北师大版八年级数学上册试题 第2章 实数 单元提高卷（含答案）

第2章《实数》（单元提高卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数中是无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（ ）
A．17 B．10 C．6 D．7
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．＝2 B．(﹣1)3＝1 C．＝0.1 D．2+
5．估计的值在（　　）
A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间
6．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和，且AC=AB，则点C表示的数为（ ）
A．-2- B．-1- C．-2+ D．1+
7．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．设实数的整数部分为m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（ ）
A． B． C． D．
9．若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1
10．已知a满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．的算术平方根是______．
12．二次根式 中的字母a的取值范围是_____．
13．比较大小：______.
14．当时，代数式______．
15．如图：化简_________．
16．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________．
17．已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述方法计算：当时，的值等于______．
18．观察下列各式：
①；②；③
根据你发现的规律填空：________；_________(n≥2，n为自然数).
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）把下列各数填入相应的大括号中：
自然数集合{ …}；
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
实数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
20．（8分）计算：
(1)； (2)．
21．（10分）已知：实数a，b满足，
(1) 可得 ， ；
(2) 当一个正实数的两个平方根分别为和时，求m的值以及x的值．
22．（10分）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．
请你求出数x的值．
若m为的相反数，n为的绝对值，求的整数部分的立方根．
23．（10分）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1) 计算：①______，②______；
(2) 计算：；
(3) 已知有理数、满足，则______，______．
24．（12分）某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
6+6＝2＝12；；
0.3+0.3＝2＝0.6；＝2；
0.2+3.2＞2＝1.6；．
【猜想结论】
如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【证明结论】
∵≥0
∴①当且仅当＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时，等号成立）．
(1)【应用结论】已知函数与函数，则当 时，取得最小值为 ．
(2)【应用结论】对于函数y＝（x＞4），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
(3)【拓展应用】疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积，问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？
参考答案
一、单选题
1．B
解：，，，，
所以是无理数，其余的都是有理数，
即是无理数．
故选：B．
2．C
【分析】
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
解：A选项，，故该选项不符合题意；
B选项，，故该选项不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】
利用正方形的面积公式，可知 ，再在中，由勾股定理即可求解．
解：∵正方形ABCD的面积为15，
，
在中，， ，
，
或（舍），
．
故选D．
4．A
【分析】
根据，（﹣1）3＝﹣1，，依次进行判断得到答案．
解：∵
∴选项A符合题意
∵（﹣1）3＝﹣1
∴选项B错误
∵，且
∴
∴选项C错误
∵2和不能合并
∴选项D不符合题意；
故选：A．
5．B
【分析】
估算的大小即可．
解：由于，而，即67，
所以的值在6和7之间，
故选：B．
6．A
【分析】
由题意知，A、B间的距离为，点B关于点A的对称点为C，则A、C间的距离也为 ，再利用数轴上点的移动规则列式计算即可．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为-1和，
∴AB=，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC=，
∴点C所表示的数为．
故选：A．
7．D
【分析】
根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算．
解：A、，所以A选项不符合题意；
B、，所以B选项不符合题意；
C、 与合并，所以C选项不符合题意；
D、，所以D选项符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】
估算无理数的大小，确定m、n的值，再用平方差公式计算（2m+n）（2m﹣n），最后再再代入求值即可．
解：∵1＜＜2，
∴的整数部分为m=1，小数部分为n=-1，
∴（2m+n）（2m﹣n）
=
=
=
=，
故选：A．
9．D
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知：，
∴m≥﹣2且m≠1，
故选D．
10．D
【分析】
根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
解：由题意知：，解得：，
∴ ，
∵，
∴，得：，
∴ ，即．
故选：D
二、填空题
11．
【分析】
先计算，题目就转化为求的算术平方根，根据算术平方根的定义可得答案．
解：，，所以的算术平方根，即的算术平方根是，
故答案为
12．a≥﹣1．
【分析】
根据二次根式的被开方数为非负数，可以得出关于a的不等式，继而求得a的取值范围.
解：由分析可得，a+1≥0，
解得：a≥﹣1.
13．>
【分析】
因为两数的分母相同，比较分子的大小即可．
解：∵1>-1
∴>.
故答案为>
14．2022
【分析】
根据完全平方公式以及二次根式的性质=a（a≥0）即可求出答案．
解：∵时，
∴x-1=，
∴（x-1）2=2，
∴x2-2x+1=2，
∴x2-2x=1，
∴原式=1+2021
=2022，
故答案为：2022．
15．
【分析】
先根据数轴的性质可得，从而可得，再根据绝对值的性质、二次根式的性质化简即可得．
解：由数轴可知，，
则，
所以
，
故答案为：．
16．18
【分析】
先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解．
解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积为，
∵
∴，
∴，
故答案为：18．
17．
【分析】
将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解．
解：由题意可知，时，，，，，…，
其规律是3个为一次循环，
∵2022÷3=674，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】
根据算式的结果写出即可.
解：根据所给算式的结果可得：
； (n≥2，n为自然数).
故答案为 ；.
三、解答题
19．
解：根据实数的分类，
自然数集合{ …}；
负数集合{ ， …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
实数集{ …}；
无理数集合{ …}．
20．
(1)原式＝﹣（6+4+2）+1
＝4﹣8﹣4+1
＝﹣7；
(2)原式＝（7+4）（7﹣4）﹣（4﹣3）+
＝49﹣48﹣1+
＝．
21．
解：(1)∵，
∴a+5=0，b-4=0，
解得：a=-5，b=4；
故答案为：-5，4；
(2)依题意，得，即2m+5+4+m=0，
解得：m=-3，
则x=（m+b）2=（-3+4）2=1．
22．
解：(1)∵点A，B表示的数分别是1和，
∴，
∴，
∴点C表示的数；
(2)由（1）知，
∴，，
∴m＝﹣（﹣1）＝1，，
∴，
∵1＜2＜4，
∴，
∴，
∴．
23．
(1)解：①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
(2)
=
=
=1；
(3)∵，
∴，
∴，
∴，
∵a、b都是有理数，
∴2a+b=-1，b-a=2，
解得a=-1，b=1，
故答案为：-1，1．
24．
(1)解：∵已知函数与函数，
∴＝，
∵x＞0，
∴≥2，
即≥2，当且仅当x＝即x2＝1，只取x＝1时，等号成立；
∴≥2，
∴当x＝1时，取得最小值为2．
故答案为：1，2
(2)解：∵x＞4，
∴x－4＞0，
∵ ，
∴2，
∴y＝＝≥6，
此时，
解得，，
经检验，是分式方程的根，
∵x＞4，
∴x＝5，
∴当x＝5时，函数y＝（x＞4）的值最小，最小值是6．
(3)解：设每间隔离房与墙平行的边为m米，与墙垂直的边为米，所用钢丝网长度为w米，
由题意得：w＝6m+9×＝+6m，
即：w＝+6m，
∴+6m≥2，
∵2＝2×36＝72，
∴w＝+6m≥72，当且仅当＝6 m时，等号成立，
即6m2＝216，
解得m＝6或﹣6（不合题意，舍去），
∴m＝6，
此时＝4，
∴每间隔离房的长、宽各为6米和4米时，所用钢丝网长度最短，最短长度是72米．