江西省丰城中学2015-2016学年上学期高一数学必修一导学案第二章 函数

函数
§2.1 生活中的变量关系
学习目标：
1．通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互关系；
2．知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系；
3．了解两变量之间有函数关系具备的条件；
学习重点：
1. 常量与变量之间的关系；
2.结合自然语言，符号，表格，图像分析变量之间的关系
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
生活中处处有变量，变量之间充满 ( http: / / www.21cnjy.com )了依赖关系我们在初中学习的函数就描述了因变量随自变量变化的依赖关系阅读教材23—24页，指出常量是 ，变量是 ， 变量间的依赖关系是 ，
函数关系是 。
合作探究：（对学、群学）
1.（1）下列各量中是常量的是（ ）
A．圆的面积 B．每天光照的时间
C．北京到上海的距离 D．汽车每天行使的路程
（2）下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①球的体积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
④正三角形的面积和它的边长．
变式训练1.下列关系为函数关系的是 （ ）
A．乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系
B．某同学学习时间与其学习成绩的关系
C．人的睡眠质量与身体状况的关系
D．树木的高度与土壤的关系
2. 下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是(　　)
A．y＝2x　　　　　 B．y＝
C．y＝x2＋3x－1 D．y2＝x2＋5
变式训练2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ） （ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
3.向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图(1)所示，那么水瓶的形状是图(2)中的(　　)
　
变式训练3.四位好朋友在一次聚会上，他们按 ( http: / / www.21cnjy.com )照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中 酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确
的是（ ） （ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．h2＞h1＞h4 B.h1>h2>h3 C．h3＞h2＞h4 D.h2＞h4＞h1
知识总结（评价提升）：
1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系 ，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。
2．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的y值与之对应。
3．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量， ( http: / / www.21cnjy.com )谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量 ，另一个变量是自变量 。
达标拓展：（检测、拓展）
1．下列说法不正确的是(　　)
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
2．下列各量间不存在依赖关系的是(　　)
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着与视力
3．一人骑着车一路匀速行驶 ( http: / / www.21cnjy.com )，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)(　　)
§2.2 对函数的进一步识 §2.2.1 函数的概念
学习目标：
1.理解函数的定义，了解构成函数的要素；
2.会求一些简单函数的定义域和值域，会用集合，区间或不等式表示它们；
3.理解函数符号的意义，会求某些自变量的值和函数值
学习重点：
1.利用定义辬别函数，符号“y=f(x)”的含义
2.,函数定义域和值域的区间表示
3.辬别相同的函数
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．集合观点的函数定义
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对 ( http: / / www.21cnjy.com )应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把_________________叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A此时,x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．
想一想:集合B等于函数y＝f(x)的值域吗？
2．函数的构成要素
函数概念有三个要素：__________________
___________.其中核心是对应关系f，它是函数关系的本质特征．
3．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 _______
{x|a{x|a≤x{x|a这里实数a，b都叫作相应区间的端点．
4．无穷大概念
(1)实数集R用区间表示为_______________,
“∞”读作______________，“－∞”读作___________，“＋∞”读作___________．
(2)无穷区间的表示
定义 {x|x∈R} {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
合作探究：（对学、群学）
1.下列对应是否是从A到B的函数？
①A＝R，B＝{x|x＞0}，f：A→B，求绝对
值；
②A＝Z，B＝N，f：A→B，求平方；
③A＝Z，B＝Z，f：A→B，求算术平方根;
④A＝N，B＝Z，f：A→B，求平方根；
⑤A＝{x|－2≤x≤2,x∈R},B＝{x|－3≤x≤3,
x∈R}，f：A→B，求立方．
变式训练1. 设M＝{x|0≤x≤ ( http: / / www.21cnjy.com )2}，N＝{y|1≤y≤2}，给出下列四个图形，如图所示，其中能表示集合M到N的函数关系的是________．
( http: / / www.21cnjy.com )
2.下列四组函数，表示同一函数的组为________．
f(x)＝2x－1，g(x)＝2x－1(x∈N)；
f(x)＝x－1，g(x)＝x2－1；
f(x)＝x＋1，g(x)＝;
f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
变式训练2．下列四组函数中，表示同一个函数的( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝x＋2，g(x)＝ D．f(x)＝|x|，g(t)＝
3.求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋.
变式训练3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝(2x＋3)0；(2)f(x)＝·＋2
(3)y＝.
4.已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(2)]，g[f(2)]的值；
(3)求f(x)、g(x－1)的值域．
变式训练4．求下列函数的值域．
(1)y＝3x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝2＋1；
(3)y＝.
知识总结（评价提升）：
1.判断所给对应关系是否是函数关系的两个条件是：(1)看是否是两个非空数集的对应．(2)看是否满足任意性、存在性、唯一性．总之，对应关系可以一对一，多对一，但不可一对多．
2.如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集．
3.判定两个函数是否表示同一函数，要看三要素.实质只需判断定义域和对应关系是否都相同即可．
4.要熟记常见函数的值域：
达标拓展：（检测、拓展）
1.下列两个函数完全相同的是 (　　)
A.y＝与y＝x B.y＝与y＝x
C.y＝()2与y＝x D.y＝与y＝x
2．求下列函数的定义域
(1)f(x)＝；:(2)f(x)＝.
3.(1)已知函数f(x)＝＋，求f(－3)，f，f(a－1)(a＞0)的值；
(2)求y＝2x＋1，x∈{1,2,3}的值域；
(3)求y＝x2＋2x，x∈[－2,2]的值域；
(4)求y＝的值域；
§2.2.2 函数的表示
学习目标：
1.了解函数的一些基本表示法——列表法、图像法、解析法，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
3．会用描点法画一些简单函数的图像．
学习重点：
1．利用分段函数的有关知识解决实际应用问题．
2．会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数．
3．求函数解析式的方法．
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．函数的表示法：函数的三种常用表示方法是： 、 和 ．
(1)列表法：用 把两个变量间的函数关系表示出来的方法叫做列表法；
(2)图像法：用 把两个变量间的函数关系表示出来的方法叫做图像法；
(3)解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来的方法叫做解析法．
2．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同，这样的函数通常称为 ．
分段函数的定义域、值域分别是各段函数定义域、值域的并集．
合作探究：（对学、群学）
1. (1)已知f(x)＝x2，求f(x－1)；
(2)已知f(x－1)＝x2，求f(x)；
(3)已知一次函数y＝f(x)满足f(f(x))＝9x＋4，求函数f(x)的解析式；
(4)已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)．
变式训练1：已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
2．(1)已知f(x)＝求f(－3)的值．
(2)已知f(x)＝
①求f(x)的定义域
②画出函数f(x)的图像并求值域．
变式训练2： (1)已知n∈N*，且f(n)＝则f(4)＝________；
(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．
4.作出下列各函数的图像；
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3,0≤x＜3；
(3)y＝|1－x|.
变式训练4：画出函数y＝|x＋5|＋|x－3|的图像，根据图像求出值域．
知识总结（评价提升）：
1.函数解析式的求法有：
(1)待定系数法 (2)配凑法 (3)换元法 (4)消元法
2.分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集分段函数的值域也是各段上的函数值组成的集合的并集．
达标拓展：（检测、拓展）
1. 设，若，则x=（ ）
A. 1 B. C. D. HYPERLINK "http://www."
2.对于任意的实数x1，x2，mi ( http: / / www.21cnjy.com )n{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x，则min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
3. 根据下列条件分别求出函数的解析式.
（1）； （2）.
（3）f＝
§2.2.3 映射 学习目标：
1.了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，理解原像、像的意义．
2.理解用映射的观点建立函数的概念．
3.了解一一映射的概念．
学习重点：
1．映射的判断；
2．映射与函数关系；
3．象与原象的定义与求解．
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．映射的相关概念。
(1)映射的含义
两个_______集合A与B间存在着对应关系 ( http: / / www.21cnjy.com )f，而且对于A中的__________元素x，B中总有_______的一个元素y与它对应，则称这样的对应为从A到B的映射，记作___________.
(2)像与原像的概念。
在映射f：A→B中,_____________ 称为原像,
________________称为x的像,记作________.
(3)一一映射f：A→B的概念
一一映射是一种特殊的映射， ( http: / / www.21cnjy.com )它满足：①A中每一个元素在B中都有___________与之对应．②A中的__________元素的像也不同．③B中的每一个元素都有____________．
2．函数与映射的关系。
________是一种特 ( http: / / www.21cnjy.com )殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射，函数概念可以叙述为：设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数
合作探究：（对学、群学）
1.判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝R，B＝{非负实数}，对应关系f：y＝x2，
x∈A，y∈B.
(2)A＝R，B＝{正实数}，对应关系f：y＝x2,
x∈A，y∈B.
(3)A＝{x∈R|x>0}，B＝R，对应关系f：A中的元素对应它的平方根．
(4)A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，
f：y＝x－3，x∈A，y∈B.
变式训练1．下列从集合A到集合B的对应关系中是函数的有(　　)
A．A＝B＝N＋，对应关系f：x→y＝|x－3|
B．A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝
C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝±
D．A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝
2.已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，
y∈R}，f：A中元素(x，y)对应B中元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，
(1)求A中(－1，－2)的像；
(2)求B中(1,2)的原像；
(3)是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若有，求出这个元素．
变式训练2.已知(x，y)在映射f作用下的像是(x＋y，xy)．
(1)(－2,3)在f作用下的像是________；
(2)若在f作用下的像是(2，－3)，则它的原像是________．
3.已知A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6}，取适当的对应法则．
(1)以集合A为定义域、B为值域(注意：值域为B.而不是B的子集，即B中元素都有原像)的函数有多少个？
(2)在所有以集合A为定义域、B为值域的函数中，满足条件f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)的函数有多少个？
变式训练3．(1)已知A＝{a，b}，B＝{1,2}，用图示法表示所有从集合A到集合B的映射．这样的映射共有多少个？
(2)若A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从集合A到集合B可以建立多少个不同的映射？从集合B到集合A呢？
知识总结（评价提升）：
1.构成映射的三要素：集合A ， 集合B ，映射法则f，理解映射的概念的关键是：明确“任意”“唯一”的含义
2.映射与函数的区别
映射f：A→B 函数y＝f(x)，x∈A，y∈B
集合A，B可为任何非空集合，如物、人、数等 函数的定义域和值域均为非空的数集
对集合A中任一元素a，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应 对函数的定义域中每一个x，值域中都有唯一确定的值与之对应
对集合B中任一元素b，在集合A中不一定有元素和b对应 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应
3.A中有m个元素，B中有n个元素．f：A→B的映射个数为nm个．
达标拓展：（检测、拓展）
1.已知映射f: A→B,下面命题：
(1)A中的每一个元素在B中有且仅有一个象；
(2)A中不同的元素在B中的象必不相同；
(3)B中的元素在A中都有原象
(4)B中的元素在A中可以有两个以上的原象也可以没有原象。
假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知映射f: A→B，其中集合A= ( http: / / www.21cnjy.com ){－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.若f:y=3x+1是从集合A={1 ( http: / / www.21cnjy.com ),2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射，该映射满足B中任何一个元素均有原象，求自然数a、k及集合A、B.
§2.3.1 函数的单调性 学习目标：
1．理解函数单调性概念；
2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；
3．提高观察、抽象的能力．；
学习重点：
1．函数单调性概念；
2．判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．函数在区间上的单调性。
一般地，在函数y＝f(x)的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有______________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是_________．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有____________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是_________．如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在A上具有单调性，称A为__________．
2．增(减)函数的概念。
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是__ ( http: / / www.21cnjy.com )_______________，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为_____________．
想一想：如果函数y＝f(x)，对于任 ( http: / / www.21cnjy.com )意x1，x2∈A，x1≠x2都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，能说f(x)在A上是增函数吗？
合作探究：（对学、群学）
1.画出下列函数图象，并写出单调区间．
（1）；
（2）；
（3）．
变式训练1．画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3
图象，并写出单调区间．
2.(1)证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数；
(2)证明函数f(x)＝在定义域上是减函数；
变式训练2．求函数f(x)＝x＋在(0，＋∞)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．
3.(1)已知函数f(x)＝x2－4ax＋1在[－1，＋∞)上是增加的，则实数a的取值范围是(　　)．
A．a≥－ B．a＞－
C．a≤－ D．a＝－
(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，求a的取值范围．
变式训练3．(1)若函数f(x)＝(4a－3)x＋2在R上是减函数，则实数a的取值范围是__________．
(2)已知f(x)是定义在R上的增函数，且f (x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
知识总结（评价提升）：
1. 判断函数单调性的方法有图像法和定义法。证明或讨论函数在某个区间上的单调性的步骤：(1)取值(2)作差变形(3)定号(4)结论
2. ①单调区间必须是函数定义域的子集；
②图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
3.根据函数的单调性比较函数值的大小时，首先应明确函数的单调性及单调区间，然后分析欲比较大小的函数值相对应的自变量的所属区间及其大小关系.
达标拓展：（检测、拓展）
1. 函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. R D.不存在
2. 已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x)>f(2x)的x的取值范围是________．
3.讨论函数在上的单调性.
§2.3.2 函数的单调性与最值 学习目标：
1.了解函数的最大值与最小值概念；会求一些常见函数的最值和值域
2.能利用函数的单调性解决一些简单的问题．
学习重点：
根据单调性求一些常见函数的最值和值域
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1. 最大值，最小值的定义。
最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值
最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝m.
那么，我们称m是函数y＝f(x)的最小值
2.单调性与最值.的关系。
设函数的定义域为，若是增函数，则 ， ；
若是减函数，则 ， ．
3.如图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
( http: / / www.21cnjy.com )合作探究：（对学、群学）
1.设函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系为________．
变式训练1．设函数f(x)满足：对任意 ( http: / / www.21cnjy.com )的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1－x2)·(f(x1)－f(x2))>0，试比较f(－3)，f(－π)的大小．
2.求下列函数的最小值：
（1）； （2），．
（3）
变式训练2．（1）求函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．
（2）求函数f(x)＝x＋在[1,3]上的最小值和最大值．
3.已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
变式训练3．已知定义域为[0, ( http: / / www.21cnjy.com )1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的最大值.
知识总结（评价提升）：
1.利用单调性可求函数的最值及比较大小。
2.证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．
达标拓展：（检测、拓展）
1.设f(x)在[－1,1]上是增函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，且f(1)＝1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是________．
2.已知函数f(x)＝，x∈[3,5]，
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
3.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞) ( http: / / www.21cnjy.com )，且对任意的正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(4)＝1，
(1)求证：f(1)＝0；
(2)求f；
(3)解不等式f(x)＋f(x－3)≤1.
§2.4.1 二次函数图像的再研究 学习目标：
1.理解二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用；领会二次函数图像移动的方法;
2.掌握求二次函数解析式的方法.
学习重点：
1.二次函数图像变换及求解析式．
2.对图像变换的理解及图像的应用．
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．二次函数的定义及解析式。
(1)二次函数的概念
函数________________________叫作二次函数，它的定义域是R.
(2)二次函数的解析式
①一般式：______________________；
②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中
____________为图像的顶点坐标；
③两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中____________，___________为图像与x轴的两交点坐标．
2. 二次函数图像的变换。
(1)y＝x2与y＝ax2(a≠0)间的变换
( http: / / www.21cnjy.com )
3.函数y＝x2的图像___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____平移________个单位长度，得到函数y＝(x＋2)2的图像，再________平移________个单位长度，得到函数y＝(x＋2)2－1的图像，若想要变回原来的函数，则需将函数y＝(x＋2)2－1的图像先________平移________个单位长度，再________平移________个单位长度．
合作探究：（对学、群学）
1．画出y＝x2－6x＋21的图像，并说明由y＝x2的图像如何变换得到y＝x2－6x＋21的图像？
变式训练1．将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数解析式为(　　)
A．y＝2x2　　　　 B．y＝2(x＋2)2－6
C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2
2.设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1
(a≠0)的图像为如图所示的四个图像之一,则a的值为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．－1
C. D.
变式训练2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像如图所示，有下列结论：
①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；
③abc>0； ④b＝2a.
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c( ( http: / / www.21cnjy.com )a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0),对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．
变式训练3.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．
知识总结（评价提升）：
1.二次函数的图像变换
2. 求二次函数的解析式一般采用待定系 ( http: / / www.21cnjy.com )数法，当抛物线过三点时，可选用一般式；当已知条件与顶点坐标和对称轴有关时，可选用顶点式；当已知条件与x轴的交点坐标有关时，可选用两根式．
达标拓展：（检测、拓展）
1.y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则点M(a，bc)在(　　)
A．第一象限　　B．第二象限
C．第三象限 D. 第四象限
2.将函数y＝2(x＋1)2－2向______平移______个单位，再向______平移______个单位可得到函数y＝2x2的图像．
3抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点 ( http: / / www.21cnjy.com )为(－1，0)、(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为________________．
§2.4.2 二次函数性质的再研究
学习目标：
1.会熟练地对一般二次函数解析式配方，研究其定义域，值域，单调性，最值等性质；
2.培养对参数进行讨论的能力
学习重点：
利用配方法研究y＝ax2＋bx＋c的性质.
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
二次函数的性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质如下表
a的符号性质　　　 a>0 a<0
函数图像
开口方向 开口______ 开口_______
顶点坐标 _____________ _____________
对称轴 _____________ _____________
单调性 在区间_________上是减少的，在区间___________上是增加的 在区间上________________是增加的，在区间________________上是减少的
最值
合作探究：（对学、群学）
1.已知函数f(x)＝x2－3x－.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴，并指出它的单调区间；
(2)已知f()＝－，不计算函数值，试求f()；
(3)不直接计算函数值，比较f(－)与f(－)的大小．
变式训练1. (1)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4在区间(－∞,－1)上是递减的，求实数a的取值范围;
(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4的减区间是
(－∞，－1)，求实数a的值．
2.　已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，
(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
变式训练2.已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．
3.已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图像与x轴总有交点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当函数图像与x轴有两个交点且两交点的横坐标的倒数之和等于－4时，求m的值；
(3)当函数图像恒在x轴上方时，求m的范围
变式训练3．若抛物线y＝x2＋bx＋8的顶点在x轴的负半轴上，求b的值．
知识总结（评价提升）：
1.对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在
区间[m，n]上的最值可作如下讨论
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系 最大值 最小值
hh>n f(m) f(n)
m≤h≤n m≤h< f(n) f(h)
h＝ f(m)或f(n) f(h)
2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，勿直接认为 ( http: / / www.21cnjy.com )就是二次函数．函数y＝f(x)在“区间[m，n]上单调”与“单调区间为[m，n]”两者意义不同．
达标拓展：（检测、拓展）
1.如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是减函数，那么f(2)的取值范围是(　　)．
A．(－∞，7]　 B．(－∞，7)　
C．(7，＋∞)　 D．[7，＋∞)
2．已知函数y＝－3(x－m)2＋2m2，当
x∈[2,3]时，y有最大值8，求m的值．
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数,且a≠0)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在数m，n(m§2.5．1 简单幂函数 学习目标：
1．掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
2．能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
学习重点：
能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题
，（课前完成，含独学和质疑）
1．幂函数的概念：
幂函数的概念： 其特征是：系数 .底数 .指数 .
（1）判断下列函数哪些是幂函数.
①；②；③；④.
（2）.若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________
2．五个常见幂函数的图象与性质
作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
从图象分析出幂函数所具有的性质.
定义域
值域
单调性
定点
3.幂函数的性质
一般地，幂函数y＝xα有以下性质：当 ( http: / / www.21cnjy.com )α＞0时：①图像都通过点 ；；②在第一象限内，函数值随x的增大 ；当α＜0时：①图像都通过点 ；；②在第一象限内，函数值随x的增大 ；
当α为奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称．
合作探究：（对学、群学）
1.（1）已知函数f(x)为幂函数，并且过(2，)点，则f(x)＝_______
（2）已知幂函数，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则m的值为(　　)．
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1，或m＝2 D．
变式训练1.函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－2是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)用描点法作出f(x)的图像；并写出单调区间，值域。
2．比较下列各数的大小：
(1)1.10.9与0.90.9；
(2)2.5－2与2.4－2.
变式训练2.已知，求的取值范围．
3.幂函数y＝xα中α的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为(　　)．
A． B．
C． D．
变式训练3．.图中的曲线是四个幂函数在 ( http: / / www.21cnjy.com )第一象限内的图像，记曲线C1，C2，C3，C4.对应幂函数的幂指数分别为a，b，c，d，则a，b，c，d的大小顺序正确的一组是(　　)．
A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b
C．a＞b＞d＞c D．c＞d＞b＞a
知识总结（评价提升）：
1．已知幂函数图像上一个点的坐标，求其解 ( http: / / www.21cnjy.com )析式．这时，常用待定系数法，已知一个含有参数的幂函数解析式和此函数的一个性质，求其解析式．这时常常结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征来确定参数的值．
2．两个幂比较大小，若两个幂指数相同，则构造幂函数，利用幂函数的单调性比较幂的大小．
达标拓展：（检测、拓展）
1．如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若点(2，)在幂函数y＝f(x)的图像上，则f()＝__________
3 比大小：
（1）； （2）.
§2.5．2 函数的奇偶性 学习目标：
1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；
2. 学会判断函数的奇偶性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习重点：
1.会判断函数的奇偶性；
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1．函数的奇偶性及其几何意义。
一般地，图像关于原点对称的函数叫作 ( http: / / www.21cnjy.com ) .在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足 的函数y＝f(x)一定是 ．图像关于y轴对称的函数叫作 ．在偶函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是 ．当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性．
2．判断函数的奇偶性的方法。
判断函数奇偶性的方法主要有定义法和图像法．
利用定义判断函数y＝f(x)奇偶性的步骤是：
(1)首先考查函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点对称，再进行第二步；若不关于原点对称，则说明函数是非奇非偶函数．
(2)验证f(－x)与f(x)的关系．
若f(－x)＝－f(x)，则函数为 ；；
若f(－x)＝f(x)，则函数为 ；；
若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则函数 ；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数 ；
合作探究：
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝(x－1)·；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
变式训练1．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x，
(1)求f(－2)；
(2)求出函数f(x)在R上的解析式；
(3)在坐标系中画出函数f(x)的图像．
变式训练2 已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，求a，b的值．
3．设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减少的，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．
变式训练3．设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a2＋a＋1)4．已知函数f(x)的定义域是不为0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
（1）求证：f(x)是偶函数．
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f 与f 的大小．
知识总结（评价提升）：
1．常见结论。
①如果f(x)，g(x)是定义域为D ( http: / / www.21cnjy.com )1，D2的奇函数,那么在D1∩D2上，f(x)＋g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数．类似地有：“奇±奇＝
奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝奇”．
②若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)＝f(x)＋f(－x)是偶函数，G(x)＝f(x)－f(－x)是奇函数．
2．函数奇偶性的性质。
①若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0，不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数．
②若f(x)是具有奇偶性的单调函数，则奇函数在其对称区间内具有相同的单调性，偶函数在其对称区间内具有相反的单调性．
达标拓展：（课堂强化）
1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
2.函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，则f(－)与f(1)的大小关系为__________．
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋m.
(1)求m及f(－3)的值；
(2)求f(x)的解析式并画出简图；
(3)写出f(x)的单调区间(不用证明)．
章末总结 本章知识网络
( http: / / www.21cnjy.com )
本章重点问题透析
本章主要讲述的是函数的定义域，值域，解析式，函数的单调性与奇偶性，二次函数与幂函数的图像，性质。
专题一 函数的定义域
函数是建立在两个非空数集之间的一种特殊 ( http: / / www.21cnjy.com )的对应关系，即是一种特殊的映射．函数具有三个要素，即定义域、对应法则和值域，三者缺一不可．其中最重要的是定义域和对应法则，值域由定义域和对应法则确定．研究函数时应注意定义域优先的原则，其题型主要有以下几类：
①已知f(x)的函数表达式，求定义域；
②已知f(x)的定义域，求f(φ(x))的定义域，其实质是由φ(x)的取值范围，求出x的取值范围；
③已知f(φ(x))的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由x的取值范围，求φ(x)的取值范围．
例1．（1）函数y=+的定义域为（ ）．
A．{x|x≥1或x≤-1} B．{x|-1≤x≤1}
C．{1} D．{-1,1}
（2）若函数的定义域为[-3,1],则函数的定义域为（ ）．
A．[-3,3] B．[-3,1] C．[-1,1] D．[-1,3]
（3）函数的定义域为[-2,1],则的定义域为（ ）．
专题二 函数的解析式
求函数的解析式常见的类型及求法
(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法．已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围．
(3)消元法．若已知f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f()等，可根据已知等式构造其他等式组成方程组，通过消元法解方程组求出f(x)．
(4)求实际问题中的函数解析式，需引入合适的变量，根据数学的有关知识建立函数解析式，但应注意自变量的实际取值范围．
(5)利用函数的奇偶性．
例2　求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1；
(2)f(x＋1)＝2x2＋5x＋2；
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
专题三 函数的值域
函数的值域视解析式特点常用以下方法：
(1)直接法．即由函数的定义域和对应法则直接导出值域．
(2)图像法．即利用函数的图像求解．
(3)配方法：对于二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通常先经过配方化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，借助于二次函数的单调性或直接根据其图像求解．
(4)换元法．形如y＝ax＋b＋(ac≠0)的函数，可通过换元转化为二次函数在特定区间上的值域问题，如本题(3)的解法二．
(5)利用函数的单调性．根据函数的单调性及定义域求函数的最值，从而确定值域．
但须注意的是，求函数的值域必须考察函数的定义域，注意定义域对值域的约束作用，这一点往往易被忽略．
例3　求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x4＋2x2－2；
(3)y＝x－.
专题四 函数的单调性与奇偶性
函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，在每年的高考中均有体现．常见问题有判断函数的奇偶性、单调性，求单调区间，求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶性与单调性的应用等．
例4　定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则(　　)
A．f(3)＜f(－2)＜f(1)　B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
[借题发挥]
若将上题中的条件“＜0”改为“＞0”，则结果又如何？
例5．设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)＝2，f(2)<3，f(x)在[1，＋∞)上是增加的．
(1)求a，b，c的值；
(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．
专题五 抽象函数问题
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只 ( http: / / www.21cnjy.com )是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题，抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题．
例6　对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1.f(3)＝4.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．
第二章函数
§2.1 生活中的变量关系
自主学习
在某一变化过程中保持不变的量称为常量，
而时常变化的量称为变量。一个量的变化影响着其 ( http: / / www.21cnjy.com )它的量称为这些变量是依赖关系，只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与之对应时，才称它们之间有函数关系．
合作探究1（1）C （2）. ①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．变式训练1A 2.D变式训练2C3.B变式训练3A
达标拓展1.D 2.D 3A
§2.2.1 函数的概念
自主学习
1.对应关系f 2. 定义域，值域，
对应关系f
3.[a，b] (a，b) [a，b) (a，b]
4. (－∞，＋∞) 无穷大 负无穷大
正无穷大
合作探究：1.【解】　只有②是从A到B的函数，①③④⑤都不是．
对于①，A中的元素0在B中无元素和它对应,故不是函数．
对于③，A中的负数没有算术平方根，故B中无元素和它们对应．
对于④，A中的每一个元素(除0外)都有2个平方根，所以B中有2个元素和它对应，故不是函数．
对于⑤，集合A中的一些元素，如2，立方后不在集合B中，所以在B中无元素和它对应.
变式训练1解析：由图可看出，(1)(2)不满足1≤y≤2，(3)不满足唯一性，只有(4)正确．答案：(4)
2.【解析】　对于①，两函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式相同，但f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为N，定义域不同．对于②，虽然定义域均为R，但解析式不同．对于③，g(x)＝|x＋1|与f(x)的解析式是不同的．对于④，虽然f(x)与g(t)的自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应关系都相同，所以表示同一函数．应填④.
变式训练2解析：选D.对于选项A ( http: / / www.21cnjy.com )，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同；对于选项B，g(x)＝＝|x|，它与f(x)＝x的对应关系不相同，对于选项C，g(x)＝＝x＋2(x≠2)，它与f(x)＝x＋2的定义域不同；对于选项D，两个函数的定义域均为R，且f(x)＝|x|与g(t)＝＝|t|对应关系也相同．
3.【解】　(1)要使函数有意义，则，解得x≥－2且x≠±4，故所求的定义域为{x|x≥－2，且x≠4}．
(2)由题意知：，解得x≤3且x≠－2，x≠3.所以函数f(x)＝＋的定义域为{x|x<3且x≠－2}．
变式训练3解：(1)令2x＋3≠0，∴x≠－.
f(x)的定义域为
(2)要使函数有意义，需满足，
解得1≤x≤4.
所以函数f(x)＝·＋2的定义域为{x|1≤x≤4}．
(3)要使函数有意义，需满足1＋x≠0，解得x≠－1.
所以函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
4.【解】　f(2)，g(2)分别是x＝2时对应的函数值．
(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝；
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.2分
(2)f[g(2)]＝f(6)＝＝，
由里向外知f[g(2)]是当x＝g(2)时f(x)的值．
g[f(2)]＝g()＝()2＋2＝.6分
(3)y＝的定义域为{x|x≠－1}，
∴值域为{y∈R|y≠0}8分
g(x－1)＝(x－1)2＋2显然最小值为2.
∴值域为[2，＋∞).
变式训练4解：(1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝3x＋1计算，得
函数y＝3x＋1(x∈{1,2,3,4,5})的值域为{4,7,10,13,16}．
2)因为函数y＝2＋1的定义域为{x|x≥0}，所以≥0，即2≥0，所以2＋1≥1，即函数y＝2＋1的值域为{y|y≥1}．
(3)因为y＝＝1－，且定义域为{x|x≠－1}，所以≠0，所以y＝1－≠1，
所以函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠1}．
达标拓展：（检测、拓展）
1.D 2. (1)要使函数有意义，须
x＞1
∴f(x)的定义域为(1，＋∞)
(2)要使函数有意义，须
?x≠0且x≠－1[来源:学,科∴f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0且x≠－1}.
3.解　(1)f(－3)＝＋＝－1；
f＝ ＋＝＋；
∵a＞0，∴f(a－1)＝＋
＝＋；
(2)函数y的值域为{3,5,7}；
(3)y＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]，画出二次函数的图像，由图像，得函数y的值域为[－1,8]；
(4)法一　∵y＝2＋，
∴函数y的值域是{y|y≠2}．
法二　由y＝，得x＝，
∵x存在，∴y≠2，
∴函数y的值域是{y|y≠2}；
§2.2.2 函数的表示
自主学习
1. 列表法 图像法 解析法 表格的形式 图像
2. 分段函数
合作探究
解　(1)f(x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1；
(2)法一　(拼凑法)∵f(x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
法二　(换元法)设x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k[f(x)]＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4，
∴解得或∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
(4)由题意得把f(x)和f(－x)看成未知数，解方程即得f(x)＝3x＋.
变式训练1f(x)=x2-1(x≥1)
2.解　(1)f(－3)＝f(－1)＝f(1)＝f(3)＝f(5)＝f(7)＝9；
(2)易求f(x)的定义域是[－2,3)．
当－2≤x≤－1时，f(x)＝x＋2随x的增大而增大，
∴0≤f(x)≤1；
当－1＜x＜2时，f(x)＝x2，作出二次函数图像，由图像求得0≤f(x)＜4；
当2≤x＜3时，f(x)＝2x随x的增大而增大，
∴4≤f(x)＜6，∴f(x)的值域是[0,6)．
变式训练2解析　(1)f(4)＝f(f(4 ( http: / / www.21cnjy.com )＋5))＝f(f(9))＝f(f(f(9＋5)))＝f(f(f(14)))＝f(f(14－2))＝f(f(12))＝f(12－2)＝f(10)＝10－2＝8.
(2)当x≤－1时，x＋2≤1；当－1＜x＜2时，0≤x2＜4；
当x≥2时，2x≥4，
∴x2＝3，∴x＝±.又∵－1＜x＜2，∴x＝.
答案　(1)8　(2)
3. (1)定义域为Z，所以图像为离散的点，如图(a)．(4分)
(2)定义域不是R，因此图像不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分，如图(b)．(8分)
(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号，写成y＝其图像如图(c)．
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变式训练3解　∵y＝|x＋5|＋|x－3|
∴y＝
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∴y＝|x＋5|＋|x－3|的图像如图所示．
由图可知，函数的值域是[8，＋∞)．
达标拓展：1.D 2.1 3. (1)f(x)=x2-2 (2)f(x)= (3) f(x)=
§2.2.3 映射
自主学习1.（1）非空 每一个 唯一
f：A→B （2）A中的元素x B中的对应元素y f：x→y （3）唯一的像 不同
原像 2。函数
合作探究1. 【解】　(1)是映射，且 ( http: / / www.21cnjy.com )是函数，但不是一一映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应，又A、B均为非空数集，所以此映射是函数，因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射．
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为A中的元素0，在集合B中没有对应的元素．
3)不是从集合A到集合B的映射，更 ( http: / / www.21cnjy.com )不是函数或者一一映射，因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应．
(4)当x≥2时，x－3≥－1， ( http: / / www.21cnjy.com )而y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，因而能构成映射，且是函数，并且B中每一个元素在A中都有唯一的一个原像，所以又是一一映射．
变式训练1解析：选B.在A中，当x＝3 ( http: / / www.21cnjy.com )时，|x－3|＝0，而0 B，于是A中有一元素3在B中没有元素和它对应，故不是函数；在C中，集合A中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是函数；在D中，集合A中的元素0，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是函数．只有B项符合定义，故选B.
2. 【解】　(1)将x＝－1，y＝－2代入(3x－2y＋1,4x＋3y－1)得(2，－11)．
(2)设(1,2)的原像为(x，y)则
解得(，)．
(3)设元素为(a，b)，则
解得.
∴存在这样的元素(0，)．使它的像是自己
变式训练2解析：(1)(－2,3)在映射f作用下的像是(－2＋3，－2×3)，即(1，－6)．
2)设原像(x，y)在映射f作用下的像是
(2，－3)，
由题意得，解得，或，
所以原像是(3, －1)或(－1,3)．
答案：(1)(1，－6)　(2)(3，－1)或(－1,3)
3. 【思路点拨】　根据函数的定义可用列举法探索解题思路．
【解】　(1)根据映射与函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )，集合A中的元素均可与B中的两个元素对应，故从A到B可建立24＝16个函数(审题可要慎之又慎噢！)，但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B，应予以排除，所以以集合A为定义域、B为值域的函数有14个.
(2)在上述14个函数中，满足条件
f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)的函数具体为：
(含义：对应的像由小到大排列)
f(1)＝5，f(2)＝f(3)＝f(4)＝6；
f(1)＝f(2)＝5，f(3)＝f(4)＝6；
f(1)＝f(2)＝f(3)＝5，f(4)＝6.
(使用一一列举法)
所以满足条件的函数共有3个．
变式训练3解：(1)依据映射定义，从集合A到集合B的映射有：22＝4(个)，如图．
(2)A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，则从A到B的映射共有：23＝8(个)．反过来从B到A的映射共有：32＝9(个)．
达标拓展1.B 2A 3.a=2, k=5, A={1,2,3,5} B={4,7,10,16}
§2.3.1 函数的单调性
自主学习1.f(x1)f(x1)>f(x2) 单调递减的 单调区间
增加或减少的 单调函数
合作探究1. 解：（图略）
（１）函数的单调增区间为，单调减区间为；
（２）函数在和上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是和．
（３）函数在实数集上是减函数；
变式训练1
f(x)＝
当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；
当x＜0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.
作出函数的图像，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．
2.(1)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0.
∴f(x1)－f(x2)＝(x13＋x1)－(x23＋x2)
＝(x13－x23)＋(x1－x2)
＝(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)＋(x1－x2)
＝(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22＋1)
＝(x1－x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
由单调函数的定义可知，函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
(2)f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，
任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则x2－x1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＝＝
即f(x1)＞f(x2)．
由单调函数的定义可知，函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是减函数．
变式训练2解：设x1∴f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝
若00，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴由单调函数的定义可知，函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
若11.∴x1x2－1>0
∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)由单调性定义可知f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数．
3（1）C (2)解：由题意可知
解得0＜a＜1.①
∵f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，
∴1－a＞2a－1，即a＜.②
由①②可知，0＜a＜.
即所求a的取值范围是0＜a＜.
变式训练3(1)a＜　解析：要使f(x)＝(4a－3)x＋2在R上是减函数，应满足4a－3＜0，解得a＜.
(2)解：∵f(x)是定义在R上的增函数，
且f(x－2)＜f(1－x)，
∴x－2＜1－x.∴x＜，
即x的取值范围是.
达标拓展1.B 2. ，
3.解：
设，则
∴
∵
当时，，此时函数在上是单调减函数；当时，，此时函数在上是单调增函数；
§2.3.2 函数的单调性与最值
2.f(b) f(a) f(a) f(b) 3.[－1.5,3]和[5,6]，[－4，－1.5]和[3,5]和[6,7]
最大值3，最小值-2
合作探究1. 解：已知函数f(x)的单调性，比较两个函数值f(a2－a＋1)与的大小，可以转化为判断a2－a＋1的取值范围以及a2－a＋1与的大小关系．
∵a2－a＋1＝，又∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当时，a2－a＋1＞，有f(a2－a＋1)＜；当时，a2－a＋1＝，有f(a2－a＋1)＝.综上可知，f(a2－a＋1)≤.
答案：f(a2－a＋1)≤
变式训练1解：法一：由题意可知(－3 ( http: / / www.21cnjy.com )＋π)·(f(－3)－f(－π))>0，又－3＋π>0，所以f(－3)－f(－π)>0，f(－3)>f(－π)．
法二：由题意可知x1，x2的大小关系与 ( http: / / www.21cnjy.com )相应函数值f(x1)，f(x2)的大小关系一致，则函数f(x)是定义在R上的增函数，又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．
2.解：（１）
∴当时，；
（２）因为函数在上是单调减函数，所以当时函数取得最小值为．
（3），其图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
①若，则在上是增函数，∴；
②若，则；
③若，则在上是减函数，∴的最小值不存在．
变式训练2（1）【解】　任取x1，x2∈[2,6]，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
因为2≤x10，
于是<0，即f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)所以函数f(x)＝在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值、最大值，即
f(x)max＝f(6)＝－，f(x)min＝f(2)＝－.
（2）解：设1≤x1＜x2≤3，
则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－
＝(x1－x2)(1－)．
又∵x1＜x2，
∴x1－x2＜0，
当1≤x1＜x2≤2时，1－＜0.
∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x)在[1,2]上是减函数．
当2＜x1＜x2≤3时，1－＞0，f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x)在(2,3]上是增函数．
∴f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4，
又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋＝＜f(1)，
∴f(x)的最大值为5.
3.解：(1)令x＝y＝0得，f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x得，f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，
∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在R上是减函数．
(2)∵f(x)在[－3,3]上是减少的，
∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×＝－2，最大值为f(－3)＝－f(3)＝2.
变式训练3解：(1)对于条件③，令x1＝x2＝0得f(0) ≥f(0)+ f(0)，故f(0)≤0
又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.
(2) 任取，且0≤x1∴ f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0，
即f(x2)≥f(x1)，故f(x)在[0,1]上递增，
从而f(x)的最大值是f(1)＝1.
达标拓展1. 解析　由已知，易得f(x)的最大值是1，
∵函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，
∴1≤t2－2at＋1 2at－t2≤0，
设g(a)＝2at－t2(－1≤a≤1)，
欲使2at－t2≤0恒成立，
则 t≥2或t＝0或t≤－2.
答案　t≤－2或t＝0或t≥2
2解　(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵3≤x1＜x2≤5，
∴x2－x1＞0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
因此f(x)在[3,5]上是增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3,5]上是增函数，
∴f(x)max＝f(5)＝＝，
f(x)min＝f(3)＝＝.
3. (1)证明　令x＝4，y＝1，
则f(4)＝f(4×1)＝f(4)＋f(1)．
∴f(1)＝0.
(2)解　f(16)＝f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(1)＝f＝f＋f(16)＝0，
故f＝－2.
(3)解　设x1，x2＞0且x1＞x2，于是f＞0，
∴f(x1)＝f＝f＋f(x2)＞f(x2)．
∴f(x)为x∈(0，＋∞)上的增函数．
又∵f(x)＋f(x－3)＝f[x(x－3)]≤1＝f(4)，
∴ 3＜x≤4.
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．
§2.4.1 二次函数图像的再研究
自主学习1.（1）y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
（2）y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (h，k)
(x1,0) (x2,0)
3.向左　2　向下　1　向上　1　向右　2
合作探究1. 解：y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，
顶点坐标为(6，3)，对称轴为x＝6.
利用二次函数的对称性列表：
x 4 5 6 7 8
y 5 3.5 3 3.5 5
描点连线得到函数y＝x2－6x＋21的图像如右图．
平移过程如下：先把函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝x2图像上的所有点的纵坐标缩小为原来的1/2倍，得到函数y＝x2的图像，再把y＝x2的图像向右平移6个单位，得到函数y＝(x－6)2的图像，最后把y＝(x－6)2的图像上的所有点向上平移3个单位，即得到函数y＝x2－6x＋21的图像．
变式训练1【解析】　将函数y＝2( ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，得函数y＝2(x＋1＋1)2－3的图像，即y＝2(x＋2)2－3的图像；将y＝2(x＋2)2－3的图像向上平移3个单位长
度，得函数y＝2(x＋2)2－3＋3的图像，即函数y＝2(x＋2)2的图像．
【答案】　D
2.【解析】　因为b>0 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以二次函数图像的对称轴不为x＝0，所以图像①②可以排除．又图像③④过原点，即a2－1＝0，所以a＝±1.又b>0，若a＝1，则有对称轴x＝－<0，与图像④矛盾，所以a＝－1，且该函数的图像为③. 【答案】　B
变式训练2解析：选D.由题图可得f ( http: / / www.21cnjy.com )(1)＝a＋b＋c<0，f(－1)＝a－b＋c>0，－＝－1，∴b＝2a，ab>0，又f(0)＝c>0，∴abc>0.故选D.
3. 【解】法一：因为二次函数图像的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为M(－1,2)或M′(－1，－2)
故设二次函数的解析式为y＝a(x ( http: / / www.21cnjy.com )＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.因为图像过点A(－3,0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝. 故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋，或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.
法二:因为二次函数图像的对称轴为x＝－1,
又图像过点A(－3,0)，所以点A ( http: / / www.21cnjy.com )关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上，所以可设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0). 由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)，分别代入上式，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－.
变式训练3解：法一：利用二次函数一般式．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得
解之得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：利用二次函数顶点式．
设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝.
又根据题意函数有最大值为ymax＝8，
∴f(x)＝a(x－)2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1，解之得a＝－4.
∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：利用两根式．
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
达标拓展1.A 2. 右　1　上　2
3. y＝－2x2＋4x＋6
§2.4.2 二次函数性质的再研究
自主学习见课本
合作探究1. 【解】　(1)∵f(x)＝x2－3x－＝(x－3)2－.
∴f(x)图像的顶点坐标为，
对称轴为x＝3.
单调增区间[3，＋∞)，减区间为(－∞，3]．
(2)法一：∵f ＝－，又
＝＝.
∴结合二次函数的对称性可知，
f ＝f ＝－.
法二：∵函数f(x)的图像关于x＝3对称．
∴f(3＋x)＝f(3－x)，
∴f ＝f ＝f ＝f ＝－.(3)∵f(x)在x∈(－∞，3]上是单调递减函数，
又－<－<3，
所以f >f .
变式训练1解：(1)函数f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝x2－2ax＋4的对称轴是x＝a，函数f(x)＝x2－2ax＋4在区间(－∞，－1)上是递减的，则(－∞，－1) (－∞，a]，所以a≥－1.
(2)由题意知，函数f(x)＝x2－2ax＋4的对称轴是x＝－1，所以a＝－1.
2.【解】　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
(1)当x∈[－3,0]时，f(x)在[－3,0]上为减函数，
故当x＝－3时，
f(x)有最大值f(－3)＝17.
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝2.
(2)当x∈[－3,3]时，f(x)是先减后增，
当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝1.
∵|－3－1|>|3－1|，
∴当x＝－3时，
f(x)有最大值f(－3)＝17.
∴函数f(x)的值域为[1,17]
(3)①当t＋1≤1，即t≤0 ( http: / / www.21cnjy.com )时，由图(1)知，截取减区间上的一段，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；②当1③当t＋1>2，即t>1时，由图(3)可知，截取增区间上的一段，g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，
g(t)＝
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
变式训练2解：函数f(x)的对称轴为x＝a,且开口向上，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )
当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知，f(x)min＝
3.【思路点拨】　函数图像与x轴交点个数问题，等价于方程y＝0的根的个数问题，须分m＋6＝0和m＋6≠0讨论(审题时切勿认为就是二次函数)
【解】　(1)当m＋6＝0时，函数y＝－14x－5与x轴有一个交点.
当m＋6≠0且Δ＝4(－9m－5)≥0时，解得m≤，
即当m≤－，且m≠－6时，抛物线与x轴有交点．
综合m＋6＝0和m＋6≠0可知，当m≤－时，此函数的图像与x轴有交点.
∵＋＝－4，即＝－4，∴－＝－4，解得m＝－3.
当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0，符合题意，
∴m的值是－3.
(3)要使函数图像恒在x轴上方，则方程y＝0无实根且m＋6>0，
∵∴∴m>－，∴当函数图像恒在x轴上方时，m>－.
变式训练3解：∵顶点在x轴的负半轴上，即方程x2＋bx＋8＝0只有一个负根．
∴∴
∴b＝4.
达标拓展1.B
2.解：已知抛物线的对称轴为x＝m，相对于区间[2,3]有三种情况：
①当2≤m≤3时，ymax＝2m2＝8，解得m＝
±2，
∵2≤m≤3，∴m＝－2舍去，∴m＝2.
②当m<2时，ymax＝f(2)＝－3(2－m)2＋2m2＝8，
即m2－12m＋20＝0，
∴m＝2，或m＝10，而m<2，∴无解．
③当m>3时，ymax＝f(3)＝－3(3－m)2＋2m2＝8，
即m2－18m＋35＝0，∴m＝9±.
∵m>3，∴m＝9－(舍去)
∴m＝9＋，
综上所述，m＝2，或m＝9＋.
解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴－＝1，
又方程f(x)＝x有等根，即ax2＋(b－1)x＝0有等根，
∴Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1，∴a＝－，
∴f(x)＝－x2＋x.
(2)∵f(x)为开口向下的抛物线,对称轴为x＝1，
当m≥1时，f(x)在[m，n]上是减函数，
∴3m＝f(x)min＝f(n)＝－n2＋n，(*)，
3n＝f(x)max＝f(m)＝－m2＋m，
两式相减得3(m－n)＝－(n2－m2)＋(n－m)，
∵1≤m代入(*)式化简得n2－8n＋48＝0无实数解．
当n≤1时，f(x)在[m，n]上是增函数，
∴3m＝f(x)min＝f(m)＝－m2＋m，
3n＝f(x)max＝f(n)＝－n2＋n，
∴m＝－4，n＝0.
当m≤1≤n，对称轴x＝1∈[m，n]时，
∴3n＝f(x)max＝f(1)＝，∴n＝与n≥1矛盾．
综合上述知存在m＝－4，n＝0满足条件．
§2.5．1 简单幂函数
自主学习1. 形如y＝xa(其中底数x为自变量，指数a为常量)的函数叫幂函数．
为1 为自变量x 为常量
(1) ① （2）-1或4 2.见课本
3.（0,0），（1，1）而增大 （1,1）而减小
合作探究
1.解：（1）∵函数f(x)为幂函数，∴可设其解析式为f(x)＝xα.又f(x)的图像过(2，)点，∴f(2)＝，即2α＝，∴.故f(x)＝.
答案：
(2)因为函数是幂函数，所以，根据幂函数的定义可得，m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝－1，或m＝2.又因为当x∈(0，＋∞)时幂函数为减函数，所以，根据幂函数的性质可知，m2－2m－3＜0，把m＝－1,2依次代入不等式，经检验m＝－1不符合不等式，故只有m＝2.此时幂函数解析式为y＝x－3.
答案：A
变式训练1【解】　(1)∵f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－2为幂函数，且在(0，＋∞)上为减函数，
∴m2－m－1＝1且m2＋m－2<0，
∴m＝－1，即f(x)＝x－2(x≠0)．
(2)列表作图如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)由(2)可知，f(x)的单调区间为(－∞，0)及(0，＋∞)．
其中f(x)在区间(－∞，0)上为单调递增的，在区间(0，＋∞)上为单调递减的，且f(x)的值域为(0，＋∞)．
2解：(1)考察幂函数y＝x0.9，由于该函数在(0，＋∞)上是增函数，且1.1＞0.9，所以1.10.9＞0.90.9.
(2)考虑幂函数y＝x－2，由于该函数在(0，＋∞)上是减函数，又2.5＞2.4，所以2.5－2＜2.4－2.
变式训练2解：因为在和上为减函数，时，；时，．原不等式可以化为
（1）（2）
（3）
（1）无解；（2），（3）
所以所求的取值范围为{}
3.解：根据幂函数y＝x－1，y＝x0，，y＝x，y＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，当α＝－1，，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．
答案：C
变式训练3.A
达标拓展1.D 2.4. 3. < <
§2.5．2 函数的奇偶性
自主学习1.奇函数，奇函数，偶函数，偶函数 2. 奇函数 偶函数 非奇非偶函数
既是奇函数又是偶函数
合作探究：1. 解：(1)∵函数的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；
(2)∵定义域为{x|x＞1或x≤－1}，定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；
(3)∵定义域为{－2，2}，任取x∈{－2，2}，
则－x∈{－2，2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数；
(4)法一：可知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
①设x>0，则－x<0，
f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)，
②设x<0，则－x>0，
f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
变式训练1A
2.解：(1)f(－2)＝－f(2); 而f(2)＝22－2×2＝0，∴f(－2)＝0；
(2)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x＜0时，－x＞0，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上：f(x)＝
(3)图像如下图：
变式训练2解：定义域应关于原点对称，故有a－ ( http: / / www.21cnjy.com )1＝－2a，得a＝.又对于所给的函数f(x)，要使其为偶函数，需f(－x)＝f(x)恒成立，即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b，得b＝0.(或者二次函数f(x)的图像的对称轴x＝－＝0，得b＝0).
3.解：由f(m)＋f(m－1)＞0，
得f(m)＞－f(m－1)，即f(1－m)＜f(m)．
又∵f(x)在[0，2]上是减少的，且f(x)在[－2，2]上是奇函数，∴f(x)在[－2，2]上是减少的．
∴即
解得－1≤m＜.即实数m的取值范围是[－1，)．
变式训练3解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减
∵2a2＋a＋1＝22＋>0.
2a2－2a＋1＝22＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋1，
∴3a>0.∴a>0.
即a的取值范围为(0，＋∞)．
4.(1)证明：由题意知函数f(x)的定义域关于原点对称，因为对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0，
令x1＝x2＝－1，得f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，即f(1)＝2f(－1)，即2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f[(－1)·x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)证明：设0∵x2>x1>0，∴>1，∴f>0，即f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x1)(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f ＝f ，由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f >
f ，∴f >f .
达标拓展1.D 2. f(1)＜f(－)
3.(1)0，-3
章末总结
例1(1)D.(2)C (3)A
例2[解]　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
∵f(f(x))＝4x－1，∴f(ax＋b)＝4x－1.
∴a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1，
∴解得或
∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)令x＋1＝t，则x＝t－1.
∴f(t)＝2(t－1)2＋5(t－1)＋2＝2t2＋t－1.
∴f(x)＝2x2＋x－1.
(3)由题意知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.①
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
联立①②消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
即f(x)＝x2－2x.
例3[解]　(1)y＝＝＝－1＋.
∵x2＋1≥1，∴0＜≤1.
∴－1＜－1≤0.故函数的值域为(－1，0]；
(2)函数的定义域是R，设x2＝t，则t≥0.
则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3，t≥0.
∵y＝(t＋1)2－3在t≥0上是单调递增的，
∴当t＝0时，y取最小值－2.
∴函数y＝x4＋2x2－2的最小值为－2.
∴y≥－2，故值域为[－2，＋∞)；
(3)法一：由函数的解析式可知，1－2x≥0，∴x≤.
∵函数y＝x，y＝－在(－∞，]上均单调递增，
∴函数y＝x－在(－∞，]上均单调递增，
∴y≤－＝，
∴原函数的值域为(－∞，]．
法二：设＝t，则x＝(t≥0)，
∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1(t≥0)，
可知函数y＝－(t＋1)2＋1在[0，＋∞)上单调递减，
∴y≤－(0＋1)2＋1＝，
∴原函数的值域为(－∞，]
例4[解析]　对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有
＜0，
即x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，因此函数f(x)在[0，＋∞]上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，
故f(－2)＝f(2)，
由于3＞2＞1＞0，故有f(3)＜f(－2)＜f(1)．
[答案]　A
例5解：(1)由f(1)＝2，得＝2.
由f(2)<3，得<3.
∵f(x)为奇函数，故f(x)的定义域关于原点对称，
又f(x)的定义域为{x|x≠－}(显然b≠0，
否则f(x)为偶函数)，
∴－＝0，即c＝0.
于是得f(x)＝x＋，且＝2，<3.
∴<3.
∴0∴b＝1，∴a＝1.
故a＝b＝1，c＝0，符合f(x)在[1，＋∞)上是增加的；
(2)f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
在[－1，0)上是减函数．
证明如下：
由(1)知f(x)＝x＋，
设x1而f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)(1－)＝(x1x2－1)
当－1≤x1显然x1－x2<0，0∴f(x1)－f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在[－1，0)上是减函数．
当x1显然x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－1]上是增函数．
综上，f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
在[－1，0)上是减函数.
例6[解]　(1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x2－x1＞0，
∴f(x2－x1)＞1.
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1＞0.
∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)是R上的增函数；
(2)令x＝y＝1，则f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝f(2)＋f(1)－1＝3f(1)－2.
又∵f(3)＝4，∴3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，f(2)＝2f(1)－1＝3，
由(1)知f(x)是R上的增函数，
∴f(x)在[1，2]上是增函数，
∴f(x)的最小值为f(1)＝2，最大值为f(2)＝3.
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．