9.3 电场 电场强度【五大题型】
【人教版 2019】
【题型 1 电场强度概念的理解】 ............................................................................................................................1
【题型 2 电场强度叠加的方法】 ..........................................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 3 点电荷周围的电场线分布】 ..................................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 4 割补法求电场强度】 ..............................................................................Error! Bookmark not defined.
【题型 5 带电物体在电场中的平衡问题】 ..........................................................Error! Bookmark not defined.
知识点 1：电场线 匀强电场
1．英国物理学家法拉第首先用电场线描述电场．
2．电场线是画在电场中的一条条有方向的曲线，曲线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向．
3．电场线的特点
(1)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷．
(2)电场线在电场中不相交．
(3)在同一电场中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏．
4.匀强电场：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场就叫作匀强电场．
(1)电场方向处处相同，电场线是平行直线．
(2)电场强度大小处处相等，电场线疏密程度相同．
【题型 1 电场强度概念的理解】
【例 1】（2023 长沙期末）下列关于电场的说法正确的是（ ）
A．“元电荷”是最小的电荷量，用 e 表示，则 e =1.60 10-19 C，元电荷就是电子
B．电场是法拉第首先提出来的，电荷 A 对电荷 B 的作用力就是电荷 A 的电场对 B 的作用
F
C．由电场强度的定义式：E = q 可知 E 与 F 成正比，与 q 成反比
D．点电荷是一个带有电荷的点，它是实际带电体的抽象，任何带电体都当作点电荷处理
【变式 1-1】（2023·宁波期末）在电场中某一点，当放入正电荷时受到的电场力向右，当放入负电荷时受到
电场力向左。下列说法正确的是（ ）
A．该点的场强方向一定向右
B．只有在该点放入电荷时，该点才有场强
C．当放入正电荷时，该点的场强向右，当放入负电荷时，该点的场强向左
D．以上说法均不正确
【变式 1-2】下列说法中正确的是（ ）
A．电场中某点的电场强度方向即试探电荷在该点的受力方向
E F kQB．公式 = q 和
E = 2 只适用点电荷形成的电场r
F
C．根据E = q 可知，电场中某点的电场强度与试探电荷的受力大小及带电荷量无关
D．在真空中以点电荷为圆心，半径为 r 的球面上，电场强度处处相等
【变式 1-3】（2022·郑州期中）在电场中的某点 A 放一电荷量为＋q 的试探电荷，它所受到的电场力大小为
E FA =
F，方向水平向右，则 A 点的场强大小 q ，方向水平向右。下列说法正确的是（ ）
A．若 A 点不放试探电荷，则 A 点的场强为零
B．在 A 点放置一个电荷量为＋2q 的试探电荷，则 A 点的场强变为 2EA
C．在 A 点放置一个电荷量为－q 的试探电荷，A 点的场强方向变为水平向左
D．在 A 点放置一个电荷量为＋2q 的试探电荷，它所受的电场力大小变为 2F
【题型 2 电场强度叠加的方法】
【例 2】（2022·南京期中）直角坐标系 xOy 中，M、N 两点位于 x 轴上，G、H 两点坐标如图。M、N 两点
各固定在一负点电荷，一电量为 Q 的正点电荷置于 O 点时，G 点处的电场强度恰好为零，静电力常量用 k
表示，若将该正点电荷移动到 G 点，则 H 点处场强的大小和方向分别为（ ）
3kQ y 3kQA． 2 ，沿 轴负向 B． x4a 4a2
，沿 轴正向
5kQ 5kQ
C． x
4a2
，沿 y 轴正向 D． 2 ，沿 轴正向4a
【变式 2-1】如图所示，一半径为 R 的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q 的正电荷，在垂直于圆盘且过圆心 c 的
轴线上有 a、b、d 三个点，a 和 b、b 和 c、c 和 d 间的距离均为 R，在 a 点处有一电荷量为 q（q>0）的固定
2kq
点电荷。已知 b 点处的场强为 E= 2 （k 为静电力常量），方向由 b 指向 a，则 d 点处场强的大小为（ ）9R
10kq 4kq
A．E=
9R2
B．E=
3R2
k 3Q + q 9Q + qC．E= 2 D．E= k3R 9R2
【变式 2-2】（2024·贵州高考）如图，A、B、C 三个点位于以 O 为圆心的圆上，直径 AB 与弦BC 间的夹角
为30°。A、B 两点分别放有电荷量大小为 qA、qB 的点电荷时，C 点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，
qA
则 q 等于（ ）B
1
A B 3． ． C． 3 D．23 3
【变式 2-3】（2023·成都期中）如图，带电量为 +q 的点电荷与带电量为+Q均匀带电薄板相距为 2d ，点电
荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中 a点处的电场强度为零，（静电力恒量为 k）下列说法正确
的是（ ）
Q
A．带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小为 k
d 2
，方向水平向左
q
B．带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小为 k 2 ，方向水平向左d
q Q
C．图中b 点处的电场强度大小为 k 2 + k 2 ，方向水平向左9d d
10q
D．图中b 点处的电场强度大小为 k 2 ，方向水平向左9d
【题型 3 点电荷周围的电场线分布】
【例 3】（2023·泰州期末）在如图所示的电场中，各点电荷带电量大小都是 q，甲图中的 A、B 为对称点，
乙、丙两图的点电荷间距离都为 L，虚线是两侧点电荷的中垂线，两点电荷连线上的 O、C 和 O、D 间距离
也是 L，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中 A、B 两点电场强度相同
B．图乙和图丙中，O点的电场强度大小相等
C．图乙中C 点的电场强度大于图丙中D点的电场强度
D．乙图中从O点沿虚线向上的电场强度变大，而丙图中变小
【变式 3-1】（2023·北京期末）如图所示为点电荷 a、b 所形成电场的电场线分布图，在 M 点放置一个电荷
量大小为 q 的负试探电荷，受到的静电力大小为 F，以下说法中正确的是（ ）
F
A．如果 M 点处试探电荷的电荷量变为 2q，该处电场强度变为 2q
B．M 点处的电场强度方向与负试探电荷所受静电力的方向相同
C．由电场线分布图可知 M 点处的电场强度比 N 点处的电场强度大
D．a、b 为异种电荷
些，则 M 点处的电场强度比 N 点处的电场强度小，故 C 错误；
【变式 3-2】（2023·江北期中）两个等量同种点电荷的电场线如图所示，图中电场线上下左右均对称，点
P、Q，点 M、N，点 R、S 关于两点电荷连线的中点 O 对称，则（ ）
A．P、Q 两点电场强度相同
B．M、N 两点电场强度相同
C．在两点电荷连线的中垂线上 O 点电场强度最小
D．在 R 点放一个带负电小球，小球会向 O 点做匀加速直线运动
【变式 3-3】（2023·哈尔滨期末）如图所示，a、b 两点处分别固定有等量异种点电荷+Q和-Q，c 是线段
ab 的中点，d 是 ac 的中点，e 是 ab 的垂直平分线上的一点，c、d、e 点场强的大小关系为（ ）
A．Ee > Ec > Ed B．Ed > Ec = Ee C．Ec > Ed > Ee D．Ed > Ec > Ee
【题型 4 割补法求电场强度】
【例 4】（2023·长沙期末）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。
如图所示，在半球面 AB 上均匀分布正电荷，总电荷量为 q，球面半径为 R，CD 为通过半球顶点与球心 O
的轴线，在轴线上有 M、N 两点，OM = ON = 2R 。已知 M 点的场强大小为 E，则 N 点的场强大小为（ ）
kq E kqA． 2 - B．2R 4R2
kq 2E kqC． - D． - E
2R2 4R2
【变式 4-1】（2023·杭州期末）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。
如图所示，一半径为 R 的球壳表面均匀带有正电荷，电荷量为 2q，O 为球心，直线 ab 是过球壳中心的一条
水平线，球壳表面与直线 ab 交于 C、D 两点，直线 ab 上有两点 P、Q，且PC = DQ = R。现垂直于 CD 将
球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时 P 点电场强度大小为 E，
则 Q 点的电场强度大小为（ ）
kq kq kq kq
A． 2 B． 2 C． 2 + E D． 2 - E2R 4R 4R 2R
【变式 4-2】（2024·云南模拟）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产
2 1
生的电场。如图所示，在绝缘球 球面 AA1B1B上均匀分布正电荷，总电荷量为 q；在剩余 球面 AB 上均匀3 3
1 2
分布负电荷，总电荷量是 q 。球半径为 R，球心为 O，CD 为 球面 AA1B1B的对称轴，在轴线上有 M、N2 3
两点，且OM = ON = 2R, A1A = B1B ， A1A∥B1B∥CD
1
。已知 球面 A
3 1
B1 在 M 点的场强大小为 E，静电力常量
为 k，则 N 点的场强大小为（ ）
3kq
- 2E kqA．E B．2E C． 2 D． 2 + E8R 12R
【变式 4-3】已知电荷分布均匀的球壳对壳内点电荷的作用力为零，对壳外点电荷的作用力等于将所有电荷
量全部集中在球心的点电荷对球外点电荷的作用力。若真空中有一个均匀的带正电球体，球心在 O 点，半
径为 R，电荷体密度为 ρ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O1点，半径为R1，OO1 = d ，如图所示，已
知静电力常量为 k，则下列说法正确的是（ ）
A．空腔里各点的电场方向不同
B．空腔里的电场强度方向与OO1 连线平行
C．空腔里的电场强度与该点到 O 点的距离成正比
4
D．空腔里的电场强度大小恒为 krπd3
【题型 5 带电物体在电场中的平衡问题】
【例 5】（2022·南京期中）如图所示，在范围足够大、方向水平向左的匀强电场中，用绝缘细线悬挂一个
质量为 m、电荷量为 Q 的带负电小球，小球处于静止状态，细线与竖直方向的夹角为 30°。现使电场在竖直
面内沿逆时针缓慢旋转 90°，同时改变电场的强弱，以保证小球位置始终保持不变。已知重力加速度为 g。
下列关于旋转过程中电场强度方向和大小的说法正确的是（ ）
mg
A．当电场方向竖直向下时，电场强度最小，最小值Emin = Q
mg
B．当电场方向转过 30°角时，电场强度最小，最小值Emin = 2Q
C 3mg．当电场方向转过 60°角时，电场强度最小，最小值Emin = 3Q
3mg
D．当电场方向沿水平方向时，电场强度最大，最大值Emax = 3Q
【变式 5-1】（2023·海口期末）如图所示，整个空间存在水平方向的匀强电场，轻绳一端固定在 O 点，另
一端系一个质量为 m，电荷量为 q 的带电小球，当小球平衡时细绳与竖直方向夹角为 θ，重力加速为 g，则
电场强度的大小为（ ）
mg mg tanq mg mg sinq
A． q tanq B． q C． q sinq D． q
【变式 5-2】（2023·唐山期中）如图甲所示，倾角为30°的光滑绝缘斜面固定在水平面上，斜面底端固定一
个带正电的小球 A，另有一质量m = 0.9kg的带正电小球 B 静止在距离斜面底端 10cm 处，小球半径可以忽
略，重力加速度取10m/s2 ，静电常数 k = 9.0 109 N ×m2 /C2。（结果保留一位有效数字）
1 -6（ ）若小球 B 带电量为QB = 5 10 C，求小球 A 所带电荷量；
（2）若将 A 球撤去，加一水平方向的匀强电场，仍使 B 球静止在斜面上，如图乙所示，求匀强电场的电场
强度大小及方向。（结果保留 1 位有效数字）
【变式 5-3】如图，轻质绝缘细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的
匀强电场中，绳与竖直方向的夹角为q = 37°，已知小球所带电荷量 q =16 10-8 C，匀强电场的场强
E = 3 107 N / C，取重力加速度 g =10m / s2 ，（取 sin 37° = 0.6， cos37° = 0.8）求：
(1)小球带何种电性的电荷；
(2)小球的质量 m。9.3 电场 电场强度【五大题型】
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知识点 1：电场线 匀强电场
1．英国物理学家法拉第首先用电场线描述电场．
2．电场线是画在电场中的一条条有方向的曲线，曲线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向．
3．电场线的特点
(1)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷．
(2)电场线在电场中不相交．
(3)在同一电场中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏．
4.匀强电场：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场就叫作匀强电场．
(1)电场方向处处相同，电场线是平行直线．
(2)电场强度大小处处相等，电场线疏密程度相同．
【题型 1 电场强度概念的理解】
【例 1】（2023 长沙期末）下列关于电场的说法正确的是（ ）
A．“元电荷”是最小的电荷量，用 e 表示，则 e =1.60 10-19 C，元电荷就是电子
B．电场是法拉第首先提出来的，电荷 A 对电荷 B 的作用力就是电荷 A 的电场对 B 的作用
F
C．由电场强度的定义式：E = q 可知 E 与 F 成正比，与 q 成反比
D．点电荷是一个带有电荷的点，它是实际带电体的抽象，任何带电体都当作点电荷处理
【答案】B
-19
【详解】A．“元电荷”是最小的电荷量，用 e 表示，则 e =1.60 10 C，即质子或电子带的电荷量，而不是
粒子本身，故 A 错误；
B．电场是法拉第首先提出来的，电荷 A 对电荷 B 的作用力就是电荷 A 的电场对 B 的作用，故 B 正确；
E F=
C．电场强度的定义式为 q ，适用于任何电场，E 反映电场本身的性质，与试探电荷无关，故 C 错误；
D．点电荷是一个带有电荷的点，它是实际带电体的抽象，是一种理想化的模型，如果在研究的问题中，带
电体的形状、大小以及电荷分布可以忽略不计，即可将它看作点电荷，故 D 错误。
故选 B。
【变式 1-1】（2023·宁波期末）在电场中某一点，当放入正电荷时受到的电场力向右，当放入负电荷时受到
电场力向左。下列说法正确的是（ ）
A．该点的场强方向一定向右
B．只有在该点放入电荷时，该点才有场强
C．当放入正电荷时，该点的场强向右，当放入负电荷时，该点的场强向左
D．以上说法均不正确
【答案】A
【详解】电场强度反映电场本身的性质，与检验电荷无关，放入正电荷和负电荷时，该点的场强均向右；
场强由场源电荷决定，与试探电荷无关，不放试探电荷，电场同样存在。
故选 A。
【变式 1-2】下列说法中正确的是（ ）
A．电场中某点的电场强度方向即试探电荷在该点的受力方向
E F kQB．公式 = E =q 和 2 只适用点电荷形成的电场r
F
C．根据E = q 可知，电场中某点的电场强度与试探电荷的受力大小及带电荷量无关
D．在真空中以点电荷为圆心，半径为 r 的球面上，电场强度处处相等
【答案】C
【详解】A．电场中某点的电场强度方向与正试探电荷在该点的受力方向相同，与负试探电荷在该点的受力
方向相反，故 A 错误；
E F= E kQ= 2
B．公式 q 是电场强度的比值定义式，对任意电场均成立， r 是真空中点电荷电场强度的决定式，
只适用点电荷形成的电场，故 B 错误；
E F=
C．公式 q 是电场强度的比值定义式，可知，电场中某点的电场强度与试探电荷的受力大小及带电荷量
无关，故 C 正确；
D．根据点电荷的电场分布特征可知，在真空中以点电荷为圆心，半径为 r 的球面上，电场强度大小处处相
等，方向不同，故 D 错误。
故选 C。
【变式 1-3】（2022·郑州期中）在电场中的某点 A 放一电荷量为＋q 的试探电荷，它所受到的电场力大小为
E FA =
F，方向水平向右，则 A 点的场强大小 q ，方向水平向右。下列说法正确的是（ ）
A．若 A 点不放试探电荷，则 A 点的场强为零
B．在 A 点放置一个电荷量为＋2q 的试探电荷，则 A 点的场强变为 2EA
C．在 A 点放置一个电荷量为－q 的试探电荷，A 点的场强方向变为水平向左
D．在 A 点放置一个电荷量为＋2q 的试探电荷，它所受的电场力大小变为 2F
【答案】D
【详解】AC．电场的电场强度是电场的固有属性，与放不放试探电荷无关，与试探电荷的正负和大小无关，
故 A 点场强的大小和方向都不变，故 AC 错误；
BD．A 点的场强大小和方向不变，根据
F = Eq
可知，电荷量为+2q 时
F = EA 2q = 2F
E
即电场力变为原来的 2 倍，而 A 点的场强仍然为 A，故 B 错误，D 正确。
故选 D。
【题型 2 电场强度叠加的方法】
【例 2】（2022·南京期中）直角坐标系 xOy 中，M、N 两点位于 x 轴上，G、H 两点坐标如图。M、N 两点
各固定在一负点电荷，一电量为 Q 的正点电荷置于 O 点时，G 点处的电场强度恰好为零，静电力常量用 k
表示，若将该正点电荷移动到 G 点，则 H 点处场强的大小和方向分别为（ ）
3kQ 3kQ
A． ，沿 y2 轴负向 B． 2 ，沿 x 轴正向4a 4a
5kQ 5kQ
C． 2 ，沿 y 轴正向 D． 2 ，沿 x 轴正向4a 4a
【答案】A
【详解】正点电荷置于 O 点时，G 点处的电场强度恰好为零，则作为对称点的 H 点处的电场强度也为零，
正点电荷在 H 点的场强大小
E kQ1 = a2
方向沿 y 轴正向。由于 H 点处的电场强度为零，则两个负点电荷在 H 点的合场强大小
E2 = E
kQ
1 = a2
方向沿 y 轴负向。当正点电荷移到 G 点后，正点电荷在 H 点的场强大小
E kQ kQ E13 = 2 =(2a) 4a2
=
4
E
方向沿 y 轴正向，两个负点电荷在 H 点的合场强大小为 2 ，方向沿 y 轴负向，因此 H 点处场强的大小为
E 3kQ4 = E2 - E3 = 4a2
方向沿 y 轴负向。故选 A。
【变式 2-1】如图所示，一半径为 R 的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q 的正电荷，在垂直于圆盘且过圆心 c 的
轴线上有 a、b、d 三个点，a 和 b、b 和 c、c 和 d 间的距离均为 R，在 a 点处有一电荷量为 q（q>0）的固定
2kq
点电荷。已知 b 点处的场强为 E= 2 （k 为静电力常量），方向由 b 指向 a，则 d 点处场强的大小为（ ）9R
10kq 4kq
A．E= B．E=
9R2 3R2
3Q + q 9Q + q
C．E= k 2 D．E= k3R 9R2
【答案】B
2kq
2
【详解】依题意，b 点的合场强为 E= 9R
可知圆盘在 b 点的场强为
E kq 2kq= -
盘b R2 9R2
由对称性可知圆盘在 b 点的场强大小和在 d 点大小相等方向相反，再根据电场叠加原理，可得出 d 点的场
强为
E E kq 4kqd = 盘d + 9R2
=
3R2
故选 B。
【变式 2-2】（2024·贵州高考）如图，A、B、C 三个点位于以 O 为圆心的圆上，直径 AB 与弦BC 间的夹角
为30°。A、B 两点分别放有电荷量大小为 qA、qB 的点电荷时，C 点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，
qA
则 q 等于（ ）B
1
A 3． B． C．
3 3
D．2
3
【答案】B
q q
【详解】根据题意可知两电荷为异种电荷，假设 A 为正电荷， B 为负电荷，两电荷在 C 点的场强如下图，
设圆的半径为 r，根据几何知识可得
rAC = r r， BC = 3r
tan 60 E° = A
EB
同时有
E kqA E kqBA = r 2 B
= 2
AC ， rBC
联立解得
qA 3=
qB 3
故选 B。
【变式 2-3】（2023·成都期中）如图，带电量为 +q 的点电荷与带电量为+Q均匀带电薄板相距为 2d ，点电
荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中 a点处的电场强度为零，（静电力恒量为 k）下列说法正确
的是（ ）
Q
A．带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小为 k 2 ，方向水平向左d
q
B．带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小为 k 2 ，方向水平向左d
q Q
C．图中b 点处的电场强度大小为 k 2 + k 2 ，方向水平向左9d d
10q
D．图中b 点处的电场强度大小为 k 2 ，方向水平向左9d
【答案】BD
【详解】AB．图中 a点处的电场强度为零，则带电薄板在图中 a点处产生的电场强度与正点电荷在图中 a
点处产生的电场强度等大反向，带电薄板在图中 a点处产生的电场强度为
E qa = k d 2
方向水平向右， a点与b 点关于带电薄板对称，故带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小为
E qb = Ea = k d 2
方向水平向左，故 A 错误，B 正确；
CD．图中b 点处的电场强度大小为
E E q q 10qb总 = b + Eqb = k 2 + k = kd (3d )2 9d 2
方向水平向左，故 C 错误，D 正确。
故选 BD。
【题型 3 点电荷周围的电场线分布】
【例 3】（2023·泰州期末）在如图所示的电场中，各点电荷带电量大小都是 q，甲图中的 A、B 为对称点，
乙、丙两图的点电荷间距离都为 L，虚线是两侧点电荷的中垂线，两点电荷连线上的 O、C 和 O、D 间距离
也是 L，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中 A、B 两点电场强度相同
B．图乙和图丙中，O点的电场强度大小相等
C．图乙中C 点的电场强度大于图丙中D点的电场强度
D．乙图中从O点沿虚线向上的电场强度变大，而丙图中变小
【答案】C
【详解】A．图甲中 A、B 两点电场强度大小相同，但是方向不同，选项 A 错误；
B．图乙中O点的电场强度为零，而图丙中O点的电场强度大小不为零，选项 B 错误；
E k q k q 40kqC =
(3L
+ = 2
)2 ( L )2 9L
C．图乙中C 点的电场强度 2 2
E q q 32kqD = k
( L
- k
)2 (3L
=
9L2)2
图丙中D点的电场强度 2 2
图乙中C 点的电场强度大于图丙中D点的电场强度，选项 C 正确；
D．乙图中从O点沿虚线向上的电场强度先变大后变小，而丙图中变小，选项 D 错误。
故选 C。
【变式 3-1】（2023·北京期末）如图所示为点电荷 a、b 所形成电场的电场线分布图，在 M 点放置一个电荷
量大小为 q 的负试探电荷，受到的静电力大小为 F，以下说法中正确的是（ ）
F
A．如果 M 点处试探电荷的电荷量变为 2q，该处电场强度变为 2q
B．M 点处的电场强度方向与负试探电荷所受静电力的方向相同
C．由电场线分布图可知 M 点处的电场强度比 N 点处的电场强度大
D．a、b 为异种电荷
【答案】D
【详解】A．电场强度与试探电荷无关，可知，如果 M 点处试探电荷的电荷量变为 2q，该处电场强度仍然
为
E F=
q
故 A 错误；
B．电场强度的反向与正电荷所受电场力的方向相同，可知，M 点处的电场强度方向与负试探电荷所受静电
力的方向相反，故 B 错误；
C．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据图像可知，M 点位置电场线分布比 N 点电场线分布稀疏
一些，则 M 点处的电场强度比 N 点处的电场强度小，故 C 错误；
D．图中电场线起源于右侧点电荷，终止于左侧的点电荷，可知，图中右侧为正点电荷，左侧为负点电荷，
即 a、b 为异种电荷，故 D 正确。
故选 D。
【变式 3-2】（2023·江北期中）两个等量同种点电荷的电场线如图所示，图中电场线上下左右均对称，点
P、Q，点 M、N，点 R、S 关于两点电荷连线的中点 O 对称，则（ ）
A．P、Q 两点电场强度相同
B．M、N 两点电场强度相同
C．在两点电荷连线的中垂线上 O 点电场强度最小
D．在 R 点放一个带负电小球，小球会向 O 点做匀加速直线运动
【答案】C
【详解】A．根据电场的矢量叠加可知，P、Q 两点电场强度大小相等，方向相反，故 A 错误；
B．根据电场的矢量叠加可知，M、N 两点电场强度大小相等，方向相反，故 B 错误；
C．两正点电荷在 O 点的电场强度大小相等，方向相反，根据电场的矢量叠加可知，O 点合电场强度为零，
在两正点电荷连线的中垂线上除 O 点外，电场强度均大于零，故在两点电荷连线的中垂线上 O 点电场强度
最小，故 C 正确；
D．在 R 点放一个带负电小球，小球受到向下的电场力，小球会向 O 点运动，由于两正点电荷连线的中垂
线上不是匀强电场，小球做的是变加速直线运动，故 D 错误。
故选 C。
【变式 3-3】（2023·哈尔滨期末）如图所示，a、b 两点处分别固定有等量异种点电荷+Q和-Q，c 是线段
ab 的中点，d 是 ac 的中点，e 是 ab 的垂直平分线上的一点，c、d、e 点场强的大小关系为（ ）
A．Ee > Ec > Ed B．Ed > Ec = Ee C．Ec > Ed > Ee D．Ed > Ec > Ee
【答案】D
【详解】等量异种点电荷电场分布如图所示
根据电场线的疏密程度可知 c、d、e 点场强的大小关系为
Ed > Ec > Ee
故选 D。
【题型 4 割补法求电场强度】
【例 4】（2023·长沙期末）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。
如图所示，在半球面 AB 上均匀分布正电荷，总电荷量为 q，球面半径为 R，CD 为通过半球顶点与球心 O
的轴线，在轴线上有 M、N 两点，OM = ON = 2R 。已知 M 点的场强大小为 E，则 N 点的场强大小为（ ）
kq kq
A． - E B．
2R2 4R2
kq kq
C． 2 - 2E D． - E2R 4R2
【答案】A
【详解】在半球面 AB 右侧填补一个与 AB 完全相同的半球面，则这个球壳在 M、N 两点产生的电场强度相
等，均为
E0 = k
2q kq
=
2R 2 2R2
由于半球面 AB 在 M 点的场强大小为 E，则右侧填补的半球面在 M 点产生的电场强度为
E kq1 = E0 - E = 2 - E2R
根据对称性可知，半球面 AB 在 N 点的场强大小与右侧填补的半球面在 M 点产生的场强大小相等，即 N 点
的场强大小为
E E kq2 = 1 = - E2R2
故选 A。
【变式 4-1】（2023·杭州期末）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。
如图所示，一半径为 R 的球壳表面均匀带有正电荷，电荷量为 2q，O 为球心，直线 ab 是过球壳中心的一条
水平线，球壳表面与直线 ab 交于 C、D 两点，直线 ab 上有两点 P、Q，且PC = DQ = R。现垂直于 CD 将
球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时 P 点电场强度大小为 E，
则 Q 点的电场强度大小为（ ）
kq kq kq kq
A． 2 B． 2 C． 2 + E D． 2 - E2R 4R 4R 2R
【答案】D
【详解】先将带电球体补全，一半径为 R 的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为 2q，在球外空间产生的电
场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在 P、Q 两点所产生的电场为
E 2q q0 = k 2 = k（2R） 2R2
左半球面所带电荷在 P 点的电场强度大小为 E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在 Q 点的电场强度
大小为 E，则
EQ = E0 - E = k
q
- E
2R2
故选 D。
【变式 4-2】（2024·云南模拟）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产
2 1
生的电场。如图所示，在绝缘球 球面 AA1B1B上均匀分布正电荷，总电荷量为 q；在剩余 球面 AB 上均匀3 3
1 2
分布负电荷，总电荷量是 q 。球半径为 R，球心为 O，CD 为 球面 AA1B1B的对称轴，在轴线上有 M、N2 3
两点，且OM = ON = 2R, A1A = B1B ，A1A∥B1B∥CD
1
。已知 球面 A
3 1
B1 在 M 点的场强大小为 E，静电力常量
为 k，则 N 点的场强大小为（ ）
3kq kq
A．E B．2E C． 2 - 2E D． + E8R 12R2
【答案】C
【详解】将 AB 部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为
Q 3= q
2
为保证电荷量不变，球面 AB 带负电荷量为 q，则该球壳带正电的部分在 M 点产生的场强为
E kQ 3kqM = =(2R)2 8R2
根据对称性可知：①带正电的部分完整球壳在 N 点产生的场强大小
E 3kqN = 8R2
②球面 AB 带负电荷量为 q，在 N 点产生的场强大小为 2E，两者方向相反；
则 N 点的场强大小为
E 3kqN = - 2E8R2
故选 C。
【变式 4-3】已知电荷分布均匀的球壳对壳内点电荷的作用力为零，对壳外点电荷的作用力等于将所有电荷
量全部集中在球心的点电荷对球外点电荷的作用力。若真空中有一个均匀的带正电球体，球心在 O 点，半
径为 R，电荷体密度为 ρ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O1点，半径为R1，OO1 = d ，如图所示，已
知静电力常量为 k，则下列说法正确的是（ ）
A．空腔里各点的电场方向不同
B．空腔里的电场强度方向与OO1 连线平行
C．空腔里的电场强度与该点到 O 点的距离成正比
4
D．空腔里的电场强度大小恒为 krπd3
【答案】BD
【详解】将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中
任意一点 P，设
OP = r,O1P = r1
已知电荷分布均匀的球壳对壳内点电荷的作用力为零，对壳外点电荷的作用力等于将所有电荷量全部集中
在球心的点电荷对球外点电荷的作用力。如图所示，P 点在大球激发的场强分两部分，其中 P 点外部为零，
内部全部集中在 O 点的场强为
r 4 πr3
E k 3 41 = 2 = kπrrr 3
方向由 O 指向 P；
P 在小球激发的场强分两部分，外部为零，内部全部集中在 O1 的场强为
r 4 πr3
E 3
1 4
2 = k 2 = kπrrr 11 3
O E E
方向由 P 指向 1； 1和 2 的矢量合成遵从平行四边形定则，E 的方向如图所示
根据几何关系可知 E 的方向与OO1 连线平行
E 4= krπd
3
故选 BD。
【题型 5 带电物体在电场中的平衡问题】
【例 5】（2022·南京期中）如图所示，在范围足够大、方向水平向左的匀强电场中，用绝缘细线悬挂一个
质量为 m、电荷量为 Q 的带负电小球，小球处于静止状态，细线与竖直方向的夹角为 30°。现使电场在竖直
面内沿逆时针缓慢旋转 90°，同时改变电场的强弱，以保证小球位置始终保持不变。已知重力加速度为 g。
下列关于旋转过程中电场强度方向和大小的说法正确的是（ ）
mg
A．当电场方向竖直向下时，电场强度最小，最小值Emin = Q
mg
B．当电场方向转过 30°角时，电场强度最小，最小值Emin = 2Q
3mg
C．当电场方向转过 60°角时，电场强度最小，最小值Emin = 3Q
3mg
D．当电场方向沿水平方向时，电场强度最大，最大值Emax = 3Q
【答案】B
【详解】使电场在竖直面内沿逆时针缓慢旋转 90°，由于小球带负电，所以小球所受电场力从水平向右逆时
针变为竖直向上，以小球为对象，根据三角形定则可知小球的受力如图所示
由图可知，当电场方向转过 30°角时，电场力最小，电场强度最小，此时有
QEmin = mg sin 30°
解得
E mgmin = 2Q
由图可知，电场方向沿竖直方向时，电场力最大，电场强度最大，此时有
QEmax = mg
解得
E mgmax = Q
故选 B。
【变式 5-1】（2023·海口期末）如图所示，整个空间存在水平方向的匀强电场，轻绳一端固定在 O 点，另
一端系一个质量为 m，电荷量为 q 的带电小球，当小球平衡时细绳与竖直方向夹角为 θ，重力加速为 g，则
电场强度的大小为（ ）
mg mg tanq mg mg sinq
A． q tanq B． q C． q sinq D． q
【答案】B
【详解】根据平衡条件得
tanq qE=
mg
解得
E mg tanq=
q
故选 B。
【变式 5-2】（2023·唐山期中）如图甲所示，倾角为30°的光滑绝缘斜面固定在水平面上，斜面底端固定一
个带正电的小球 A，另有一质量m = 0.9kg的带正电小球 B 静止在距离斜面底端 10cm 处，小球半径可以忽
略，重力加速度取10m/s2 ，静电常数 k = 9.0 109 N ×m2 /C2。（结果保留一位有效数字）
-6
（1）若小球 B 带电量为QB = 5 10 C，求小球 A 所带电荷量；
（2）若将 A 球撤去，加一水平方向的匀强电场，仍使 B 球静止在斜面上，如图乙所示，求匀强电场的电场
强度大小及方向。（结果保留 1 位有效数字）
Q = 1 10-6【答案】（1） A C ；（2）E =1 10
6 N/C ，水平向右
【详解】（1）对 B 球受力分析有，沿斜面方向有
Q Q
mg sin 30° = k A B
r 21
解得
QA = 1 10
-6 C
（2）对 B 球受力分析，B 球处于平衡状态，所以电场力水平向右，又因为 B 球带正电，所以该匀强电场方
向水平向右。沿斜面方向平衡
mg sin 30° = Eq cos30°
解得
E =1 106 N/C
【变式 5-3】如图，轻质绝缘细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的
匀强电场中，绳与竖直方向的夹角为q = 37°，已知小球所带电荷量 q =16 10-8 C，匀强电场的场强
E = 3 107 N / C，取重力加速度 g =10m / s2 ，（取 sin 37° = 0.6， cos37° = 0.8）求：
(1)小球带何种电性的电荷；
(2)小球的质量 m。
【答案】(1)带正电
(2) 0.64kg
【详解】（1）对小球受力分析，根据受力平衡可知，小球受到的电场力水平向右，与电场强度方向相同，
所以小球带正电。
（2）以小球为对象，根据受力平衡可得
tanq qE=
mg
解得小球的质量为
m qE 16 10
-8 3 107
= = kg = 0.64kg
g tanq 10 0.75
