江西省丰城中学2015-2016学年上学期高一数学必修二导学案第一章 立体几何初步
文档属性
| 名称 | 江西省丰城中学2015-2016学年上学期高一数学必修二导学案第一章 立体几何初步 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-02 17:12:02 | ||
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文档简介
丰城中学“导学练”案 数学学科 必修2第一单元
第一章《立体几何初步》
§1.1简单旋转体 .
学习目标：
1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；
2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3. 理解旋转体的有关概念；
4. 会用语言概述圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
学习重点：
圆柱、圆锥、圆台的结构特征
自主学习（独学、质疑）
1 球
（1）定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转所形成的曲面称为 。球面所围成的几何体称为 ，简称 。半圆的圆心称为 。连接
球心和球面上任意一点的线段称为 连接球面上两点且过球心的线段称为
②表示:球用表示球心的字母表示。
③截面:用一个平面去截一个球，截面是圆面。
球面被经过球心的平面截得的圆称为
被不经过球心的平面截得的圆称为
设球的半径为R，截面圆半径为r，球心与截面圆
圆心的距离为d，则R、r、d的关系：
2圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体称为 。在圆柱的形成中，旋转轴称为 ，在轴上这条边的长度称为 。垂直于轴的边旋转而成的圆面称为 ，平行于轴的边旋转而成的曲面称为 ，平行于轴的边在旋转中的任何位置称为
②表示：圆柱用表示圆柱的轴的字母表示，
右图中圆柱表示为圆柱OO'。
③结构特征
A.底面是平行且半径相等的圆面；
B.侧面展开图是矩形；
C.母线平行且相等；
D.平行于底面的截面是与底面平行且半径相等的圆面；
E.轴截面是全等的矩形。
3圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所形成的曲面围成的几何体称为 .旋转轴称为 ,在轴上这条边的长度称为 。垂直于轴的边旋转而成的曲面称为 。不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为 。无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都称为 。
②表示：圆锥用表示它的轴的字母表示，右图中圆锥表示为圆锥SO。
③结构特征
A底面是圆面
B.侧面展开图是以母线长为半径的扇形
C.母线相交于顶点
D.平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面
E..轴截面是全等的等腰三角形．
4圆台
①定义：以直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体称为 .旋转轴叫做 ,在轴上这条边的长度称为 。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做 。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做 。无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做 。当然，圆台也可看作用一平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②表示：圆台用表示它的轴的字母表示，右图中圆台表示为圆台OO'。
③结构特征
A.底面是平行且半径不相等的圆面；
B.侧面展开图是扇环；
C.母线延长后交于一点
D.平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面
E.轴截面是全等的等腰梯形。
合作探究（对学、群学）
例1：例1 下列说法正确的是( )
①球是以任意一条直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的几何体；②用任一平面去截球，截面是一个圆；③过球的球心做球的截面，所得截面的半径与球的半径相等．
A．① B．② C．③ D．②③
变式1：球的半径有________条，直径有________条，用任意平面截球，截面为________．
例2.已知ABCD为正方形，分别以AB，AC所在的直线为旋转轴，将正方形绕旋转轴所在的直线旋转一周，判断所形成的几何体的形状．
变式2：在直角三角形中，以其斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是( )
A．圆锥 B．圆柱 :
B． C．圆台 D．以上都不对
例3. 一个直角梯形的上、下底边的长分别为15和25，一腰与下底成60°角，以它的一条直角腰为轴旋转一周得到一圆台，求圆台的母线长．
变式3：已知一个圆台上、下两底面面积分别为π和4π，其轴截面的面积为9，则该圆台的高为________．
.
评价提升（评价、完善）：
处理旋转体的有关问题，一般要作出轴截面，在轴截面中寻找各元素的关系．
达标拓展（检测、拓展）
1．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球
2．下列说法正确的是( )
A．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
B．圆柱的任意两条母线所在直线互相平行
C．用一平面截圆锥，截面与底面之间的部分为圆台
D．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
3．圆台的两底面半径分别为2cm和5cm，母线长为3cm，则它的轴截面面积为 。
§1.2简单多面体
学习目标：
1、会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
2、会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
3、培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
学习重点：
棱柱、棱锥、棱台结构特征
自主学习（独学、质疑）
1、 棱柱的概念： 。
2、在图中，指出棱柱的有关概念：顶点、棱、底面、侧面、对角面。
3、棱柱的分类：
（1）按侧棱与底面垂直与否，分为：
（2）按底面多边形的边数，分为：
4、棱锥的概念： 。
5、在图中，指出棱柱的有关概念：顶点、棱、底面、侧面。
6、棱锥的分类：
7、棱台的概念：
8、在图中，指出棱台的有关概念：顶点、棱、底面、侧面等。
9、棱台的分类：
合作探究（对学、群学）
例1棱台不具有的性质是（ ）.
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
变式1、下列关于简单几何体的说法中：
(1)斜棱柱的侧面中不可能有矩形；
(2)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；
(3)侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
(4)圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截得截面与底面之间的部分。
其中正确的是__________
例2、如图所示， ABCD-A1B1C1D1是长方体，
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由.
（2）ABCD-A1EFD1是棱台吗？如果是，是几棱台？如果不是，说明理由.
变式2. 根据右边模型，回答下列问题：
(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？
(2) 如右图，长方体中被截去一部分，其中。问剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么
例3列几何体是不是棱台,为什么
（1） （2）
变式3：有两个面互相平行，其他面都是四边形，则这个几何体是 （ ）
A、棱柱 B、棱台 C、棱柱或棱台 D、以上答案都不对
评价提升（评价、完善）：
1、正棱锥是一种特殊棱锥．正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：①底面为正多边形；②顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上．
2、正棱锥的性质很多，但要特别注意：
平行于底面截面的性质 ：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么 ①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段． ②所得的截面和底面是对应边互相平行的相似三角形。 ③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比．
达标拓展（检测、拓展）
1、下列命题中正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
2、若棱锥的所有棱长均相等，则它一定不是 （ ）
A、三棱锥 B、四棱锥
C、五棱锥 D、六棱锥
3、如图几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（ ）
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体.
B.该组合体有12条棱，6个顶点.
C.该组合体有8个面，各面均为三角形.
D.该组合体有9个面，其中一个面为四边形，其余8个面为三角形.
§1.2直观图
学习目标：
1通过作图感受图形直观感，体会用斜二测画法画空间几何体的过程。
掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
2会利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。感受几何作图在生产活动中的应用,提高空间想象力与直观感受。
学习重点：
用斜二测画法画空间几何体的直观图；难点是斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。.
自主学习（独学、质疑）
1.斜二测画法的步骤：:
(1) 建立平面 : 在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O。
(2) 画出斜 : 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴, 两轴相交于点O'，且使∠x'O'y' =45度(或135度)，它们确定的平面表示水平平面。
(3) 画对应图形: 在已知图形平行于x轴的线段, 在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变。在已知图形平行于y轴的 , 在直观图中画成平行于y'轴, 且 为原来一半.
(4)对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引坐标轴垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段.
(5) 擦去 : 图画好后,要擦去x'轴,y'轴及为画图添加的辅助线.
2.画几何体的直观图的步骤是
（1）.画轴.画x.y.z三轴交原点，使xOy=45°、xOz=90°.
（2）.画 .在相应轴上取底面的边，并交于底面各顶点.
（3）.画 或 侧边.使其平行于z轴.
（4）.成图.连接相应端点，去掉 ，将被遮挡部分改为 等.
合作探究（对学、群学）
例1.用斜二测画法画出长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图
变式1：利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是___________.
例2：关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（ ）
A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
变式2： 画水平放置的正六边形的直观图。
例3水平放置的等边三角形边长2，在用斜二测画法作图时，所对应的图形面积是 。
变式3：已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A.16 B.64 C.16或64 D.都不对
评价提升（评价、完善）：
斜二测画法口诀：
平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。
达标拓展（检测、拓展）
1. 用斜二测画法画出一几何体的直观图为直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，如图所示，其中∠BAD＝45°，AB＝AA1＝2，AD＝1，ABCD为平行四边形，则原几何体为( )
A．直四棱柱，其中ABCD为平行四边形，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝45°
B．直四棱柱，其中ABCD为平行四边形，AB＝AD＝2，∠BAD＝45°
C．直四棱柱，其中AA1＝2，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝90°
D．直四棱柱，其中AA1＝2，AB＝AD＝2，∠BAD＝90°
2.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A. B.
C. D.
3 (1)已知等腰梯形ABCD的上底CD＝2，腰AD＝BC＝2，下底AB＝6，以下底所在的直线为x轴建立如图（1）所示的坐标系，其中O为AB的中点，求由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积；
(2)如图（2）是一梯形OABC的直观图，其直观图的面积为S，求梯形OABC的面积．
图（1） 图（2）
§1.3简单几何体的三视图
学习目标：
通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；掌握画三视图的基本技能.
学习重点：
画出简单组合体的三视图；
自主学习（独学、质疑）
1．空间几何体的三视图是指__________、__________、__________．
2．三视图的排列规则是__________放在主视图的下方，长度与主视图一样，__________放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．
3．三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从________、__________、________观察同一个几何体，画出空间几何体的图形．
4.三视图的画法要求：
（1）先画 ， 在正视图的右边， 在正视图的下面。
（2）一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样。即“ ， ， 。”
（3）画几何体的的三视图时，能看见的轮廓线和棱用 表示，不能看见的轮廓线和棱用 表示。
5.下图是由哪些简单几何体组合而成？
合作探究（对学、群学）
例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1A，C1C的中点，则下列判断正确的有
（1）四边形BFD1E在底面ABCD内的投影是正方形；
（2）四边形BFD1E在面A1D1DA内的投影是菱形；
（3）四边形BFD1E在面A1D1DA内的投影与在面ABB1A1内的投影是全等的平行
变式1如果一个空间几何体的正视图和侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（ ）
A.棱锥 B.棱柱 C.圆锥 D.圆柱
例2. 在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．
变式2：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
例3. 如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．
变式3.如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．
评价提升（评价、完善）：
在绘制三视图时，要注意以下三点：
1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．
2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．
3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．
达标拓展（检测、拓展）
1.一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是
（1）线段 （2）直线 （3）圆 （4）梯形 （5）长方体
2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体是 。
3. 用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的
个数最多为________个．
§4简单图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识及空间图形公理 .
学习目标：
1、掌握文字、符号、图形语言之间的转化
2、理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点线共面问题．
3、学会运用平面的性质证明点共线、线共点以及线共面问题．
4、加强由实际模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力．
学习重点：
1.点、线、面位置关系的分类及其有关概念；
2.公理1,2,3,
3.异面直线的理解（难点）
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．异面直线：空间中 的两条直线叫作异面直线．
2．公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
3．公理2：经过 的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．
4．公理3：如果两个 的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
5．公理2的推论：
推论1：经过一条直线和这条 ，有且只有一个平面；
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.
合作探究（对学，群学）：
例1.平面的特征及画法
给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有 ( )
A.0 B.2 C.3 D.4
变式1.平面的画法：通常用平行四边形来表示平面，当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长。
（1）水平放置的平面画法：
（2）垂直放置的平面
例2.用符号表示下列点、线、面间的位置关系：
（1）点A在平面内，点B在平面外；
（2）点Q在直线b上，b在平面内；
（3）直线b经过平面内一点A与平面外一
点B；
（4）直线a既在平面内又在平面内；
（5）直线a与平面平行；
（6）平面与平面平行
变式2.下图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ）．
例3 如图中的△ABC，若AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内？
变式3 求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
已知 a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证 直线a、b、c和l共面
评价提升（评价、完善）：
1、点一般用大写字母A、B、C、D表示，点运动成线，线用小写字母a、b、c、d表示，线运动成面，面用希腊字母等表示。因此，线、面都是由点构成的集合，则点与线、面之间的关系用属于或不属于，线与面之间的关系用包含或不包含。
2、结合长方体模型，空间中点、线、面位置关系：
位置关系 图形语言 符号语言
点与线 A在线l上
A不在线l上
点与面 A在面内
A在面外
线与线 l与m平行
l与m相交A
l与m异面
线与面 l在内
l与交于A
l与平行
面与面 、平行
、相交于线l
达标拓展：
1.三个平面把空间分成最多 部分,
最少 部分
2.将例2中语句用图形表示出来
3.在三棱锥A-BCD中，找出互相异面的直线。
4.2简单图形的基本关系与公理 ..
学习目标：
1. 掌握公理4和定理.
2. 会求简单的异面直线所成角的大小。
3. 会应用4个公理和定理解决问题。
学习重点：
4个公理和定理的理解与应用
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．公理4：平行于 的两条直线平行．
2．等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ．
3．空间四边形：顺次连接 的四点A、B、C、D所构成的图形，叫作空间四边形．
4.异面直线所成角的定义：
异面直线所成角的范围：
如果两异面直线所成角是直角，则称这两直线 ，记作：
合作探究（对学，群学）：
例1：证明线共面
两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内．
变式1.若四条直线两两相交且不交于同一点，求证：这四条直线共面。
例2 证明点共线、线共点
如图所示，已知△ABC在平面外，它的三边所在直线分别交平面于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．
求证：P、Q、R三点共线．
变式2、在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3．
求证：EF、GH、BD交于一点．
例3：证明两直线平行
如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
变式3.在三棱锥A-BCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD=6。
（1）求证：MN∥BD； （2）求MN的长。
例4.证明两角相等
已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1.
变式4.如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.
(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？
评价提升（评价、完善）：
1．三个公理的作用：
公理1——判定直线在平面内的依据；
公理2——判定点共面、线共面的依据；
公理3——判定点共线、线共点的依据．
2．注意事项
(1)应用公理2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．
(2)在立体几何中，符号“∈”与“”的用法与读法不要混淆．
(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化．
达标拓展：
1.首尾相连的四条线段所在的直线，它们最多确定的平面数是 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥O1A1，且OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是（ ）
A.OB∥O1B1且方向相同 B. OB∥O1B1
C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行
3.下列结论正确的是（ ）
A.如果两个角相等，那么这两个角的两边互相平
行
B.如果一个角的两边与另一个角的两边分别
平行，那么这两个角相等
C.垂直于同一条直线的两直线互相平行
D.平行于同一条直线的两直线互相平行
5.1直线与平面平行的判定 ..
学习目标：
1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
2.掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理；
3．进一步培养学生的观察、、发现的能力和空间想象能力，逻辑思维能力。
学习重点：
直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．直线a和平面α只有一个公共点A，叫作直线与平面 ，这个公共点叫作直线与平面的 ；直线a与平面α 公共点，叫作直线与平面 ．
2．空间中直线与平面有哪几种位置关系？
3．线面平行的判定定理：若 与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
简单概括：（内外）线线平行线面平行
符号语言: .
判定定理的作用： 。
4.判断对错，若错误，举出反例：
①若 。 （ ）
②若。 （ ）
③若。 （ ）
合作探究（对学，群学）：
例1 作出与已知直线平行的平面
如图，a、b是异面直线，画出平面, 使a,且b，并说明理由。
变式1：a、b是异面直线，空间中有一点A，且A不在直线a、b上，过A画出平面，使得a∥、b∥。
例2：如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若 ，则EF与平面BCD的位
置关系是__________________
变式2：在空间四面体中,E、F、M、N分别为棱AB、AD、DC、BC的中点.如图中，指出图中满足线面平行关系的所有情况。
例3、 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.
变式3 如图所示，P是 ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.
评价提升（评价、完善）：
1.直线与平面平行的判定,需掌握三种语言；
2.线和平面平行的判定定理把线面平行的判定转化为线线平行的判定,将立体几何问题转化为平面几何问题,运用起来就方便多了.
3..证明平行问题总的思想是“转化”.通过“降维”把证明“面面平行”转化为证“线面平行”.
达标拓展：
1、给出下列命题：
若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线与平面内的任一条直线无公共点，则直线与平面平行；
③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行。
其中正确命题的序号是 （ ）
A、B、③④
C、 D、②④
2、如图，长方体中，
与平行的平面是 ；
与平行的平面是 ；
与平行的平面是 。
3、已知四面体中，、分别
是三角形和三角形的重心，
求证：（1）∥面；
（2）∥面。
5.2平面与平面平行的判定 .
.
学习目标：
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理；
2.掌握平面与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理；
学习重点：
直观感知，操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理；平行关系的相互转化
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1. 空间中平面与平面的位置关系有两种____，_____
2.若一个平面内所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面_____
3.如果平面α内有一条直线平行于平面β，那么平面α与平面β_____平行
4.如果平面α内有两条直线平行于平面β，那么平面α与平面β_____平行
5、平面与平面平行的判定定理：
如果一个平面内 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
简单概括：线面平行面面平行
图形语言：
符号语言: .
判定定理的作用： 。
6.面面平行判定定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面
（线线平行线面平行面面平行）
请证明之。
合作探究（对学，群学）：
例1．下列命题中正确的个数是 ( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1已知直线a在平面α外，则 ( )
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α＝A
D．直线a与平面α至多有一个公共点
例2.已知正方体，求证：平面A1BD∥平面CB1D1
变式2：已知正方体,P,Q, R,分别为A1A,AB,AD的中点 。
求证：平面PQR∥平面CB1D1.
例3、已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC.
变式3、P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。
（1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC；
（2）S△A′B′C′∶S△ABC的值。
评价提升：平面与平面平行的判断方法有三种
1. 定义：两平面没有公共点，则两平面平行.
2.面面平行判定定理，关键在于找到两组线面平行
3.面面平行的推论，推论1关键在于找到两组线线平行。
达标拓展：
1、 给出下列结论：
（1） 平行于同一条直线的两条直线平行；
（2） 平行于同一条直线的两个平面平行；
（3） 平行与同一个平面的两条直线平行；
（4） 平行于同一个平面的两个平面平行。
其中正确的个数为 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.
A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 1个或2个
3、已知正方体ABCD-，M、N分别为A1A、CC1的中点 .求证：平面NBD∥平面MB1D1.
..
5.3平行的性质
学习目标：
1.理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理；
2.能准确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述性质定理；
学习重点：
直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理；平行关系的相互转化
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线 ______________ ．
2．面面平行的性质：(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 ___________ 均平行于另一个平面．(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的___________ 平行.
3.如果两个平面平行，两个平面内的直线__________
合作探究（对学，群学）：
例1、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.
已知直线a,b,平面α,如图，且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外. 求证：b∥α.
变式1、如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
(1)要经过面A′C′内一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？
例2、 如图所示，A，B，C，D在同一平面内，AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别交于点C，D，求证：AC＝BD.
变式2、求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
例3：求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.
已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c.
求证：c∥a∥b.
变式3：求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.
评价提升：
①已知“线面平行、面面平行”，一般直接考虑用性质，利用构造法构造辅助平面或找出图中平面的交线．
②要证“线面平行”，一般先假设“线面平行”已经成立，把它作为已知条件，用性质去探索找寻经过已知直线的平面与已知平面相交，从而找到平面内的那条直线．
达标拓展：
1、如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
2、下列命题中正确的是______________
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
3、已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F(如右图)．
求证：＝.
.
. 6.1直线与平面垂直判定定理 ..
学习目标：
1、掌握直线与平面垂直的定义
2、理解直线与平面垂直的判定定理，能准确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述性质定理；
3、会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.
学习重点：
直线与平面垂直的判定定理
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的__________都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
2．线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的 ______________ 垂直，那么这条直线与这个平面垂直．
合作探究（对学，群学）：直线与平面垂直判定定理的应用
例1 如图，已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.
变式1一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直，为什么？
例2 在空间四边形ABCD中，已知AB=AC，BD=DC，E为BC的中点，求证：BC⊥面AED。
变式2 已知空间四边形的边，，引，为垂足，作于，求证：．
例3 三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.
变式3 如图，在四棱锥中，底面，
，，是的中点．
（1）求和平面所成的角的大小；
（2）证明平面；
（3）证明PD⊥面ABE。
评价提升：
①过一点有 条直线与已知平面垂直，若两条平行直线中的一条垂直于某个平面，那么另一条
②直线和平面所成的角是指___________________;
③当出现等腰三角形时，往往作_____来构造垂直。
④利用线面垂直判定定理证明的关键是找到两组线线垂直。
达标拓展：
1、①若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；
②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；
③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；
④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.
⑤垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边
⑥如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直。
正确的是______
2、若两条直线a、b异面，则过a且与b垂直的平面（ ）
A 有且只有一个
B 可能有一个也可能不存在
C有无数多个
D一定不存在
3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC
.. 6.2平面与平面垂直判定定理 ..
学习目标：
1.平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力.
2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力.
3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.
学习重点：
平面与平面垂直判定和求简单情形下的二面角.
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1、二面角定义：从空间一条直线出发的_________所组成的图形
2、二面角的平面角
如图，（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角. ( http: / / www. / )
（2）二面角的平面角的大小与O点位置 （3）二面角的平面角的范围是 （4）平面角为直角的二面角叫做
3、 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直. ( http: / / www. / )
4、面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的__________ ，那么这两个平面互相垂直.
合作探究（对学，群学）：
例1：在正方体中，求二面角大小的正切值.
变式1：:如图，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。
例2：如图,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.
求证：平面PAC⊥平面PBC.
变式2： 如右图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，求证：平面VAB⊥平面VCD.
例3：已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角(如下图)．
求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
(2)∠BAC＝60°
变式3：如图，在四面体ABCD中，BD＝ a，AB＝AD＝BC＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
评价提升：
①求二面角关键是作出二面角的平面角，若已知其中一个半平面的垂线，垂足为P，垂线与另一个半平面的交点为Q，则过垂足作公共棱的垂线交棱为点M，则∠PMQ即为二面角的平面角。
②运用面面垂直判定定理的关键在于找到一组线面垂直，而线面垂直则由线线垂直得到。
达标拓展：
1、下列判断中错误的是（ ）
A如果一个平面含有另一个平面的垂线，那么两个平面相互垂直
B如果一个平面内的一条直线与另一个平面内的无数条直线垂直，那么这两平面互相垂直
C如果一个平面内的一条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直，那么两个平面互相垂直
D如果一个平面的垂线与另一个平面的垂线垂直，那么两个平面互相垂直
2、在三棱锥V-ABC中，最多有 个直角三角形
3、如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
6.3垂直关系的性质
学习目标：
1.、掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质，会用文字、图形、符号三种语言来描述。
2、能用定理来解决简单基本问题。
学习重点：
线面垂直、面面垂直的性质定理；垂直关系的相互转化
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1、线面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线_________ ．
2、面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于___________ 垂直于另一个平面．
合作探究（对学，群学）
例1 证明：垂直于同一直线的两平面平行。
变式1 已知平面，，直线满足，，求证：∥面.
例2：在正方体ABCD-A，B，C，D，中，BD，BC，，DC，分别为三条面对角线，A，C为一条体对角线。
求证：（1）A，C⊥BD； （2）A，C⊥平面DBC，
变式2 如图，在正方体中，与垂直的面对角线有（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
例3：四棱锥的底面是个矩形，
，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.
⑴证明：侧面侧面；
⑵求侧棱与底面所成的角.
变式3：如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
评价提升：
1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判定平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．
2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
3．判定线面垂直的方法主要有以下五种：
①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面， b⊥α；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面， a⊥β.
达标拓展：
1、判断下列命题是否正确，并说明理由.
⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；
⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；
⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；
⑷垂直于同一条直线的两条不重合直线互相平行；
⑸垂直于同一条直线的两个不重合平面互相平行；
⑹垂直于同一个平面的两个不重合平面互相平行.
2. 平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是（ ）.
A.平面必平行于
B.平面必垂直于
C.平面必与相交
D.存在的一条中位线平行于或在内
3．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则 ( )
A．l∥γ B．l?γ
C．l与γ斜交 D．l⊥γ
7.1简单几何体的侧面积 .
学习目标：
1.了解柱体、锥体、台体表面积的计算公式，会求简单几何体的表面积；
2.通过对空间图形展开成平面图形体现转化的思想方法。
学习重点：
空间几何体的展开及表面积公式的推导
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；S圆柱侧＝ ，S圆锥侧＝ ，S圆台侧＝ .
2．直棱柱的侧面积公式S＝ ，其中c为底面多边形的周长，h为棱柱的高，用语言可叙述为直棱柱的侧面积等于它的
3．正棱锥的侧面积公式S＝ch′，其中c为底面多边形的周长，h′为棱锥的斜高，用语言可叙述为正棱锥的侧面积等于它的 ．
4．设棱台下底面周长为c，上底面周长为c′，斜高为h′，可以得出正棱台的侧面积公式：________________
合作探究（对学，群学）：
例1 一个圆柱形的锅炉，底面直径d＝1 m，高h＝2.3 m，求锅炉的表面积(保留2个有效数字)．
变式1一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )
A. B.
C . D.
例2 圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)
变式2 一圆台形花盆，盆口直径20 cm，盆底直径15 cm，底部渗水圆孔直径1.5 cm，盆壁长15 cm.为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆要多少油漆？(π取3.14，结果精确到1毫升)
例3 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm.求三棱台的侧面积.
变式3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积．
评价提升：1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．S圆柱表＝ ；S圆锥表＝ ；
S圆台表＝ .
达标拓展：
1、三棱锥的底面面积为，过各侧棱的中点的截面的面积为
圆锥的底面面积为，过母线的中点且平行于底面的截面的面积为
圆台的底面面积为1，2，过母线的中点且平行于底面的截面的面积为
2．一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是 ( )
A．(80＋16)cm2 B．84 cm2
C．(96＋16)cm2 D．96 cm2
3、所有棱长为1的三棱锥的全面积为________．
7.2简单几何体的体积 .
学习目标：
1. 能从正方体、长方体的体积公式类比推测柱体体积公式
2. 理解等底、等高的柱体和锥体的体积关系
3.能推导台体的体积公式
4.熟练计算柱体、锥体、台体的体积
学习重点：
柱体、锥体、台体的体积公式及其推导
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．柱体的体积公式为V＝ ，其中S为柱体的底面面积，h为柱体的高．
2．锥体的体积为柱体的 公式为V＝ ，其中S为锥体的底面面积，h为锥体的高.
3．台体的体积公式为V台体＝ ，其中S′，S 分别为台体的上、下底面面积，h为高．
4、柱体、锥体、台体的体积公式间有什么关系？
合作探究（对学，群学）：运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题
例1、一个三角形边长分别为3、4、5 ，绕三边旋转一周，分别形成一个几何体，求其体积。
变式1 正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成角为45°，求此三棱柱体积．
例2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如右图)，共重5.8 kg，已知螺帽的底面六边形边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 mm，这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8 g/cm3，π≈3.14)
变式2 已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为8 cm，高为3 cm.求其体积．
例3、 如图，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，，求三棱锥的体积.
变式3：如图，在边长为4的立方体中，
求（1）三棱锥的体积.
（2）求到平面的距离
评价提升：
①不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分都能够易求得其体积，或者使所求体积等于整体几何体体积减去部分几何体体积．
⑥三棱锥的体积计算可选取不同的面作为底面，这种方法我们称为
达标拓展：
1.一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.
2. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,,，则它的体积为（ ）.
A. B. C. D.4
3. 各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（ ）.
A. B. C. D.
7.3球的表面积与体积
学习目标：
1.了解球的表面积和体积计算公式；
2. 能运用球的表面积和体积计算公式进行计算和解决有关实际问题.
学习重点：
球的表面积和体积计算公式
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
设球的半径为R，那么它的表面积公式为S球面＝______；体积公式为V球＝_____________ .
合作探究（对学，群学）：
例1、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，求球的表面积与体积。
变式1、将两个半径为1的铁球熔化为一个球，求这个球的半径。
例2、已知球O1、O2、O3的体积之比为1:8:27，求它们的半径之比为
变式2、（1）一个球的外切正方体的全面积等于6cm2， 则此球的体积为
（2）正方体的棱长为1，则其外接球的体积为
例3、已知一四面体A-BCD的所有棱长都为，求这个四面体的外接球的体积和表面积。
变式3：已知，，，是球表面上的点，平面，， ， ，则球的表面积等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
评价提升：
1、利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2、解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
达标拓展：
1、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则
（1）球的体积等于圆柱体积的 。
（2）球的表面积与圆柱的侧面积的比 。
2、已知球的两个平行截面的面积分别为，两截面的距离为3，求球的体积与面积。
3、长方体共顶点的三个侧面面积分别为，求它的外接球的表面积。
.
7.4 简单几何体的面积与体积习题课 .
学习目标：
熟悉棱柱、棱锥、台、球的表面积与体积的计算公式；能运用柱、锥、台、球的表面积与体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习重点：
柱、锥、台、球的表面积与体积公式
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1、表面积公式
表面积相关公式 表面积相关公式
棱柱 圆柱
棱锥 圆锥
棱台 圆台
2. 体积公式：
体积公式 体积公式
棱柱 圆柱
棱锥 圆锥
棱台 圆台
柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.
因而体积会有以下的关系：
3. 球的表面积：________ （R：球的半径）. 4. 球的体积：_________.
合作探究（对学，群学）：
例1圆锥的母线长扩大倍，底面半径缩小到，那么它的侧面积变为原来的（ ）
A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍
变式1 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）.
A. B. C. D.
例2 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
变式2、如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm).
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(3)在所给直观图中连接BC′,证明:BC′∥平面EFG.
例3、如图，在多面体中，已知平面是边长为的正方形，,，,且与平面的距离为，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式3、设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
评价提升：求几何体体积的方法：①
② ③ ④
达标扩展：
1、直四棱柱的底面是菱形，两个对角面面积分别为，则直四棱柱的侧面积为______。
2、若圆锥的轴截面是等边三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
3、已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（ ）
A． B． C． 2π D．
第一章立体几何初步章末复习课
知识网络
专题一 三视图与直观图
三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，主视图反映它的长和高，左视图反映它的宽和高．
例1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A. B．3π C. D．6π
变式1一几何体的三视图如图所示，尺寸如图中所示．
(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；
(2)计算该几何体的体积与表面积．
专题二 柱体、锥体、台体的表面积和体积
几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用．
例2 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______________．
变式2 正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少
专题三 空间中的平行问题
1．判断或证明线面平行的常用方法：
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b?α，a∥b a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α a∥β)．
2．证明面面平行的方法：
(1)利用面面平行的定义；
(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
例3 如图，E、F、G、H分别是正方体
ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，
求证：(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
变式3 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
专题四 空间中的垂直关系
空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b)．
(2)判定线面垂直的方法：
①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α α⊥β)．
例4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
变式4 如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB以AB为轴运动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
专题五 空间角的问题
1．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
2．二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．
例5 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
(1)求证：BD⊥平面AED；
(2)求二面角F－BD－C的余弦值．
变式5 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
§1.1简单旋转体
自主学习
1 （1）球面；球体；球；球心；球的半径；球的直径。（3）大圆；小圆；
2（1）圆柱；圆柱的轴；圆柱的高；圆柱的底面；圆柱的侧面；圆柱侧面的母线.
3（1）圆锥;圆锥的轴;圆锥的高;圆锥的底面;圆锥的侧面;圆锥的母线。
4（1）圆台；圆台的轴；圆台的高；圆台的底面；圆台的侧面；圆台的母线
合作探究
例1 C 变式1 ： 无数 无数 圆面
例2解析：以线段AB所在的直线为旋转轴，将正方形ABCD绕旋转轴所在的直线旋转一周，得到的几何体是以BC为底面半径，以AB为高的圆柱体，如图①；以AC所在的直线为旋转轴，将正方形ABCD绕轴所在的直线旋转一周得到的几何体是两个圆锥，这两个圆锥共底面，如图②.
图① 图②
变式2：D
例3解 如图，ABCD为直角梯形，AD＝15，BC＝25，AB⊥BC，∠DCB＝60°.过D作DE⊥BC交BC于E，
则CE＝CB－BE＝CB－AD＝10，在Rt△DEC中，
CD＝＝＝20，故圆台的母线长20.
变式3：解析：由题可知，圆台上、下两圆的半径分别为1和2，又S轴截面＝＝9，得h＝3.
达标拓展
1 D 2 B 3 63(cm2)
§1.2简单多面体
自主学习
1：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。
3：（1）斜棱柱；直棱柱（2）三棱柱、四棱柱、五棱柱……
4：:有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
6：根据棱锥底面多边形的边数可分为:三棱锥;四棱锥;五棱锥……
7.棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台
9根据棱台底面多边形的边数可分为.三棱台，四棱台，五棱台，……
合作探究
例1：C
变式1：(4)
例2：（1）是;四棱柱；（2）不是；
变式2：（1）3对（2）五棱柱；三棱柱
例3：不是
变式3：D
达标拓展
1D，2D，3D
§1.2直观图
自主学习
1：（1）直角坐标系 ( http: / / baike. / view / 1539320.htm" \t "_blank )（2）坐标系 ( http: / / baike. / view / 84791.htm" \t "_blank )（3）线段 ( http: / / baike. / view / 476943.htm" \t "_blank )；长度 ( http: / / baike. / view / 87781.htm" \t "_blank ),（5）辅助线 ( http: / / baike. / view / 568820.htm" \t "_blank )
2：（2）底面 ( http: / / baike. / view / 7744609.htm" \t "_blank )（3）侧棱 ( http: / / baike. / view / 1190102.htm" \t "_blank )，横截面 ( http: / / baike. / view / 1656671.htm" \t "_blank )（4）辅助线；虚线
合作探究
例1①画轴。如图1.2-12，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=450,∠xOz=900.
②画底面。以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
③画侧棱。过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm长的线段AA’,BB’,CC’,DD’.
④成图。顺次连接A’,B’,C’,D’，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。
变式1：①②
例2：C
变式2：解 画法：（1）如图(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O。在图(2)中，画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x′O′y′=450。
图(1)
图(2)
（2）如图(3)，以O'为中点，在x'轴上取A'D'=AD，在y'轴上取M’N’=MN。以点N’为中点，画B’C’平行于x'轴，且等于BC；再以M’为中点，画E’F’平行于x'轴，并且等于EF。
图(3)
（3）连接A’B’，C’D’,D’E’,F’A’,并擦去辅助线，便得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’E’F’，如图(4)。
图(4)
例3：√6/4
变式3：C
达标拓展
1: D 2:
3解 (1)由题意，得OE＝h＝＝2，
∴在直观图A′B′C′D′中，A′B′＝6，C′D′＝2，h′＝O′E′sin45°＝
∴直观图A′B′C′D′的面积S′＝(2＋6)×＝2.
(2)设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形，且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.
过C′作C′D⊥O′A′于D，则C′D＝h.
由题意知C′D(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S
∴原直角梯形的面积S′＝·2h(CB＋OA)＝2S.
§1.3简单几何体的三视图
自主学习
1．主视图 左视图 俯视图
2．俯视图 左视图
3．正前方 正上方 左侧
4．(1)主视图 左视图 俯视图
(2)长对正，高平齐，宽相等
（3）实线，虚线
5．球和长方体
合作探究
例1:(1)
变式1: C
例2解 图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．
变式2：D
例3：解 该图形的三视图如图所示．
变式3：解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．
达标拓展
1：（5）
2：三个圆柱的组合体
3：7
§3.1-2空间直角坐标系
自主学习
1：可以
3：x轴上的点P的坐标的特点：纵坐标和竖坐标都为零．
y轴上的点的坐标的特点： 横坐标和竖坐标都为零．
z轴上的点的坐标的特点： 横坐标和纵坐标都为零．
xＯy坐标平面内的点的特点：竖坐标为零．
xＯz坐标平面内的点的特点：纵坐标为零．
yＯz坐标平面内的点的特点：横坐标为零．
4.
合作探究：
例1：的坐标分别是（0,0,2）(0,4,0)(3,0，2)（3,4,2）
变式1：分别以AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。EF
G
例2
变式2
例3解：由线面垂直的性质可知AB，AC，AP三条直线两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(8,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，因为M，S分别为PB，BC的中点，由中点坐标公式可得，M(4,0,2)，S(4,2,0)．因为N在x轴上，|AN|＝2，
所以N(2,0,0)．
变式3
解：
过A作AM⊥xoy交平面于M，并延长到C，使AM=CM，则A与C关于坐标平面xoy对称且C（1，2，1）。
过A作 AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN=NB，则A与B关于x轴对称且B（1，2，-1）。
∴A（1，-2，1）关于坐标平面xoy对称的点C（1，2，1）；
A（1，2，-1）关于x轴对称点B（1，-2，1）。
达标拓展
1解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，
可以按如下步骤进行：
（1）在x轴上取横坐标为4的点M1；
（2）将M1在xoy平面内沿与y轴平行的方向向右移动2个单位，得到点M2；
（3）将M2沿与z轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M。
法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点
O处的三条棱分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴、z轴的正半轴上，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M。
法三：在x轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x垂直的平面，y轴上找到纵坐标为2
的点，过此点作与y垂直的平面；在z轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z垂直的平面；则平面，，交于一点，此交点即为所求的点M的位置。
2：A(1,-1,0)B(1,1,0)C(-1,1,0)D(-1,-1,0)
3
（-6,2,4）;(-6,2,-4)
§3.3空间两点间的距离公式
自主学习（独学、质疑）
1.∣AB∣=
2.∣OA∣＝
3.球面
合作探究：
例1：证明：根据空间两点间距离公式，得
，
.
因为7+7＞，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形.
变式1：C
例2：由题意设P(0，y，z)，则
解得：
故点P的坐标为(0，1，1)
变式2：以D为原点，建立空间直角坐标系．
因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′中点O′，所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点距离公式，可得|MN|＝＝a.
例3 B
变式3：解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图:，以射线AC为y轴正方向,射线AP为z轴正方向,A为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,过点B作BE⊥Ox,垂足为E,∵B(m,m,0),∴E(m,0,0).在Rt△AEB中,∠AEB=90°,|AE|=m,|EB|=m,
∴tan∠BAE==.∴∠BAE=30°,
即直线AB与x轴所成的较小的角为30°.
达标拓展（检测、拓展）
1.设M(x,y,z)是线段AB的中点,则根据中点坐标公式得
x==2,y==,z==3.所以AB的中点坐标为(2,,3).
根据两点间距离公式,得
d(A,B)=,
所以AB的长度为.
2解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以
|AB|==3,
|BC|=,
|CA|==3.
又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.
3.设P(0，y，z)，由题意
所以
即，所以，
所以P的坐标是(0，1，–2).
4.1 空间图形基本关系的认识及空间图形公理
自主学习
1．不同在任何一个平面内
2．两点 3、不在同一条直线上
4、不重合
5、直线外一点 相交 平行
合作探究
例1 A 变式1 略 例2 略
变式2 D 对于A，图中没有画出平面与平面的交线，另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画，因此A的画法不正确．
同样的道理，也可知B、C图形的画法不正确．D的图形画法正确．∴应选D．
例3 解 ∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内，又BC在平面α内，∴C点一定在平面α内，因点A、点C都在平面α内，由公理1知，直线AC在平面α内．小结 要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可．
变式3 证明 如图．∵a∥b，由推论3可知直线a与b确定一个平面，设为α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b.
则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，
∴由公理1可知l?α.∵b∥c，由推论3可知直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知l?β.∵平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，
∴由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面．∴平面α与平面β重合，∴直线a、b、c和l共面．
达标拓展
1、8 4
本小题情况比较复杂，须分类予以处理
情况1：当平面、平面、平面互相平行，将空间分成四个部分，其图形如右图．
情况2：当平面与平面平行，平面与它们相交（即，与其相交），将空间分成六部分，其图形如下图．
画法是：
情况3：当平面、平面、平面都相交，且三条交线重合（即且）
将空间分成六部分，其图形如下图．
说明：本种情况给出两种图形，一种是将交线画成水平状态，一种是将交线画成竖直状态．
情况4：平面、平面、平面都相交且三条交线共点，但互不重合．（即，且与、都相交，三条交线共点）．将空间分成八部分，其图形如下图．
画法是：
情况5：平面、平面、平面两两相交且三条交线平行（即，与、都相交且三条交线平行）．将空间分成七部分，其图形如下图．
说明：1．本小题，在解答过程中，采用了简单到复杂递进的处理方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第三个平面以不同情况介入，然后分类解决．
2．通过此题的解答，要学会处理问题的思维方法，注意逻辑思维能力的培养与提高．
2、略
3、AB与CD、 AD与BC、 AC与BD
4.2空间图形基本关系的认识及空间图形公理
自主学习
1、同一条直线
2、相等或互补
3、不共面
4、过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1 l2 这两条相交直线所成的锐角或直角就是异面直线a,b所成的角；（0°，90°]；垂直，a⊥b
合作探究
例1、已知 如图所示，
l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
求证 直线l1、l2、l3在同一平面内．
证明 方法一 (同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．
又∵l2 α，∴B∈α．
同理可证C∈α．
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α．
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
方法二 (重合法)
∵l1∩l2＝A，
∴l1、l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β．
∵A∈l2，l2α，∴A∈α．
∵A∈l2，l2β，∴A∈β．
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
变式1、分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条直线交于一点，另一种是任何三条直线都不共点，故分两种情况证明.
(1)当四条直线中有三条相交于一点时，
不妨设a，b，c，相交于一点A.
∴直线d和A确定一个平面α.(如图所示)
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α，
∵A，E∈α，AE α，
∴a α.同理可证，b α，c α，
∴a，b，c，d在同一平面α内．
(2)当四条直线中任何三条都不共点时，如图
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α.
设直线c与a，b分别交于点H，K.则H，K∈α.
又∵H，K∈c，∴c α.同理可证d α.
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
点评 证明多线共面的一种方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内．另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合．
例2、证明：方法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α．
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC．
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
方法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR．
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR．
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR．
∵Q∈BC，∴Q∈面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P、Q、R三点共线．
点评 证明多点共线的方法：一是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．二是P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．
变式2证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，
∴GE∥AC．
又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
∴FH∥AC且HF＝AC，
从而FH∥GE．故E，F，H，G四点共面．
又∵GE≠FH且GH∥FH．
∴四边形EFHG是一个梯形，则GH和EF延长后交于一点设为O．
又O∈GG，GH?平面ABD，
则O∈平面ABD，同理O∈平面BCD．
∴O∈平面ABD∩平面BCD＝BD．
则O在直线BD上．
所以EF、GH、BD交于一点．
点评 证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论．
例3、证明 因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH＝BD.同理FG∥BD，且FG＝BD.根据公理4，EH∥FG，且EH＝FG，
所以四边形EFGH为平行四边形．
小结 数学语言是数学表述和数学思维不可缺少的重要工具，学会文字语言、符号语言和图形语言之间的互译和表达，这在空间关系的证明与判断中显得十分重要．
变式3（1）略 （2）2
例4 略
变式4 解 (1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
达标拓展：1、D 2、D 3、D
5.1直线与平面平行的判定
自主学习
1、相交 交点 没有 平行
2、三种，直线在平面内，与平面相交，与平面平行
3、平面外一条直线
a∥α.
将线面平行转化为线线平行，空间问题转化为平面问题
4、× × ×
合作探究
例1：过a上任一点P作直线b＇，使b＇∥b，a与b＇两相交直线确定的平面
变式1：过A作a、b的平行线a＇、ｂ＇，则a＇、ｂ＇确定的平面
例2、平行 变式2、由EF∥AC∥HG得：AC∥面EFGH、EF∥面ACD、HG∥面ABC
由EH∥BD∥FG得：EH∥面BCD、FG∥面ABD、BD∥面EFGH
例3、
证法一：如图（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.
又∵AP=DQ,∴PE=QB.
又∵PM∥AB∥QN,
∴,.∴.
∴PM∥QN.即四边形PMNQ为平行四边形.
∴PQ∥MN.
又∵MN面BCE，PQ面BCE，∴PQ∥面BCE.
证法二：如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.
∵AD∥BC,∴.
又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，
∴.则PQ∥EK.
∴EK面BCE，PQ面BCE.∴PQ∥面BCE.
变式3 证明 连接AF延长交BC于G，
连接PG.在 ABCD中，
易证△BFG∽△DFA.
∴＝＝，
∴EF∥PG.
而EF平面PBC，PG平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
达标拓展
1、A 2、略
3、提示：连接CM、CN分别交AB、AD于E、F，连接EF，易证MN∥EF∥BD。
5.2平面与平面平行的判定
自主学习
1、相交 平行
2、平行 3、不一定
4、不一定 5、两条相交直线
aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β. 将面面平行转化为线面平行解决，再转化到线线平行
6、平行
合作探究
例1 解析 如图借助长方体模型来看上述问题是否正确．问题①不正确，相交时也符合；问题②不正确，如右图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；问题③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；问题④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点．所以选B.
变式1 D
例2、证明：∵A1B1∥CD且A1B1=CD,
∴四边形A1B1CD是平行四边形,
故A1D∥B1C.
又B1C平面CB1D1且A1D平面CB1D1,
∴A1D∥平面CB1D1.
同理可得A1B∥平面CB1D1,又A1D∩A1B=A1,且A1D和A1B都在平面A1BD内,所以平面A1BD∥平面CB1D1.
变式2、提示：证PR∥A1D∥B1C，以及PQ∥A1B∥D1C
例3、略
变式3、(1)取AB、BC的中点M、N，
则
∴A′C′∥MN?A′C′∥平面ABC。
同理A′B′∥面ABC，
∴△A′B′C′∥面ABC.
(2)A′C′=MN=·AC=AC
，
同理
∴
达标拓展：1、B 2、C 3、略
5.3平行的性质
自主学习
1、平行
2、任意直线 交线
3、平行或异面
合作探究
例1、证明：如图所示，过及平面内一点作平面．
设，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
说明：根据判定定理，只要在内找一条直线，根据条件，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．
和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．
变式1、(1)如图，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F. 连接BE，CF.则EF、BE、CF就是应画的线．
(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.
例2、证明 连接CD.
因为A，B，C，D在同一平面内，AB∥平面α，所以AB∥CD.又因为AC∥BD，所以四边形ABDC是平行四边形，因此AC＝BD.
小结 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
变式2、（提示：写出已知，求证，其中两平行线可确定一个平面）
例3、略
变式3：已知：，，，求证：．
分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明与平行．
证明：方法一：在平面内取点，使，过和直线作平面交于．
∵，，，
∴．
同理过作平面交于．
∵，，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴．
方法二：如图，在直线上取点，
过点和直线作平面和相交于直线，和相交于直线．
∵，∴，
∵，∴，
但过一点只能作一条直线与另一直线平行．
∴直线和重合．
又∵，，
∴直线、都重合于直线，
∴．
说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要。
达标扩展：1、D 2、⑤⑥
3、证明 连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.因为α∥β，β∥γ.所以BG∥AD，GE∥CF.
于是，得＝，＝，所以＝.
小结 由本例题可以得出一个重要结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
6.1直线与平面垂直判定定理
自主学习
1、任何一条直线
2、两条相交直线
合作探究
例1证明：在平面α内作两条相交直线m，n.因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为a∥b∴,b⊥m， b⊥n ，m，n，m，n是两条相交直线，所以b⊥.
小结 如果两条平行直线有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
变式1 解 如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不共线，因此A，O，B三点确定平面α.因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2，所以PO⊥OA，PO⊥OB，又OA∩OB＝O，
所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直．
例2 证明：连结AE.、DE 已知AB=AC，DB=DC，那么： 在等腰三角形ABC中有：AE⊥BC 在等腰三角形BCD中有：DE⊥BC
所以由线面垂直的判定定理可得： BC⊥平面ADE
变式2 证明：取中点，连、，
∵，∴．
又∵，∴，∴，
又，
∴ 又，
∴，，又，∴．
例3 证明：连接AO，BO，设AO ,BO延长线（或是其本身）分别交BC，AC于点D，E，连接PD，PE
∵PO⊥面ABC
∴PO⊥BC，PO⊥AC
又∵PA⊥BC，PB⊥AC
∴BC⊥面PAD（O在面PAD上），AC⊥面PBE（O也在面PBE上）
∴BC⊥AD，AC⊥BE
∴O为△ABC两条高线 ( http: / / zhidao. / search word=高线&fr=qb_search_exp&ie=utf8 )的交点，由定义知，O是△ABC的垂心 ( http: / / zhidao. / search word=垂心&fr=qb_search_exp&ie=utf8 )
变式3 解：（1）在四棱锥中，因底面，平面，故．
又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（2）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．又面，．
由，，可得．是的中点，，
．综上得平面．
（3）略
评价提升：
①且只有一 也垂直于
②当直线与平面相交且不垂直于该平面时，称这条直线为该平面的一条斜线。平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。
③中线
达标扩展：
1、③⑤⑥ 2、B
3、证明： 取AC的中点D，连接VD，BD ∵VA=VC，AD=CD ∴VD⊥AC【三线合一】 ∵AB=BC，AD=CD ∴BD⊥AC ∵VD∩BD=D VD 平面VDB BD 平面VDB ∴AC⊥平面VDB ∵VB 平面VDB ∴VB⊥AC
6.2平面与平面垂直判定定理 自主学习
1、两个半平面
2、（1）角AOB （2）无关
（3）[0°，180°] （4）直二面角
3、直二面角 4、一条垂线
合作探究
例1
变式1本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EO⊥⊥BD，A1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。所求二面角为90°。
例2 分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．
证明：因为是⊙的直径，是圆周上的点，所以有①．
因为平面，平面，则②．
由①②及，得平面．
因为平面，有平面平面．
小结 证明面面垂直需根据面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．此外还可用定义法，即两平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直．
变式2：证明：因为AC＝BC，所以△ABC是等腰三角形．又D是AB的中点，所以CD⊥AB.又VC⊥底面ABC，AB?底面ABC，所以VC⊥AB因为CD∩VC＝C，CD?平面VCD，VC?平面VCD，所以AB⊥平面VCD.又AB?平面VAB，所以平面VAB⊥平面VCD.
例3证明 (1)如上图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC.因为平面ABD和ACD都过AD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
(2)如上图(1)中，在直角△BAC中，因为AB＝AC＝a，所以BC＝a，所以BD＝DC＝a，如上图(2)△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝a，
所以AB＝AC＝BC，因此∠BAC＝60°.
小结 对于由平面图形折叠而成的几何体，要注意利用平面图形折叠前后有些线段的长度及角的大小不变的性质．
变式3 证明 取BD中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
在△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a，
∴AE＝a，同理，CE＝a.
在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，
∴AC2＝AE2＋EC2，即AE⊥EC.又∵BD∩EC＝E，
∴AE⊥平面BCD.又∵AE?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.
达标拓展：:1、B 2、4 3、略
6.3垂直关系的性质
自主学习
1、平行
2、它们交线的直线
合作探究
例1、变式1 略
例2 略 变式2 B
例3 .（1）过A点作AE⊥PB，垂足为E，∵面PAB⊥面ABCD ，CB面ABCD ，
∴CB⊥面PAB 因为AE面PAB ，
∴CB⊥AE ∵PB⊥AE CB∩PB=B
∴AE⊥面PBC ∵AE面PAB
∴面PAB⊥面PBC
（2）过P作AB的垂线 垂足为F 连结CF 所以PF垂直面ABCD 所以∠PCF即为侧棱PC与底面ABCD所成的角 因为PF= CF= 所以∠PCF=45°
变式3 证明 (1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.
达标拓展：1、（1）√ （2）√
（3）√ （4）× （5）√ （6）× 2、D
3、 在γ面内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ.
7.1简单几何体的侧面积
自主学习
1、矩形 扇形 扇环 2πrl πrl
π(r1＋r2)l
2、底面周长和高的乘积
3、底面周长和斜高乘积的一半
4、S正棱台侧＝(c＋c′)h′
合作探究：
例1解 S＝S侧面积＋2S底面积＝πdh＋2π()2＝π×1×2.3＋2π×≈8.8(m2)．
答：锅炉的表面积约为8.8 m2.
小结 圆柱、圆锥、圆台的表面积就是它们的侧面积与底面面积的和．
变式1 A
例2 圆台的侧面积为600πcm2.
变式2 1000毫升
例3 解 如右图，O1、O分别是上、下底面中心，则O1O＝，连接A1O1并延长交B1C1于D1，连接AO并延长交BC于D，过D1作D1E⊥AD于E，在Rt△D1ED中．D1E＝O1O＝，DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝，DD1＝，
所以S正三棱台侧＝(c＋c′)·DD1＝(cm2)．
答 三棱台的侧面积为 cm2.
变式3 a2.
达标扩展：1、（1）S/4. （2）S/4.
（3）
2、A 3、
7.2简单几何体的体积
自主学习
1、Sh
2、 Sh
3、(S′＋＋S)h
4、
合作探究
例1 解：以3cm为轴，形成圆锥，V=sh/3=48π/3，以4cm为轴，形成圆锥，V=sh/3=36π/3=12π ，以5cm为轴，形成两个圆锥底面重合，r=3*4/5=2.4，V=sh/3=π(2.42)=9.6π
变式1 解 如右图为正三棱柱ABC－A1B1C1，则有AB1＝2，∠B1AB＝45°，∴AB＝BB1＝，∴S△ABC＝×××＝.
∴V三棱柱＝×＝.即此三棱柱的体积为.
例2 解 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差因为V正六棱柱＝6××12×(12×sin 60°)×10＝3×122××10≈3.74×103(mm3)．V圆柱≈3.14×(10÷2)2×10＝0.785×103(mm3)．
所以一个螺帽的体积V＝3.74×103－0.785×103
≈2.96×103(mm3)＝2.96(cm3)．
因此约有5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102＝250(个)
答 这堆螺帽约有250个．
变式2 解 V＝(42＋82＋)×3
＝112(cm3)．
答 正四棱台的体积为112 cm3.
例3 8
变式3 （1） （2）
评价提升 等体积法
达标扩展 1、10 2、C 3、A
7.3球的表面积与体积
自主学习
4πR2 πR3
合作探究
例1 R=，，
变式1 例2 1:2:3
变式2 （1）cm3 （2）
例3 方法1 构造法
构造一个各棱长为1的正方体,连接各面的对角线可作出一个正四面体 ( http: / / wenwen. / z / Search.e sp=S正四面体&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjlink ),此四面体各棱为,而此四面体的外接球即为正方体的外接球.此球的直径为正方体的体对角线 ( http: / / wenwen. / z / Search.e sp=S体对角线&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjlink ),即
所以球表面积为3π
方法2 提示：利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
方法3 因球心O到各面额距离相等，则O分四面体为四个等体积三棱锥，则球心O为四面体高的四等分点。求得球半径，表面积可求出。
变式3 A 解析：本题考查了简单几何体的运算与求解，以及球的性质与表面积，考查空间想象能力与运算能力。
如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，计算可得AC=，SC=2，SB=，取SC的中点O，那么OS=OA=OB=OC=1，即O为球心，则球的半径为r=1，对应的表面积为S=4πr2=4π；
达标扩展
1、（1） （2）1
2、略
3、9π
7.4 简单几何体的面积与体积习题课
自主学习
1、（r：底面半径，h：高） （r：底面半径，l：母线长） （r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）
2、
3、
4、
合作探究
例1 A 变式1、A
例2 解 在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a；圆锥的母线长2a，底面半径a.
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积
S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3.
V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3.
∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.
小结 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
变式2、（1）解 如图(1)所示.
图（1）
(2)解 所求多面体体积
V=V长方体-V正三棱锥
=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm3).
(3)证明 如图(2),在长方体ABCD—A′B′C′D′中,
连接AD′,则AD′∥BC′.
因为E,G分别为AA′,A′D′的中点,
所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.
又BC′平面EFG, 图（2）
所以BC′∥面EFG.
例3、D 变式3、A
评价提升：公式法 、等积法、补体法、分割法
达标扩展： 1、 2、B
3、C 由题意，此时的球与正四面体相切，
由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3
又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为=3，故底面中心到底面顶点的距离都是2
由此知顶点到底面的距离是=2
此正四面体的体积是×2×3=2
又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==
球O的表面积等于4×π×=2π
第一章立体几何初步章末复习课
例1、解析 B 将三视图还原为实物图求体积．
由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V＝×π×12×4＝3π.
变式1、解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．(2)由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm，高为20 cm的圆柱，上部为底面直径为8 cm，母线长为5 cm的圆锥．易求得圆锥高h＝＝3(cm)，
∴体积V＝π·42·20＋π·42·3＝336π(cm3)，
表面积S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm2)∴该几何体的体积为336π cm3，表面积为196π cm2.
例2、解析 利用三棱锥的体积公式直接求解．
VD1－EDF＝V F－DD1E＝S △D1DE·AB＝××1×1×1＝.
变式2
解析： (1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝＝＝
(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2.
则MN＝
＝＝
∵＜
∴＝.
例3 证明 (1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证OG平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，∴OG平行且等于BE，四边形BEGO为平行四边形．∴OB∥GE.
∵OB?平面BDD1B1，
GE平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1平面BDF，BD平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，
易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.
∵HD1平面BDF，BF平面BDF，∴HD1∥平面BDF.
∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.
变式3 证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，
∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC的中点，EC＝2BD，∴NC平行且等于BD，
∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，
又∵DN平面ABC，BC平面ABC，
∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC.
例4 证明 (1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
变式4 解 (1)取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，
CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.
例5 证明（1）因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠C
第一章《立体几何初步》
§1.1简单旋转体 .
学习目标：
1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；
2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3. 理解旋转体的有关概念；
4. 会用语言概述圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
学习重点：
圆柱、圆锥、圆台的结构特征
自主学习（独学、质疑）
1 球
（1）定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转所形成的曲面称为 。球面所围成的几何体称为 ，简称 。半圆的圆心称为 。连接
球心和球面上任意一点的线段称为 连接球面上两点且过球心的线段称为
②表示:球用表示球心的字母表示。
③截面:用一个平面去截一个球，截面是圆面。
球面被经过球心的平面截得的圆称为
被不经过球心的平面截得的圆称为
设球的半径为R，截面圆半径为r，球心与截面圆
圆心的距离为d，则R、r、d的关系：
2圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体称为 。在圆柱的形成中，旋转轴称为 ，在轴上这条边的长度称为 。垂直于轴的边旋转而成的圆面称为 ，平行于轴的边旋转而成的曲面称为 ，平行于轴的边在旋转中的任何位置称为
②表示：圆柱用表示圆柱的轴的字母表示，
右图中圆柱表示为圆柱OO'。
③结构特征
A.底面是平行且半径相等的圆面；
B.侧面展开图是矩形；
C.母线平行且相等；
D.平行于底面的截面是与底面平行且半径相等的圆面；
E.轴截面是全等的矩形。
3圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所形成的曲面围成的几何体称为 .旋转轴称为 ,在轴上这条边的长度称为 。垂直于轴的边旋转而成的曲面称为 。不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为 。无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都称为 。
②表示：圆锥用表示它的轴的字母表示，右图中圆锥表示为圆锥SO。
③结构特征
A底面是圆面
B.侧面展开图是以母线长为半径的扇形
C.母线相交于顶点
D.平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面
E..轴截面是全等的等腰三角形．
4圆台
①定义：以直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体称为 .旋转轴叫做 ,在轴上这条边的长度称为 。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做 。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做 。无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做 。当然，圆台也可看作用一平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②表示：圆台用表示它的轴的字母表示，右图中圆台表示为圆台OO'。
③结构特征
A.底面是平行且半径不相等的圆面；
B.侧面展开图是扇环；
C.母线延长后交于一点
D.平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面
E.轴截面是全等的等腰梯形。
合作探究（对学、群学）
例1：例1 下列说法正确的是( )
①球是以任意一条直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的几何体；②用任一平面去截球，截面是一个圆；③过球的球心做球的截面，所得截面的半径与球的半径相等．
A．① B．② C．③ D．②③
变式1：球的半径有________条，直径有________条，用任意平面截球，截面为________．
例2.已知ABCD为正方形，分别以AB，AC所在的直线为旋转轴，将正方形绕旋转轴所在的直线旋转一周，判断所形成的几何体的形状．
变式2：在直角三角形中，以其斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是( )
A．圆锥 B．圆柱 :
B． C．圆台 D．以上都不对
例3. 一个直角梯形的上、下底边的长分别为15和25，一腰与下底成60°角，以它的一条直角腰为轴旋转一周得到一圆台，求圆台的母线长．
变式3：已知一个圆台上、下两底面面积分别为π和4π，其轴截面的面积为9，则该圆台的高为________．
.
评价提升（评价、完善）：
处理旋转体的有关问题，一般要作出轴截面，在轴截面中寻找各元素的关系．
达标拓展（检测、拓展）
1．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球
2．下列说法正确的是( )
A．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
B．圆柱的任意两条母线所在直线互相平行
C．用一平面截圆锥，截面与底面之间的部分为圆台
D．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
3．圆台的两底面半径分别为2cm和5cm，母线长为3cm，则它的轴截面面积为 。
§1.2简单多面体
学习目标：
1、会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
2、会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
3、培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
学习重点：
棱柱、棱锥、棱台结构特征
自主学习（独学、质疑）
1、 棱柱的概念： 。
2、在图中，指出棱柱的有关概念：顶点、棱、底面、侧面、对角面。
3、棱柱的分类：
（1）按侧棱与底面垂直与否，分为：
（2）按底面多边形的边数，分为：
4、棱锥的概念： 。
5、在图中，指出棱柱的有关概念：顶点、棱、底面、侧面。
6、棱锥的分类：
7、棱台的概念：
8、在图中，指出棱台的有关概念：顶点、棱、底面、侧面等。
9、棱台的分类：
合作探究（对学、群学）
例1棱台不具有的性质是（ ）.
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
变式1、下列关于简单几何体的说法中：
(1)斜棱柱的侧面中不可能有矩形；
(2)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；
(3)侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
(4)圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截得截面与底面之间的部分。
其中正确的是__________
例2、如图所示， ABCD-A1B1C1D1是长方体，
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由.
（2）ABCD-A1EFD1是棱台吗？如果是，是几棱台？如果不是，说明理由.
变式2. 根据右边模型，回答下列问题：
(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？
(2) 如右图，长方体中被截去一部分，其中。问剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么
例3列几何体是不是棱台,为什么
（1） （2）
变式3：有两个面互相平行，其他面都是四边形，则这个几何体是 （ ）
A、棱柱 B、棱台 C、棱柱或棱台 D、以上答案都不对
评价提升（评价、完善）：
1、正棱锥是一种特殊棱锥．正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：①底面为正多边形；②顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上．
2、正棱锥的性质很多，但要特别注意：
平行于底面截面的性质 ：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么 ①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段． ②所得的截面和底面是对应边互相平行的相似三角形。 ③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比．
达标拓展（检测、拓展）
1、下列命题中正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
2、若棱锥的所有棱长均相等，则它一定不是 （ ）
A、三棱锥 B、四棱锥
C、五棱锥 D、六棱锥
3、如图几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（ ）
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体.
B.该组合体有12条棱，6个顶点.
C.该组合体有8个面，各面均为三角形.
D.该组合体有9个面，其中一个面为四边形，其余8个面为三角形.
§1.2直观图
学习目标：
1通过作图感受图形直观感，体会用斜二测画法画空间几何体的过程。
掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
2会利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。感受几何作图在生产活动中的应用,提高空间想象力与直观感受。
学习重点：
用斜二测画法画空间几何体的直观图；难点是斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。.
自主学习（独学、质疑）
1.斜二测画法的步骤：:
(1) 建立平面 : 在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O。
(2) 画出斜 : 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴, 两轴相交于点O'，且使∠x'O'y' =45度(或135度)，它们确定的平面表示水平平面。
(3) 画对应图形: 在已知图形平行于x轴的线段, 在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变。在已知图形平行于y轴的 , 在直观图中画成平行于y'轴, 且 为原来一半.
(4)对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引坐标轴垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段.
(5) 擦去 : 图画好后,要擦去x'轴,y'轴及为画图添加的辅助线.
2.画几何体的直观图的步骤是
（1）.画轴.画x.y.z三轴交原点，使xOy=45°、xOz=90°.
（2）.画 .在相应轴上取底面的边，并交于底面各顶点.
（3）.画 或 侧边.使其平行于z轴.
（4）.成图.连接相应端点，去掉 ，将被遮挡部分改为 等.
合作探究（对学、群学）
例1.用斜二测画法画出长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图
变式1：利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是___________.
例2：关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（ ）
A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
变式2： 画水平放置的正六边形的直观图。
例3水平放置的等边三角形边长2，在用斜二测画法作图时，所对应的图形面积是 。
变式3：已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A.16 B.64 C.16或64 D.都不对
评价提升（评价、完善）：
斜二测画法口诀：
平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。
达标拓展（检测、拓展）
1. 用斜二测画法画出一几何体的直观图为直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，如图所示，其中∠BAD＝45°，AB＝AA1＝2，AD＝1，ABCD为平行四边形，则原几何体为( )
A．直四棱柱，其中ABCD为平行四边形，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝45°
B．直四棱柱，其中ABCD为平行四边形，AB＝AD＝2，∠BAD＝45°
C．直四棱柱，其中AA1＝2，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝90°
D．直四棱柱，其中AA1＝2，AB＝AD＝2，∠BAD＝90°
2.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A. B.
C. D.
3 (1)已知等腰梯形ABCD的上底CD＝2，腰AD＝BC＝2，下底AB＝6，以下底所在的直线为x轴建立如图（1）所示的坐标系，其中O为AB的中点，求由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积；
(2)如图（2）是一梯形OABC的直观图，其直观图的面积为S，求梯形OABC的面积．
图（1） 图（2）
§1.3简单几何体的三视图
学习目标：
通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；掌握画三视图的基本技能.
学习重点：
画出简单组合体的三视图；
自主学习（独学、质疑）
1．空间几何体的三视图是指__________、__________、__________．
2．三视图的排列规则是__________放在主视图的下方，长度与主视图一样，__________放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．
3．三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从________、__________、________观察同一个几何体，画出空间几何体的图形．
4.三视图的画法要求：
（1）先画 ， 在正视图的右边， 在正视图的下面。
（2）一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样。即“ ， ， 。”
（3）画几何体的的三视图时，能看见的轮廓线和棱用 表示，不能看见的轮廓线和棱用 表示。
5.下图是由哪些简单几何体组合而成？
合作探究（对学、群学）
例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1A，C1C的中点，则下列判断正确的有
（1）四边形BFD1E在底面ABCD内的投影是正方形；
（2）四边形BFD1E在面A1D1DA内的投影是菱形；
（3）四边形BFD1E在面A1D1DA内的投影与在面ABB1A1内的投影是全等的平行
变式1如果一个空间几何体的正视图和侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（ ）
A.棱锥 B.棱柱 C.圆锥 D.圆柱
例2. 在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．
变式2：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
例3. 如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．
变式3.如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．
评价提升（评价、完善）：
在绘制三视图时，要注意以下三点：
1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．
2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．
3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．
达标拓展（检测、拓展）
1.一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是
（1）线段 （2）直线 （3）圆 （4）梯形 （5）长方体
2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体是 。
3. 用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的
个数最多为________个．
§4简单图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识及空间图形公理 .
学习目标：
1、掌握文字、符号、图形语言之间的转化
2、理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点线共面问题．
3、学会运用平面的性质证明点共线、线共点以及线共面问题．
4、加强由实际模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力．
学习重点：
1.点、线、面位置关系的分类及其有关概念；
2.公理1,2,3,
3.异面直线的理解（难点）
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．异面直线：空间中 的两条直线叫作异面直线．
2．公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
3．公理2：经过 的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．
4．公理3：如果两个 的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
5．公理2的推论：
推论1：经过一条直线和这条 ，有且只有一个平面；
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.
合作探究（对学，群学）：
例1.平面的特征及画法
给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有 ( )
A.0 B.2 C.3 D.4
变式1.平面的画法：通常用平行四边形来表示平面，当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长。
（1）水平放置的平面画法：
（2）垂直放置的平面
例2.用符号表示下列点、线、面间的位置关系：
（1）点A在平面内，点B在平面外；
（2）点Q在直线b上，b在平面内；
（3）直线b经过平面内一点A与平面外一
点B；
（4）直线a既在平面内又在平面内；
（5）直线a与平面平行；
（6）平面与平面平行
变式2.下图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ）．
例3 如图中的△ABC，若AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内？
变式3 求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
已知 a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证 直线a、b、c和l共面
评价提升（评价、完善）：
1、点一般用大写字母A、B、C、D表示，点运动成线，线用小写字母a、b、c、d表示，线运动成面，面用希腊字母等表示。因此，线、面都是由点构成的集合，则点与线、面之间的关系用属于或不属于，线与面之间的关系用包含或不包含。
2、结合长方体模型，空间中点、线、面位置关系：
位置关系 图形语言 符号语言
点与线 A在线l上
A不在线l上
点与面 A在面内
A在面外
线与线 l与m平行
l与m相交A
l与m异面
线与面 l在内
l与交于A
l与平行
面与面 、平行
、相交于线l
达标拓展：
1.三个平面把空间分成最多 部分,
最少 部分
2.将例2中语句用图形表示出来
3.在三棱锥A-BCD中，找出互相异面的直线。
4.2简单图形的基本关系与公理 ..
学习目标：
1. 掌握公理4和定理.
2. 会求简单的异面直线所成角的大小。
3. 会应用4个公理和定理解决问题。
学习重点：
4个公理和定理的理解与应用
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．公理4：平行于 的两条直线平行．
2．等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ．
3．空间四边形：顺次连接 的四点A、B、C、D所构成的图形，叫作空间四边形．
4.异面直线所成角的定义：
异面直线所成角的范围：
如果两异面直线所成角是直角，则称这两直线 ，记作：
合作探究（对学，群学）：
例1：证明线共面
两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内．
变式1.若四条直线两两相交且不交于同一点，求证：这四条直线共面。
例2 证明点共线、线共点
如图所示，已知△ABC在平面外，它的三边所在直线分别交平面于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．
求证：P、Q、R三点共线．
变式2、在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3．
求证：EF、GH、BD交于一点．
例3：证明两直线平行
如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
变式3.在三棱锥A-BCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD=6。
（1）求证：MN∥BD； （2）求MN的长。
例4.证明两角相等
已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1.
变式4.如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.
(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？
评价提升（评价、完善）：
1．三个公理的作用：
公理1——判定直线在平面内的依据；
公理2——判定点共面、线共面的依据；
公理3——判定点共线、线共点的依据．
2．注意事项
(1)应用公理2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．
(2)在立体几何中，符号“∈”与“”的用法与读法不要混淆．
(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化．
达标拓展：
1.首尾相连的四条线段所在的直线，它们最多确定的平面数是 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥O1A1，且OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是（ ）
A.OB∥O1B1且方向相同 B. OB∥O1B1
C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行
3.下列结论正确的是（ ）
A.如果两个角相等，那么这两个角的两边互相平
行
B.如果一个角的两边与另一个角的两边分别
平行，那么这两个角相等
C.垂直于同一条直线的两直线互相平行
D.平行于同一条直线的两直线互相平行
5.1直线与平面平行的判定 ..
学习目标：
1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
2.掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理；
3．进一步培养学生的观察、、发现的能力和空间想象能力，逻辑思维能力。
学习重点：
直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．直线a和平面α只有一个公共点A，叫作直线与平面 ，这个公共点叫作直线与平面的 ；直线a与平面α 公共点，叫作直线与平面 ．
2．空间中直线与平面有哪几种位置关系？
3．线面平行的判定定理：若 与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
简单概括：（内外）线线平行线面平行
符号语言: .
判定定理的作用： 。
4.判断对错，若错误，举出反例：
①若 。 （ ）
②若。 （ ）
③若。 （ ）
合作探究（对学，群学）：
例1 作出与已知直线平行的平面
如图，a、b是异面直线，画出平面, 使a,且b，并说明理由。
变式1：a、b是异面直线，空间中有一点A，且A不在直线a、b上，过A画出平面，使得a∥、b∥。
例2：如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若 ，则EF与平面BCD的位
置关系是__________________
变式2：在空间四面体中,E、F、M、N分别为棱AB、AD、DC、BC的中点.如图中，指出图中满足线面平行关系的所有情况。
例3、 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.
变式3 如图所示，P是 ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.
评价提升（评价、完善）：
1.直线与平面平行的判定,需掌握三种语言；
2.线和平面平行的判定定理把线面平行的判定转化为线线平行的判定,将立体几何问题转化为平面几何问题,运用起来就方便多了.
3..证明平行问题总的思想是“转化”.通过“降维”把证明“面面平行”转化为证“线面平行”.
达标拓展：
1、给出下列命题：
若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线与平面内的任一条直线无公共点，则直线与平面平行；
③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行。
其中正确命题的序号是 （ ）
A、B、③④
C、 D、②④
2、如图，长方体中，
与平行的平面是 ；
与平行的平面是 ；
与平行的平面是 。
3、已知四面体中，、分别
是三角形和三角形的重心，
求证：（1）∥面；
（2）∥面。
5.2平面与平面平行的判定 .
.
学习目标：
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理；
2.掌握平面与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理；
学习重点：
直观感知，操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理；平行关系的相互转化
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1. 空间中平面与平面的位置关系有两种____，_____
2.若一个平面内所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面_____
3.如果平面α内有一条直线平行于平面β，那么平面α与平面β_____平行
4.如果平面α内有两条直线平行于平面β，那么平面α与平面β_____平行
5、平面与平面平行的判定定理：
如果一个平面内 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
简单概括：线面平行面面平行
图形语言：
符号语言: .
判定定理的作用： 。
6.面面平行判定定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面
（线线平行线面平行面面平行）
请证明之。
合作探究（对学，群学）：
例1．下列命题中正确的个数是 ( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1已知直线a在平面α外，则 ( )
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α＝A
D．直线a与平面α至多有一个公共点
例2.已知正方体，求证：平面A1BD∥平面CB1D1
变式2：已知正方体,P,Q, R,分别为A1A,AB,AD的中点 。
求证：平面PQR∥平面CB1D1.
例3、已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC.
变式3、P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。
（1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC；
（2）S△A′B′C′∶S△ABC的值。
评价提升：平面与平面平行的判断方法有三种
1. 定义：两平面没有公共点，则两平面平行.
2.面面平行判定定理，关键在于找到两组线面平行
3.面面平行的推论，推论1关键在于找到两组线线平行。
达标拓展：
1、 给出下列结论：
（1） 平行于同一条直线的两条直线平行；
（2） 平行于同一条直线的两个平面平行；
（3） 平行与同一个平面的两条直线平行；
（4） 平行于同一个平面的两个平面平行。
其中正确的个数为 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.
A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 1个或2个
3、已知正方体ABCD-，M、N分别为A1A、CC1的中点 .求证：平面NBD∥平面MB1D1.
..
5.3平行的性质
学习目标：
1.理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理；
2.能准确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述性质定理；
学习重点：
直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理；平行关系的相互转化
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线 ______________ ．
2．面面平行的性质：(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 ___________ 均平行于另一个平面．(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的___________ 平行.
3.如果两个平面平行，两个平面内的直线__________
合作探究（对学，群学）：
例1、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.
已知直线a,b,平面α,如图，且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外. 求证：b∥α.
变式1、如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
(1)要经过面A′C′内一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？
例2、 如图所示，A，B，C，D在同一平面内，AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别交于点C，D，求证：AC＝BD.
变式2、求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
例3：求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.
已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c.
求证：c∥a∥b.
变式3：求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.
评价提升：
①已知“线面平行、面面平行”，一般直接考虑用性质，利用构造法构造辅助平面或找出图中平面的交线．
②要证“线面平行”，一般先假设“线面平行”已经成立，把它作为已知条件，用性质去探索找寻经过已知直线的平面与已知平面相交，从而找到平面内的那条直线．
达标拓展：
1、如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
2、下列命题中正确的是______________
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
3、已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F(如右图)．
求证：＝.
.
. 6.1直线与平面垂直判定定理 ..
学习目标：
1、掌握直线与平面垂直的定义
2、理解直线与平面垂直的判定定理，能准确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述性质定理；
3、会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.
学习重点：
直线与平面垂直的判定定理
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的__________都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
2．线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的 ______________ 垂直，那么这条直线与这个平面垂直．
合作探究（对学，群学）：直线与平面垂直判定定理的应用
例1 如图，已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.
变式1一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直，为什么？
例2 在空间四边形ABCD中，已知AB=AC，BD=DC，E为BC的中点，求证：BC⊥面AED。
变式2 已知空间四边形的边，，引，为垂足，作于，求证：．
例3 三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.
变式3 如图，在四棱锥中，底面，
，，是的中点．
（1）求和平面所成的角的大小；
（2）证明平面；
（3）证明PD⊥面ABE。
评价提升：
①过一点有 条直线与已知平面垂直，若两条平行直线中的一条垂直于某个平面，那么另一条
②直线和平面所成的角是指___________________;
③当出现等腰三角形时，往往作_____来构造垂直。
④利用线面垂直判定定理证明的关键是找到两组线线垂直。
达标拓展：
1、①若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；
②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；
③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；
④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.
⑤垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边
⑥如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直。
正确的是______
2、若两条直线a、b异面，则过a且与b垂直的平面（ ）
A 有且只有一个
B 可能有一个也可能不存在
C有无数多个
D一定不存在
3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC
.. 6.2平面与平面垂直判定定理 ..
学习目标：
1.平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力.
2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力.
3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.
学习重点：
平面与平面垂直判定和求简单情形下的二面角.
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1、二面角定义：从空间一条直线出发的_________所组成的图形
2、二面角的平面角
如图，（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角. ( http: / / www. / )
（2）二面角的平面角的大小与O点位置 （3）二面角的平面角的范围是 （4）平面角为直角的二面角叫做
3、 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直. ( http: / / www. / )
4、面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的__________ ，那么这两个平面互相垂直.
合作探究（对学，群学）：
例1：在正方体中，求二面角大小的正切值.
变式1：:如图，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。
例2：如图,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.
求证：平面PAC⊥平面PBC.
变式2： 如右图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，求证：平面VAB⊥平面VCD.
例3：已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角(如下图)．
求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
(2)∠BAC＝60°
变式3：如图，在四面体ABCD中，BD＝ a，AB＝AD＝BC＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
评价提升：
①求二面角关键是作出二面角的平面角，若已知其中一个半平面的垂线，垂足为P，垂线与另一个半平面的交点为Q，则过垂足作公共棱的垂线交棱为点M，则∠PMQ即为二面角的平面角。
②运用面面垂直判定定理的关键在于找到一组线面垂直，而线面垂直则由线线垂直得到。
达标拓展：
1、下列判断中错误的是（ ）
A如果一个平面含有另一个平面的垂线，那么两个平面相互垂直
B如果一个平面内的一条直线与另一个平面内的无数条直线垂直，那么这两平面互相垂直
C如果一个平面内的一条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直，那么两个平面互相垂直
D如果一个平面的垂线与另一个平面的垂线垂直，那么两个平面互相垂直
2、在三棱锥V-ABC中，最多有 个直角三角形
3、如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
6.3垂直关系的性质
学习目标：
1.、掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质，会用文字、图形、符号三种语言来描述。
2、能用定理来解决简单基本问题。
学习重点：
线面垂直、面面垂直的性质定理；垂直关系的相互转化
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1、线面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线_________ ．
2、面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于___________ 垂直于另一个平面．
合作探究（对学，群学）
例1 证明：垂直于同一直线的两平面平行。
变式1 已知平面，，直线满足，，求证：∥面.
例2：在正方体ABCD-A，B，C，D，中，BD，BC，，DC，分别为三条面对角线，A，C为一条体对角线。
求证：（1）A，C⊥BD； （2）A，C⊥平面DBC，
变式2 如图，在正方体中，与垂直的面对角线有（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
例3：四棱锥的底面是个矩形，
，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.
⑴证明：侧面侧面；
⑵求侧棱与底面所成的角.
变式3：如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
评价提升：
1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判定平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．
2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
3．判定线面垂直的方法主要有以下五种：
①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面， b⊥α；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面， a⊥β.
达标拓展：
1、判断下列命题是否正确，并说明理由.
⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；
⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；
⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；
⑷垂直于同一条直线的两条不重合直线互相平行；
⑸垂直于同一条直线的两个不重合平面互相平行；
⑹垂直于同一个平面的两个不重合平面互相平行.
2. 平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是（ ）.
A.平面必平行于
B.平面必垂直于
C.平面必与相交
D.存在的一条中位线平行于或在内
3．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则 ( )
A．l∥γ B．l?γ
C．l与γ斜交 D．l⊥γ
7.1简单几何体的侧面积 .
学习目标：
1.了解柱体、锥体、台体表面积的计算公式，会求简单几何体的表面积；
2.通过对空间图形展开成平面图形体现转化的思想方法。
学习重点：
空间几何体的展开及表面积公式的推导
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；S圆柱侧＝ ，S圆锥侧＝ ，S圆台侧＝ .
2．直棱柱的侧面积公式S＝ ，其中c为底面多边形的周长，h为棱柱的高，用语言可叙述为直棱柱的侧面积等于它的
3．正棱锥的侧面积公式S＝ch′，其中c为底面多边形的周长，h′为棱锥的斜高，用语言可叙述为正棱锥的侧面积等于它的 ．
4．设棱台下底面周长为c，上底面周长为c′，斜高为h′，可以得出正棱台的侧面积公式：________________
合作探究（对学，群学）：
例1 一个圆柱形的锅炉，底面直径d＝1 m，高h＝2.3 m，求锅炉的表面积(保留2个有效数字)．
变式1一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )
A. B.
C . D.
例2 圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)
变式2 一圆台形花盆，盆口直径20 cm，盆底直径15 cm，底部渗水圆孔直径1.5 cm，盆壁长15 cm.为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆要多少油漆？(π取3.14，结果精确到1毫升)
例3 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm.求三棱台的侧面积.
变式3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积．
评价提升：1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．S圆柱表＝ ；S圆锥表＝ ；
S圆台表＝ .
达标拓展：
1、三棱锥的底面面积为，过各侧棱的中点的截面的面积为
圆锥的底面面积为，过母线的中点且平行于底面的截面的面积为
圆台的底面面积为1，2，过母线的中点且平行于底面的截面的面积为
2．一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是 ( )
A．(80＋16)cm2 B．84 cm2
C．(96＋16)cm2 D．96 cm2
3、所有棱长为1的三棱锥的全面积为________．
7.2简单几何体的体积 .
学习目标：
1. 能从正方体、长方体的体积公式类比推测柱体体积公式
2. 理解等底、等高的柱体和锥体的体积关系
3.能推导台体的体积公式
4.熟练计算柱体、锥体、台体的体积
学习重点：
柱体、锥体、台体的体积公式及其推导
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．柱体的体积公式为V＝ ，其中S为柱体的底面面积，h为柱体的高．
2．锥体的体积为柱体的 公式为V＝ ，其中S为锥体的底面面积，h为锥体的高.
3．台体的体积公式为V台体＝ ，其中S′，S 分别为台体的上、下底面面积，h为高．
4、柱体、锥体、台体的体积公式间有什么关系？
合作探究（对学，群学）：运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题
例1、一个三角形边长分别为3、4、5 ，绕三边旋转一周，分别形成一个几何体，求其体积。
变式1 正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成角为45°，求此三棱柱体积．
例2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如右图)，共重5.8 kg，已知螺帽的底面六边形边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 mm，这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8 g/cm3，π≈3.14)
变式2 已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为8 cm，高为3 cm.求其体积．
例3、 如图，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，，求三棱锥的体积.
变式3：如图，在边长为4的立方体中，
求（1）三棱锥的体积.
（2）求到平面的距离
评价提升：
①不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分都能够易求得其体积，或者使所求体积等于整体几何体体积减去部分几何体体积．
⑥三棱锥的体积计算可选取不同的面作为底面，这种方法我们称为
达标拓展：
1.一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.
2. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,,，则它的体积为（ ）.
A. B. C. D.4
3. 各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（ ）.
A. B. C. D.
7.3球的表面积与体积
学习目标：
1.了解球的表面积和体积计算公式；
2. 能运用球的表面积和体积计算公式进行计算和解决有关实际问题.
学习重点：
球的表面积和体积计算公式
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
设球的半径为R，那么它的表面积公式为S球面＝______；体积公式为V球＝_____________ .
合作探究（对学，群学）：
例1、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，求球的表面积与体积。
变式1、将两个半径为1的铁球熔化为一个球，求这个球的半径。
例2、已知球O1、O2、O3的体积之比为1:8:27，求它们的半径之比为
变式2、（1）一个球的外切正方体的全面积等于6cm2， 则此球的体积为
（2）正方体的棱长为1，则其外接球的体积为
例3、已知一四面体A-BCD的所有棱长都为，求这个四面体的外接球的体积和表面积。
变式3：已知，，，是球表面上的点，平面，， ， ，则球的表面积等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
评价提升：
1、利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2、解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
达标拓展：
1、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则
（1）球的体积等于圆柱体积的 。
（2）球的表面积与圆柱的侧面积的比 。
2、已知球的两个平行截面的面积分别为，两截面的距离为3，求球的体积与面积。
3、长方体共顶点的三个侧面面积分别为，求它的外接球的表面积。
.
7.4 简单几何体的面积与体积习题课 .
学习目标：
熟悉棱柱、棱锥、台、球的表面积与体积的计算公式；能运用柱、锥、台、球的表面积与体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习重点：
柱、锥、台、球的表面积与体积公式
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1、表面积公式
表面积相关公式 表面积相关公式
棱柱 圆柱
棱锥 圆锥
棱台 圆台
2. 体积公式：
体积公式 体积公式
棱柱 圆柱
棱锥 圆锥
棱台 圆台
柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.
因而体积会有以下的关系：
3. 球的表面积：________ （R：球的半径）. 4. 球的体积：_________.
合作探究（对学，群学）：
例1圆锥的母线长扩大倍，底面半径缩小到，那么它的侧面积变为原来的（ ）
A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍
变式1 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）.
A. B. C. D.
例2 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
变式2、如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm).
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(3)在所给直观图中连接BC′,证明:BC′∥平面EFG.
例3、如图，在多面体中，已知平面是边长为的正方形，,，,且与平面的距离为，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式3、设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
评价提升：求几何体体积的方法：①
② ③ ④
达标扩展：
1、直四棱柱的底面是菱形，两个对角面面积分别为，则直四棱柱的侧面积为______。
2、若圆锥的轴截面是等边三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
3、已知球O在一个棱长为的正四面体内，如果球O是该正四面体的最大球，那么球O的表面积等于（ ）
A． B． C． 2π D．
第一章立体几何初步章末复习课
知识网络
专题一 三视图与直观图
三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，主视图反映它的长和高，左视图反映它的宽和高．
例1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A. B．3π C. D．6π
变式1一几何体的三视图如图所示，尺寸如图中所示．
(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；
(2)计算该几何体的体积与表面积．
专题二 柱体、锥体、台体的表面积和体积
几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用．
例2 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______________．
变式2 正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少
专题三 空间中的平行问题
1．判断或证明线面平行的常用方法：
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b?α，a∥b a∥α)；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α a∥β)．
2．证明面面平行的方法：
(1)利用面面平行的定义；
(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
例3 如图，E、F、G、H分别是正方体
ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，
求证：(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
变式3 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
专题四 空间中的垂直关系
空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b)．
(2)判定线面垂直的方法：
①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α α⊥β)．
例4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
变式4 如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB以AB为轴运动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
专题五 空间角的问题
1．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
2．二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．
例5 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
(1)求证：BD⊥平面AED；
(2)求二面角F－BD－C的余弦值．
变式5 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
§1.1简单旋转体
自主学习
1 （1）球面；球体；球；球心；球的半径；球的直径。（3）大圆；小圆；
2（1）圆柱；圆柱的轴；圆柱的高；圆柱的底面；圆柱的侧面；圆柱侧面的母线.
3（1）圆锥;圆锥的轴;圆锥的高;圆锥的底面;圆锥的侧面;圆锥的母线。
4（1）圆台；圆台的轴；圆台的高；圆台的底面；圆台的侧面；圆台的母线
合作探究
例1 C 变式1 ： 无数 无数 圆面
例2解析：以线段AB所在的直线为旋转轴，将正方形ABCD绕旋转轴所在的直线旋转一周，得到的几何体是以BC为底面半径，以AB为高的圆柱体，如图①；以AC所在的直线为旋转轴，将正方形ABCD绕轴所在的直线旋转一周得到的几何体是两个圆锥，这两个圆锥共底面，如图②.
图① 图②
变式2：D
例3解 如图，ABCD为直角梯形，AD＝15，BC＝25，AB⊥BC，∠DCB＝60°.过D作DE⊥BC交BC于E，
则CE＝CB－BE＝CB－AD＝10，在Rt△DEC中，
CD＝＝＝20，故圆台的母线长20.
变式3：解析：由题可知，圆台上、下两圆的半径分别为1和2，又S轴截面＝＝9，得h＝3.
达标拓展
1 D 2 B 3 63(cm2)
§1.2简单多面体
自主学习
1：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。
3：（1）斜棱柱；直棱柱（2）三棱柱、四棱柱、五棱柱……
4：:有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
6：根据棱锥底面多边形的边数可分为:三棱锥;四棱锥;五棱锥……
7.棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台
9根据棱台底面多边形的边数可分为.三棱台，四棱台，五棱台，……
合作探究
例1：C
变式1：(4)
例2：（1）是;四棱柱；（2）不是；
变式2：（1）3对（2）五棱柱；三棱柱
例3：不是
变式3：D
达标拓展
1D，2D，3D
§1.2直观图
自主学习
1：（1）直角坐标系 ( http: / / baike. / view / 1539320.htm" \t "_blank )（2）坐标系 ( http: / / baike. / view / 84791.htm" \t "_blank )（3）线段 ( http: / / baike. / view / 476943.htm" \t "_blank )；长度 ( http: / / baike. / view / 87781.htm" \t "_blank ),（5）辅助线 ( http: / / baike. / view / 568820.htm" \t "_blank )
2：（2）底面 ( http: / / baike. / view / 7744609.htm" \t "_blank )（3）侧棱 ( http: / / baike. / view / 1190102.htm" \t "_blank )，横截面 ( http: / / baike. / view / 1656671.htm" \t "_blank )（4）辅助线；虚线
合作探究
例1①画轴。如图1.2-12，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=450,∠xOz=900.
②画底面。以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
③画侧棱。过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm长的线段AA’,BB’,CC’,DD’.
④成图。顺次连接A’,B’,C’,D’，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。
变式1：①②
例2：C
变式2：解 画法：（1）如图(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O。在图(2)中，画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x′O′y′=450。
图(1)
图(2)
（2）如图(3)，以O'为中点，在x'轴上取A'D'=AD，在y'轴上取M’N’=MN。以点N’为中点，画B’C’平行于x'轴，且等于BC；再以M’为中点，画E’F’平行于x'轴，并且等于EF。
图(3)
（3）连接A’B’，C’D’,D’E’,F’A’,并擦去辅助线，便得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’E’F’，如图(4)。
图(4)
例3：√6/4
变式3：C
达标拓展
1: D 2:
3解 (1)由题意，得OE＝h＝＝2，
∴在直观图A′B′C′D′中，A′B′＝6，C′D′＝2，h′＝O′E′sin45°＝
∴直观图A′B′C′D′的面积S′＝(2＋6)×＝2.
(2)设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形，且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.
过C′作C′D⊥O′A′于D，则C′D＝h.
由题意知C′D(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S
∴原直角梯形的面积S′＝·2h(CB＋OA)＝2S.
§1.3简单几何体的三视图
自主学习
1．主视图 左视图 俯视图
2．俯视图 左视图
3．正前方 正上方 左侧
4．(1)主视图 左视图 俯视图
(2)长对正，高平齐，宽相等
（3）实线，虚线
5．球和长方体
合作探究
例1:(1)
变式1: C
例2解 图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．
变式2：D
例3：解 该图形的三视图如图所示．
变式3：解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．
达标拓展
1：（5）
2：三个圆柱的组合体
3：7
§3.1-2空间直角坐标系
自主学习
1：可以
3：x轴上的点P的坐标的特点：纵坐标和竖坐标都为零．
y轴上的点的坐标的特点： 横坐标和竖坐标都为零．
z轴上的点的坐标的特点： 横坐标和纵坐标都为零．
xＯy坐标平面内的点的特点：竖坐标为零．
xＯz坐标平面内的点的特点：纵坐标为零．
yＯz坐标平面内的点的特点：横坐标为零．
4.
合作探究：
例1：的坐标分别是（0,0,2）(0,4,0)(3,0，2)（3,4,2）
变式1：分别以AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。EF
G
例2
变式2
例3解：由线面垂直的性质可知AB，AC，AP三条直线两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(8,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，因为M，S分别为PB，BC的中点，由中点坐标公式可得，M(4,0,2)，S(4,2,0)．因为N在x轴上，|AN|＝2，
所以N(2,0,0)．
变式3
解：
过A作AM⊥xoy交平面于M，并延长到C，使AM=CM，则A与C关于坐标平面xoy对称且C（1，2，1）。
过A作 AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN=NB，则A与B关于x轴对称且B（1，2，-1）。
∴A（1，-2，1）关于坐标平面xoy对称的点C（1，2，1）；
A（1，2，-1）关于x轴对称点B（1，-2，1）。
达标拓展
1解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，
可以按如下步骤进行：
（1）在x轴上取横坐标为4的点M1；
（2）将M1在xoy平面内沿与y轴平行的方向向右移动2个单位，得到点M2；
（3）将M2沿与z轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M。
法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点
O处的三条棱分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴、z轴的正半轴上，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M。
法三：在x轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x垂直的平面，y轴上找到纵坐标为2
的点，过此点作与y垂直的平面；在z轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z垂直的平面；则平面，，交于一点，此交点即为所求的点M的位置。
2：A(1,-1,0)B(1,1,0)C(-1,1,0)D(-1,-1,0)
3
（-6,2,4）;(-6,2,-4)
§3.3空间两点间的距离公式
自主学习（独学、质疑）
1.∣AB∣=
2.∣OA∣＝
3.球面
合作探究：
例1：证明：根据空间两点间距离公式，得
，
.
因为7+7＞，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形.
变式1：C
例2：由题意设P(0，y，z)，则
解得：
故点P的坐标为(0，1，1)
变式2：以D为原点，建立空间直角坐标系．
因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′中点O′，所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点距离公式，可得|MN|＝＝a.
例3 B
变式3：解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图:，以射线AC为y轴正方向,射线AP为z轴正方向,A为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,过点B作BE⊥Ox,垂足为E,∵B(m,m,0),∴E(m,0,0).在Rt△AEB中,∠AEB=90°,|AE|=m,|EB|=m,
∴tan∠BAE==.∴∠BAE=30°,
即直线AB与x轴所成的较小的角为30°.
达标拓展（检测、拓展）
1.设M(x,y,z)是线段AB的中点,则根据中点坐标公式得
x==2,y==,z==3.所以AB的中点坐标为(2,,3).
根据两点间距离公式,得
d(A,B)=,
所以AB的长度为.
2解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以
|AB|==3,
|BC|=,
|CA|==3.
又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.
3.设P(0，y，z)，由题意
所以
即，所以，
所以P的坐标是(0，1，–2).
4.1 空间图形基本关系的认识及空间图形公理
自主学习
1．不同在任何一个平面内
2．两点 3、不在同一条直线上
4、不重合
5、直线外一点 相交 平行
合作探究
例1 A 变式1 略 例2 略
变式2 D 对于A，图中没有画出平面与平面的交线，另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画，因此A的画法不正确．
同样的道理，也可知B、C图形的画法不正确．D的图形画法正确．∴应选D．
例3 解 ∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内，又BC在平面α内，∴C点一定在平面α内，因点A、点C都在平面α内，由公理1知，直线AC在平面α内．小结 要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可．
变式3 证明 如图．∵a∥b，由推论3可知直线a与b确定一个平面，设为α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b.
则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，
∴由公理1可知l?α.∵b∥c，由推论3可知直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知l?β.∵平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，
∴由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面．∴平面α与平面β重合，∴直线a、b、c和l共面．
达标拓展
1、8 4
本小题情况比较复杂，须分类予以处理
情况1：当平面、平面、平面互相平行，将空间分成四个部分，其图形如右图．
情况2：当平面与平面平行，平面与它们相交（即，与其相交），将空间分成六部分，其图形如下图．
画法是：
情况3：当平面、平面、平面都相交，且三条交线重合（即且）
将空间分成六部分，其图形如下图．
说明：本种情况给出两种图形，一种是将交线画成水平状态，一种是将交线画成竖直状态．
情况4：平面、平面、平面都相交且三条交线共点，但互不重合．（即，且与、都相交，三条交线共点）．将空间分成八部分，其图形如下图．
画法是：
情况5：平面、平面、平面两两相交且三条交线平行（即，与、都相交且三条交线平行）．将空间分成七部分，其图形如下图．
说明：1．本小题，在解答过程中，采用了简单到复杂递进的处理方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第三个平面以不同情况介入，然后分类解决．
2．通过此题的解答，要学会处理问题的思维方法，注意逻辑思维能力的培养与提高．
2、略
3、AB与CD、 AD与BC、 AC与BD
4.2空间图形基本关系的认识及空间图形公理
自主学习
1、同一条直线
2、相等或互补
3、不共面
4、过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1 l2 这两条相交直线所成的锐角或直角就是异面直线a,b所成的角；（0°，90°]；垂直，a⊥b
合作探究
例1、已知 如图所示，
l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
求证 直线l1、l2、l3在同一平面内．
证明 方法一 (同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．
又∵l2 α，∴B∈α．
同理可证C∈α．
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α．
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
方法二 (重合法)
∵l1∩l2＝A，
∴l1、l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β．
∵A∈l2，l2α，∴A∈α．
∵A∈l2，l2β，∴A∈β．
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
变式1、分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条直线交于一点，另一种是任何三条直线都不共点，故分两种情况证明.
(1)当四条直线中有三条相交于一点时，
不妨设a，b，c，相交于一点A.
∴直线d和A确定一个平面α.(如图所示)
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α，
∵A，E∈α，AE α，
∴a α.同理可证，b α，c α，
∴a，b，c，d在同一平面α内．
(2)当四条直线中任何三条都不共点时，如图
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α.
设直线c与a，b分别交于点H，K.则H，K∈α.
又∵H，K∈c，∴c α.同理可证d α.
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
点评 证明多线共面的一种方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内．另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合．
例2、证明：方法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α．
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC．
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
方法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR．
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR．
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR．
∵Q∈BC，∴Q∈面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P、Q、R三点共线．
点评 证明多点共线的方法：一是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．二是P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．
变式2证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，
∴GE∥AC．
又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
∴FH∥AC且HF＝AC，
从而FH∥GE．故E，F，H，G四点共面．
又∵GE≠FH且GH∥FH．
∴四边形EFHG是一个梯形，则GH和EF延长后交于一点设为O．
又O∈GG，GH?平面ABD，
则O∈平面ABD，同理O∈平面BCD．
∴O∈平面ABD∩平面BCD＝BD．
则O在直线BD上．
所以EF、GH、BD交于一点．
点评 证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论．
例3、证明 因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH＝BD.同理FG∥BD，且FG＝BD.根据公理4，EH∥FG，且EH＝FG，
所以四边形EFGH为平行四边形．
小结 数学语言是数学表述和数学思维不可缺少的重要工具，学会文字语言、符号语言和图形语言之间的互译和表达，这在空间关系的证明与判断中显得十分重要．
变式3（1）略 （2）2
例4 略
变式4 解 (1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
达标拓展：1、D 2、D 3、D
5.1直线与平面平行的判定
自主学习
1、相交 交点 没有 平行
2、三种，直线在平面内，与平面相交，与平面平行
3、平面外一条直线
a∥α.
将线面平行转化为线线平行，空间问题转化为平面问题
4、× × ×
合作探究
例1：过a上任一点P作直线b＇，使b＇∥b，a与b＇两相交直线确定的平面
变式1：过A作a、b的平行线a＇、ｂ＇，则a＇、ｂ＇确定的平面
例2、平行 变式2、由EF∥AC∥HG得：AC∥面EFGH、EF∥面ACD、HG∥面ABC
由EH∥BD∥FG得：EH∥面BCD、FG∥面ABD、BD∥面EFGH
例3、
证法一：如图（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.
又∵AP=DQ,∴PE=QB.
又∵PM∥AB∥QN,
∴,.∴.
∴PM∥QN.即四边形PMNQ为平行四边形.
∴PQ∥MN.
又∵MN面BCE，PQ面BCE，∴PQ∥面BCE.
证法二：如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.
∵AD∥BC,∴.
又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，
∴.则PQ∥EK.
∴EK面BCE，PQ面BCE.∴PQ∥面BCE.
变式3 证明 连接AF延长交BC于G，
连接PG.在 ABCD中，
易证△BFG∽△DFA.
∴＝＝，
∴EF∥PG.
而EF平面PBC，PG平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
达标拓展
1、A 2、略
3、提示：连接CM、CN分别交AB、AD于E、F，连接EF，易证MN∥EF∥BD。
5.2平面与平面平行的判定
自主学习
1、相交 平行
2、平行 3、不一定
4、不一定 5、两条相交直线
aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β. 将面面平行转化为线面平行解决，再转化到线线平行
6、平行
合作探究
例1 解析 如图借助长方体模型来看上述问题是否正确．问题①不正确，相交时也符合；问题②不正确，如右图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；问题③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；问题④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点．所以选B.
变式1 D
例2、证明：∵A1B1∥CD且A1B1=CD,
∴四边形A1B1CD是平行四边形,
故A1D∥B1C.
又B1C平面CB1D1且A1D平面CB1D1,
∴A1D∥平面CB1D1.
同理可得A1B∥平面CB1D1,又A1D∩A1B=A1,且A1D和A1B都在平面A1BD内,所以平面A1BD∥平面CB1D1.
变式2、提示：证PR∥A1D∥B1C，以及PQ∥A1B∥D1C
例3、略
变式3、(1)取AB、BC的中点M、N，
则
∴A′C′∥MN?A′C′∥平面ABC。
同理A′B′∥面ABC，
∴△A′B′C′∥面ABC.
(2)A′C′=MN=·AC=AC
，
同理
∴
达标拓展：1、B 2、C 3、略
5.3平行的性质
自主学习
1、平行
2、任意直线 交线
3、平行或异面
合作探究
例1、证明：如图所示，过及平面内一点作平面．
设，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
说明：根据判定定理，只要在内找一条直线，根据条件，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．
和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．
变式1、(1)如图，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F. 连接BE，CF.则EF、BE、CF就是应画的线．
(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.
例2、证明 连接CD.
因为A，B，C，D在同一平面内，AB∥平面α，所以AB∥CD.又因为AC∥BD，所以四边形ABDC是平行四边形，因此AC＝BD.
小结 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
变式2、（提示：写出已知，求证，其中两平行线可确定一个平面）
例3、略
变式3：已知：，，，求证：．
分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明与平行．
证明：方法一：在平面内取点，使，过和直线作平面交于．
∵，，，
∴．
同理过作平面交于．
∵，，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴．
方法二：如图，在直线上取点，
过点和直线作平面和相交于直线，和相交于直线．
∵，∴，
∵，∴，
但过一点只能作一条直线与另一直线平行．
∴直线和重合．
又∵，，
∴直线、都重合于直线，
∴．
说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要。
达标扩展：1、D 2、⑤⑥
3、证明 连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.因为α∥β，β∥γ.所以BG∥AD，GE∥CF.
于是，得＝，＝，所以＝.
小结 由本例题可以得出一个重要结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
6.1直线与平面垂直判定定理
自主学习
1、任何一条直线
2、两条相交直线
合作探究
例1证明：在平面α内作两条相交直线m，n.因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为a∥b∴,b⊥m， b⊥n ，m，n，m，n是两条相交直线，所以b⊥.
小结 如果两条平行直线有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
变式1 解 如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不共线，因此A，O，B三点确定平面α.因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2，所以PO⊥OA，PO⊥OB，又OA∩OB＝O，
所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直．
例2 证明：连结AE.、DE 已知AB=AC，DB=DC，那么： 在等腰三角形ABC中有：AE⊥BC 在等腰三角形BCD中有：DE⊥BC
所以由线面垂直的判定定理可得： BC⊥平面ADE
变式2 证明：取中点，连、，
∵，∴．
又∵，∴，∴，
又，
∴ 又，
∴，，又，∴．
例3 证明：连接AO，BO，设AO ,BO延长线（或是其本身）分别交BC，AC于点D，E，连接PD，PE
∵PO⊥面ABC
∴PO⊥BC，PO⊥AC
又∵PA⊥BC，PB⊥AC
∴BC⊥面PAD（O在面PAD上），AC⊥面PBE（O也在面PBE上）
∴BC⊥AD，AC⊥BE
∴O为△ABC两条高线 ( http: / / zhidao. / search word=高线&fr=qb_search_exp&ie=utf8 )的交点，由定义知，O是△ABC的垂心 ( http: / / zhidao. / search word=垂心&fr=qb_search_exp&ie=utf8 )
变式3 解：（1）在四棱锥中，因底面，平面，故．
又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（2）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．又面，．
由，，可得．是的中点，，
．综上得平面．
（3）略
评价提升：
①且只有一 也垂直于
②当直线与平面相交且不垂直于该平面时，称这条直线为该平面的一条斜线。平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。
③中线
达标扩展：
1、③⑤⑥ 2、B
3、证明： 取AC的中点D，连接VD，BD ∵VA=VC，AD=CD ∴VD⊥AC【三线合一】 ∵AB=BC，AD=CD ∴BD⊥AC ∵VD∩BD=D VD 平面VDB BD 平面VDB ∴AC⊥平面VDB ∵VB 平面VDB ∴VB⊥AC
6.2平面与平面垂直判定定理 自主学习
1、两个半平面
2、（1）角AOB （2）无关
（3）[0°，180°] （4）直二面角
3、直二面角 4、一条垂线
合作探究
例1
变式1本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EO⊥⊥BD，A1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。所求二面角为90°。
例2 分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．
证明：因为是⊙的直径，是圆周上的点，所以有①．
因为平面，平面，则②．
由①②及，得平面．
因为平面，有平面平面．
小结 证明面面垂直需根据面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．此外还可用定义法，即两平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直．
变式2：证明：因为AC＝BC，所以△ABC是等腰三角形．又D是AB的中点，所以CD⊥AB.又VC⊥底面ABC，AB?底面ABC，所以VC⊥AB因为CD∩VC＝C，CD?平面VCD，VC?平面VCD，所以AB⊥平面VCD.又AB?平面VAB，所以平面VAB⊥平面VCD.
例3证明 (1)如上图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC.因为平面ABD和ACD都过AD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
(2)如上图(1)中，在直角△BAC中，因为AB＝AC＝a，所以BC＝a，所以BD＝DC＝a，如上图(2)△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝a，
所以AB＝AC＝BC，因此∠BAC＝60°.
小结 对于由平面图形折叠而成的几何体，要注意利用平面图形折叠前后有些线段的长度及角的大小不变的性质．
变式3 证明 取BD中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
在△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a，
∴AE＝a，同理，CE＝a.
在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，
∴AC2＝AE2＋EC2，即AE⊥EC.又∵BD∩EC＝E，
∴AE⊥平面BCD.又∵AE?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.
达标拓展：:1、B 2、4 3、略
6.3垂直关系的性质
自主学习
1、平行
2、它们交线的直线
合作探究
例1、变式1 略
例2 略 变式2 B
例3 .（1）过A点作AE⊥PB，垂足为E，∵面PAB⊥面ABCD ，CB面ABCD ，
∴CB⊥面PAB 因为AE面PAB ，
∴CB⊥AE ∵PB⊥AE CB∩PB=B
∴AE⊥面PBC ∵AE面PAB
∴面PAB⊥面PBC
（2）过P作AB的垂线 垂足为F 连结CF 所以PF垂直面ABCD 所以∠PCF即为侧棱PC与底面ABCD所成的角 因为PF= CF= 所以∠PCF=45°
变式3 证明 (1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.
达标拓展：1、（1）√ （2）√
（3）√ （4）× （5）√ （6）× 2、D
3、 在γ面内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ.
7.1简单几何体的侧面积
自主学习
1、矩形 扇形 扇环 2πrl πrl
π(r1＋r2)l
2、底面周长和高的乘积
3、底面周长和斜高乘积的一半
4、S正棱台侧＝(c＋c′)h′
合作探究：
例1解 S＝S侧面积＋2S底面积＝πdh＋2π()2＝π×1×2.3＋2π×≈8.8(m2)．
答：锅炉的表面积约为8.8 m2.
小结 圆柱、圆锥、圆台的表面积就是它们的侧面积与底面面积的和．
变式1 A
例2 圆台的侧面积为600πcm2.
变式2 1000毫升
例3 解 如右图，O1、O分别是上、下底面中心，则O1O＝，连接A1O1并延长交B1C1于D1，连接AO并延长交BC于D，过D1作D1E⊥AD于E，在Rt△D1ED中．D1E＝O1O＝，DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝，DD1＝，
所以S正三棱台侧＝(c＋c′)·DD1＝(cm2)．
答 三棱台的侧面积为 cm2.
变式3 a2.
达标扩展：1、（1）S/4. （2）S/4.
（3）
2、A 3、
7.2简单几何体的体积
自主学习
1、Sh
2、 Sh
3、(S′＋＋S)h
4、
合作探究
例1 解：以3cm为轴，形成圆锥，V=sh/3=48π/3，以4cm为轴，形成圆锥，V=sh/3=36π/3=12π ，以5cm为轴，形成两个圆锥底面重合，r=3*4/5=2.4，V=sh/3=π(2.42)=9.6π
变式1 解 如右图为正三棱柱ABC－A1B1C1，则有AB1＝2，∠B1AB＝45°，∴AB＝BB1＝，∴S△ABC＝×××＝.
∴V三棱柱＝×＝.即此三棱柱的体积为.
例2 解 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差因为V正六棱柱＝6××12×(12×sin 60°)×10＝3×122××10≈3.74×103(mm3)．V圆柱≈3.14×(10÷2)2×10＝0.785×103(mm3)．
所以一个螺帽的体积V＝3.74×103－0.785×103
≈2.96×103(mm3)＝2.96(cm3)．
因此约有5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102＝250(个)
答 这堆螺帽约有250个．
变式2 解 V＝(42＋82＋)×3
＝112(cm3)．
答 正四棱台的体积为112 cm3.
例3 8
变式3 （1） （2）
评价提升 等体积法
达标扩展 1、10 2、C 3、A
7.3球的表面积与体积
自主学习
4πR2 πR3
合作探究
例1 R=，，
变式1 例2 1:2:3
变式2 （1）cm3 （2）
例3 方法1 构造法
构造一个各棱长为1的正方体,连接各面的对角线可作出一个正四面体 ( http: / / wenwen. / z / Search.e sp=S正四面体&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjlink ),此四面体各棱为,而此四面体的外接球即为正方体的外接球.此球的直径为正方体的体对角线 ( http: / / wenwen. / z / Search.e sp=S体对角线&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjlink ),即
所以球表面积为3π
方法2 提示：利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
方法3 因球心O到各面额距离相等，则O分四面体为四个等体积三棱锥，则球心O为四面体高的四等分点。求得球半径，表面积可求出。
变式3 A 解析：本题考查了简单几何体的运算与求解，以及球的性质与表面积，考查空间想象能力与运算能力。
如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，计算可得AC=，SC=2，SB=，取SC的中点O，那么OS=OA=OB=OC=1，即O为球心，则球的半径为r=1，对应的表面积为S=4πr2=4π；
达标扩展
1、（1） （2）1
2、略
3、9π
7.4 简单几何体的面积与体积习题课
自主学习
1、（r：底面半径，h：高） （r：底面半径，l：母线长） （r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）
2、
3、
4、
合作探究
例1 A 变式1、A
例2 解 在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a；圆锥的母线长2a，底面半径a.
∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积
S2＝π·a·2a＝2πa2，
圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3.
V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3.
∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.
小结 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
变式2、（1）解 如图(1)所示.
图（1）
(2)解 所求多面体体积
V=V长方体-V正三棱锥
=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm3).
(3)证明 如图(2),在长方体ABCD—A′B′C′D′中,
连接AD′,则AD′∥BC′.
因为E,G分别为AA′,A′D′的中点,
所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.
又BC′平面EFG, 图（2）
所以BC′∥面EFG.
例3、D 变式3、A
评价提升：公式法 、等积法、补体法、分割法
达标扩展： 1、 2、B
3、C 由题意，此时的球与正四面体相切，
由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3
又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为=3，故底面中心到底面顶点的距离都是2
由此知顶点到底面的距离是=2
此正四面体的体积是×2×3=2
又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==
球O的表面积等于4×π×=2π
第一章立体几何初步章末复习课
例1、解析 B 将三视图还原为实物图求体积．
由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V＝×π×12×4＝3π.
变式1、解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．(2)由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm，高为20 cm的圆柱，上部为底面直径为8 cm，母线长为5 cm的圆锥．易求得圆锥高h＝＝3(cm)，
∴体积V＝π·42·20＋π·42·3＝336π(cm3)，
表面积S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm2)∴该几何体的体积为336π cm3，表面积为196π cm2.
例2、解析 利用三棱锥的体积公式直接求解．
VD1－EDF＝V F－DD1E＝S △D1DE·AB＝××1×1×1＝.
变式2
解析： (1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝＝＝
(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2.
则MN＝
＝＝
∵＜
∴＝.
例3 证明 (1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证OG平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，∴OG平行且等于BE，四边形BEGO为平行四边形．∴OB∥GE.
∵OB?平面BDD1B1，
GE平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1平面BDF，BD平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，
易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.
∵HD1平面BDF，BF平面BDF，∴HD1∥平面BDF.
∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.
变式3 证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，
∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC的中点，EC＝2BD，∴NC平行且等于BD，
∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，
又∵DN平面ABC，BC平面ABC，
∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC.
例4 证明 (1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
变式4 解 (1)取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，
CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.
例5 证明（1）因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠C