点E在线段AB上,且AE=2EB,则DE=________cm.
A
11.如图,点C是线段AB上的一点,且3AC=2AB,点D是线段AB的中点,点E是线段CB的中点,DE=6.
(1)求线段AB的长.
(2)求AD∶CB的值.
解:(1)设AB=x.因为3AC=2AB,
所以AC=AB=x,BC=AB-AC=x-x=.
因为点E是线段CB的中点,
所以BE=BC=.
因为点D是线段AB的中点,
所以DB=AB=.
故DE=DB-BE=-=6,解得x=18.
故AB的长为18.
(2)由(1),得AD=AB=9,CB=AB=6,
故AD∶CB=9∶6=3∶2.
12.如图,A,B,C,D四点在同一条直线上,根据图形填空和解答.
(1)图中共有线段______条.
(2)BC+BD=________-AD.
(3)若D是AC的中点,BC=2BD,AB=12,求线段AC的长.
6
AC
解:(3)因为D是AC的中点,且BC=2BD,
所以CD=BC+BD=AD.
设BD=x,则BC=2x,则CD=3x=AD.
因为AB=12,即AD+BD=AB,
所以3x+x=12,解得x=3,
所以AC=2AD=6x=18.
13.如图,已知点D是线段AB上的一点,点C是线段AB的中点,若AB=8 cm,BD=3 cm.
(1)求线段CD的长.
(2)若点E是直线AB上的一点,且BE=BD,点F是BE的中点,求线段CF的长.
解:(1)因为点C是线段AB的中点,AB=8 cm,
所以BC=AB=4(cm),所以CD=BC-BD=4-3=1(cm).
(2)因为BE=BD,所以BE=1 cm.
①当点E在点B的右侧时,如图:
因为点F是BE的中点,
所以BF=BE=(cm),
所以CF=BC+BF=(cm);
②当点E在点B的左侧时,如图:
因为点F是BE的中点,所以BF=BE=(cm),所以CF=BC-BF=(cm).
综上所述,CF的长为 cm或 cm.(共15张PPT)
第4章 几何图形初步
4.5 角的比较与补(余)角
第2课时 补角和余角
1.若∠α与∠β互余,则 ( )
A.∠α+∠β=180° B.∠α-∠β=180°
C.∠α-∠β=90° D.∠α+∠β=90°
2.(2024·甘肃)若∠A=55°,则∠A的补角为( )
A.35° B.45°
C.115° D.125°
3.50°20'的补角是__________________;若一个角的补角是它的3倍,则这个角的度数是__________.
1
互余、互补的定义
D
D
129°40'
45°
4.一个角的余角的3倍比这个角的4倍大18°,求这个角的度数.
解:设这个角是x,则它的余角是90°-x.
由题意,得3(90°-x)-4x=18°,
解得x=36°.
故这个角的度数是36°.
5.已知∠1和∠2互余,∠2与∠3互余,∠1=40°,则∠3的度数为 ( )
A.20° B.40° C.50° D.140°
6.如图,直线AB,CD相交于点O,因为∠1+∠3=180°, ∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2.其推理依据是( )
A.同角的余角相等
B.等角的余角相等
C.同角的补角相等
D.等角的补角相等
2
互余、互补的性质
B
C
7.如图,已知∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足是点D,则图中与∠A相等的角是________.
∠2
8.如图,O,D,E三点在同一条直线上,∠AOB=90°.
(1)图中∠AOD的补角是____________,∠AOC的余角是____________.
(2)若OB平分∠COE,∠AOC=35°,求∠BOD的度数.
∠AOE
∠BOC
解:(2)因为∠AOB=90°,∠AOC=35°,
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-35°=55°.
因为OB平分∠COE,
所以∠BOE=∠BOC=55°.
因为∠BOD+∠BOE=180°,
所以∠BOD=180°-55°=125°.
9.如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是 ( )
A
10.若∠α和∠β互补,且∠α>∠β,则下列表示∠β的余角的式子:①90°-∠β;②∠α-90°;③ (∠α+∠β);④(∠α-∠β).其中正确的有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
11. 新考法 (2024·六安舒城县期末)我们定义有一条公共边的两个互余的角为“友余角”,现在∠α和∠β为一对“友余角”,∠α=20°,则∠α和∠β的角平分线所成角的度数为__________________.
B
45°或25°
12.如图,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.若∠BOC=70°, ∠AOC=50°.
(1)∠AOB的度数是____________.
(2)∠DOE与∠AOB的关系是________(选填“互补”“互余”或“相等”).
120°
互补
13.如图,已知直线AB与CD交于点O,OE是AB上方的一条射线,若∠BOD与∠BOE互为余角,且∠BOE=4∠BOD.
(1)求∠BOD的度数.
(2)若OF平分∠AOE,求∠BOF的度数.
解:(1)因为∠BOE与∠BOD互为余角,
所以∠BOE+∠BOD=90°.
因为∠BOE=4∠BOD,
所以4∠BOD+∠BOD=90°,
所以∠BOD=18°.
(2)因为∠BOE=4∠BOD,
所以∠BOE=4×18°=72°,
所以∠AOE=180°-∠BOE=108°.
因为OF平分∠AOE,
所以∠EOF=∠AOE=54°,
所以∠BOF=∠BOE+∠EOF=72°+54°=126°.
14.小明用一副三角尺进行了如下探究活动.
(1)将这副三角尺按图1所示的方式摆放(直角顶点重合在点O处),容易发现:
①∠AOD______(选填 “>”“<”或“=”)∠BOC;
②∠AOC与∠BOD的关系为__________.
=
互补
(2)将图1中的等腰三角尺绕点O顺时针旋转到图2所示的位置时.
①请指出∠AOD与∠BOC之间的数量关系,并说明理由;
②∠AOC与∠BOD在题(1)②中的关系还成立吗 请说明理由.
解:(2)①相等.理由如下:
因为∠AOB=90°,∠DOC=90°,所以∠AOB=∠DOC.
又因为∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠BOC=∠BOD+∠DOC,所以∠AOD=∠BOC.
②成立.理由如下:
∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠BOC+∠BOD=∠AOB+∠DOC
=90°+90°=180°,
所以∠AOC与∠BOD的关系为互补还成立.(共8张PPT)
第4章 几何图形初步
4.3 线段的长短
第1课时 线段的长短比较
1.已知线段AB和线段CD,若将线段CD移动到线段AB的位置,使点C与点A重合,CD与AB叠合,点D在线段AB上(点D不与点B重合),则AB______(选填“>” “<”或“=”)CD.
2.如图,用圆规比较两条线段AB和A'B'的长短,下列判断正确的是( )
A.A'B'>AB
B.A'B'=AB
C.A'B'
D.没有刻度尺,无法确定
1
线段的长短比较
>
C
3.如图,AB=CD,则AC与BD的大小关系是 ( )
A.AC>BD B.ACC.AC=BD D.不能确定
4. 教材变式·P150练习T2 如图,填空:
MP=NP+________=MB-________;
NP=NB-________=MP-________.
2
线段的和差
C
MN
BP
BP
MN
5.尺规作图的工具是 ( )
A.刻度尺和量角器 B.三角尺和量角器
C.直尺和量角器 D.无刻度的直尺和圆规
6.如图,已知线段a>b,求作线段a-b.作法:画射线AM,在射线AM上截取AB=a,在线段AB上截取BC=b,则所求的线段是( )
3
作一条线段等于已知线段
A.AC B.BC
C.AB D.BM
D
A
7.如图,已知线段a,b,且a>b,利用尺规求作一条线段,使其等于2a-b.
解:作法:①作一条直线AM;
②以点A为圆心,a为半径画弧交AM于点B;
③以点B为圆心,a为半径画弧交BM于点C;
④以点C为圆心,b为半径画弧交AC于点D;
⑤线段AD即为所求,如图所示.
8.如图,AC=AB,BD=AB,AE=CD,则的值为( )
A.
C.
9.如图,线段AB表示一根对折以后的绳子,现从P处把绳子剪断,剪断后的各段绳子中最长的一段为32 cm;若AP=PB,则这条绳子的原长为______________cm.
C
48或96
10.已知线段m,n.
(1)尺规作图:作线段AB,满足AB=m+n.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,AO=OB,点C在线段AB上,且满足AC=m,当m=5,n=3时,求线段OC的长.
解:(1)如图所示,线段AB即为所求.
(2)如图,因为AO=OB,
所以AO=AB=(m+n).又因为AC=m,
所以OC=AC-AO=m-(m+n)=(m-n).
所以当m=5,n=3时,OC=(m-n)=×(5-3)=1.