江西省丰城中学2015-2016学年上学期高一数学必修二导学案第二章 平面解析几何初步
文档属性
| 名称 | 江西省丰城中学2015-2016学年上学期高一数学必修二导学案第二章 平面解析几何初步 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 7.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-02 17:13:39 | ||
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文档简介
第二章 解析几何初步
§1 直线与直线的方程 1.1直线的倾斜角和斜率
学习目标
正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性；理解直线的斜率的存在性；斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
学习重点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
自主学习（独学、质疑）
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的__________和这条直线的__________．
2．直线的倾斜角和斜率
(1)直线的倾斜角：在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按__________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的__________，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为__________.通常倾斜角用α表示，倾斜角的取值范围是__________.当直线的倾斜角为________时，直线与x轴垂直．
(2)直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的__________叫作这条直线的斜率，即__________
合作探究（对学、群学）
1：直线的倾斜角α与斜率k之间的关系是怎样的？
变式：(1)直线x＝2 014的倾斜角是__________；
(2)若一条直线的倾斜角为30°，则这条直线的斜率是__________．
2： 若直线过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2，此时能用斜率公式求斜率吗？
变式：已知直线l经过点A(18,8)，B(4，－4)，则l的斜率为( )．
A．－ B. C. D．－
3：过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y等于( )．
A．－1 B．－5 C．1 D．5
变式：已知直线l的倾斜角为30°，且过点P(1,2)和Q(x,0)，求该直线的斜率和x的值．
评价提升（评价、完善）
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角 的范围是[0,180°)
2.直线斜率的求法：
（1）利用倾斜角的正切来求；
（2）利用直线上两点(, 的坐标来求；
（3）当直线的倾斜角 a = 90°时，直线的斜率是不存在的.
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
直线的倾斜角a 直线的斜率k 直线的斜率公式
定义 K=tan a .
取值范围 [0,180°) ()
达标拓展（检测、拓展）
1．对于下列命题：
①若θ是直线l的倾斜角，则0°≤θ＜180°；
②若k是直线l的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为( )．
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
3．已知A(，0)，B，C(a，)三点共线，求实数a的值．
1.2 直线方程的点斜式
学习目标
理解直线的点斜式方程和斜截式方程；并能进行简单的应用．
学习重点
直线的点斜式方程；
垂直于轴的直线的表示。
自主学习（独学、质疑）
上一节，我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素，是__________和__________。也就是说，平面直角坐标系中的点在不在直线上是完全确定的。我们能否用给定的条件（点的坐标和斜率，或的坐标），将直线上所有点的坐标满足的关系式表示出来呢？
若直线经过点，且斜率为，设是直线上不同于点的任意一点，满足的关系式是什么？
反思：
与是等价的吗？
直线上的每一点的坐标是否都满足上面的关系式？说明理由。
2、坐标满足上面关系式的点是否都在直线 上？合作讨论理由。
3、上述1、2成立，说明结论（1）恰好就是过点，且斜率为的直线上的任一点的坐标所满足的关系式。因此称 为过点，且斜率为的直线的点斜式方程。
4、轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？
5、点斜式能表示直角坐标平面内的任意一条 直线吗？请从倾斜角的角度给出完整的解释。
6、如果直线的斜率为，且与轴的交点为，我们把__________ 叫做直线的斜截式方程，叫__________。
思考：1、截距是不是代表某种距离？
2、斜截式方程与一次函数的区别和联系。
合作探究（对学、群学）
1 、根据下列条件写出直线的点斜式方程．
(1)斜率为－，且过点(－1,2)；
(2)经过点(3,1)，倾斜角为45°；
(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7；
(4)过点B(－1,0)，D(4，－5)；
(5)过点C(－2,3)，与x轴垂直．
变式1：(1)经过点(－，2)，倾斜角是60°的直线方程为__________；
(2)经过点(10,3)且平行于x轴的直线方程为__________；
(3)若直线l的方程为y＝－2(x＋1)－1，则该直线的斜率为__________；
(4)若直线方程为y－2＝k(x＋3)，则该直线必经过定点P，P点坐标为__________．
例2、求下列直线的方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行
变式2．倾斜角为30°，且在y轴上的截距为－5的直线方程是__________．
2．若直线方程为y＋3＝2(x－1)，则它在y轴上的截距为__________．
例3、直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为2的三角形，求直线l的方程．
变式3：斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l的方程．
评价提升（评价、完善）
(1)求直线的点斜式方程时，首先应确定直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率，然后在直线上找一点，代入点斜式方程即可，若直线的斜率不存在，则直线方程不能写成点斜式形式．
(2)已知直线的斜截式方程或将直线方程化为 ( http: / / www.21cnjy.com )斜截式后，可求出该直线所经过的定点．一般地，方程y－y0＝k(x－x0)表示的直线必经过定点(x0，y0)．
（3）求直线的斜截式方程时，只需确定直线的斜率与直线在y轴上的截距即可．
（4）斜截式方程是点斜式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的一种特殊情况，利用斜截式求直线的方程时，要先判断直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，直线的方程不能用斜截式求解，但在用待定系数法求直线方程时，常用斜截式设出直线方程．
（5）直线在y轴、x轴上的截距指的是直线与y轴、x轴交点的纵坐标、横坐标，它可以大于0，可以小于0，可以等于0，截距与距离不同；求直线截距的方法是：在直线方程中令x＝0，解出y的值即为直线在y轴上的截距；在直线方程中令y＝0，求得x的值，即为直线在x轴上的截距．
达标拓展（检测、拓展）
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示( )．
A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
2．过点P(－2,0)，斜率是3的直线的方程是( )．
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
3．直线y＝2x－1在y轴上的截距为( )．
A． 2 B．1 C．－1 D．
4．(1)斜率是，在y轴上的截距是－2的直线的斜截式方程为__________；
(2)直线y＝mx＋1(m∈R)经过定点M，则M的坐标为__________．
5．已知直线l的方程为kx－y＋2k＋2＝0.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l在y轴上的截距为4，求k的值．
1.3 直线方程的两点式和一般式
学习目标
记住直线方程的两点式、截距式、一般
式的形式特点和适用范围；会把直线方
程的一般式化为斜截式，进而求斜率和
截距；会把直线方程的点斜式、两点式
化为一般式．
学习重点
直线方程的两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围；
直线方程五种形式的相互转化及应用。
自主学习（独学和质疑）
若直线过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2，此时能用斜率公式求斜率吗？
合作探究（对学、群学）
例1：已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC的中点为D.
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC所在直线的方程．
变式1：△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，
B(－2,6)，C(－8,0)．
求：(1)边AC所在直线方程；
(2)AC边上的中线BD所在直线方程．
例2：设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
变式2．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(1)若直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，求实数m的值；
(2)求直线ax＋by＝1(ab≠0)与两坐标轴围成的图形的面积．
例3：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
变式3．若k∈R，直线y＋1＝k(x－2)恒过一个定点，则这个定点的坐标为 ( )．
A．(1，－2) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(2，－1)
2．若直线(3a＋2)x＋y＋8＝0不过第二象限，求a的取值范围．
评价提升（评价、完善）
( http: / / www.21cnjy.com )
达标拓展（检测、拓展）
1．过A(1,1)，B(0，－1)两点的直线方程是( )．
A.＝x B.＝
C.＝ D．y＝x
2．在x轴，y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )．
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝0
3．直线l：Ax＋By＋C＝0过原点和第二、四象限，则( )．
A．C＝0，B＞0 B．C＝0，A＞0，B＞0
C．C＝0，AB＞0 D．C＝0，AB＜0
4．关于x，y的方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0是某条直线的方程，求实数a的取值范围．
1.4 两直线的位置关系 学习目标
熟练掌握两条直线平行与垂直的条件，并运 ( http: / / www.21cnjy.com )用条件判断两直线是否平行或垂直；根据两条直线平行与垂直的条件，求参数的值；会求过一点且与已知直线平行或垂直的直线方程；通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养合作交流的学习方式，激发学习兴趣.
学习重点
两条直线平行与垂直的条件的把握及灵活运用．
自主学习（独学和质疑）
1．两条直线平行
(1)两条不重合的直线l1：y＝k ( http: / / www.21cnjy.com )1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1∥l2，则__________反之，若__________，则l1∥l2.
(2)如果l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90°，从而它们______．
问题（1）若两条直线平行，斜率一定相等吗？
问题（2）若l1，l2是两条不同的直线，则有下列命题：
①若l1∥l2，则斜率k1＝k2； ( http: / / www.21cnjy.com )②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.
其中正确命题的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．两条直线垂直
设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.
若 l1⊥l2，则k1·k2＝__________；反之，若k1·k2＝__________，则l1⊥l2.
特别地，对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥x轴，l2⊥y轴，所以__________.
问题（3）利用两直线的斜率判定两直线垂直时应注意哪些问题？
问题（4）经过点(－2,3)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为________．
合作探究（对学、群学）
例1：直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2： 2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．
变式：1．已知直线l1的斜率为k1＝直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．
例2： (1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；
（2）求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程．
变式：2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，求a的值．
2．求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程．
(1)A(1,2)，y＝x＋；
(2)B(2，－3)，2x＋y－5＝0.
例3： 直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，求直线l的方程．
变式：
1.已知直线l1：ax－y＋2a＝0与l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，求a的值．
2.如图，在平行四边形OABC中，点A(3,0)，点C(1,3)．
(1)求AB所在直线的方程；
(2)过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
评价提升（评价、完善）
1.判定两直线是否平行时，对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．2．平行直线的求法：
(1)求与直线y＝kx＋b平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值．
(2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可．
3.判断两直线垂直的方法：
(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0判断；
(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2k1·k2＝－1判断；
(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．
4．垂直直线的求法：
(1)求与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可巧设为y＝－x＋m，然后通过待定系数法，求参数m的值；
(2)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx－Ay＋m＝0，然后用待定系数法，求出m.
达标拓展（检测、拓展）
1．若直线2ay－1＝0与直线(3a－1)x＋y－1＝0平行，则实数a等于( )．
A. B．－ C. D．－
2．已知直线l1过A(2,3)和B(－2,6)，直线l2过点C(6,6)和D(10,3)，则l1与l2的位置关系为( )．
A．l1⊥l2 B．l1与l2重合
C．l1∥l2 D．以上都不对
3．经过(m,3)与(2，m)的直线l与斜率为－4的直线相互垂直，则m的值为( )．
A．－ B． C．－ D.
4．过点(2,1)且与直线2x＋y＋1＝0垂直的直线方程为__________．
5．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，求满足下列条件的a的值：
(1)l1∥l2；(2) l1⊥l2.
1.5 两直线的交点
学习目标
1.会判断给定的两条直线的位置关系．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．能用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题．
4．熟练掌握解析几何中的对称问题.
学习重点
求两条相交直线的交点坐标；直线过定点、对称问题的处理方法．；两直线相交与二元一次方程的关系．
自主学习（独学、质疑）
1．两条直线的交点
设两条不重合的直线方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
要判断它们是否平行，即看它们的________是否相等，如果不等，则两直线__________求这两条直线的交点，就是求这两个直线方程的__________。
问题：直线2x－y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标是________．
2．过两直线交点的直线系
(1)经过两直线l1：A1 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)交点的直线系为__________
当m＝1，n＝0时，方程即为________的方程；当m＝0，n＝1时，方程即为_________的方程．
(2)上面的直线系可改写 ( http: / / www.21cnjy.com )成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R)．但是此方程中不包括直线__________，这个参数方程形式在解题中较为常用．
合作探究（对学、群学）
例1、求过两条直线l1：x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
变式：已知直线方程为(2a＋1)x＋(3a－2)y－18a＋5＝0，求证：无论a为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐标．
例2、设三条直线x－2y＝1,2x＋ky＝3,3kx＋4y＝5交于一点，求k的值．
变式：（1）三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为__________．
（2）试求三条直线l1：ax＋y＋1＝0.l2：x＋ay＋1＝0.l3：x＋y＋a＝0构成三角形时a满足的条件．
例3、已知三角形内角A的角平分线所在的直线是l：2x＋y＋1＝0，而B(1,2)和C(－1，－1)是三角形的另外两个顶点，求顶点A的坐标．
变式：已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．
评价提升（评价、完善）
两条直线的方程分别是
，
．
构成方程组．（＊）
达标拓展（检测、拓展）
1．下列直线中，与直线2x－y＋3＝0相交的是( )．
A．4x－2y－6＝0 B．y＝2x－1
C．y＝2x＋5 D．y＝－2x－3
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )．
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
3．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )．
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直
D．不能确定，与m，n取值有关
4．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
学习目标
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 会用点到直线距离公式求解两平行线距离
学习重点
点到直线的距离公式；点到直线距离公式的理解与应用.
自主学习（独学、质疑）
问题1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2
(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
问题2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2
(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
问题3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？
问题4:在平面直角坐标系中，已知点
A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O,A)
问题5:一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
公式：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离，用d（A，B）表示为
合作探究 (对学、群学)
例1、已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求AB边上的中线CM的长．
变式：1．已知点M(－3,2)，N(1,4)，则线段MN的长度为__________．
2．在△ABC中，A(1,1)，B(3,1)，若△ABC是等边三角形，求C点坐标．
例2、求点P(1,2)到下列直线的距离：
l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
变式：1．点A(a,6)到直线3x－4y＝2的距离等于4，求a的值．
2．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，求P点的坐标．
例3、 (1)求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离；
变式：1．直线5x－12y＋1＝0与10x－24y＋3＝0之间的距离d＝__________.
2．求与直线l1：3x－4y－20＝0平行且距离为3的直线方程．
例4、求证：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
变式：证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半．
评价提升（评价、完善）
A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离
达标拓展（检测、拓展）
1．若A(1，－3)，B(5，－1)，则原点到线段AB中点的距离是( )．
A．1 B．
C．13 D．2
2．直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为( )．
A． B．
C． D．24
3．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于( )．
A． B．－
C．－ D．或－
4．已知点A(－，a)，B(0,1)是平面上相异的两点，则两点间距离的最小值是________．
5．已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
1.7 直线与方程小结与复习
学习目标
1.通过总结和归纳直线与方程的知识，对 ( http: / / www.21cnjy.com )全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。2.能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分析讨论的思想和抽象思维能力。
学习重点
1.直线的倾斜角和斜率.2.直线的方程和直线的位置关系的应用.3.激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力.
自主学习（独学、质疑）
合作探究（对学、群学）
例1.下列命题正确的有 :
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应, ( http: / / www.21cnjy.com )也有唯一一个斜率与之对应;②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;⑤直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零),当A,B,C中有一个为零时,这个方程不能化为截距式.⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.
例2.若直线与直线，则时，a_________;时，a=__________;这时它们之间的距离是_____;时，a=________ .
例3．求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；
(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；
例4．已知直线L过点（1,2），且与x，y轴正半轴分别交于点A、B（1）求△AOB面积为4时L的方程。
例5．已知△ABC的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C的坐标．
评价提升（评价、完善）
本章的知识点主要是实现由形到数的一 ( http: / / www.21cnjy.com )种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用。
达标拓展（检测、拓展）
1．对于下列命题：
①若θ是直线l的倾斜角，则
0°≤θ＜180°；
②若k是直线l的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有
斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若直线l的斜率k＝－1，则其倾斜角等于( )．
A．0° B．45° C．90° D．135°
3．过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为( )．
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
4．已知直线l的倾斜角为30°，且过点P(1,2)和Q(x,0)，求该直线的斜率和x的值．
§2.1 圆的标准方程
学习目标
1．记住圆的标准方程，根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用待定系数法求圆的基本量a，b，r，从而确定圆的方程．
2．会用点与圆的位置关系解决有关问题．通过圆的标准方程的学习，进一步培养用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想.
学习重点
根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用待定系数法求圆的方程．
自主学习（独学、质疑）
1．确定圆的条件
圆的几何特征是圆上任一点到______的距离等于定长，这个定长称为________，这个定点称为________，一个圆的________和________一旦给定，这个圆就被确定下来．
2．圆的标准方程
(1)已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是__________
(2)以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为__________
问题1：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？
问题2：当圆过原点、圆心在x轴或在y轴上时，圆的标准方程分别是什么？
问题3：(1)圆(x＋5)2＋(y＋4)2＝18的圆心坐标是______，半径是________．
(2)圆心为(1,1)，半径为2的圆的标准方程是_____．
(3)圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的标准方程是( )．
A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
3．点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，
则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的大小关系
问题4：若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？
合作探究（对学、群学）
例1：求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点
A(0，－4)，B(0，－2)．
变式：求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(3,4)，半径是；
(2)圆心为(8，－3)，且经过点P(5,1)；
(3)过两点P1(4,7)，P2(2,9)，且以线段P1P2为直径(4)与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心，且过点P(－1,1)；
(5)圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．
例2： (1)求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上的圆的方程；
(2)求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．
变式：1．求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．
2．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．
例3： (1)圆的直径端点为(2,0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A(5,4)，B(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内．
(2)点P(3a＋2,4a)在圆(x－2)2＋y2＝1的内部，求a的取值范围．
变式：1．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )．
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
2．求过点P1(3,8)，P2(5, ( http: / / www.21cnjy.com )4)且半径最小的圆的方程，并判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外．
评价提升（评价、完善）
总结：1.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
2．求圆的标准方程时常用的几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心；
(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心；
(3)圆心与切点的连线长为半径；
(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；
(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h，满足
r2＝d2＋h2.
3．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：
(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)根据题意，建立a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出a，b，r的值；
(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求．
4．点与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较大小．
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
达标拓展：
1．圆心为C(－1，－1)，半径为2的圆的标准方程为( )．
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
2．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )．
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
3．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是( )．
A．5 B．3 C．4 D．2
4．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________．
5．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6,1)，求圆C的方程．
§2.2 圆的一般方程
学习目标
1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；
2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；
3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质
学习重点
圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
自主学习（独学、质疑）
圆的一般方程：
方程 在什么条件下表示圆？
配方得 ________________
（1）当时，表示以______为圆心, 以_______ 为半径的圆；
（2）当时，表示______;（3）当时，不表示______
因此当时，方程__________叫做圆的一般方程
问题：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
合作探究（对学、群学）
例1：下列方程是否表示圆？若表示圆，求出圆心和半径．
(1)x2＋2y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋3x＋5y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)－2x2－2y2＋10y＝0；
(5)x2＋y2＋6x－6y＋18＝0.
变式：1．下列方程中表示圆的是( )．
A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0
B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0
C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0
D．x2＋2y2－2x＋4y－1＝0
2．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．
例2：求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
变式：1．已知A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程为__________．
2．经过点(－1,3)，圆心在直线x－2y＝0上，且半径等于的圆的方程是____________．
例3：已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
变式：已知M(0,4)，N(－6,0)，若动点P满足PM⊥PN，则动点P的轨迹方程是__________．
评价提升（评价、完善）
(1)求圆的方程通常用待定系数法，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果圆的几何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组求解．不论设圆的标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．
(2)用待定系数法求圆的一般方程分三步：
①设出一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②根据题意，列出关于D，E，F的方程组；③解出D，E，F的值代入即得圆的一般方程．
(3)求与圆有关的轨迹问题常用的方法．
①直接法：根据题目的条件，建立 ( http: / / www.21cnjy.com )适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式；②定义法：当动点满足的条件符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
③相关点法：若动点P(x，y)随着圆上 ( http: / / www.21cnjy.com )的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得点P的轨迹方程．
（4）轨迹与轨迹方程的异同.
求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事，求动点的 ( http: / / www.21cnjy.com )轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时先由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程．“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
（5）求轨迹(或轨迹方程)时，要注意轨迹是曲线的全部还是曲线的一部分，若曲线上某些点不符合要求，要对方程中的变量x，y加以限制．
达标拓展（检测。拓展）
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．
A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为( )．
A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0
B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0
C．x2＋y2＋4x－6y＝0
D．x2＋y2－4x＋6y＝0
3．已知点A(2,0)，动点Q在圆x2＋y2＝4上，则线段AQ的中点P的轨迹方程是( )．
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．(x－1)2＋y2＝1 D．(x＋1)2＋y2＝1
4．如果方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0表示圆，则实数k的取值范围是________．
5．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程，并求圆心和半径．
§2.3 直线与圆的位置关系.
学习目标
1．理解直线与圆的几种位置关系；
2．利用平面直角坐标系中，点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
学习重点
直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．能用坐标法判直线与圆的位置关系．
自主学习（独学、质疑）
直线与圆的位置关系：
设是圆的圆心到直线的距离。
1．直线与圆______；
2．直线与圆______；
3．直线与圆______。
合作探究（对学、群学）
例1：已知直线l的方程为y＝kx＋2，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.当k为何值时，直线l与圆C：(1)相切；(2)相交；(3)相离．
变式：
1．判断下列圆与直线的位置关系．(1)圆x2＋y2－8x＋2y－8＝0，直线4x－3y＋6＝0；
(2)圆x2＋y2－4x＋3＝0，直线2x－y＋5＝0.
2．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则实数m＝__________.
例2： (1)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，求过点P(2,3)的圆的切线方程；
(2)过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
变式：
1．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于__________．
2．过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
例3：过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程．
变式：直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
评价提升（评价、完善）
1．求圆的切线方程一般有三种方法：
(1)利用常见结论：过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，代入切点坐标求切线方程；
(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)，解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；
(3)直接法：由切线斜率与圆心和切点的连线斜率乘积为－1，求出切线斜率，再写出直线的点斜式方程即可．
2．在利用点斜式设直线方程时 ( http: / / www.21cnjy.com )，斜率不存在(即直线与y轴平行或重合)的情况，要另外单独验证．若此时直线方程满足题意，则列入答案，若不符合题意，也要作出说明．
达标拓展（检测、拓展）
1．直线3x－4y＋8＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是( )．
A．相切 B．相离
C．相交 D．相交且直线过圆心
2．直角坐标平面内，过点P(2,1)且与圆x2＋y2＝4相切的直线( )．
A．有两条 B．有且仅有一条
C．不存在 D．不能确定
3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )．
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
4．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是__________．
5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
§2.4圆与圆的位置关系.
学习目标
理解圆与圆的位置的种类;利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；会用连心线长判断两圆的位置关系。
学习重点
用坐标法判断圆与圆的位置关系．
自主学习（独学、质疑）
圆与圆的位置关系：
设两圆的圆心距设为d.
1．当时，两圆_________；
2．当时，两圆_________；
3．当 时，两圆_________；
4．当时，两圆_________；5．当时，两圆_________。
合作探究（对学、群学）
例1：已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)当m＝1时，圆C1与圆C2是什么关系？
(2)当m＝4时，圆C1与圆C2是什么关系？
(3)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
变式：1．圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是( )．
A．相离 B．相交 C．相切 D．内含
2．两圆x2＋y2＝a (a＞0)与x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为__________．
例2：已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
变式：1．圆x2＋y2＋3x－y＝0和 ( http: / / www.21cnjy.com )圆3x2＋3y2＋2x＋y＝0的公共弦所在的直线方程是________________．
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
例3：过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程．
变式：直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
评价提升（评价完善）
1．判断两圆的位置关系，通常采用几何法 ( http: / / www.21cnjy.com )，而不是用两圆公共点的个数来判断，因为它们之间并不是一一对应关系，如两圆只有一个公共点时，两圆可能内切，也可能外切；两圆没有公共点时，它们可能相离，也可能内含，无法确定是哪一种位置关系．
2．利用几何法判断两圆位置关系可按如下步骤进行：
(1)计算两圆的半径r1，r2；
(2)计算两圆的圆心距d；
(3)建立d，r1，r2之间的等量(不等量)关系；
(4)判断两圆的位置关系．
3.求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
注意：(1)当两圆相切时，两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切线方程．
(2)当两圆外离时，方程作差也能得一条直线方程，但这条直线方程不是两圆的公共弦所在直线方程．
4.有关直线与圆相交时的弦长问题常用几何法来处理．如图，若半径为r，弦心距为d，则弦长|AB|＝2.
达标拓展（检测、拓展）
1．圆A：x2＋y2－2x＝0和圆B：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )．
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
2．若两圆：x2＋y2＝9与(x－4)2＋(y＋3)2＝r有3条公切线，则实数r的值为( )．
A．8 B．64
C．2 D．4
3．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )．
A． B．
C．2 D．2
4．以(0,2)为圆心，且与圆x2＋y2＝1相外切的圆的方程是____________．
5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则圆的方程是__________．
§2.5圆与方程小结复习
学习目标
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程 ( http: / / www.21cnjy.com )与一般方程.； 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
学习重点
解析几何解题的基本思路和解题方法的形成；整理形成本章的知识系统和网络。
自主学习（独学、质疑）
1.确定圆的条件是：一个圆的________位置和________一旦给定，这圆就被确定下来了。
2.圆的标准方程：圆心为C（a,b）,半径为r的圆的标准方程是_____________________________.
3.圆的一般方程：____________________________,其圆心坐标为_______,半径为______________.
4.直线与圆的位置关系:设圆的圆心C（a,b）到直线ｌ:Ax+By+C=0的距离为d.则当______时，直线与圆相离；当______时，直线与圆相切；当______时，直线与圆相交。
5.圆与圆的位置关系：设圆C1：和圆C2：的圆心距为d=|C1C2|.则当___________时，两圆相离；则当___________时，两圆外切；则当___________时，两圆相交；则当___________时，两圆内切；则当___________时，两圆内含。
合作探究（对学、群学）
例1。求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
例2。设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹
例3。求圆关于直线的对称圆方程
评价提升（评价、完善）
本章的知识点主要是实现由形到数的一种 ( http: / / www.21cnjy.com )转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用。
达标拓展（检测、拓展）
1．求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程 ( http: / / www. / wxc / )
2．已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程
3。已知圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交点,(1)求圆C的方程; (2)求两圆C1和C2相交弦的方程 ( http: / / www. / wxc / )
§3.1-2空间直角坐标系学习目标：
1：能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。
2： 以正方体为载体,使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示.
3：会用空间直角坐标系刻化点的坐标
学习重点：
在空间直角坐标系中，确定点的坐标
自主学习（独学、质疑）
1：我们知道数轴Ox上的任意一点M都可用与它对应的一个实数表示; 在直角坐标平面上任意一点M可用一对有序实数表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组表示出来呢？
2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？
3. x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点？xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有何特点？
4. 已知空间两点Ａ（，， ），Ｂ（， ），则AB中点的坐标为（ , , ）.
合作探究：
例1.在长方体中，写出四点坐标.
变式1：在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、的坐标
例2如图，以棱长为1的正方体ABCD－ ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1的棱AD，AB，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B对角线的交点的坐标为__________．
变式2如图所示的空间直角坐标系中，正方体棱长为2，|PQ|＝3|PR|，则点R的空间直角坐标为________.
例3如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，|PA|＝|AC|＝|AB|＝4，N为AB上一点，|AN|＝|AB|，M，S分别为PB，BC的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M，N，S的坐标．
变式3 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．
评价提升（评价、完善）：
（1）建立空间直角坐标系求点的坐标时，要尽可能多的点落在坐标轴上，出现三条线相互垂直时，一般以这三条线为坐标轴来建立坐标系；
（2）在建立空间直角坐标系O-xyz时，要注意使，，且使y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半。
（3）在确定给出空间图形各顶点的坐标时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，以便于计算所需确定的点的坐标。
（4）求点的坐标时要善于运用图形中的几何关系。
达标拓展（检测、拓展）
1、在空间直角坐标系中，作出点M(4，2, 5)。
2、如图所示,过正方形ABCD的中心O作 ( http: / / www.21cnjy.com )OP⊥平面ABCD,已知正方形的边长为2,OP=2,连接AP,BP,CP,DP.M,N分别是AB,BC的中点,以O为原点,射线OM,ON,OP分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E,F分别为PA,PB的中点,求A,B,C,D,E,F的坐标.
( http: / / www.21cnjy.com )
3、已知M(6，－2, 4)，分别求M关于 轴；轴；轴；原点的对称点坐标。
§3.3空间两点间的距离公式学习目标：
1：掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题。
2：通过探究空间两点间的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.
学习重点：
空间两点间的距离公式.
自主学习（独学、质疑）
1.在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A，B之间距离的公式是
2.设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是
3.平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示圆，在空间中方程x2+y2+z2=r2表示的图形为
合作探究：
例1 、 求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.
变式1已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
例2、坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.
变式2如图K49－1，已知正方体AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求MN的长．
例3、已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )
A.0 B.
C. D.
变式3已知三棱锥P—ABC(如图4), ( http: / / www.21cnjy.com )PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与x轴所成的较小的角.
( http: / / www.21cnjy.com )
评价提升（评价、完善）：
1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外，两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.
2.在平面内到定点的距离等于 ( http: / / www.21cnjy.com )定长的点的集合是圆与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.
达标拓展（检测、拓展）
1. 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：线段AB的中点坐标和长度
2. 三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.
3.在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.
解析几何初步
§1 直线与直线的方程
1.1直线的倾斜角和斜率
自主学习
1．一个点，方向．
2．(1)逆时针，倾斜角，，0°，0°≤α＜180°.90°。
(2)正切值，k＝tan_α.
合作探究
例1.提示：斜率和倾斜角之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的关系是“数与形”的关系，斜率是个数，倾斜角则是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越
大；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．
变式(1)90° (2)
例2提示：不能．斜率公式的适用条件是x1≠ ( http: / / www.21cnjy.com )x2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在。过两点的直线斜率的计算公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式是k＝(x2≠x1)
变式(1)90° (2)
大；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．
变式(1)90° (2)
例2提示：不能．斜率公式的适用条件是x1≠x ( http: / / www.21cnjy.com )2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在。过两点的直线斜率的计算公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式是k＝(x2≠x1)
(x2≠x1)．
变式C
例3： A
变式：由斜率的计算公式得，该直线的斜率k＝tan 30°＝.
又l过点P(1,2)和Q(x,0)，则k＝＝，
解得x＝1－2.
达标拓展
1．C
2．A
3．解：∵A，B，C三点共线，≠，
∴AB，AC的斜率都存在，且kAB＝kAC.
∴＝，解得a＝2.
解得x＝1－2.
达标拓展
1．C
2．A
3．解：∵A，B，C三点共线，≠，
∴AB，AC的斜率都存在，且kAB＝kAC.
∴＝，解得a＝2.
3．解：∵A，B，C三点共线，≠，
∴AB，AC的斜率都存在，且kAB＝kAC.
∴＝，解得a＝2.
∴＝，解得a＝2
1.2直线方程的点斜式自主学习
点，方向，
反思：3、
6、y=kx+b 截距
合作探究
例1 思路分析：直线的点斜式方程需要定点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )和斜率两个条件，解题时首先分析所求直线的斜率是否存在，若存在，斜率是什么，再根据点斜式写出方程．
解：(1)所求直线的斜率为－，又过点(－1,2)，故所求方程为y－2＝－(x＋1)．
(2)设直线的倾斜角为α，
∵α＝45°，k＝tan α＝tan 45°＝1，
∴所求直线的点斜式方程为y－1＝x－3.
(3)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点
(－7,0)．
又斜率为，由直线的点斜式方程得
y－0＝[x－(－7)]．
(4)直线的斜率为k＝＝－1，∴直线的点斜式方程为y－0＝－(x＋1)．
(5)x＝－2.
变式：解析：(1)k＝tan 60°＝，故所求直线的点斜式方程为y－2＝(x＋)．
(2)由直线与x轴平行，得直线的斜率k＝0.
故所求直线的方程为y＝3.
(3)直线方程可化为y＋1＝－2(x＋1)，它表示经过点(－1，－1)，斜率为－2的直线，即直线斜率为－2.
(4)直线方程为y－2＝k(x＋3)，它表示经过点(－3,2)，斜率为k的直线，因此直线经过的定点P的坐标为(－3,2)．
例2、思路分析：(1)已知斜率和在y轴上的截距，可直接利用斜截式写方程；(2)所求直线与x轴平行，此时斜率为0是特殊的直线，可以确定直线上所有点的纵坐标，再由纵坐标写直线的方程．
解：(1)由斜截式可得所求直线的方程为y＝－4x＋7；
(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为2，所以所求的直线方程为y＝2.
变式1．y＝x－5
解析：斜率k＝tan 30°＝，
所以直线方程为y＝x－5.
2．－5 解析：在方程y＋3＝2(x－1)中，令x＝0，得y＝－5，因此直线在y轴上的截距为－5.
例3、思路分析：已知斜率，且 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形面积与坐标轴上的截距有关，因此可设截距式y＝x＋b，利用直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2，求出截距，从而得出直线l的方程．
解：∵直线l的斜率为，
∴设直线l的方程为y＝x＋b.
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－4b.
由直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2，可得×|－4b|×|b|＝2，∴b2＝1，解得b＝±1.
故所求直线l的方程为y＝x±1.
变式：解：设直线的斜截式方程为y＝－x＋b，令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝b，
由|b|＋|b|＋＝9，
即|b|＝9，得|b|＝3，即b＝±3，∴所求直线的方程为y＝－x±3.
达标拓展
1．D 2．D 3．C
4．(1)y＝x－2 (2)(0,1)
5．(1)证明：直线l的方程可化 ( http: / / www.21cnjy.com )为y－2＝k(x＋2)，这是直线方程的点斜式，它表示经过点(－2,2)，斜率为k的直线，故直线过定点(－2,2)．
(2)解：令x＝0，得y＝2k＋2，依题意有2k＋2＝4，故k＝1.
1.3 直线方程的两点式和一般式
自主学习
不能．斜率公式的适用条件是x1≠x2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在
合作探究
例1：思路分析：先利用两点式求出直线AD的方程，然后利用所给条件求出直线BC在x轴、y轴上的截距，用截距式表示出直线BC的方程．
解：(1)∵线段BC的中点坐标为D，
△ABC的顶点坐标A(1，－1)，由两点式得直线AD的方程＝，即BC边上的中线所在直线的方程为5x－4y－9＝0.
(2)设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，
由题意得a＋b＝9，①
直线BC的截距式方程为＋＝1，
∵点D在直线BC上，∴＋＝1，
∴6b＋3a＝2ab.②
由①②可得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，
解得a＝或a＝6.
因此，所求直线BC在两坐标轴上的截距为或
∴直线BC的方程为＋＝1或＋＝1，
即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0.
变式：解：(1)∵A(0,4)，C(－8,0)，∴由直线的截距式方程，得＋＝1，即为x－2y＋8＝0.
∴边AC所在直线的方程为x－2y＋8＝0.
(2)设中点D(x0，y0)，由中点坐标公式，
得x0＝＝－4，y0＝＝2.
由直线的两点式方程得BD所在直线的方程为
＝，即为2x－y＋10＝0.
∴AC边上的中线BD所在直线的方程为
2x－y＋10＝0.
例2：思路分析：(1)要使直线在x轴上的截距为－3，可令y＝0，得x＝＝－3，但需m2－2m－3≠0；
(2)当斜率为－1时，有－＝－1，但需注意2m2＋m－1≠0.
解：1）由题得
由①得m≠－1且m≠3，
由②得m＝3或m＝－.
∴m＝－.
2)由题得
由③得m≠－1且m≠，
由④得m＝－1或m＝－2.
∴m＝－2.
变式
1、解析：因为AC＜0，BC＜0，所以AB＞0，显然B≠0.
将一般式Ax＋By＋C＝0化为斜截式y＝，所以k＝，b＝.
所以直线不经过第三象限．
答案：C
2、解：(1)令y＝0，则(2m2－m＋3)x＝4m＋1，显然2m2－m＋3≠0，故＝1，即2m2－5m＋2＝0，解得m＝2或.
(2)方程可化为＋＝1，它在x轴、y轴上的截距分别是，，所以它与两坐标轴围成的图形的面积S＝·，即S＝.
例3：思路分析：先将一般式方程化为点斜式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得．
(1)证明：方法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴l的斜率为a，且过定点A.而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
方法二：直线l的方程可化为(5x－1)a＋(3－5y)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A.以下同方法一．
(2)解：直线OA的斜率为
k＝＝3.
要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－≤0，∴a≥3.
变式：1、解析：y＋1＝k(x－2)是直线的点斜式方程，它所经过的定点为(2，－1)．
答案：D
2、解：直线方程化为y＝－(3a＋2)x－8，
由于该直线不过第二象限，
∴－(3a＋2)≥0，∴a≤－.
达标拓展
答案：
1,A 2，B 3，C解析：由直线l过原点知C＝0.
又直线过第二、四象限，∴－＜0，∴AB＞0.
4，解：若a2－a－2与2－a同时为0，
则方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0不表示任何直线，
此时a＝2，
所以当a≠2时，方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0是某条直线的方程．
1.4 两直线的位置关系 .
自主学习
1．(1) k1＝k2； k1＝k2，
(2)互相平行或重合．
问题1
提示：不一定，有可能两直线的斜率不存在．
问题2
提示：C
2．－1；－1，l1⊥l2.
问题3
提示：(1)l1⊥l2 k1·k2＝－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；
(2)使用时应注意l1⊥l2 k1·k2＝－1的前提条件是：l1与l2都有斜率且不等于零．若忽略此前提条件，容易导致错误结论．
问题4
提示：直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，故所求直线的斜率为，从而所求直线方程为y－3＝，即x－2y＋8＝0.
合作探究
例1：思路分析：分斜率存在、不存在两种情况讨论．
解：(1)当l1，l2斜率都存在时，
所以m≠0且m≠3.
由l1∥l2，得－＝－，
解得m＝－4.
此时l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－＝0，
显然，l1与l2不重合，满足条件．
(2)当l1，l2斜率不存在时，
解得m＝3.
此时l1：x＝－，l2： x＝，满足条件．
综上所述，m＝－4或m＝3.
变式：解：当a＝0时，l1与l2不垂直．
当a≠0时，由于kAB＝＝，
由l1⊥l2，得·＝－1，得a＝1或a＝3.
例2： 思路分析：根据条件，求出已知直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的斜率，再由两直线平行，斜率相等，可求出所求直线的方程，也可以用平行直线系的知识，设出直线方程，用待定系数法求解．
解：(1)方法一：已知直线的斜率为－，∵所求直线与已知直线平行，∴它的斜率也是－.
根据点斜式，得到所求直线的方程是
y＋4＝－(x－1)，即2x＋3y＋10＝0.
方法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
∵所求直线经过点A(1，－4)，
∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10，
∴所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线方程为
＝，即x－y＋1＝0，
设所求直线的方程为x－y＋m＝0(m≠1)．
∵所求直线经过点P(3,2)，∴3－2＋m＝0，解得m＝－1，
∴所求直线方程为x－y－1＝0.
变式：
1．解：当a＝0时，显然两直线不平行．
当a≠0时，由－＝－，得a＝6.
2．解：(1)设所求直线方程为y＝x＋b，
由于所求直线过点A(1,2)，代入方程，得b＝，故所求直线方程为y＝x＋，即2x－3y＋4＝0.
(2)设所求直线方程为2x＋y＋λ＝0(λ≠－5)．
将点(2，－3)代入上式，得λ＝－1.
因此所求直线方程为2x＋y－1＝0.
例3： 思路分析：求出l的斜率，再利用点斜式求直线方程，也可以用待定系数法求解．
解：方法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率k′＝，
由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直可得其斜率k＝－.
由直线的点斜式方程可得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
方法二：设直线l的方程为－3x－2y＋D＝0，因为直线l过点(－1,2)，代入方程，得D＝1.
所以直线l的方程为－3x－2y＋1＝0，即3x＋2y－1＝0.
变式：
1.思路分析：已知两直线垂直，可利 ( http: / / www.21cnjy.com )用k1·k2＝－1，但要注意分类讨论；也可利用以下结论：设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2： A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
解：方法一：(1)当a≠0时，l1的斜率k1＝a，l2的斜率k2＝－.
∵l1⊥l2，∴a·＝－1，即a＝1.
(2)当a＝0时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，两直线垂直．综上所述，a＝0或a＝1.
方法二：∵A1＝a，B1＝－1，A2＝2a－1，B2＝a，
∴由A1A2＋B1B2＝0，得a(2a－1)－a＝0，即a＝0或a＝1.
2．解：(1)由题意知B点坐标为(4,3)，
kAB＝＝3，∴AB所在直线的方程为
y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2)∵CD⊥AB，∴kCD＝－，
∴CD所在直线的方程为y－3＝－(x－1)，
即x＋3y－10＝0.
达标拓展
答案:1.解析：因为两直线平行，所以3a－1＝0，即a＝.答案：C
2.解析：∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，kAB＝kCD，l1：3x－4y－18＝0，l2：3x－4y－42＝0，∴l1∥l2.答案：C
3.解析：由·(－4)＝－1，得m＝.
答案：D
4. 解析：设所求直线为x－2y＋D＝0，
将(2,1)代入，得2－2＋D＝0，∴D＝0，
故所求直线方程为x－2y＝0.
答案：x－2y＝0
5.解：(1)对于l1：y＝－x－，
若l1∥l2，则kl2存在．
∴y＝－x－.
∴解得a＝3.
(2)若l1⊥l2，则kl2也存在．
∴y＝－x－.
∴－×＝－1，解得a＝.
§1.5 两直线的交点 .
自主学习
1． 斜率 相交．公共解．
问题： (－2，－3)
2． (1) m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，m2＋n2≠0)．l1，l2
(2) l2
合作探究
1、思路分析：所求直线经过两条已知直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点且在两坐标轴上的截距相等，故可以求出两直线的交点坐标，再利用截距相等分直线过原点和不过原点分类讨论求解．也可以设出过交点的直线系方程，分别求出在x轴，y轴上的截距，再利用在两坐标轴上的截距相等，求待定系数．
解：(方法1)由得∴P(－2,1)．
由题意知，所求直线存在斜率，
设直线l：y－1＝k(x＋2)．
令x＝0，得y＝1＋2k；
令y＝0，得x＝－2－.
由1＋2k＝－2－，得k＝－1或k＝－.
故所求直线方程为x＋y＋1＝0或x＋2y＝0.
(方法2)设所求直线方程为x＋2＋λ(2x＋y＋3)＝0，
即(1＋2λ)x＋λy＋2＋3λ＝0，(※)
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－.
由题意得－＝－，
得λ＝－或λ＝－1.代入(※)式得所求直线方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.
变式：解：原方程可化为x－2y＋5 ( http: / / www.21cnjy.com )＋a(2x＋3y－18)＝0，它表示过直线x－2y＋5＝0与直线2x＋3y－18＝0交点的直线系(不包括直线2x＋3y－18＝0)，无论a取何值它都过两直线的交点，由解得
所以直线必过定点(3,4)．
小结：对于直线l1：A1x＋B1y＋ ( http: / / www.21cnjy.com )C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，直线系A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不含直线l2，若想包括l2，则可以写成A2x＋B2y＋C2＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0的形式．
例2、思路分析：先求出两条直线的交点，然后代入第三条直线求出k的值．
解：解方程组得即前两条直线的交点为.
因为三条直线交于一点，所以第三条直线必过此交点，故有3k·＋＝5，
解得k＝1或k＝－.
变式：（1）解析：由得
将x＝4，y＝－2代入ax＋2y＋8＝0，得4a－4＋8＝0，∴a＝－1. 答案：－1
（2）解：为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若l1，l2，l3交于一点，由
解得将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程，解得a＝1，或a＝－2.
②若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1.
当a＝1时，l1，l2重合．
③若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1.
当a＝1时，l2，l3重合．
④若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1.
当a＝1时，l1，l3重合．
综上，a＝1时，l1，l2，l3重合；
当a＝－1时，l1∥l2；
a＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1，且a≠－2.
小结：1.直线的交点坐标就是其相应方程组的解．
2．给出三条直线方程，方程中含有参数，且三条直线构成三角形，求参数满足的条件，可以先找构不成三角形的条件，然后求其反面．
例3、思路分析：求点B关于直线l的对称点B1，再求过B1C的直线方程，B1C与l的交点就是所求点的坐标．
解：设点B关于l的对称点为B1(x1，y1)，
∴l⊥BB1.线段BB1的中点在l上，
∵kl＝－2，kBB1＝，∴＝，即x1－2y1＋3＝0.①
又BB1中点坐标是，
∴2×＋＋1＝0.②
联立①②可得B1(－3,0)．
直线B1C的方程为＝，即
x＋2y＋3＝0.
解方程组得A.
变式：解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则点P，P′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即解得
∴P′坐标为(－2,7)．
(2)设直线l1：y＝x－2关于直线l ( http: / / www.21cnjy.com )对称的直线为l2，则l2上任一点P2(x2，y2)关于l的对称点P1(x1，y1)一定在l1上，反之亦然．
∴
解得
把(x1，y1)代入y＝x－2，整理得7x2＋y2＋22＝0，
∴l2方程为7x＋y＋22＝0.
小结：点P(x0，y0) ( http: / / www.21cnjy.com )关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点Q(x′，y′)满足条件：P，Q中点在对称轴上；直线PQ与Ax＋By＋C＝0垂直，在解决对称问题时，要抓住垂直、平分这两个关键点，从而列方程组解决问题．
达标拓展
答案1，D
2，B
3，解析：两条直线的斜率分别是k1＝－2，k2＝－.
∵k1·k2≠－1且k1≠k2，
∴两条直线相交但不垂直．
答案：C
4．解：(1)∵
∴交点为.
∵l与直线3x＋y－1＝0平行，
∴直线l的斜率为－3，
∴所求方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
(2)解方程组可以得到P(0,2)．
∵l3 的斜率为，∴直线l的斜率为－，
∴l的方程为y＝－x＋2.
§1.6 平面直角坐标系中的距离公式 .
自主学习
合作探究
例1、1 思路分析：先利用两点间的距离公式求出三角形三条边的长度，根据边长之间的关系判断其形状，再用两点间的距离公式求中线长．
解：(1)|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∵|AB|＝|AC|≠|BC|，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)M，|CM|＝＝.
变式：
1．2 解析：|MN|
＝＝＝2.
2．解：设点C的坐标为(x，y)，
∵△ABC为等边三角形，∴|AC|＝|BC|，即＝.①
又|AC|＝|AB|，
即＝.②
由①得x＝2，代入②得y＝1±.
∴所求点C的坐标为(2,1＋)或(2,1－)．
例2、解：(1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，
由点到直线的距离公式得d1＝＝2.
(2)方法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得d2＝＝3.
方法二：如图，
∵y＝－1平行于x轴，∴d2＝|－1－2|＝3.
(3)方法一：y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式得d3＝＝1.
方法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.
变式：1．解：由点到直线的距离公式，可得关于a的方程：＝4，|3a－26|＝20，解得a＝2或a＝.
2．解：设点P的坐标为(x0，y0)，
由题意得
解得或所以点P的坐标为(2，－1)或(1,2)．
例3、
解：(1)直线l1，l2的方程可化为
3x＋4y－10＝0,3x＋4y－15＝0，
则两平行线间的距离d＝＝＝1.
(2)依题意设所求直线方程为x－2y＋C＝0，则有＝，即|－1－C|＝|13－C|，
解得C＝6，故所求直线方程为x－2y＋6＝0.
变式：1． 解析：将两直线方程化为5x－12y＋1＝0与5x－12y＋＝0，于是由公式可得d＝＝.
2．解：设所求直线方程为3x－4y＋C＝0，由＝3得C＝－5或－35.故所求直线方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
例4、证明：如图，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．
设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b，c)．
因为|AB|2=a2，|CD|2=a2，
|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，
|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.
因此平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
变式：
证明：如图所示，△ABC中，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|=c.又由中点坐标公式，可得D，E，所以|DE|=，所以|DE|=|AB|，即三角形中位线的长度等于底边长度的一半．
达标拓展
1．B 2．B 3．D 4．
5．证明：如图，以O为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
设A(b，c)，B(－a,0)，C(a,0)．
由两点间距离公式，得|AB|2＋|AC|2＝(b＋a)2＋c2＋(b－a)2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝b2＋c2＋a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
§1.7 直线与方程小结与复习 .
自主学习
合作探究
例1. ⑤
例2． ;;;
例3． (1)2x+3y-1=0； ( http: / / www.21cnjy.com ) (2)2x-y+5=0；(3)x+y-1=0或3x+2y=0； (4)4x+y-6=0或3x+2y-7=0
例4．解： 设Ａ(a,0)，B(0,b) ∴a,b>0∴L的方程为 ∵点（1,2）在直线上 ∴ ∴ ① ∵b>0 ∴a>1
(1) S△AOB== =4 ∴a=2 这时b=4 ∴当a=2，b=4时S△AOB为4
此时直线L的方程为即2x+y-4=0
（2）求L在两轴上截距之和为时L的方程． 解：
∴ 这时∴L在两轴上截距之和为3+2时，直线L的方程为y=-x+2+
例5．解: ∵
∴
∴直线AC的方程为
即x+2y+6=0 (1)又∵
∴BC所在直线与x轴垂直 故直线BC的方程为x=6 (2)解(1)(2)得点C的坐标为C(6,-6)
达标拓展
1、C
2．D
3．A
4． ，1-2
§2.1 圆的标准方程
自主学习（独学、质疑）
1．圆心，半径，圆心位置，半径
2． (1) x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2) x2＋y2＝r2.
问题1
提示：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2不一定表示圆，当m＝0时，方程表示点(a，b)．圆的标准方程中，r是半径，r＞0.
问题2
提示：
条件 方程形式
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r＞0)
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
问题3
提示：(1)(－5，－4) (2)(x－1)2＋(y－1)2＝4 (3)C
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r
问题4
提示：不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈”，圆上的点并不含圆心．从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内.
合作探究（对学、群学）
例1：思路分析：首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．
解：(1)由两点间距离公式，得r＝＝，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．
又|AB|＝＝2，
∴半径r＝.
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
变式：解：(1)圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝5.
(2)r＝＝＝5，
∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(3)圆心为(3,8)，半径r＝|P1P2|
＝＝，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－8)2＝2.
(4)圆心为(2，－3)，半径r＝＝5，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
(5)圆心为(3,0)，半径r＝2，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
例2： 思路分析：先设出圆的标准方程，由题设列出关系式，组成方程组，由待定系数法求解．
解：(1)∵圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，∴可设圆心的坐标为，由题意，得
＝，
解得a＝3，∴圆心的坐标为(3,2)，
∴r2＝(3－6)2＋(2－0)2＝13，
∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
(2)设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆与坐标轴相切，∴圆心满足a－b＝0或a＋b＝0.
又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.
解方程组或得或
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)．∴可得半径r＝|a|＝4或r＝|a|＝1.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
变式：1．解：设圆心坐标为M(a,0)，则|MA|＝|MB|，
即＝，
解得a＝4.
所以圆心坐标为(4,0)，半径r＝|MA|＝.
所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
2．解：因为圆心在直线x－2y－3＝0上，
故可设圆心为C(2b＋3，b)，半径为r，
则圆的方程为(x－2b－3)2＋(y－b)2＝r2.
又因为圆过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，
所以
式①，②左边相等，即10b＋10＝30b＋50，
所以b＝－2，所以圆心坐标为(－1，－2)，r＝.
所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
例3： 思路分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程．判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．
(2)利用点在圆的内部建立不等式求a的取值范围．
解：(1)由已知得圆心坐标为C(2，－1)，半径r＝1.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
∵|AC|＝＝＞1，|BC|＝＝＞1，∴A，B两点都在圆外．
(2)∵点P(3a＋2,4a)在圆(x－2)2＋y2＝1的内部，
∴(3a＋2－2)2＋(4a)2＜1，即25a2＜1，
∴a2＜.解得－＜a＜.
∴a的取值范围是.
变式：1．解析：(m2)2＋52＝m4＋25＞24，点P(m2,5)在圆外．答案：A
2．解：|P1P2|＝＝2，
P1P2的中点坐标为(4,6)．
依题意，所求圆的圆心为C(4,6)，半径为.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.
∵|MC|＝＝＞，
|NC|＝＝，
|PC|＝＝＜，
∴点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．
达标拓展
答案1．D 2．解析：半径r＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4.【来源：全,品…中&高*考*网】
答案：C
3．解析：d＝＝5.答案：A
4．解析：由题意知32＋()2＞16，∴a＞7.
答案：(7，＋∞)
5解：∵圆心在直线x－3y＝0上，
∴设圆心坐标为(3a，a)．
又圆C与y轴相切，
∴半径r＝|3a|，
圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝|3a|2.【来源：全,品…中&高*考*网】又过点A(6,1)，
∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，
即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37.
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112.
§2.1 圆的一般方程
自主学习（独学、质疑）
，
（-，-），，一个点（-，-），任何图形
（圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显）
合作探究（对学、群学）
例1 思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般方程的特征．
解：(1)由于x2，y2的系数不相等，故不表示圆．
(2)由于该方程中含有xy这样的二次项，故不表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＋5＝0，显然不表示圆．
(4)方程－2x2－2y2＋10y＝0可化为x2＋2＝，所以其可以表示以为圆心，以为半径的圆．
(5)方程可化为(x＋3)2＋(y－3)2＝0，因此该方程不表示圆，而表示一个点(－3,3)．
变式
1．C 解析：选项C中的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，表示圆，其余选项中的方程均不表示圆．
2．解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2mx－2y＋m2＋5m＝0化为标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
例2 思路分析：设圆的一般方程，根据已知条件建立关于参数D，E，F的方程组，解方程组求出D，E，F的值，即可得到圆的方程．
解：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)()，依题意有即解得
因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0.
变式 1．x2＋y2＋8x－10y－44＝0 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意有解得
于是圆的方程为x2＋y2＋8x－10y－44＝0.
2．x2＋y2－4x－2y－8＝0或x2＋y2－x－y－＝0
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心为eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－))，半径等于，依题意得解得或
于是圆的方程是x2＋y2－4x－2y－8＝0或x2＋y2－x－y－＝0.
例3 思路分析：(1)已知动点M到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．
(2)N点随M点运动而运动，设出点 ( http: / / www.21cnjy.com )N的坐标，将M点坐标用A，N两点坐标表示，再将M点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N的轨迹方程，从而得点N的轨迹．
解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P＝.
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为＝，平方后再整理，得x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．由于A(2,0)，且N为线段AM的中点，
所以x＝，y＝，
所以有x1＝2x－2，y1＝2y，①
由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，所以点M坐标(x1，y1)满足：x＋y＝16，②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．
变式 (x＋3)2＋(y－2)2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝13(x≠0且x≠－6) 解析：由于PM⊥PN，所以动点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(不包括端点M，N)，其圆心为线段MN的中点(－3,2)，直径|MN|＝＝2，于是半径等于，故轨迹方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0且x≠－6)．
达标检测
1．D 2．D 3．C 4．
5．解：设所求圆的方程为x2＋y2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋Dx＋Ey＋F＝0.由题设得方程组解得D＝－4，E＝－2，F＝－20.∴△ABC的外接圆一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.圆心坐标为(2,1)，半径r＝＝5.
§2.3直线与圆的位置关系
自主学习（独学、质疑）
相交，相切，相离
例1 思路分析：一是利用代 ( http: / / www.21cnjy.com )数法，通过判别式建立关于k的等式或不等式求解；二是利用几何法，通过圆心到直线的距离d与半径的大小关系建立不等式或等式求解．
解：(方法1)联立得方程组消去y得(x－1)2＋(kx＋2)2－1＝0，
即(k2＋1)x2＋(4k－2)x＋4＝0.
判别式Δ＝(4k－2)2－4× ( http: / / www.21cnjy.com )4×(k2＋1)＝－16k－12.当Δ＝0，即－16k－12＝0，k＝－时，直线与圆相切；当Δ＞0，即－16k－12＞0，k＜－时，直线与圆相交；当Δ＜0，即－16k－12＜0，k＞－时，直线与圆相离．
(方法2)圆心C(1,0)，半径r＝1.
圆心C到直线l：y＝kx＋2的距离d＝.
当＝1，即|k＋2|＝，解得k＝－时，直线与圆相切；
当＜1，即|k＋2|＜，解得k＜－时，直线与圆相交；
当＞1，即|k＋2|＞，解得k＞－时，直线与圆相离．
变式 1．解：(1)圆x2＋y2－8x＋2y－8＝0可化为(x－4)2＋(y＋1)2＝25，
∴圆心(4，－1)，半径r＝5.
圆心(4，－1)到直线4x－3y＋6＝0的距离d＝＝5＝r，
∴圆与直线相切．
(2)圆x2＋y2－4x＋3＝0可化为(x－ ( http: / / www.21cnjy.com )2)2＋y2＝1，圆心(2,0)，半径r＝1，圆心到直线2x－y＋5＝0的距离d＝＝＝＞1＝r，
∴圆与直线相离．
2．2 解析：由于直线与圆相切，所以圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离等于半径，即＝，解得m＝2(m＝0舍去)．
例2 思路分析：(1)先判断点与圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系，再利用切线的斜率与圆心和切点连线的斜率乘积为－1求出切线斜率．(2)设出切线方程，利用点到直线的距离等于圆的半径，列出切线斜率所满足的方程，求出斜率，但要注意分斜率存在、不存在两种情况讨论．
解：(1)因为(2－1)2＋(3－2)2＝2，所以点P(2,3)在圆上．
由圆的方程可得圆心C(1,2)，半径r＝.
由斜率公式得kCP＝＝1，故所求切线的斜率为－1.由直线的点斜式方程得所求的切线方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.
(2)因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在， ( http: / / www.21cnjy.com )设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
变式 1． 解析：点A ( http: / / www.21cnjy.com )在圆O上，过点A且与圆O相切的直线的斜率为－，故切线方程为y－2＝－(x－1)．令x＝0得y＝；令y＝0得x＝5.故三角形的面积为×5×＝.
2．解：当直线l的斜率不存在时，l的 ( http: / / www.21cnjy.com )方程是x＝－1，不满足条件．当直线l的斜率存在时，设其方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0.由已知得圆的圆心为(2,3)，半径r＝1，圆心到直线的距离d＝，
∵直线与圆相切，
∴d＝r，即＝1，解得k＝0或k＝－.从而所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0.
例3 思路分析：设出直线方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长构成的直角三角形求解．注意讨论斜率存在与否．
解：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－ ( http: / / www.21cnjy.com )2)2＝52，∴圆心C(1,2)，半径r＝5.由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，∴圆心到直线的距离d＝＝＝3.
①当直线AB⊥x轴时，
∵l过(4，－4)，∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，设方程为y＋4＝ ( http: / / www.21cnjy.com )k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0.∴d＝＝3，解得k＝－.∴l的方程为y＋4＝－(x－4)，即3x＋4y＋4＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
变式 2 解析：d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2.
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1．C 2．A 3．D
4．(x－2)2＋(y＋1)2＝
5．2x－y＝0【来源：全,品…中&高*考*网】
§2.4圆与圆的位置关系
自主学习
相离，外切，相交，内切，内含
例1 思路分析：(1)，(2)参数m的 ( http: / / www.21cnjy.com )值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1＋r2，|r1－r2|的大小关系．(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d＜|r1－r2|.
解：(1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1.两圆的圆心距d＝＝2，
又∵r1＋r2＝3＋1＝4，|r1－r2|＝|3－1|＝2，∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2.∴圆C1与圆C2相交．
(2)当m＝4时，两圆的方程分别可化为C1：(x－4)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋y2＝1.两圆的圆心距d＝＝，
又∵r1＋r2＝3＋1，∴d＞r1＋r2.
∴圆C1与圆C2相离．
(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则＜3－1，即(m＋1)2＜0，显然不等式无解．故不存在m使得圆C1与圆C2内含．
变式 1．B 解析：圆x2＋y2＋6x－7＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0可化为(x＋3)2＋y2＝16，圆心(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0可化为x2＋(y＋3)2＝36，圆心(0，－3)，半径r2＝6，圆心距d＝3，因此|r1－r2|＜d＜r1＋r2，两圆相交．
2．121或1 解析：根据题意两圆的圆心分别是(0,0)，(－3,4)，得圆心距为＝5，两圆的半径分别是r1＝，r2＝＝6，
∴|r1－r2|＝|－6|＝5，解得a＝121或a＝1.
例2 思路分析： ( http: / / www.21cnjy.com )
解：(1)将两圆方程化为标准方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，圆C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5；
圆C2的圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝.
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，∴|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．
(2)两方程联立，得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．
(3)方法一：两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4，③
把③代入②得y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2.
∴或
∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为＝2.
方法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5.
由(2)知两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0，∴圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝，∴公共弦长2l＝2.
变式 1．7x－4y＝0 解析：圆 ( http: / / www.21cnjy.com )3x2＋3y2＋2x＋y＝0可化为x2＋y2＋x＋y＝0，与方程x2＋y2＋3x－y＝0相减得x－y＝0，即7x－4y＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．【来源：全,品…中&高*考*网】
2．1 解析：圆x2＋y2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4的圆心为(0,0)，半径为2.由两圆方程作差得公共弦所在直线方程为y＝.圆心(0,0)到公共弦的距离d＝＝＝1，得a＝1.
例3 思路分析：利用待定系数法，设出圆的标准 ( http: / / www.21cnjy.com )方程，根据圆与直线、圆与圆相切的条件列出方程组求解，其中圆与圆外切转化为圆心距问题，圆与直线相切转化为点线距问题．
解：圆方程x2＋y2－2x＝0化为(x－1)2＋y2＝1，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意得
解之，得或.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
变式 解：设所求圆的方程为(x－a)2＋( ( http: / / www.21cnjy.com )y－b)2＝r2，由题意得，两圆只能外切，所以a2＋b2＝r2，(a－1)2＝r2，(a－1)2＋(b－2)2＝(r＋1)2，解得a＝，b＝，r＝，故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)()2＋eq \b\lc\(\rc\)()2＝.
达标检测
1．B 2．D 3．C 4．x2＋(y－2)2＝1 5．(x±4)2＋(y－6)2＝36
§2.5圆与方程小结复习 自主学习
圆心，半径。
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－))，r＝，
d>r,d=r,dd>r1+r2,,d=r1+r2,d=,d<
合作探究
例1解：(1)设圆心P(x0,y0),则有,
解得 x0=4, y0=5, ∴半径r=, ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
例2分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题 ( http: / / www. / wxc / )
解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>0）得=a，
化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0
当a=1时，方程化为x=0 ( http: / / www. / wxc / )当a≠1时，方程化为 =
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆
点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求 ( http: / / www. / wxc / )同时也考查了分类讨论这一数学思想
例3解：圆方程可化为, 圆心O(-2,6),半径为1 ( http: / / www. / wxc / )
设对称圆圆心为，则O‘与O关于直线对称，
因此有解得
∴所求圆的方程为
点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等 ( http: / / www. / wxc / )
达标检测
1.采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0
2.分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？
解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系 ( http: / / www. / wxc / )
设动圆圆心为M（x，y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|
∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O ( http: / / www. / wxc / )
由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，∴=|y+3|
化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程 ( http: / / www. / wxc / )
点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”
3．解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0,
即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0,即 =0,
圆心为 (,),由于圆心在直线x─y─4=0上,∴──4=0, 解得 λ=─1/3
所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0 ( http: / / www. / wxc / )(2)将圆C1和圆C2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程
点评：学会利用圆系的方程解题 ( http: / / www. / wxc / )
§3.1-2空间直角坐标系
自主学习
1：可以
3：x轴上的点P的坐标的特点：纵坐标和竖坐标都为零．
y轴上的点的坐标的特点： 横坐标和竖坐标都为零．
z轴上的点的坐标的特点： 横坐标和纵坐标都为零．
xＯy坐标平面内的点的特点：竖坐标为零．
xＯz坐标平面内的点的特点：纵坐标为零．
yＯz坐标平面内的点的特点：横坐标为零．
4.
合作探究：
例1：的坐标分别是（0,0,2）(0,4,0)(3,0，2)（3,4,2）
变式1：分别以AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。EF
G
例2
变式2
例3解：由线面垂直的性质可知AB，AC，AP ( http: / / www.21cnjy.com )三条直线两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(8,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，因为M，S分别为PB，BC的中点，由中点坐标公式可得，M(4,0,2)，S(4,2,0)．因为N在x轴上，|AN|＝2，
所以N(2,0,0)．
变式3
解：
过A作AM⊥xoy交平面于M，并延长到C，使AM=CM，则A与C关于坐标平面xoy对称且C（1，2，1）。
过A作 AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN=NB，则A与B关于x轴对称且B（1，2，-1）。
∴A（1，-2，1）关于坐标平面xoy对称的点C（1，2，1）；
A（1，2，-1）关于x轴对称点B（1，-2，1）。
达标拓展
1解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，
可以按如下步骤进行：
（1）在x轴上取横坐标为4的点M1；
（2）将M1在xoy平面内沿与y轴平行的方向向右移动2个单位，得到点M2；
（3）将M2沿与z轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M。
法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点
O处的三条棱分别在x轴的正半轴、y轴
§1 直线与直线的方程 1.1直线的倾斜角和斜率
学习目标
正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性；理解直线的斜率的存在性；斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
学习重点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
自主学习（独学、质疑）
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的__________和这条直线的__________．
2．直线的倾斜角和斜率
(1)直线的倾斜角：在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按__________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的__________，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为__________.通常倾斜角用α表示，倾斜角的取值范围是__________.当直线的倾斜角为________时，直线与x轴垂直．
(2)直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的__________叫作这条直线的斜率，即__________
合作探究（对学、群学）
1：直线的倾斜角α与斜率k之间的关系是怎样的？
变式：(1)直线x＝2 014的倾斜角是__________；
(2)若一条直线的倾斜角为30°，则这条直线的斜率是__________．
2： 若直线过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2，此时能用斜率公式求斜率吗？
变式：已知直线l经过点A(18,8)，B(4，－4)，则l的斜率为( )．
A．－ B. C. D．－
3：过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y等于( )．
A．－1 B．－5 C．1 D．5
变式：已知直线l的倾斜角为30°，且过点P(1,2)和Q(x,0)，求该直线的斜率和x的值．
评价提升（评价、完善）
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角 的范围是[0,180°)
2.直线斜率的求法：
（1）利用倾斜角的正切来求；
（2）利用直线上两点(, 的坐标来求；
（3）当直线的倾斜角 a = 90°时，直线的斜率是不存在的.
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
直线的倾斜角a 直线的斜率k 直线的斜率公式
定义 K=tan a .
取值范围 [0,180°) ()
达标拓展（检测、拓展）
1．对于下列命题：
①若θ是直线l的倾斜角，则0°≤θ＜180°；
②若k是直线l的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为( )．
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
3．已知A(，0)，B，C(a，)三点共线，求实数a的值．
1.2 直线方程的点斜式
学习目标
理解直线的点斜式方程和斜截式方程；并能进行简单的应用．
学习重点
直线的点斜式方程；
垂直于轴的直线的表示。
自主学习（独学、质疑）
上一节，我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素，是__________和__________。也就是说，平面直角坐标系中的点在不在直线上是完全确定的。我们能否用给定的条件（点的坐标和斜率，或的坐标），将直线上所有点的坐标满足的关系式表示出来呢？
若直线经过点，且斜率为，设是直线上不同于点的任意一点，满足的关系式是什么？
反思：
与是等价的吗？
直线上的每一点的坐标是否都满足上面的关系式？说明理由。
2、坐标满足上面关系式的点是否都在直线 上？合作讨论理由。
3、上述1、2成立，说明结论（1）恰好就是过点，且斜率为的直线上的任一点的坐标所满足的关系式。因此称 为过点，且斜率为的直线的点斜式方程。
4、轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？
5、点斜式能表示直角坐标平面内的任意一条 直线吗？请从倾斜角的角度给出完整的解释。
6、如果直线的斜率为，且与轴的交点为，我们把__________ 叫做直线的斜截式方程，叫__________。
思考：1、截距是不是代表某种距离？
2、斜截式方程与一次函数的区别和联系。
合作探究（对学、群学）
1 、根据下列条件写出直线的点斜式方程．
(1)斜率为－，且过点(－1,2)；
(2)经过点(3,1)，倾斜角为45°；
(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7；
(4)过点B(－1,0)，D(4，－5)；
(5)过点C(－2,3)，与x轴垂直．
变式1：(1)经过点(－，2)，倾斜角是60°的直线方程为__________；
(2)经过点(10,3)且平行于x轴的直线方程为__________；
(3)若直线l的方程为y＝－2(x＋1)－1，则该直线的斜率为__________；
(4)若直线方程为y－2＝k(x＋3)，则该直线必经过定点P，P点坐标为__________．
例2、求下列直线的方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行
变式2．倾斜角为30°，且在y轴上的截距为－5的直线方程是__________．
2．若直线方程为y＋3＝2(x－1)，则它在y轴上的截距为__________．
例3、直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为2的三角形，求直线l的方程．
变式3：斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l的方程．
评价提升（评价、完善）
(1)求直线的点斜式方程时，首先应确定直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率，然后在直线上找一点，代入点斜式方程即可，若直线的斜率不存在，则直线方程不能写成点斜式形式．
(2)已知直线的斜截式方程或将直线方程化为 ( http: / / www.21cnjy.com )斜截式后，可求出该直线所经过的定点．一般地，方程y－y0＝k(x－x0)表示的直线必经过定点(x0，y0)．
（3）求直线的斜截式方程时，只需确定直线的斜率与直线在y轴上的截距即可．
（4）斜截式方程是点斜式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的一种特殊情况，利用斜截式求直线的方程时，要先判断直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，直线的方程不能用斜截式求解，但在用待定系数法求直线方程时，常用斜截式设出直线方程．
（5）直线在y轴、x轴上的截距指的是直线与y轴、x轴交点的纵坐标、横坐标，它可以大于0，可以小于0，可以等于0，截距与距离不同；求直线截距的方法是：在直线方程中令x＝0，解出y的值即为直线在y轴上的截距；在直线方程中令y＝0，求得x的值，即为直线在x轴上的截距．
达标拓展（检测、拓展）
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示( )．
A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
2．过点P(－2,0)，斜率是3的直线的方程是( )．
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
3．直线y＝2x－1在y轴上的截距为( )．
A． 2 B．1 C．－1 D．
4．(1)斜率是，在y轴上的截距是－2的直线的斜截式方程为__________；
(2)直线y＝mx＋1(m∈R)经过定点M，则M的坐标为__________．
5．已知直线l的方程为kx－y＋2k＋2＝0.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l在y轴上的截距为4，求k的值．
1.3 直线方程的两点式和一般式
学习目标
记住直线方程的两点式、截距式、一般
式的形式特点和适用范围；会把直线方
程的一般式化为斜截式，进而求斜率和
截距；会把直线方程的点斜式、两点式
化为一般式．
学习重点
直线方程的两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围；
直线方程五种形式的相互转化及应用。
自主学习（独学和质疑）
若直线过两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2，此时能用斜率公式求斜率吗？
合作探究（对学、群学）
例1：已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC的中点为D.
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC所在直线的方程．
变式1：△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，
B(－2,6)，C(－8,0)．
求：(1)边AC所在直线方程；
(2)AC边上的中线BD所在直线方程．
例2：设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
变式2．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(1)若直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，求实数m的值；
(2)求直线ax＋by＝1(ab≠0)与两坐标轴围成的图形的面积．
例3：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
变式3．若k∈R，直线y＋1＝k(x－2)恒过一个定点，则这个定点的坐标为 ( )．
A．(1，－2) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(2，－1)
2．若直线(3a＋2)x＋y＋8＝0不过第二象限，求a的取值范围．
评价提升（评价、完善）
( http: / / www.21cnjy.com )
达标拓展（检测、拓展）
1．过A(1,1)，B(0，－1)两点的直线方程是( )．
A.＝x B.＝
C.＝ D．y＝x
2．在x轴，y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )．
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝0
3．直线l：Ax＋By＋C＝0过原点和第二、四象限，则( )．
A．C＝0，B＞0 B．C＝0，A＞0，B＞0
C．C＝0，AB＞0 D．C＝0，AB＜0
4．关于x，y的方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0是某条直线的方程，求实数a的取值范围．
1.4 两直线的位置关系 学习目标
熟练掌握两条直线平行与垂直的条件，并运 ( http: / / www.21cnjy.com )用条件判断两直线是否平行或垂直；根据两条直线平行与垂直的条件，求参数的值；会求过一点且与已知直线平行或垂直的直线方程；通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养合作交流的学习方式，激发学习兴趣.
学习重点
两条直线平行与垂直的条件的把握及灵活运用．
自主学习（独学和质疑）
1．两条直线平行
(1)两条不重合的直线l1：y＝k ( http: / / www.21cnjy.com )1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1∥l2，则__________反之，若__________，则l1∥l2.
(2)如果l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90°，从而它们______．
问题（1）若两条直线平行，斜率一定相等吗？
问题（2）若l1，l2是两条不同的直线，则有下列命题：
①若l1∥l2，则斜率k1＝k2； ( http: / / www.21cnjy.com )②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.
其中正确命题的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．两条直线垂直
设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.
若 l1⊥l2，则k1·k2＝__________；反之，若k1·k2＝__________，则l1⊥l2.
特别地，对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥x轴，l2⊥y轴，所以__________.
问题（3）利用两直线的斜率判定两直线垂直时应注意哪些问题？
问题（4）经过点(－2,3)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为________．
合作探究（对学、群学）
例1：直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2： 2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．
变式：1．已知直线l1的斜率为k1＝直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．
例2： (1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；
（2）求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程．
变式：2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，求a的值．
2．求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程．
(1)A(1,2)，y＝x＋；
(2)B(2，－3)，2x＋y－5＝0.
例3： 直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，求直线l的方程．
变式：
1.已知直线l1：ax－y＋2a＝0与l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，求a的值．
2.如图，在平行四边形OABC中，点A(3,0)，点C(1,3)．
(1)求AB所在直线的方程；
(2)过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
评价提升（评价、完善）
1.判定两直线是否平行时，对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．2．平行直线的求法：
(1)求与直线y＝kx＋b平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值．
(2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可．
3.判断两直线垂直的方法：
(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0判断；
(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2k1·k2＝－1判断；
(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．
4．垂直直线的求法：
(1)求与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可巧设为y＝－x＋m，然后通过待定系数法，求参数m的值；
(2)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx－Ay＋m＝0，然后用待定系数法，求出m.
达标拓展（检测、拓展）
1．若直线2ay－1＝0与直线(3a－1)x＋y－1＝0平行，则实数a等于( )．
A. B．－ C. D．－
2．已知直线l1过A(2,3)和B(－2,6)，直线l2过点C(6,6)和D(10,3)，则l1与l2的位置关系为( )．
A．l1⊥l2 B．l1与l2重合
C．l1∥l2 D．以上都不对
3．经过(m,3)与(2，m)的直线l与斜率为－4的直线相互垂直，则m的值为( )．
A．－ B． C．－ D.
4．过点(2,1)且与直线2x＋y＋1＝0垂直的直线方程为__________．
5．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，求满足下列条件的a的值：
(1)l1∥l2；(2) l1⊥l2.
1.5 两直线的交点
学习目标
1.会判断给定的两条直线的位置关系．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．能用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题．
4．熟练掌握解析几何中的对称问题.
学习重点
求两条相交直线的交点坐标；直线过定点、对称问题的处理方法．；两直线相交与二元一次方程的关系．
自主学习（独学、质疑）
1．两条直线的交点
设两条不重合的直线方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
要判断它们是否平行，即看它们的________是否相等，如果不等，则两直线__________求这两条直线的交点，就是求这两个直线方程的__________。
问题：直线2x－y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标是________．
2．过两直线交点的直线系
(1)经过两直线l1：A1 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)交点的直线系为__________
当m＝1，n＝0时，方程即为________的方程；当m＝0，n＝1时，方程即为_________的方程．
(2)上面的直线系可改写 ( http: / / www.21cnjy.com )成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R)．但是此方程中不包括直线__________，这个参数方程形式在解题中较为常用．
合作探究（对学、群学）
例1、求过两条直线l1：x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
变式：已知直线方程为(2a＋1)x＋(3a－2)y－18a＋5＝0，求证：无论a为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐标．
例2、设三条直线x－2y＝1,2x＋ky＝3,3kx＋4y＝5交于一点，求k的值．
变式：（1）三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为__________．
（2）试求三条直线l1：ax＋y＋1＝0.l2：x＋ay＋1＝0.l3：x＋y＋a＝0构成三角形时a满足的条件．
例3、已知三角形内角A的角平分线所在的直线是l：2x＋y＋1＝0，而B(1,2)和C(－1，－1)是三角形的另外两个顶点，求顶点A的坐标．
变式：已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．
评价提升（评价、完善）
两条直线的方程分别是
，
．
构成方程组．（＊）
达标拓展（检测、拓展）
1．下列直线中，与直线2x－y＋3＝0相交的是( )．
A．4x－2y－6＝0 B．y＝2x－1
C．y＝2x＋5 D．y＝－2x－3
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )．
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
3．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )．
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直
D．不能确定，与m，n取值有关
4．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
学习目标
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 会用点到直线距离公式求解两平行线距离
学习重点
点到直线的距离公式；点到直线距离公式的理解与应用.
自主学习（独学、质疑）
问题1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2
(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
问题2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2
(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
问题3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？
问题4:在平面直角坐标系中，已知点
A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O,A)
问题5:一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
公式：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离，用d（A，B）表示为
合作探究 (对学、群学)
例1、已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求AB边上的中线CM的长．
变式：1．已知点M(－3,2)，N(1,4)，则线段MN的长度为__________．
2．在△ABC中，A(1,1)，B(3,1)，若△ABC是等边三角形，求C点坐标．
例2、求点P(1,2)到下列直线的距离：
l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
变式：1．点A(a,6)到直线3x－4y＝2的距离等于4，求a的值．
2．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，求P点的坐标．
例3、 (1)求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离；
变式：1．直线5x－12y＋1＝0与10x－24y＋3＝0之间的距离d＝__________.
2．求与直线l1：3x－4y－20＝0平行且距离为3的直线方程．
例4、求证：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
变式：证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半．
评价提升（评价、完善）
A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离
达标拓展（检测、拓展）
1．若A(1，－3)，B(5，－1)，则原点到线段AB中点的距离是( )．
A．1 B．
C．13 D．2
2．直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为( )．
A． B．
C． D．24
3．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于( )．
A． B．－
C．－ D．或－
4．已知点A(－，a)，B(0,1)是平面上相异的两点，则两点间距离的最小值是________．
5．已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
1.7 直线与方程小结与复习
学习目标
1.通过总结和归纳直线与方程的知识，对 ( http: / / www.21cnjy.com )全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。2.能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分析讨论的思想和抽象思维能力。
学习重点
1.直线的倾斜角和斜率.2.直线的方程和直线的位置关系的应用.3.激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力.
自主学习（独学、质疑）
合作探究（对学、群学）
例1.下列命题正确的有 :
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应, ( http: / / www.21cnjy.com )也有唯一一个斜率与之对应;②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;⑤直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零),当A,B,C中有一个为零时,这个方程不能化为截距式.⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.
例2.若直线与直线，则时，a_________;时，a=__________;这时它们之间的距离是_____;时，a=________ .
例3．求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；
(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；
例4．已知直线L过点（1,2），且与x，y轴正半轴分别交于点A、B（1）求△AOB面积为4时L的方程。
例5．已知△ABC的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C的坐标．
评价提升（评价、完善）
本章的知识点主要是实现由形到数的一 ( http: / / www.21cnjy.com )种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用。
达标拓展（检测、拓展）
1．对于下列命题：
①若θ是直线l的倾斜角，则
0°≤θ＜180°；
②若k是直线l的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有
斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若直线l的斜率k＝－1，则其倾斜角等于( )．
A．0° B．45° C．90° D．135°
3．过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为( )．
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
4．已知直线l的倾斜角为30°，且过点P(1,2)和Q(x,0)，求该直线的斜率和x的值．
§2.1 圆的标准方程
学习目标
1．记住圆的标准方程，根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用待定系数法求圆的基本量a，b，r，从而确定圆的方程．
2．会用点与圆的位置关系解决有关问题．通过圆的标准方程的学习，进一步培养用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想.
学习重点
根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用待定系数法求圆的方程．
自主学习（独学、质疑）
1．确定圆的条件
圆的几何特征是圆上任一点到______的距离等于定长，这个定长称为________，这个定点称为________，一个圆的________和________一旦给定，这个圆就被确定下来．
2．圆的标准方程
(1)已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是__________
(2)以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为__________
问题1：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？
问题2：当圆过原点、圆心在x轴或在y轴上时，圆的标准方程分别是什么？
问题3：(1)圆(x＋5)2＋(y＋4)2＝18的圆心坐标是______，半径是________．
(2)圆心为(1,1)，半径为2的圆的标准方程是_____．
(3)圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的标准方程是( )．
A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
3．点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，
则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的大小关系
问题4：若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？
合作探究（对学、群学）
例1：求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点
A(0，－4)，B(0，－2)．
变式：求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(3,4)，半径是；
(2)圆心为(8，－3)，且经过点P(5,1)；
(3)过两点P1(4,7)，P2(2,9)，且以线段P1P2为直径(4)与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心，且过点P(－1,1)；
(5)圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．
例2： (1)求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上的圆的方程；
(2)求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．
变式：1．求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．
2．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．
例3： (1)圆的直径端点为(2,0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A(5,4)，B(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内．
(2)点P(3a＋2,4a)在圆(x－2)2＋y2＝1的内部，求a的取值范围．
变式：1．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )．
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
2．求过点P1(3,8)，P2(5, ( http: / / www.21cnjy.com )4)且半径最小的圆的方程，并判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外．
评价提升（评价、完善）
总结：1.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
2．求圆的标准方程时常用的几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心；
(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心；
(3)圆心与切点的连线长为半径；
(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；
(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h，满足
r2＝d2＋h2.
3．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：
(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)根据题意，建立a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出a，b，r的值；
(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求．
4．点与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较大小．
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
达标拓展：
1．圆心为C(－1，－1)，半径为2的圆的标准方程为( )．
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
2．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )．
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
3．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是( )．
A．5 B．3 C．4 D．2
4．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________．
5．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6,1)，求圆C的方程．
§2.2 圆的一般方程
学习目标
1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；
2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；
3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质
学习重点
圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
自主学习（独学、质疑）
圆的一般方程：
方程 在什么条件下表示圆？
配方得 ________________
（1）当时，表示以______为圆心, 以_______ 为半径的圆；
（2）当时，表示______;（3）当时，不表示______
因此当时，方程__________叫做圆的一般方程
问题：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
合作探究（对学、群学）
例1：下列方程是否表示圆？若表示圆，求出圆心和半径．
(1)x2＋2y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋3x＋5y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)－2x2－2y2＋10y＝0；
(5)x2＋y2＋6x－6y＋18＝0.
变式：1．下列方程中表示圆的是( )．
A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0
B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0
C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0
D．x2＋2y2－2x＋4y－1＝0
2．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．
例2：求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
变式：1．已知A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程为__________．
2．经过点(－1,3)，圆心在直线x－2y＝0上，且半径等于的圆的方程是____________．
例3：已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
变式：已知M(0,4)，N(－6,0)，若动点P满足PM⊥PN，则动点P的轨迹方程是__________．
评价提升（评价、完善）
(1)求圆的方程通常用待定系数法，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果圆的几何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组求解．不论设圆的标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．
(2)用待定系数法求圆的一般方程分三步：
①设出一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②根据题意，列出关于D，E，F的方程组；③解出D，E，F的值代入即得圆的一般方程．
(3)求与圆有关的轨迹问题常用的方法．
①直接法：根据题目的条件，建立 ( http: / / www.21cnjy.com )适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式；②定义法：当动点满足的条件符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
③相关点法：若动点P(x，y)随着圆上 ( http: / / www.21cnjy.com )的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得点P的轨迹方程．
（4）轨迹与轨迹方程的异同.
求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事，求动点的 ( http: / / www.21cnjy.com )轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时先由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程．“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
（5）求轨迹(或轨迹方程)时，要注意轨迹是曲线的全部还是曲线的一部分，若曲线上某些点不符合要求，要对方程中的变量x，y加以限制．
达标拓展（检测。拓展）
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．
A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为( )．
A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0
B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0
C．x2＋y2＋4x－6y＝0
D．x2＋y2－4x＋6y＝0
3．已知点A(2,0)，动点Q在圆x2＋y2＝4上，则线段AQ的中点P的轨迹方程是( )．
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．(x－1)2＋y2＝1 D．(x＋1)2＋y2＝1
4．如果方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0表示圆，则实数k的取值范围是________．
5．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程，并求圆心和半径．
§2.3 直线与圆的位置关系.
学习目标
1．理解直线与圆的几种位置关系；
2．利用平面直角坐标系中，点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
学习重点
直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．能用坐标法判直线与圆的位置关系．
自主学习（独学、质疑）
直线与圆的位置关系：
设是圆的圆心到直线的距离。
1．直线与圆______；
2．直线与圆______；
3．直线与圆______。
合作探究（对学、群学）
例1：已知直线l的方程为y＝kx＋2，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.当k为何值时，直线l与圆C：(1)相切；(2)相交；(3)相离．
变式：
1．判断下列圆与直线的位置关系．(1)圆x2＋y2－8x＋2y－8＝0，直线4x－3y＋6＝0；
(2)圆x2＋y2－4x＋3＝0，直线2x－y＋5＝0.
2．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则实数m＝__________.
例2： (1)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，求过点P(2,3)的圆的切线方程；
(2)过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
变式：
1．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于__________．
2．过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
例3：过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程．
变式：直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
评价提升（评价、完善）
1．求圆的切线方程一般有三种方法：
(1)利用常见结论：过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，代入切点坐标求切线方程；
(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)，解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；
(3)直接法：由切线斜率与圆心和切点的连线斜率乘积为－1，求出切线斜率，再写出直线的点斜式方程即可．
2．在利用点斜式设直线方程时 ( http: / / www.21cnjy.com )，斜率不存在(即直线与y轴平行或重合)的情况，要另外单独验证．若此时直线方程满足题意，则列入答案，若不符合题意，也要作出说明．
达标拓展（检测、拓展）
1．直线3x－4y＋8＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是( )．
A．相切 B．相离
C．相交 D．相交且直线过圆心
2．直角坐标平面内，过点P(2,1)且与圆x2＋y2＝4相切的直线( )．
A．有两条 B．有且仅有一条
C．不存在 D．不能确定
3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )．
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
4．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是__________．
5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
§2.4圆与圆的位置关系.
学习目标
理解圆与圆的位置的种类;利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；会用连心线长判断两圆的位置关系。
学习重点
用坐标法判断圆与圆的位置关系．
自主学习（独学、质疑）
圆与圆的位置关系：
设两圆的圆心距设为d.
1．当时，两圆_________；
2．当时，两圆_________；
3．当 时，两圆_________；
4．当时，两圆_________；5．当时，两圆_________。
合作探究（对学、群学）
例1：已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)当m＝1时，圆C1与圆C2是什么关系？
(2)当m＝4时，圆C1与圆C2是什么关系？
(3)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
变式：1．圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是( )．
A．相离 B．相交 C．相切 D．内含
2．两圆x2＋y2＝a (a＞0)与x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为__________．
例2：已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
变式：1．圆x2＋y2＋3x－y＝0和 ( http: / / www.21cnjy.com )圆3x2＋3y2＋2x＋y＝0的公共弦所在的直线方程是________________．
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
例3：过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程．
变式：直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
评价提升（评价完善）
1．判断两圆的位置关系，通常采用几何法 ( http: / / www.21cnjy.com )，而不是用两圆公共点的个数来判断，因为它们之间并不是一一对应关系，如两圆只有一个公共点时，两圆可能内切，也可能外切；两圆没有公共点时，它们可能相离，也可能内含，无法确定是哪一种位置关系．
2．利用几何法判断两圆位置关系可按如下步骤进行：
(1)计算两圆的半径r1，r2；
(2)计算两圆的圆心距d；
(3)建立d，r1，r2之间的等量(不等量)关系；
(4)判断两圆的位置关系．
3.求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
注意：(1)当两圆相切时，两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切线方程．
(2)当两圆外离时，方程作差也能得一条直线方程，但这条直线方程不是两圆的公共弦所在直线方程．
4.有关直线与圆相交时的弦长问题常用几何法来处理．如图，若半径为r，弦心距为d，则弦长|AB|＝2.
达标拓展（检测、拓展）
1．圆A：x2＋y2－2x＝0和圆B：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )．
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
2．若两圆：x2＋y2＝9与(x－4)2＋(y＋3)2＝r有3条公切线，则实数r的值为( )．
A．8 B．64
C．2 D．4
3．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )．
A． B．
C．2 D．2
4．以(0,2)为圆心，且与圆x2＋y2＝1相外切的圆的方程是____________．
5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则圆的方程是__________．
§2.5圆与方程小结复习
学习目标
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程 ( http: / / www.21cnjy.com )与一般方程.； 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
学习重点
解析几何解题的基本思路和解题方法的形成；整理形成本章的知识系统和网络。
自主学习（独学、质疑）
1.确定圆的条件是：一个圆的________位置和________一旦给定，这圆就被确定下来了。
2.圆的标准方程：圆心为C（a,b）,半径为r的圆的标准方程是_____________________________.
3.圆的一般方程：____________________________,其圆心坐标为_______,半径为______________.
4.直线与圆的位置关系:设圆的圆心C（a,b）到直线ｌ:Ax+By+C=0的距离为d.则当______时，直线与圆相离；当______时，直线与圆相切；当______时，直线与圆相交。
5.圆与圆的位置关系：设圆C1：和圆C2：的圆心距为d=|C1C2|.则当___________时，两圆相离；则当___________时，两圆外切；则当___________时，两圆相交；则当___________时，两圆内切；则当___________时，两圆内含。
合作探究（对学、群学）
例1。求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
例2。设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹
例3。求圆关于直线的对称圆方程
评价提升（评价、完善）
本章的知识点主要是实现由形到数的一种 ( http: / / www.21cnjy.com )转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线与圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线与圆的实际应用。
达标拓展（检测、拓展）
1．求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程 ( http: / / www. / wxc / )
2．已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程
3。已知圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交点,(1)求圆C的方程; (2)求两圆C1和C2相交弦的方程 ( http: / / www. / wxc / )
§3.1-2空间直角坐标系学习目标：
1：能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。
2： 以正方体为载体,使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示.
3：会用空间直角坐标系刻化点的坐标
学习重点：
在空间直角坐标系中，确定点的坐标
自主学习（独学、质疑）
1：我们知道数轴Ox上的任意一点M都可用与它对应的一个实数表示; 在直角坐标平面上任意一点M可用一对有序实数表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组表示出来呢？
2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？
3. x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点？xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有何特点？
4. 已知空间两点Ａ（，， ），Ｂ（， ），则AB中点的坐标为（ , , ）.
合作探究：
例1.在长方体中，写出四点坐标.
变式1：在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、的坐标
例2如图，以棱长为1的正方体ABCD－ ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1的棱AD，AB，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B对角线的交点的坐标为__________．
变式2如图所示的空间直角坐标系中，正方体棱长为2，|PQ|＝3|PR|，则点R的空间直角坐标为________.
例3如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，|PA|＝|AC|＝|AB|＝4，N为AB上一点，|AN|＝|AB|，M，S分别为PB，BC的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M，N，S的坐标．
变式3 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．
评价提升（评价、完善）：
（1）建立空间直角坐标系求点的坐标时，要尽可能多的点落在坐标轴上，出现三条线相互垂直时，一般以这三条线为坐标轴来建立坐标系；
（2）在建立空间直角坐标系O-xyz时，要注意使，，且使y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半。
（3）在确定给出空间图形各顶点的坐标时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，以便于计算所需确定的点的坐标。
（4）求点的坐标时要善于运用图形中的几何关系。
达标拓展（检测、拓展）
1、在空间直角坐标系中，作出点M(4，2, 5)。
2、如图所示,过正方形ABCD的中心O作 ( http: / / www.21cnjy.com )OP⊥平面ABCD,已知正方形的边长为2,OP=2,连接AP,BP,CP,DP.M,N分别是AB,BC的中点,以O为原点,射线OM,ON,OP分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E,F分别为PA,PB的中点,求A,B,C,D,E,F的坐标.
( http: / / www.21cnjy.com )
3、已知M(6，－2, 4)，分别求M关于 轴；轴；轴；原点的对称点坐标。
§3.3空间两点间的距离公式学习目标：
1：掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题。
2：通过探究空间两点间的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.
学习重点：
空间两点间的距离公式.
自主学习（独学、质疑）
1.在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A，B之间距离的公式是
2.设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是
3.平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示圆，在空间中方程x2+y2+z2=r2表示的图形为
合作探究：
例1 、 求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.
变式1已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
例2、坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.
变式2如图K49－1，已知正方体AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求MN的长．
例3、已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )
A.0 B.
C. D.
变式3已知三棱锥P—ABC(如图4), ( http: / / www.21cnjy.com )PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与x轴所成的较小的角.
( http: / / www.21cnjy.com )
评价提升（评价、完善）：
1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外，两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.
2.在平面内到定点的距离等于 ( http: / / www.21cnjy.com )定长的点的集合是圆与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.
达标拓展（检测、拓展）
1. 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：线段AB的中点坐标和长度
2. 三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.
3.在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.
解析几何初步
§1 直线与直线的方程
1.1直线的倾斜角和斜率
自主学习
1．一个点，方向．
2．(1)逆时针，倾斜角，，0°，0°≤α＜180°.90°。
(2)正切值，k＝tan_α.
合作探究
例1.提示：斜率和倾斜角之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的关系是“数与形”的关系，斜率是个数，倾斜角则是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越
大；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．
变式(1)90° (2)
例2提示：不能．斜率公式的适用条件是x1≠ ( http: / / www.21cnjy.com )x2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在。过两点的直线斜率的计算公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式是k＝(x2≠x1)
变式(1)90° (2)
大；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．
变式(1)90° (2)
例2提示：不能．斜率公式的适用条件是x1≠x ( http: / / www.21cnjy.com )2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在。过两点的直线斜率的计算公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式是k＝(x2≠x1)
(x2≠x1)．
变式C
例3： A
变式：由斜率的计算公式得，该直线的斜率k＝tan 30°＝.
又l过点P(1,2)和Q(x,0)，则k＝＝，
解得x＝1－2.
达标拓展
1．C
2．A
3．解：∵A，B，C三点共线，≠，
∴AB，AC的斜率都存在，且kAB＝kAC.
∴＝，解得a＝2.
解得x＝1－2.
达标拓展
1．C
2．A
3．解：∵A，B，C三点共线，≠，
∴AB，AC的斜率都存在，且kAB＝kAC.
∴＝，解得a＝2.
3．解：∵A，B，C三点共线，≠，
∴AB，AC的斜率都存在，且kAB＝kAC.
∴＝，解得a＝2.
∴＝，解得a＝2
1.2直线方程的点斜式自主学习
点，方向，
反思：3、
6、y=kx+b 截距
合作探究
例1 思路分析：直线的点斜式方程需要定点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )和斜率两个条件，解题时首先分析所求直线的斜率是否存在，若存在，斜率是什么，再根据点斜式写出方程．
解：(1)所求直线的斜率为－，又过点(－1,2)，故所求方程为y－2＝－(x＋1)．
(2)设直线的倾斜角为α，
∵α＝45°，k＝tan α＝tan 45°＝1，
∴所求直线的点斜式方程为y－1＝x－3.
(3)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点
(－7,0)．
又斜率为，由直线的点斜式方程得
y－0＝[x－(－7)]．
(4)直线的斜率为k＝＝－1，∴直线的点斜式方程为y－0＝－(x＋1)．
(5)x＝－2.
变式：解析：(1)k＝tan 60°＝，故所求直线的点斜式方程为y－2＝(x＋)．
(2)由直线与x轴平行，得直线的斜率k＝0.
故所求直线的方程为y＝3.
(3)直线方程可化为y＋1＝－2(x＋1)，它表示经过点(－1，－1)，斜率为－2的直线，即直线斜率为－2.
(4)直线方程为y－2＝k(x＋3)，它表示经过点(－3,2)，斜率为k的直线，因此直线经过的定点P的坐标为(－3,2)．
例2、思路分析：(1)已知斜率和在y轴上的截距，可直接利用斜截式写方程；(2)所求直线与x轴平行，此时斜率为0是特殊的直线，可以确定直线上所有点的纵坐标，再由纵坐标写直线的方程．
解：(1)由斜截式可得所求直线的方程为y＝－4x＋7；
(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为2，所以所求的直线方程为y＝2.
变式1．y＝x－5
解析：斜率k＝tan 30°＝，
所以直线方程为y＝x－5.
2．－5 解析：在方程y＋3＝2(x－1)中，令x＝0，得y＝－5，因此直线在y轴上的截距为－5.
例3、思路分析：已知斜率，且 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形面积与坐标轴上的截距有关，因此可设截距式y＝x＋b，利用直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2，求出截距，从而得出直线l的方程．
解：∵直线l的斜率为，
∴设直线l的方程为y＝x＋b.
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－4b.
由直线l和两坐标轴围成的三角形的面积为2，可得×|－4b|×|b|＝2，∴b2＝1，解得b＝±1.
故所求直线l的方程为y＝x±1.
变式：解：设直线的斜截式方程为y＝－x＋b，令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝b，
由|b|＋|b|＋＝9，
即|b|＝9，得|b|＝3，即b＝±3，∴所求直线的方程为y＝－x±3.
达标拓展
1．D 2．D 3．C
4．(1)y＝x－2 (2)(0,1)
5．(1)证明：直线l的方程可化 ( http: / / www.21cnjy.com )为y－2＝k(x＋2)，这是直线方程的点斜式，它表示经过点(－2,2)，斜率为k的直线，故直线过定点(－2,2)．
(2)解：令x＝0，得y＝2k＋2，依题意有2k＋2＝4，故k＝1.
1.3 直线方程的两点式和一般式
自主学习
不能．斜率公式的适用条件是x1≠x2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在
合作探究
例1：思路分析：先利用两点式求出直线AD的方程，然后利用所给条件求出直线BC在x轴、y轴上的截距，用截距式表示出直线BC的方程．
解：(1)∵线段BC的中点坐标为D，
△ABC的顶点坐标A(1，－1)，由两点式得直线AD的方程＝，即BC边上的中线所在直线的方程为5x－4y－9＝0.
(2)设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，
由题意得a＋b＝9，①
直线BC的截距式方程为＋＝1，
∵点D在直线BC上，∴＋＝1，
∴6b＋3a＝2ab.②
由①②可得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，
解得a＝或a＝6.
因此，所求直线BC在两坐标轴上的截距为或
∴直线BC的方程为＋＝1或＋＝1，
即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0.
变式：解：(1)∵A(0,4)，C(－8,0)，∴由直线的截距式方程，得＋＝1，即为x－2y＋8＝0.
∴边AC所在直线的方程为x－2y＋8＝0.
(2)设中点D(x0，y0)，由中点坐标公式，
得x0＝＝－4，y0＝＝2.
由直线的两点式方程得BD所在直线的方程为
＝，即为2x－y＋10＝0.
∴AC边上的中线BD所在直线的方程为
2x－y＋10＝0.
例2：思路分析：(1)要使直线在x轴上的截距为－3，可令y＝0，得x＝＝－3，但需m2－2m－3≠0；
(2)当斜率为－1时，有－＝－1，但需注意2m2＋m－1≠0.
解：1）由题得
由①得m≠－1且m≠3，
由②得m＝3或m＝－.
∴m＝－.
2)由题得
由③得m≠－1且m≠，
由④得m＝－1或m＝－2.
∴m＝－2.
变式
1、解析：因为AC＜0，BC＜0，所以AB＞0，显然B≠0.
将一般式Ax＋By＋C＝0化为斜截式y＝，所以k＝，b＝.
所以直线不经过第三象限．
答案：C
2、解：(1)令y＝0，则(2m2－m＋3)x＝4m＋1，显然2m2－m＋3≠0，故＝1，即2m2－5m＋2＝0，解得m＝2或.
(2)方程可化为＋＝1，它在x轴、y轴上的截距分别是，，所以它与两坐标轴围成的图形的面积S＝·，即S＝.
例3：思路分析：先将一般式方程化为点斜式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得．
(1)证明：方法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴l的斜率为a，且过定点A.而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
方法二：直线l的方程可化为(5x－1)a＋(3－5y)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A.以下同方法一．
(2)解：直线OA的斜率为
k＝＝3.
要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－≤0，∴a≥3.
变式：1、解析：y＋1＝k(x－2)是直线的点斜式方程，它所经过的定点为(2，－1)．
答案：D
2、解：直线方程化为y＝－(3a＋2)x－8，
由于该直线不过第二象限，
∴－(3a＋2)≥0，∴a≤－.
达标拓展
答案：
1,A 2，B 3，C解析：由直线l过原点知C＝0.
又直线过第二、四象限，∴－＜0，∴AB＞0.
4，解：若a2－a－2与2－a同时为0，
则方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0不表示任何直线，
此时a＝2，
所以当a≠2时，方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0是某条直线的方程．
1.4 两直线的位置关系 .
自主学习
1．(1) k1＝k2； k1＝k2，
(2)互相平行或重合．
问题1
提示：不一定，有可能两直线的斜率不存在．
问题2
提示：C
2．－1；－1，l1⊥l2.
问题3
提示：(1)l1⊥l2 k1·k2＝－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；
(2)使用时应注意l1⊥l2 k1·k2＝－1的前提条件是：l1与l2都有斜率且不等于零．若忽略此前提条件，容易导致错误结论．
问题4
提示：直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，故所求直线的斜率为，从而所求直线方程为y－3＝，即x－2y＋8＝0.
合作探究
例1：思路分析：分斜率存在、不存在两种情况讨论．
解：(1)当l1，l2斜率都存在时，
所以m≠0且m≠3.
由l1∥l2，得－＝－，
解得m＝－4.
此时l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－＝0，
显然，l1与l2不重合，满足条件．
(2)当l1，l2斜率不存在时，
解得m＝3.
此时l1：x＝－，l2： x＝，满足条件．
综上所述，m＝－4或m＝3.
变式：解：当a＝0时，l1与l2不垂直．
当a≠0时，由于kAB＝＝，
由l1⊥l2，得·＝－1，得a＝1或a＝3.
例2： 思路分析：根据条件，求出已知直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的斜率，再由两直线平行，斜率相等，可求出所求直线的方程，也可以用平行直线系的知识，设出直线方程，用待定系数法求解．
解：(1)方法一：已知直线的斜率为－，∵所求直线与已知直线平行，∴它的斜率也是－.
根据点斜式，得到所求直线的方程是
y＋4＝－(x－1)，即2x＋3y＋10＝0.
方法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
∵所求直线经过点A(1，－4)，
∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10，
∴所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线方程为
＝，即x－y＋1＝0，
设所求直线的方程为x－y＋m＝0(m≠1)．
∵所求直线经过点P(3,2)，∴3－2＋m＝0，解得m＝－1，
∴所求直线方程为x－y－1＝0.
变式：
1．解：当a＝0时，显然两直线不平行．
当a≠0时，由－＝－，得a＝6.
2．解：(1)设所求直线方程为y＝x＋b，
由于所求直线过点A(1,2)，代入方程，得b＝，故所求直线方程为y＝x＋，即2x－3y＋4＝0.
(2)设所求直线方程为2x＋y＋λ＝0(λ≠－5)．
将点(2，－3)代入上式，得λ＝－1.
因此所求直线方程为2x＋y－1＝0.
例3： 思路分析：求出l的斜率，再利用点斜式求直线方程，也可以用待定系数法求解．
解：方法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率k′＝，
由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直可得其斜率k＝－.
由直线的点斜式方程可得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
方法二：设直线l的方程为－3x－2y＋D＝0，因为直线l过点(－1,2)，代入方程，得D＝1.
所以直线l的方程为－3x－2y＋1＝0，即3x＋2y－1＝0.
变式：
1.思路分析：已知两直线垂直，可利 ( http: / / www.21cnjy.com )用k1·k2＝－1，但要注意分类讨论；也可利用以下结论：设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2： A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
解：方法一：(1)当a≠0时，l1的斜率k1＝a，l2的斜率k2＝－.
∵l1⊥l2，∴a·＝－1，即a＝1.
(2)当a＝0时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，两直线垂直．综上所述，a＝0或a＝1.
方法二：∵A1＝a，B1＝－1，A2＝2a－1，B2＝a，
∴由A1A2＋B1B2＝0，得a(2a－1)－a＝0，即a＝0或a＝1.
2．解：(1)由题意知B点坐标为(4,3)，
kAB＝＝3，∴AB所在直线的方程为
y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2)∵CD⊥AB，∴kCD＝－，
∴CD所在直线的方程为y－3＝－(x－1)，
即x＋3y－10＝0.
达标拓展
答案:1.解析：因为两直线平行，所以3a－1＝0，即a＝.答案：C
2.解析：∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，kAB＝kCD，l1：3x－4y－18＝0，l2：3x－4y－42＝0，∴l1∥l2.答案：C
3.解析：由·(－4)＝－1，得m＝.
答案：D
4. 解析：设所求直线为x－2y＋D＝0，
将(2,1)代入，得2－2＋D＝0，∴D＝0，
故所求直线方程为x－2y＝0.
答案：x－2y＝0
5.解：(1)对于l1：y＝－x－，
若l1∥l2，则kl2存在．
∴y＝－x－.
∴解得a＝3.
(2)若l1⊥l2，则kl2也存在．
∴y＝－x－.
∴－×＝－1，解得a＝.
§1.5 两直线的交点 .
自主学习
1． 斜率 相交．公共解．
问题： (－2，－3)
2． (1) m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，m2＋n2≠0)．l1，l2
(2) l2
合作探究
1、思路分析：所求直线经过两条已知直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点且在两坐标轴上的截距相等，故可以求出两直线的交点坐标，再利用截距相等分直线过原点和不过原点分类讨论求解．也可以设出过交点的直线系方程，分别求出在x轴，y轴上的截距，再利用在两坐标轴上的截距相等，求待定系数．
解：(方法1)由得∴P(－2,1)．
由题意知，所求直线存在斜率，
设直线l：y－1＝k(x＋2)．
令x＝0，得y＝1＋2k；
令y＝0，得x＝－2－.
由1＋2k＝－2－，得k＝－1或k＝－.
故所求直线方程为x＋y＋1＝0或x＋2y＝0.
(方法2)设所求直线方程为x＋2＋λ(2x＋y＋3)＝0，
即(1＋2λ)x＋λy＋2＋3λ＝0，(※)
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－.
由题意得－＝－，
得λ＝－或λ＝－1.代入(※)式得所求直线方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.
变式：解：原方程可化为x－2y＋5 ( http: / / www.21cnjy.com )＋a(2x＋3y－18)＝0，它表示过直线x－2y＋5＝0与直线2x＋3y－18＝0交点的直线系(不包括直线2x＋3y－18＝0)，无论a取何值它都过两直线的交点，由解得
所以直线必过定点(3,4)．
小结：对于直线l1：A1x＋B1y＋ ( http: / / www.21cnjy.com )C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，直线系A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不含直线l2，若想包括l2，则可以写成A2x＋B2y＋C2＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0的形式．
例2、思路分析：先求出两条直线的交点，然后代入第三条直线求出k的值．
解：解方程组得即前两条直线的交点为.
因为三条直线交于一点，所以第三条直线必过此交点，故有3k·＋＝5，
解得k＝1或k＝－.
变式：（1）解析：由得
将x＝4，y＝－2代入ax＋2y＋8＝0，得4a－4＋8＝0，∴a＝－1. 答案：－1
（2）解：为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若l1，l2，l3交于一点，由
解得将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程，解得a＝1，或a＝－2.
②若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1.
当a＝1时，l1，l2重合．
③若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1.
当a＝1时，l2，l3重合．
④若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1.
当a＝1时，l1，l3重合．
综上，a＝1时，l1，l2，l3重合；
当a＝－1时，l1∥l2；
a＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1，且a≠－2.
小结：1.直线的交点坐标就是其相应方程组的解．
2．给出三条直线方程，方程中含有参数，且三条直线构成三角形，求参数满足的条件，可以先找构不成三角形的条件，然后求其反面．
例3、思路分析：求点B关于直线l的对称点B1，再求过B1C的直线方程，B1C与l的交点就是所求点的坐标．
解：设点B关于l的对称点为B1(x1，y1)，
∴l⊥BB1.线段BB1的中点在l上，
∵kl＝－2，kBB1＝，∴＝，即x1－2y1＋3＝0.①
又BB1中点坐标是，
∴2×＋＋1＝0.②
联立①②可得B1(－3,0)．
直线B1C的方程为＝，即
x＋2y＋3＝0.
解方程组得A.
变式：解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则点P，P′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即解得
∴P′坐标为(－2,7)．
(2)设直线l1：y＝x－2关于直线l ( http: / / www.21cnjy.com )对称的直线为l2，则l2上任一点P2(x2，y2)关于l的对称点P1(x1，y1)一定在l1上，反之亦然．
∴
解得
把(x1，y1)代入y＝x－2，整理得7x2＋y2＋22＝0，
∴l2方程为7x＋y＋22＝0.
小结：点P(x0，y0) ( http: / / www.21cnjy.com )关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点Q(x′，y′)满足条件：P，Q中点在对称轴上；直线PQ与Ax＋By＋C＝0垂直，在解决对称问题时，要抓住垂直、平分这两个关键点，从而列方程组解决问题．
达标拓展
答案1，D
2，B
3，解析：两条直线的斜率分别是k1＝－2，k2＝－.
∵k1·k2≠－1且k1≠k2，
∴两条直线相交但不垂直．
答案：C
4．解：(1)∵
∴交点为.
∵l与直线3x＋y－1＝0平行，
∴直线l的斜率为－3，
∴所求方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
(2)解方程组可以得到P(0,2)．
∵l3 的斜率为，∴直线l的斜率为－，
∴l的方程为y＝－x＋2.
§1.6 平面直角坐标系中的距离公式 .
自主学习
合作探究
例1、1 思路分析：先利用两点间的距离公式求出三角形三条边的长度，根据边长之间的关系判断其形状，再用两点间的距离公式求中线长．
解：(1)|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∵|AB|＝|AC|≠|BC|，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)M，|CM|＝＝.
变式：
1．2 解析：|MN|
＝＝＝2.
2．解：设点C的坐标为(x，y)，
∵△ABC为等边三角形，∴|AC|＝|BC|，即＝.①
又|AC|＝|AB|，
即＝.②
由①得x＝2，代入②得y＝1±.
∴所求点C的坐标为(2,1＋)或(2,1－)．
例2、解：(1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，
由点到直线的距离公式得d1＝＝2.
(2)方法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得d2＝＝3.
方法二：如图，
∵y＝－1平行于x轴，∴d2＝|－1－2|＝3.
(3)方法一：y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式得d3＝＝1.
方法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.
变式：1．解：由点到直线的距离公式，可得关于a的方程：＝4，|3a－26|＝20，解得a＝2或a＝.
2．解：设点P的坐标为(x0，y0)，
由题意得
解得或所以点P的坐标为(2，－1)或(1,2)．
例3、
解：(1)直线l1，l2的方程可化为
3x＋4y－10＝0,3x＋4y－15＝0，
则两平行线间的距离d＝＝＝1.
(2)依题意设所求直线方程为x－2y＋C＝0，则有＝，即|－1－C|＝|13－C|，
解得C＝6，故所求直线方程为x－2y＋6＝0.
变式：1． 解析：将两直线方程化为5x－12y＋1＝0与5x－12y＋＝0，于是由公式可得d＝＝.
2．解：设所求直线方程为3x－4y＋C＝0，由＝3得C＝－5或－35.故所求直线方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
例4、证明：如图，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．
设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b，c)．
因为|AB|2=a2，|CD|2=a2，
|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，
|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.
因此平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
变式：
证明：如图所示，△ABC中，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|=c.又由中点坐标公式，可得D，E，所以|DE|=，所以|DE|=|AB|，即三角形中位线的长度等于底边长度的一半．
达标拓展
1．B 2．B 3．D 4．
5．证明：如图，以O为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
设A(b，c)，B(－a,0)，C(a,0)．
由两点间距离公式，得|AB|2＋|AC|2＝(b＋a)2＋c2＋(b－a)2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝b2＋c2＋a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
§1.7 直线与方程小结与复习 .
自主学习
合作探究
例1. ⑤
例2． ;;;
例3． (1)2x+3y-1=0； ( http: / / www.21cnjy.com ) (2)2x-y+5=0；(3)x+y-1=0或3x+2y=0； (4)4x+y-6=0或3x+2y-7=0
例4．解： 设Ａ(a,0)，B(0,b) ∴a,b>0∴L的方程为 ∵点（1,2）在直线上 ∴ ∴ ① ∵b>0 ∴a>1
(1) S△AOB== =4 ∴a=2 这时b=4 ∴当a=2，b=4时S△AOB为4
此时直线L的方程为即2x+y-4=0
（2）求L在两轴上截距之和为时L的方程． 解：
∴ 这时∴L在两轴上截距之和为3+2时，直线L的方程为y=-x+2+
例5．解: ∵
∴
∴直线AC的方程为
即x+2y+6=0 (1)又∵
∴BC所在直线与x轴垂直 故直线BC的方程为x=6 (2)解(1)(2)得点C的坐标为C(6,-6)
达标拓展
1、C
2．D
3．A
4． ，1-2
§2.1 圆的标准方程
自主学习（独学、质疑）
1．圆心，半径，圆心位置，半径
2． (1) x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2) x2＋y2＝r2.
问题1
提示：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2不一定表示圆，当m＝0时，方程表示点(a，b)．圆的标准方程中，r是半径，r＞0.
问题2
提示：
条件 方程形式
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r＞0)
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
问题3
提示：(1)(－5，－4) (2)(x－1)2＋(y－1)2＝4 (3)C
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r
问题4
提示：不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈”，圆上的点并不含圆心．从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内.
合作探究（对学、群学）
例1：思路分析：首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．
解：(1)由两点间距离公式，得r＝＝，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．
又|AB|＝＝2，
∴半径r＝.
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
变式：解：(1)圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝5.
(2)r＝＝＝5，
∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(3)圆心为(3,8)，半径r＝|P1P2|
＝＝，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－8)2＝2.
(4)圆心为(2，－3)，半径r＝＝5，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
(5)圆心为(3,0)，半径r＝2，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
例2： 思路分析：先设出圆的标准方程，由题设列出关系式，组成方程组，由待定系数法求解．
解：(1)∵圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，∴可设圆心的坐标为，由题意，得
＝，
解得a＝3，∴圆心的坐标为(3,2)，
∴r2＝(3－6)2＋(2－0)2＝13，
∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
(2)设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆与坐标轴相切，∴圆心满足a－b＝0或a＋b＝0.
又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.
解方程组或得或
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)．∴可得半径r＝|a|＝4或r＝|a|＝1.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
变式：1．解：设圆心坐标为M(a,0)，则|MA|＝|MB|，
即＝，
解得a＝4.
所以圆心坐标为(4,0)，半径r＝|MA|＝.
所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
2．解：因为圆心在直线x－2y－3＝0上，
故可设圆心为C(2b＋3，b)，半径为r，
则圆的方程为(x－2b－3)2＋(y－b)2＝r2.
又因为圆过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，
所以
式①，②左边相等，即10b＋10＝30b＋50，
所以b＝－2，所以圆心坐标为(－1，－2)，r＝.
所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
例3： 思路分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程．判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．
(2)利用点在圆的内部建立不等式求a的取值范围．
解：(1)由已知得圆心坐标为C(2，－1)，半径r＝1.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
∵|AC|＝＝＞1，|BC|＝＝＞1，∴A，B两点都在圆外．
(2)∵点P(3a＋2,4a)在圆(x－2)2＋y2＝1的内部，
∴(3a＋2－2)2＋(4a)2＜1，即25a2＜1，
∴a2＜.解得－＜a＜.
∴a的取值范围是.
变式：1．解析：(m2)2＋52＝m4＋25＞24，点P(m2,5)在圆外．答案：A
2．解：|P1P2|＝＝2，
P1P2的中点坐标为(4,6)．
依题意，所求圆的圆心为C(4,6)，半径为.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.
∵|MC|＝＝＞，
|NC|＝＝，
|PC|＝＝＜，
∴点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．
达标拓展
答案1．D 2．解析：半径r＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4.【来源：全,品…中&高*考*网】
答案：C
3．解析：d＝＝5.答案：A
4．解析：由题意知32＋()2＞16，∴a＞7.
答案：(7，＋∞)
5解：∵圆心在直线x－3y＝0上，
∴设圆心坐标为(3a，a)．
又圆C与y轴相切，
∴半径r＝|3a|，
圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝|3a|2.【来源：全,品…中&高*考*网】又过点A(6,1)，
∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，
即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37.
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112.
§2.1 圆的一般方程
自主学习（独学、质疑）
，
（-，-），，一个点（-，-），任何图形
（圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显）
合作探究（对学、群学）
例1 思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般方程的特征．
解：(1)由于x2，y2的系数不相等，故不表示圆．
(2)由于该方程中含有xy这样的二次项，故不表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＋5＝0，显然不表示圆．
(4)方程－2x2－2y2＋10y＝0可化为x2＋2＝，所以其可以表示以为圆心，以为半径的圆．
(5)方程可化为(x＋3)2＋(y－3)2＝0，因此该方程不表示圆，而表示一个点(－3,3)．
变式
1．C 解析：选项C中的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，表示圆，其余选项中的方程均不表示圆．
2．解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2mx－2y＋m2＋5m＝0化为标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
例2 思路分析：设圆的一般方程，根据已知条件建立关于参数D，E，F的方程组，解方程组求出D，E，F的值，即可得到圆的方程．
解：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)()，依题意有即解得
因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0.
变式 1．x2＋y2＋8x－10y－44＝0 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意有解得
于是圆的方程为x2＋y2＋8x－10y－44＝0.
2．x2＋y2－4x－2y－8＝0或x2＋y2－x－y－＝0
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心为eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－))，半径等于，依题意得解得或
于是圆的方程是x2＋y2－4x－2y－8＝0或x2＋y2－x－y－＝0.
例3 思路分析：(1)已知动点M到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．
(2)N点随M点运动而运动，设出点 ( http: / / www.21cnjy.com )N的坐标，将M点坐标用A，N两点坐标表示，再将M点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N的轨迹方程，从而得点N的轨迹．
解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P＝.
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为＝，平方后再整理，得x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．由于A(2,0)，且N为线段AM的中点，
所以x＝，y＝，
所以有x1＝2x－2，y1＝2y，①
由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，所以点M坐标(x1，y1)满足：x＋y＝16，②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．
变式 (x＋3)2＋(y－2)2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝13(x≠0且x≠－6) 解析：由于PM⊥PN，所以动点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(不包括端点M，N)，其圆心为线段MN的中点(－3,2)，直径|MN|＝＝2，于是半径等于，故轨迹方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0且x≠－6)．
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1．D 2．D 3．C 4．
5．解：设所求圆的方程为x2＋y2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋Dx＋Ey＋F＝0.由题设得方程组解得D＝－4，E＝－2，F＝－20.∴△ABC的外接圆一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.圆心坐标为(2,1)，半径r＝＝5.
§2.3直线与圆的位置关系
自主学习（独学、质疑）
相交，相切，相离
例1 思路分析：一是利用代 ( http: / / www.21cnjy.com )数法，通过判别式建立关于k的等式或不等式求解；二是利用几何法，通过圆心到直线的距离d与半径的大小关系建立不等式或等式求解．
解：(方法1)联立得方程组消去y得(x－1)2＋(kx＋2)2－1＝0，
即(k2＋1)x2＋(4k－2)x＋4＝0.
判别式Δ＝(4k－2)2－4× ( http: / / www.21cnjy.com )4×(k2＋1)＝－16k－12.当Δ＝0，即－16k－12＝0，k＝－时，直线与圆相切；当Δ＞0，即－16k－12＞0，k＜－时，直线与圆相交；当Δ＜0，即－16k－12＜0，k＞－时，直线与圆相离．
(方法2)圆心C(1,0)，半径r＝1.
圆心C到直线l：y＝kx＋2的距离d＝.
当＝1，即|k＋2|＝，解得k＝－时，直线与圆相切；
当＜1，即|k＋2|＜，解得k＜－时，直线与圆相交；
当＞1，即|k＋2|＞，解得k＞－时，直线与圆相离．
变式 1．解：(1)圆x2＋y2－8x＋2y－8＝0可化为(x－4)2＋(y＋1)2＝25，
∴圆心(4，－1)，半径r＝5.
圆心(4，－1)到直线4x－3y＋6＝0的距离d＝＝5＝r，
∴圆与直线相切．
(2)圆x2＋y2－4x＋3＝0可化为(x－ ( http: / / www.21cnjy.com )2)2＋y2＝1，圆心(2,0)，半径r＝1，圆心到直线2x－y＋5＝0的距离d＝＝＝＞1＝r，
∴圆与直线相离．
2．2 解析：由于直线与圆相切，所以圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离等于半径，即＝，解得m＝2(m＝0舍去)．
例2 思路分析：(1)先判断点与圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系，再利用切线的斜率与圆心和切点连线的斜率乘积为－1求出切线斜率．(2)设出切线方程，利用点到直线的距离等于圆的半径，列出切线斜率所满足的方程，求出斜率，但要注意分斜率存在、不存在两种情况讨论．
解：(1)因为(2－1)2＋(3－2)2＝2，所以点P(2,3)在圆上．
由圆的方程可得圆心C(1,2)，半径r＝.
由斜率公式得kCP＝＝1，故所求切线的斜率为－1.由直线的点斜式方程得所求的切线方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.
(2)因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在， ( http: / / www.21cnjy.com )设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
变式 1． 解析：点A ( http: / / www.21cnjy.com )在圆O上，过点A且与圆O相切的直线的斜率为－，故切线方程为y－2＝－(x－1)．令x＝0得y＝；令y＝0得x＝5.故三角形的面积为×5×＝.
2．解：当直线l的斜率不存在时，l的 ( http: / / www.21cnjy.com )方程是x＝－1，不满足条件．当直线l的斜率存在时，设其方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0.由已知得圆的圆心为(2,3)，半径r＝1，圆心到直线的距离d＝，
∵直线与圆相切，
∴d＝r，即＝1，解得k＝0或k＝－.从而所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0.
例3 思路分析：设出直线方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长构成的直角三角形求解．注意讨论斜率存在与否．
解：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－ ( http: / / www.21cnjy.com )2)2＝52，∴圆心C(1,2)，半径r＝5.由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，∴圆心到直线的距离d＝＝＝3.
①当直线AB⊥x轴时，
∵l过(4，－4)，∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，设方程为y＋4＝ ( http: / / www.21cnjy.com )k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0.∴d＝＝3，解得k＝－.∴l的方程为y＋4＝－(x－4)，即3x＋4y＋4＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
变式 2 解析：d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2.
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1．C 2．A 3．D
4．(x－2)2＋(y＋1)2＝
5．2x－y＝0【来源：全,品…中&高*考*网】
§2.4圆与圆的位置关系
自主学习
相离，外切，相交，内切，内含
例1 思路分析：(1)，(2)参数m的 ( http: / / www.21cnjy.com )值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1＋r2，|r1－r2|的大小关系．(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d＜|r1－r2|.
解：(1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋y2＝1.两圆的圆心距d＝＝2，
又∵r1＋r2＝3＋1＝4，|r1－r2|＝|3－1|＝2，∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2.∴圆C1与圆C2相交．
(2)当m＝4时，两圆的方程分别可化为C1：(x－4)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋y2＝1.两圆的圆心距d＝＝，
又∵r1＋r2＝3＋1，∴d＞r1＋r2.
∴圆C1与圆C2相离．
(3)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则＜3－1，即(m＋1)2＜0，显然不等式无解．故不存在m使得圆C1与圆C2内含．
变式 1．B 解析：圆x2＋y2＋6x－7＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0可化为(x＋3)2＋y2＝16，圆心(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0可化为x2＋(y＋3)2＝36，圆心(0，－3)，半径r2＝6，圆心距d＝3，因此|r1－r2|＜d＜r1＋r2，两圆相交．
2．121或1 解析：根据题意两圆的圆心分别是(0,0)，(－3,4)，得圆心距为＝5，两圆的半径分别是r1＝，r2＝＝6，
∴|r1－r2|＝|－6|＝5，解得a＝121或a＝1.
例2 思路分析： ( http: / / www.21cnjy.com )
解：(1)将两圆方程化为标准方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，圆C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5；
圆C2的圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝.
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，∴|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．
(2)两方程联立，得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．
(3)方法一：两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4，③
把③代入②得y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2.
∴或
∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为＝2.
方法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5.
由(2)知两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0，∴圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝，∴公共弦长2l＝2.
变式 1．7x－4y＝0 解析：圆 ( http: / / www.21cnjy.com )3x2＋3y2＋2x＋y＝0可化为x2＋y2＋x＋y＝0，与方程x2＋y2＋3x－y＝0相减得x－y＝0，即7x－4y＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．【来源：全,品…中&高*考*网】
2．1 解析：圆x2＋y2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4的圆心为(0,0)，半径为2.由两圆方程作差得公共弦所在直线方程为y＝.圆心(0,0)到公共弦的距离d＝＝＝1，得a＝1.
例3 思路分析：利用待定系数法，设出圆的标准 ( http: / / www.21cnjy.com )方程，根据圆与直线、圆与圆相切的条件列出方程组求解，其中圆与圆外切转化为圆心距问题，圆与直线相切转化为点线距问题．
解：圆方程x2＋y2－2x＝0化为(x－1)2＋y2＝1，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意得
解之，得或.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
变式 解：设所求圆的方程为(x－a)2＋( ( http: / / www.21cnjy.com )y－b)2＝r2，由题意得，两圆只能外切，所以a2＋b2＝r2，(a－1)2＝r2，(a－1)2＋(b－2)2＝(r＋1)2，解得a＝，b＝，r＝，故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)()2＋eq \b\lc\(\rc\)()2＝.
达标检测
1．B 2．D 3．C 4．x2＋(y－2)2＝1 5．(x±4)2＋(y－6)2＝36
§2.5圆与方程小结复习 自主学习
圆心，半径。
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－))，r＝，
d>r,d=r,d
合作探究
例1解：(1)设圆心P(x0,y0),则有,
解得 x0=4, y0=5, ∴半径r=, ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
例2分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题 ( http: / / www. / wxc / )
解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>0）得=a，
化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0
当a=1时，方程化为x=0 ( http: / / www. / wxc / )当a≠1时，方程化为 =
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆
点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求 ( http: / / www. / wxc / )同时也考查了分类讨论这一数学思想
例3解：圆方程可化为, 圆心O(-2,6),半径为1 ( http: / / www. / wxc / )
设对称圆圆心为，则O‘与O关于直线对称，
因此有解得
∴所求圆的方程为
点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等 ( http: / / www. / wxc / )
达标检测
1.采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0
2.分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？
解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系 ( http: / / www. / wxc / )
设动圆圆心为M（x，y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|
∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O ( http: / / www. / wxc / )
由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，∴=|y+3|
化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程 ( http: / / www. / wxc / )
点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”
3．解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0,
即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0,即 =0,
圆心为 (,),由于圆心在直线x─y─4=0上,∴──4=0, 解得 λ=─1/3
所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0 ( http: / / www. / wxc / )(2)将圆C1和圆C2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程
点评：学会利用圆系的方程解题 ( http: / / www. / wxc / )
§3.1-2空间直角坐标系
自主学习
1：可以
3：x轴上的点P的坐标的特点：纵坐标和竖坐标都为零．
y轴上的点的坐标的特点： 横坐标和竖坐标都为零．
z轴上的点的坐标的特点： 横坐标和纵坐标都为零．
xＯy坐标平面内的点的特点：竖坐标为零．
xＯz坐标平面内的点的特点：纵坐标为零．
yＯz坐标平面内的点的特点：横坐标为零．
4.
合作探究：
例1：的坐标分别是（0,0,2）(0,4,0)(3,0，2)（3,4,2）
变式1：分别以AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。EF
G
例2
变式2
例3解：由线面垂直的性质可知AB，AC，AP ( http: / / www.21cnjy.com )三条直线两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(8,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，因为M，S分别为PB，BC的中点，由中点坐标公式可得，M(4,0,2)，S(4,2,0)．因为N在x轴上，|AN|＝2，
所以N(2,0,0)．
变式3
解：
过A作AM⊥xoy交平面于M，并延长到C，使AM=CM，则A与C关于坐标平面xoy对称且C（1，2，1）。
过A作 AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN=NB，则A与B关于x轴对称且B（1，2，-1）。
∴A（1，-2，1）关于坐标平面xoy对称的点C（1，2，1）；
A（1，2，-1）关于x轴对称点B（1，-2，1）。
达标拓展
1解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，
可以按如下步骤进行：
（1）在x轴上取横坐标为4的点M1；
（2）将M1在xoy平面内沿与y轴平行的方向向右移动2个单位，得到点M2；
（3）将M2沿与z轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M。
法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点
O处的三条棱分别在x轴的正半轴、y轴