沪科版九年级数学上册试题第22章 相似形--通过作平行线解决问题（含答案）

《相似形 --通过作平行线解决问题》
一、单选题
1．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．
2．如图，在中，，点D在边上，线段绕点D顺时针旋转，点C恰巧落在边上的点E处．如果，．那么x与y满足的关系式是（　　）

A． B．x-3y=1 C．x-2y=1 D．
3．如图，正方形中，分别在边上，相交于点， 若，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（ ）
A．2 B．2．5 C．3 D．4
6．如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在边长为的等边中，为边的中点，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
8．如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点M在边上，线段绕点M顺时针旋转，点C恰巧落在边上的点N处．如果．那么n与m满足的关系式是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形中E为的中点，F为上一点，与交于点H，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为 ．

12．如图，在中，，，点在线段上，，点在线段的延长线上，，连接，若的面积等于10，则的长为 ．

13．如图，是的中线，点E在边上，交于点F，若，，则的长度为 cm.

14．在中，点D在边上，，点E在上，，，，，E为中点，则 .
15．如图，在直角梯形中，，，，，的平分线分别交，于点，，则的值是 ．
16．如图，在中，，点D，E分别在边上，且，连接，相交于点O，若的面积为4，则面积为 ．
17．如图，在中，，的平分线交于点D，且，则 ．
18．如图，在中，，，与相交于点，则 .
19．如图，在矩形中，E、F分别为边的中点，与分别交于点P、Q．已知，，则的长为 ．
20．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为 ．
三、解答题
21．如图，点、分别在的边、上，，求证： ．

22．如图，在等边中，点D，E分别在，的延长线上，且，的延长线交于点F．
（1）求的度数；
（2）延长至点G，使，连接交于点H．依题意补全图形，猜想线段与的数量关系，并证明．
23．如图，在中，点D在线段上，，，，，求的长．

24．如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接求证：．
25．如图，已知菱形中，，E，F分别在边，上，是等边三角形，对角线交于点M，点N在上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
答案
一、单选题
1．B
【分析】过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到计算即可.
解：过点D作交于H,

则 ，
，
∵,
∴,
故选:.
2．C
【分析】如图所示，过点D作于H，先由旋转的性质得到，则，再证明，由平行线分线段成比例定理得到，由此即可推出．
解：如图所示，过点D作于H，

由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
即：．
故选C．
3．C
【分析】如图作，交于N，交于M．设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
解：如图，作，交于N，交于M．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
设，则
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
故选：C
4．C
【分析】过点D作交于点G，利用平行线分线段成比例定理求出，，进而可得答案．
解：如图，过点D作交于点G．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
5．A
【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解．
解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示：
∵是的重心，延长交于点，延长交于点，
∴，，
∴，，
又∵分别是和的重心，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
6．A
【分析】连接，由题意可知为的中位线，即可得到，，，利用勾股定理可得，然后根据平行线分线段成比例定理可得，即可获得答案．
解：连接，如下图，
∵，分别为边，上的中线，，，
即点为的中点，
∴为的中位线，
∴，且，，
∵，
∴，
∵，
∴△DEF∽△CBF，
∴，即，
∴，
∴．
故选：A．
7．B
【分析】将绕点逆时针旋转得到，连接，可证明，当时，有最小值，再由即可求解．
解：将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图：
由题意可得：，是的中点，
∵为等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴点的轨迹为直线，
∴当时，有最小值，
此时，
∵是的中点，
∴，
故选：B
8．A
【分析】作交于，根据是中点可得,根据平行线分线段成比例可得,有已知条件可得,进而可得．
解：作交于，
是的中线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选A．
9．A
【分析】如图所示，过点M作于H，先由旋转的性质得到，则，再证明，由平行线分线段成比例定理得到，由此即可推出．
解：如图所示，过点M作于H，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故选A．
10．C
【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．
解：延长交的延长线于点G，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，故C正确．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】作交AB于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．
解：作交AB于点K，

∴，．
∵是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】过点作于点，过点作于点，先证明，设，则，，再根据的面积等于10列方程，及勾股定理即可．
解：过点作于点，过点作于点，

，
，
，
在中，，，
，，
，
，，，
，
解得：
在中，，
故答案为：．
13．1.2
【分析】过D点作交于G点，如图，利用得到，则，所以，再利用得到，然后利用比例的性质求．
解：过D点作交于G点，如图，

∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为1.2．
14．
【分析】延长、交于M，利用即可求出，再由，即可得到，最后证明即可．
解：延长、交于M，连接
∵
∴，
∵，，
∴
∴，
∵E为中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴
故答案为：．
15．
【分析】过点F作于点G，由，得出，又是的平分线，结合，得到，即可求解本题．
解：作于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】过点D作，根据平行线分线段成比例定理可得，根据已知，得，所以得，，即．
解：如图，过点D作，交于点F，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．7.5
【分析】过C作，交BA的延长线于点E，由平行线分线段成比例定理，得到，设，用勾股定理建立方程求解即可．
解：如图，过C作，交BA的延长线于点E，
所以，，
因为的平分线交于点D，且，
所以，，
所以，
设，
根据勾股定理，得，
解得（舍去），
所以，
故答案为：7.5．
18．
【分析】先过E作，交于G，再作交于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可．
解：作交于，作交于，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
19．
【分析】延长交于T，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行得比例线段，求出的长．
解：延长交于T，如图，
∵四边形是矩形，，，
∴，
∵F为中点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
20．
【分析】延长交于G，先由中点定义，，中位线性质得，根据平行线分线段成比例，得到，又因从而由线段垂直平分线性质得，根据等边对等角可得，即可由三角形内角和定理求解．
解：延长交于G，
∵点D，E分别是，的中点.
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
21．
解：证明：过点作，交边于点，

又∵，
∴四边形平行四边形
∴，，
∴，
∴；
由，
得，
∴．
22．
解：（1）∵是等边三角形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
（2）补全图形，如下图：
猜想，理由如下：
在上截取，连接，，
∵，
∴ 是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴．
即．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
23．
解：证明：过点作交于点．

，　
；
又，
，
，
．
，
．　
又，
．
．
24．
解：证明：如图，延长到，使，
连接、．
是的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，
同理，
，
．
25．
解：（1）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
（2）连接，
由（1）知是等边三角形，即，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，即有，
∵，
∴，
∴是等边三角形，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．