江西省丰城中学2015-2016学年上学期高一数学必修一导学案第三章 基本初等函数（Ⅰ）
文档属性
| 名称 | 江西省丰城中学2015-2016学年上学期高一数学必修一导学案第三章 基本初等函数（Ⅰ） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 560.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-02 17:17:32 | ||
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文档简介
第三章指数函数和对数函数
§3.1 正整数指数函数
学习目标:
了解正整数指数函数的概念;理解具体 的正整数指数函数的图像特征及单调性;正整数指数幂的运算的函数性质
学习重点:
正整数指数函数的概念及性质．
自主学习（独学、质疑）
1．正整数指数函数的概念
一般地，函数___________ (a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
２.下列函数是正整数指数函数的为( )
A．y＝－2x(x∈N＋) B．y＝2x(x∈R)
C．y＝x2(x∈N＋) D．y＝()x(x∈N＋)
３．正整数指数函数的图像和性质
由于正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，
不能用平滑的曲线将各点连接起来．也就是说，正整数指数
函数的图像是由一些____________组成的．如函数y＝()x，y＝2x(x∈N＋)的图像(如图所示)．
由图像可得：
(1)当底数a＞1时，正整数指数函数的图像是____
____的；
(2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数的图像是________的．
由此得出正整数指数函数的单调性：(1)当底数a＞1时,正整数指数函数是___函数;
(３)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数是
____函数．
4：y＝2x(x∈N＋)的单调增区间是N＋吗？
函数f(x)＝()x(x∈N＋)，则f(2)＝________.
合作探究（对学、群学）
例１：若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性．
(1)y＝(－)x；
(2)y＝x4；
(3)y＝；
(4)y＝()x；(5)y＝(π－3)x.
变式1：若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则实数a的值为________．
例２：在同一平面直角坐标系中，分别画出下列两组函数的图像，并分析底数的不同对函数的单调性和图像递增或递减快慢的影响．
(1)y＝2x，x∈N＋，与y＝3x，x∈N＋；
(2)y＝y＝()x，x∈N＋与y＝y＝()x，x∈N＋.
变式2：比较下列各组幂值的大小(用“＞”或“＜”填空)．
(1)1.5819________1.5820；
(2)0.52012________0.52013.
例３：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.
写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋ ( http: / / www.21cnjy.com ))变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一半．
变式3：一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出
去，各自找回了5个伙伴，…，如果找伙伴的过程这样继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有多少只蜜蜂？
评价提升（评价、完善）：
1．要注意正整数指数函数与幂函数y＝xa的区别：正整数指数函数解析式中的底数是常数，而幂函数解析式中的指数是常数．
2．正整数指数函数的值域不是[a，＋∞)，而是{a，a2，a3，…}．
达标拓展（检测、拓展）
1．若f(x)＝3x(x∈N且x>0)，则函数y＝f(－x)在其定义域上为( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
2．某厂2000年的生产总值为x万元，预计生产总值每年以12%的速度递增，则该厂到2012年的生产总值是________万元．
3．截止到1999年底，我国人口约为13亿 ( http: / / www.21cnjy.com )，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．
§3.2 指数扩充及其运算性质
学习目标::
理解无理数指数幂、分数指数幂的含义；理 解并应用幂的运算性质
学习重点:：
正整数指数函数的概念及性质
自主学习
1．分数指数幂
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n
(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得b ( http: / / www.21cnjy.com )n＝am，就把b叫作 ________________，记作_______________.它就是分数指数幂．
(1)正分数指数幂也可写成根式的形式，即＝__________ (a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿：＝__________(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
(3)0的正分数指数幂等于________,0的负分数指数幂_______________．
问1.是个a相乘吗？
问2.()n与(n∈N＋，n＞1)相同吗？
2.正整数指数幂的运算性质：
(1)aman＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn；
(4)当a≠0时，有＝
合作探究（对学、群学）
例1：计算下列各式的值：
(1)2××；
(2).
变式1．化简：
(1)(－)÷；
(2)·(a＜0)；
(3) (a，b＞0)．
例2：计算下列各式．
(1)(·)－3÷ ；
(2)()－2＋＋＋4·3.
变式2．化简下列各式．
(1)；
(2)；
(3)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(2－)0.
例3已知，求下列各式的值，
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)
变式3．已知a2x＝＋1，求的值．
评价提升（评价、完善）：
1．注意：式子()n(n∈N＋，且n＞1)中被开方数a的取值范围由根指数n来确定．当n是奇数时，a∈R；当n为偶数时，a∈[0，＋∞)．
2．对于分数指数幂的运算性质要注意其成立的条件．
达标拓展（检测、拓展）
1.等于( )
A. B. C. D.
2.若有意义，则－|3－x|化简后的结果是________．
3. 化简: ÷(1-2)×.
§3.3.1 指数函数(一)
学习目标::
理解并应用指数函数的图像与性质 ；理解指数函数中底数a的变化对函数值变 化的影响．
学习重点:
指数函数的图像与性质．
自主学习
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a＞0且a≠ ( http: / / www.21cnjy.com )1，x∈R)叫作指数函数，在这个函数中，自变量x出现在指数的位置上，底数a是一个大于0且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R.
2.指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质
问1:函数y＝ax与y＝()x(a＞0，a≠1)的图像有什么关系？
合作探究（对学、群学）
例1：求下列函数的定义域和值域：
y＝()；
(2)y＝.
变式1．求下列函数的定义域和值域：
y＝3；
(2)y＝.
例2： 画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时,方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
变式2．画出函数y＝()|x|的图像，根据图像指出其值域和单调区间．
例3：(1)解不等式()x2－2≤2；
(2)已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围．
变式3．比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.72.5 ,1.73；
(2)2.3－0.28 ,0.67－3.1；
(3)a1.3，a2.5(a＞0且a≠1)．
评价提升（评价、完善）：
1．指数幂ax和1的比较：
当x＜0,0＜a＜1或x＞0，a＞1时，ax＞1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相同时，ax大于1，简称为“同大”．
当x＜0，a＞1或x＞0,0＜a＜1时,0＜ax＜1，
即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相反(异)时,ax小于1,简称为“异小”．
因此简称为“同大异小”．
2.比较指数幂的大小时，通常有以下几种 ( http: / / www.21cnjy.com )方法：当幂式的底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较，当底数中含有字母时要注意分类；若幂式的底数不同而指数相同时，可以根据指数函数的图像随底数的变化规律，利用图像进行比较；若底数不同且幂指数也不同时,则需要引入中间量进行比较,中间量可以是幂式，使它与其中一个底数相同而与另外一个指数相同，或用0、1作为中间量．
达标拓展（检测、拓展）
1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
2．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
3．设f(x)＝，若0(1)f(a)＋f(1－a)的值；(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值．
§3.3.2指数函数 (二)
学习目标::
1．理解指数函数的概念和意义，探求并理解指数函数的单调性和特点．
2．掌握与指数函数有关的复合函数的单调性求解问题．
3．掌握与指数函数有关的函数图像的变换问题及指数方程、不等式问题．。
学习重点::
指数函数的定义、图像和性质及其应用．
自主学习:
1．指数函数定义
函数________叫作指数函数，其中________，定义域为________，值域为________．
2.指数函数的图像与性质
( http: / / www.21cnjy.com )
3.y＝ax与y＝()x的关系
一般地，当函数y＝ax与函数y＝的自变量的取值互为相反数时，其函数值________，这两个函数的图像是关于________对称的．
4．函数y＝ax与y＝bx的特点(a>b>1)
(1)当x<0时，总有ax________bx________1.
(2)都过点________．
(3)当x>0时，总有ax________bx________1.
(4)指数函数的底数越大，当x>0时，其函数值增长得就________．
合作探究（对学、群学）
例1．如图是指数函数：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aC．1变式1．函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
例2.利用y＝2x的图像，如何变换得到下列函数的图像？试作出它们的图像．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x ( http: / / www.21cnjy.com )＋1；(3)y＝2－x；(4)y＝－2x；(5)y＝－2－x；(6)y＝2|x|；(7)y＝|2x－1|.
变式2．已知函数y＝ax＋b的图像经过第一、三、四象限，试确定a，b的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )
例3.已知函数y＝(x∈R)，确定其单调性及相应的单调区间，并求值域．
变式3．求下列函数的定义域、值域及单调区间：
(1)y＝3－x2＋2x＋1；
(2)y＝()2x2－4x＋3.
评价提升（评价、完善）：
1.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象在第一象限内逆时针方向，图象对应的底数依次增大，即底大图高．
2.对于形如y＝af(x)(a>0且a≠1)一类的函数，有以下结论：
(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；
(2)先确定函数f(x)的值域，根据指数函数的值域、单调性，可确定函数y＝af(x)的值域；
(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数u＝f(x)的增减性相同；
当0达标拓展（检测、拓展）
1．函数y＝的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
2．已知函数f(x)＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,2) D．(2,0)
3．把函数y＝f(x)的图像向左、向下分别平移2个单位，得到函数y＝2x的图像，则f(x)＝________.
§3.3.3指数函数（三）
学习目标:
了解指数函数模型的实际背景 ( http: / / www.21cnjy.com )．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．
学习重点:
指数函数的图像与性质的应用
自主学习
1.两个重要公式 ( http: / / www.21cnjy.com )
②________(注意必须使有意义)
2.有理数的指数幂
(1)幂的有关概念．
①正分数指数幂：＝____( ＞0，m、n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：＝____＝___(＞0，m、n∈N*，且n＞1)．
③0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________.
合作探究（对学、群学）
例1：化简下列各式：(其中各字母均为正数)
变式训练1 计算：
例2：已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
变式2．设f(x)＝＋是定义在R上的函数．(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性．
例3函数y＝的图像大致为( )
A. B. C. D
变式3．已知方程10x＝10－x，lgx＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是______．
评价提升（评价、完善）：
1.在指数幂的运算过程中，根式一般化为分数指数幂参与运算，要注意公式成立的条件
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)是描 ( http: / / www.21cnjy.com )述客观世界中许多事物发展变化的一类重要模型．研究指数函数应从a>1和03．指数函数的性质除了分两类情况外，应从以下几方面研究：①定义域；②值域；③函数值的变化；④单调性；⑤定点．
达标拓展（检测、拓展）
1.等于（ ）
A、 B、 C、 D、
2．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
3.已知a eq \s\up15( ) 错误！未找到引用源。＋a eq \s\up15(－ ) 错误！未找到引用源。＝3，则a＋a－1＝__________；a2＋a－2＝__________.
§3.4．1 对数及其运算
学习目标:了解对数式的书写形与指数式的区；
理解对数的概念及运算性质；掌握指数式与对数式的互化，对数式的运算性质及对数式的化简。
学习重点:
对数的概念及运算性质．
自主学习
1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果ab＝N(a＞0，且
a≠1)，那么数b叫作以a为底N的________，
记作b＝______________，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)指数式与对数式的关系
式子 名称
a b N
指数式 ab＝N ______ _____ _____
对数式 logaN＝b ______ _____ 真数
2.两种特殊的对数
(1)以10为底的对数叫作________________，简记为lgN.
(2)以无理数e＝2.71828…为底数的对数叫作____________，简记为lnN.
3．对数的基本性质
(1)零和负数_________对数；
(2)alogaN＝______ (a＞0，a≠1)；
(3)loga1＝______ (a＞0，a≠1)；
(4)logaa＝________ (a＞0，a≠1)．
4．对数的运算性质
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：
loga(MN)＝________________；(2)logaMn＝____________________ (n∈R)
(3)loga＝________________.
合作探究（对学、群学）
例1：利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x.
(1)logx27＝； (2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝2；
变式1:利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x.
(1log5(log2x)＝0； (2)x＝log27；
(3)x＝log16.
例2 求下列各式中x的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1；
(3)log(－1)＝x.
变式2．求下列各式的值．
(1)71＋log75；( ( http: / / www.21cnjy.com )2)alogab·blogbc(a，b为不等于1的正数，c＞0)；(3)log22log21；(4)log5(lg10)．
例3：计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
变式3．计算：
lg14－2lg＋lg7－lg18；
(2)(lg2)2＋lg2·lg5＋lg50.
评价提升（评价、完善）：
1．在使用对数的运算性质时，应注意各个字母的取值范围：
a＞0，a≠1，M＞0， ( http: / / www.21cnjy.com )N＞0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意M＞0,N＞0与M·N＞0并不等价.
例如lg[(－2)×(－3)]存在，但 ( http: / / www.21cnjy.com )lg(－2)、lg(－3)不存在，lg(－10)2存在，而2lg(－10)不存在等，因此不能得出lg[(－2)×(－3)]＝lg(－2)＋lg(－3)，lg(－10)2＝2lg(－10)．
2．运用对数的运算性质，可进行对数式的化简求值问题，但要防止出现下面的错误：
loga(M±N)＝logaM±logaN；loga(M＋N)＝logaM·logaN；loga(M·N)＝logaM·logaN；
loga＝；logaMn＝(logaM)n(其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R)．
达标拓展（检测、拓展）
1.3b＝5化为对数式是( )
A．logb3＝5 B．log35＝b
C．log5b＝3 D．log53＝b
2.若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子中正确的个数是( )
①logax·logay＝loga(x ( http: / / www.21cnjy.com )＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知lgM＋lgN＝2lg(M－2N)，求log 的值．
§3.4.2 换底公式
学习目标:
了解对数的概念与运算，理解换底公式的推导过程；掌握将其它对数转化常用对数，自然对数求值。
学习重点:
换底公式的特征
自主学习
１.对数换底公式
logbN＝_______(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)
问1.logab与logba(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)有什么关系？
问2.(logab)·(logbc)·(logca)(a，b，c＞0且a，b，c≠1)的值是多少？
合作探究（对学、群学）
例1：计算：
(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
变式1．计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．
例2：已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.
变式2．已知log142＝a，试用a表示log7
例3 设3a＝4b＝36，求＋的值．
变式3．设2a＝5b＝m且＋＝2，则m＝( )
A. B．10 C．20 D．100
评价提升（评价、完善）：
利用对数换底公式logbN＝(a＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0)，可以将不同底数的对数化为同底数的对数；将一般的对数化为自然对数或常用对数，再化简计算．
换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用 ( http: / / www.21cnjy.com )对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．例如：loganbn＝logab；loganbm＝logab.
达标拓展（检测、拓展）
1.log713等于( )
A．log137 B. C. D.
2.已知f(3x)＝4xlog23＋234，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．
3．设x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z，比较3x,4y,6z的大小．
§3.5.1对数函数的概念 ( file: / / / D:\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\成才之路·北师大版数学必修1\\3-5-1、2.ppt" \t "_parent )学习目标:：了解y=2x与y=log2x互为反函数的关系；理解对数函数的概念；掌握y=log2x的图像与性质
学习重点:：对数函数的概念及y＝log2x的图像性质．
自主学习
1．对数函数的概念
2.反函数的概念
通常情况下，x表示自变量，y表示函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以对数函数应该表示为y＝logax(a＞0，a≠1),指数函数表示为y＝ax(a＞0，a≠1)，因此，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函
数y＝logax(a＞0，a≠1)的_ ( http: / / www.21cnjy.com )_______;同时,对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数．
问：y＝log2x、x＝2y,y＝2x图像之间有什么关系？
3．函数y＝log2x的图像与性质
合作探究（对学、群学）
例1： 求下列函数的定义域：
(1) y＝loga(9－x)(a＞0，a≠1);
(2) y＝log(x－1)(3－x)．
变式1．求下列函数的定义域：
y＝；
(2)y＝logx(2－x)．
例2：写出下列函数的反函数：
y＝logx；
y＝lnx；
y＝2x－1；
(4)y＝()x.
变式2．指出下列各组函数之间是否互为反函数，并说明理由．
(1)y＝x和y＝lgx；
(2)y＝2x和y＝log2x；
(3)y＝ex和y＝lnx；
(4)y＝x和y＝log2x.
例3根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围；
(2)y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值；
(3)求函数y＝log2(2x－1)的图像所过的定点坐标．
变式3．(1)比较log2与log2的大小；
(2)若log2(2－x)＞0，求x的取值范围．
评价提升（评价、完善）：
1．对数函数的解析式同时满足：
(1)对数符号前面的系数是1；
(2)对数的底数是不等于1的正实数常数；
(3)对数的真数仅有自变量x，才可为对数函数．
2．求对数函数定义域时，要注意底数是否有“未知数x”，若有也应满足底数的条件．
3．并不是所有的函数都有反函数，只有x与y之间是一一对应的函数才可求反函数．
达标拓展（检测、拓展）
1.下列为对数函数的是( )
A．y＝log1x B．y＝3log21x
C．y＝log19(x＋1) D．y＝log32x
3.函数y＝logx反函数为________．
4．函数y＝log2x的图像大致是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
§3.5.2 对数函数的图像和性质
学习目标:
了解底数a对对数函数y=logax图像的影响，理解对数函数y=logax常用性质，掌握对数的尾数的大小比较，定义域，值域，单调区间等求法
学习重点:
对数函数y＝logax的图像性质．
自主学习
1.对数函数的图像和性质
(1).函数y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的图像是什么关系？
(2).函数y＝logax与y＝logx的图像有什么对称性？
合作探究（对学、群学） 比较对数值的大小
例1：比较大小．
(1)log23.4 log28.5；(2)log0.31.8 log0.32.7；
log67 log76； (4)log3π log20.8；
(5)log712 log812.
变式1．比较下列各组中两个值的大小；
(1)log31.9 log32；(2)log23 log0.32；
(3)logaπ loga3.141.
例2：作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由y＝log2x的图像经过怎样变换而得到．
变式2．函数y＝log(x－1)的图像是如图所示的( )
例3(1)已知loga＞1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．
变式3．求函数f(x)＝的定义域；
评价提升（评价、完善）：
1．对数函数的底数的大小决定了图像相对位置的高低，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大．
即b＞a＞1＞d＞c.
2．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
3．形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
达标拓展（检测、拓展）
1.函数y＝logax＋1(a＞0，a≠1)的图像过定点( )
A．(1,1) B．(1,0) C．(0,1) D．(0,0)
2．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
3．若函数y＝log2的定义域为R，求实数a的取值范围．
§3.5.3对数函数(三)
学习目标:：
理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点．
学习重点:
是对数式的运算和对数函数的图像、性质的综合应用
自主学习
1.对数的概念
(1)对数的定义 (2)几种常见对数
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质：
①alogaN＝______；②logaaN＝______(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的重要公式：
①换底公式：__________(a，b均大于零，且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝________.
(3)对数的运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝__________________；
②loga＝____________________；
③logaMn＝__________________(n∈R)；
④logamMn＝________________________
3.对数函数的图像与性质
4.y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的关系
指数函数y＝ax与对数函数__________互为反函数，它们的图像关于直线______对称．
合作探究（对学、群学）
例1：求值：
(1)；
(lg5)2＋lg50·lg2；
(3)lg－lg＋lg.
变式1．(1)若2a＝5b＝10，求＋的值；
(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．
例2：已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A.c＜a＜b B.c＜b＜a C.b＜c＜a D.a＜b＜c
变式2．设a＝log32，b＝ln2，c＝5则a，b，c的大小关系是( )
A.a例3已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．
变式3．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间上的值域．
评价提升（评价、完善）：
熟练地掌握对数的性质、对数的运算法则、对数恒等式和换底公式是有效的解决对数问题的前提，要注意各公式的适用条件．
2．含指数式或对数式的方程(或不等式)常常用换元法，结合单调性来解决．
达标拓展（检测、拓展）
1.2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.(1，＋∞)D.[1，＋∞)
3．已知a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x＋2 013)＋2的图像恒过定点__________．
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习目标:
了解指数函数，对数函数，幂函数的增长差异，理解直线上升，指数爆炸对数增长的含义，掌握解决相应的实际问题。
学习重点:
指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义．
自主学习
1.三种函数的增长趋势：当a＞ ( http: / / www.21cnjy.com )1时，指数函数y＝ax是_________，并且当a越____时， 其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝logax是_______，并且当a越_____时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是
__________，并且当n越_______时，其函数值的增长就越快．
问1.由于指数函数值增长非常快，所以对于x∈R都是2x＞x2，对吗？
合作探究（对学、群学）
例1：四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
( http: / / www.21cnjy.com )
关于x呈指数型函数变化的变量是______．
变式1．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
( http: / / www.21cnjy.com )
则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
例2：比较下列各组数的大小．
(1)，；(2)0.32，log20.3,20.3.
变式2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x,当2＜x＜4时,有( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
例3 某公司为了实现1000万元利润的 ( http: / / www.21cnjy.com )目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？
变式3． 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表所示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物．请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
评价提升（评价、完善）：
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，应正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范
围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必
须验证这个数学解对实际问题的合理性．
达标拓展（检测、拓展）
1.当a＞1时，下列结论：①指数函数y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x，当a越大时，其函数值的增长越快；②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2. 函数，满足 ( ) （ ）
A．奇函数是减函数 B．偶函数又是增函数
C．奇函数又是增函数 D．偶函数又是减函数
3．试比较函数y＝x100，y＝5x，y＝log5x的增长情况．
本章小结与复习(一)
本章知识结构:
1.正整数指数函数
2. 指数概念的扩充
3.指数函数和对数函数
4. 对数及其运算
5. 指数函数的图像和性质
6. 对数函数的图像和性质
7.指数函数、幂函数和对数函数增长的比较
复习重点：
指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.
自主学习（独学、质疑）
指数函数与对数函数的函数性质及图象特征
合作探究（对学、群学）：
比较两数(式)或几个数(式) ( http: / / www.21cnjy.com )大小问题是一个重要题型，它主要是考查幂函数、指数函数、对数函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用，常用的方法有单调性法、图像法、中间量搭桥法、作差法、作商法、分析转化
例1：已知f(x)是定义在(－∞，＋∞ ( http: / / www.21cnjy.com ))内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(ln)，b＝f(log43)，c＝f(0.41.2)，则a，b，c的大小关系是________．
法等．
变式1．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝3－0.2，则a，b，c三者的大小关系是 ( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
例2：设0≤x≤2，求函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值和最小值．
变式2．已知函数y＝a2x＋2ax＋3(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上有最大值11，试求a的值．
例3：求不等式loga(2x＋7)＞loga(4x－1)
(a＞0且a≠1)中x的取值范围．
变式３：已知函数f(x)＝loga(x＋3)在区间
[－2，－1]上总有|f(x)|＜2，求实数a的取值范围．
评价提升（评价、完善）：
指数函数、对数函数是中学数学中 ( http: / / www.21cnjy.com )重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的形状特征及画法，记熟性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．
达标拓展（检测、拓展）
：
1.若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8,则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
2.如果f(x)＝lg(10x＋1)＋ax为偶函数，g(x)＝为奇函数，那么a＋b的值为________．
3.不等式2x＋3－2m＞0在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数m的取值范围．
第三章 指数函数与对数函数复习（二）
复习目标
掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征,加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解,.体会分类讨论，数形结合等数学思想.
复习重点：
指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.
自主学习（独学、质疑）
指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.
例４:设a、b∈R，且a≠2，定义在区间(-b，b)内的函数 是奇函数. (1)求b的取值范围；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
变式４．函数是奇函数 (其中0＜a＜1)，则
(1)m=_______;
(2)若m≠1，则f(x)的值域为________.
例５：设a＞0且a≠1,为常数,函数
(1)试确定函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)是增函数，求a的取值范围.
变式５．设函数（） 是R上的奇函数.
(1)求a的值；
(2)求f(x)的反函数；
(3)解不等式:f -1(x)>log2(x+1).
例６ 已知函数f(x)=loga(a-ax) (a＞1且为常数).
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)判断f(x)的单调性；
(3)证明：函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
变式６．已知f(x)=lg(ax-bx)(a＞1＞b＞0).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)在其定义域内的单调性；
(3)若f(x)在(1，+∞)内恒为正，试比较a-b与1的大小.
评价提升（评价、完善）：
1.函数单调性的证明应利用定义.
2.含参数的二次函数在闭区间上的最值应注意谈论.
3.会用反证法证明否定性的命题.
达标拓展（检测、拓展）
:
1.设，则 ( )
A. B
C D
2.函数的单调递增区间为 ( )
A B C D
函数的递增区间是 .
第三章指数函数和对数函数
.§3.1 正整数指数函数
自主学习（独学、质疑）
1.y＝ax
2.D
(1)上升
(2)下降_
3.孤立的点
1.提示：不是 由于正整数指数函数的定义域是N＋，而N＋
不是区间，因此正整数指数函数虽然是单调函数，却没有单调区间．
4.答案：
合作探究（对学、群学）
例１：解析： (1)因为y＝(－)x的底数－小于0，所以y＝(－)x不是正整数指数函数；
(2)因为y＝x4中自变量x在底数位置上，所以y＝x4不是正整数指数函数，实际上y＝x4是幂函数；
(3)y＝＝·2x，因为2x前的系数不是1，所以y＝不是正整数指数函数；
(4)是正整数指数函数，因为y＝()x的底数是大于1的常数，所以是增函数；
(5)是正整数指数函数，因为y＝(π－3)x的底数是大于0且小于1的常数，所以是减函数．
变式１解析：根据正整数指数函数解析式的结构特征，若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数
a＞0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
答案：2
例２解析： 两组函数的图像如下(为了便于辨认某点在哪一函数图像上，特用虚线将同一函数图像上的点连接)．
由上图可以看出，对于正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)，当a＞1时，底数a越大，图像上升的越快；
当0＜a＜1时，底数a越小，图像下降的越
快. 10分
变式2.解析：(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.
∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820.
(2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.
∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．
又∵2012＜2013，∴0.52012＞0.52013.
答案：＜ ＞
例3解析： (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，由题意得
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年,剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．
(4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
即约经过4年，剩留量是原来的一半．
变式3:解：设第n天共有yn只蜜蜂，则：
y1＝5＋1＝6，
y2＝6×5＋6＝62，
y3＝62×5＋62＝63
yn＝6n，
∴y6＝66＝46656，
∴第6天共有46656只蜜蜂．
达标拓展（检测、拓展）：
1.. B
解析： ∵f(x)＝3x(x∈N且x<0)，
∴y＝f(－x)＝3－x＝()x，
∴函数为减函数，故选B.
2.解:可先考察正整数指数函数y＝0.9 ( http: / / www.21cnjy.com )x(x∈N＋),因为此函数是减函数，所以0.911＜0.910＜1;再考察正整数指数函数y＝1.1x(x∈N＋),因为此函数是增函数，所以1.15＞1.14＞1.因此0.911＜0.910＜0.010＜1.14＜1.15.
3.解析： (1)1999年年底的人口数：13亿；
当0＜a＜1时，底数a越小，图像下降的越
快. 10分
变式2.解析：(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.
∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820.
(2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.
∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．
又∵2012＜2013，∴0.52012＞0.52013.
答案：＜ ＞
例3解析： (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，由题意得
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年,剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．
(4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
即约经过4年，剩留量是原来的一半．
变式3:解：设第n天共有yn只蜜蜂，则：
y1＝5＋1＝6，
y2＝6×5＋6＝62，
y3＝62×5＋62＝63
yn＝6n，
∴y6＝66＝46656，
∴第6天共有46656只蜜蜂．
§3.2 指数扩充及其运算性质
自主学习
问1.提示：分数指数幂不是个a相乘，实质上是关于b的方程bn＝am的解．
问2.提示：不同()n＝a.
合作探究（对学、群学）
例1：解析：(1)原式＝2×3×()×(3×22)＝21－＋×3＋＋＝2×3＝6.
(2)原式＝(52×5)÷(5×5)＝52＋－－＝5.
变式1．解：(1)原式＝(5－5)÷5＝5÷5－5÷5＝5－－5－＝5－5.
(2)原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)
＝－(－a)＋＝－(－a).
(3)原式＝{ab2[(ab)]3}＝(a1＋·b2＋)
＝a×b×＝ab.
例2：解析： (1)原式＝(a·b)－3÷[b－4(a－2)]
＝a－·b－2÷(b－2·a－)
＝a－＋·b－2＋2
＝a－1·b0＝.
(2)原式＝(2－2)－2＋(6－)－＋(3＋2)2－4××6＝24＋6＋5＋2×6－3×6＝21.
变式2．解：(1)＝a.
(2)＝|3－π|＝π－3.
(3)原式＝(－1)－(3)－＋()－－＋1
＝()－＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
例3.解析： (1)将a＋a－＝3两边平方，得
a＋a－1＋2＝9.即a＋a－1＝7.
(2)将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
(3)设a＝t，则a－＝，所以t＋＝3.
于是a＋a－＝t3＋＝(t＋)(t2＋－1)，
＝＝.
变式3．解：令ax＝t，则t2＝＋1.
∴＝
＝＝t2＋t－2－1
＝＋1＋－1＝＋1＋－1－1＝2－1.
达标拓展（检测、拓展）：
1.D
2.－1
3.解：原式＝××a
＝＝a.
§3.3.1 指数函数(一)
问1:提示：一般地，当函数y＝ax与函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )()x(即函数y＝a－x)的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图像是关于y轴对称的．
合作探究（对学、群学）
例1：解析: (1)要使函数有意义，只需x∈R，所以函数的定义域为R.因为当x∈R时，x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，y＝()x为减函数，所以0＜()≤()－1，即0＜y≤2.
所以函数的值域为{y|0＜y≤2}．
(2)由1－3x≥0，得3x≤1＝30，
因为函数y＝3x是R上的增函数，所以x≤0，
故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0＜3x ≤1，所以0≤1－3x＜1，所以0≤＜1，即函数y＝的值域为[0,1)．
变式1．解：(1)要使函数y＝3有意义，需1－x≥0，即x≤1，
∴函数的定义域是(－∞，1]．
设y＝3u，u＝，则有u≥0.
又函数y＝3u是增函数，
∴y≥30＝1，即函数y＝3的值域是[1，＋∞)．
(2)要使函数y＝有意义，需(x)－2≥0，即()x≥2＝()－1，因为函数y＝()x是R上的减函数，所以x≤－1，故函数y＝的定义域为(－∞，－1]．因为x≤－1，所以()x≥2，所以()x－2≥0，所以 ≥0，
即函数y＝的值域为[0，＋∞)．
例2：解析: 函数y＝|3x－1|的图像如下(图中实线部分)．
由图可知，当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点,即方程|3x－1|＝k无解;
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，即方程|3x－1|＝k有一解；
当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有两个不同交点，即方程|3x－1|＝k有两解．
变式2．解：因为|x|＝所以当x≥0时，函数为y＝()x；
当x＜0时，函数为y＝()-x＝2x，
其图像由y＝()x(x≥0)和
y＝2x(x＜0)的图像合并而成．
而y＝()x(x≥0)和y＝2x(x＜0)
的图像关于y轴对称，所以
原函数图像关于y轴对称，如图所示．
由图像可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．
＝＝() x－x－2(x2－x1)
＝() (x2－x1)(x2＋x1－2)
.4分
①当x1＜x2≤1时，x1＋x2＜2，即有x1＋x2－2＜0.
又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＜0，
则知()(x2－x1)(x2＋x1－2)＞1.
又对于任意x∈R，f(x)＞0恒成立，
∴f(x2)＞f(x1)．
∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递增. 7分
②当1≤x1＜x2时，x1＋x2＞2时，即有x1＋x2－2＞0，
又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＞0，
则知0＜()(x2－x1)(x2＋x1－2)＜1，∴f(x2)＜f(x1)．
∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
综上所述，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数. 8分
∴函数f(x)的值域为(0,3].12分
法二：∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，
∴f(u)＝()u.2分
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1]上是减函数，
f(u)＝()u在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数5分
又∵f(u)＝()u在其定义域内为减函数，
而u＝x2－2x在[1，＋∞)上为增函数，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上为减函数.8分
值域求法同法一．
例3：解析: (1)∵()x2－2＝(2－1)x2－2＝22－x2，
∴原不等式等价于22－x2≤2.
∵y＝2x在R上是增函数，∴2－x2≤1，∴x2≥1，观察二次函数y＝x2的图像可知x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
(2)∵a2＋a＋2＝(a+)2＋＞1，
∴y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数，
∴x＞1－x，解得x＞，∴x的取值范围是{x|x＞}．
变式3．解：(1)由于1.72.5与1 ( http: / / www.21cnjy.com ).73的底数都是1.7，故可以构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x是R上的增函数，又2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
(2)由指数函数的性质知：2.3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，所以2.3－0.28＜0.67－3.1.
(3)当0＜a＜1时,函数y＝ax是R上的减函数，此时a1.3＞a2.5；当a＞1时，函数y＝ax是R上的增函数，此时a1.3＜a2.5.
综上所述，当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5；当a＞1时，a1.3＜a2.5.
达标拓展（检测、拓展）
1．答案: A
解析: 本题考查分段函数求值．
∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知 f(a)＝－2.
当a>0时 2a＝－2不成立．
当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.
2．答案: m解析: ∵a＝，∴0函数f(x)＝ax在x∈R上是单调递减的且f(m)>f(n)，∴m3．解析: (1)f(a)＋f(1－a)
＝＋＝＋＝＋＝＋
＝＝1.
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()
＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝500×1＝500.
3.3.2.指数函数 (二)
自主学习
例1.解析: 当y＝ax(a>1)时图像 ( http: / / www.21cnjy.com )上升且底数越大，图像越向上靠近y轴；当y＝ax(0变式1．解析: ∵y＝a|x|为偶函数，
∴其图像关于y轴对称，当x>0时，y>1，与y＝ax(a>1)的图像一致，故选B.
例2.解析: (1)将y＝2x图像向右平移1个单位可得到y＝2x－1的图像，如图①.
(2)将y＝2x图像向上平移1个单位可得到y＝2x＋1的图像，如图②.
(3)将y＝2x图像关于y轴对称，可得到y＝2－x的图像，如图③.
(4)将y＝2x图像关于x轴对称，可得到y＝－2x的图像，如图④.
(5)将y＝2x图像关于原点对称，可得到y＝－2－x的图像，如图⑤.
(6)将y＝2x图像位于y轴左边的 ( http: / / www.21cnjy.com )部分删除，由y＝2|x|是偶函数，图像应关于y轴对称，只要作y轴右边部分的图像然后再关于y轴对称，就可得到y＝2|x|的图像，如图⑥.
(7)将y＝2x图像向下平移1个单位，再将位于x轴下方的图像关于x轴翻折到x轴上方，即可得到y＝|2x－1|的图像，如图⑦.
( http: / / www.21cnjy.com )
变式2．解析: 如图所示，当x＝0时，y<0，
∴a0＋b<0，∴b<－1，显然a>1.
故a∈(1，＋∞)，b∈(－∞，－1)．
例3.解析: 令t＝x2－2x－3，则t＝(x－1)2－4.
y＝，y是关于t的减函数，t在x∈(－∞，1]上是减函数，在x∈[1，＋∞)上是增函数，
则当x∈(－∞，1]时，t随x增大而减小，而y＝却随着t的增大而减小，故可得出y＝x2－2x－3在(－∞，1]上是增函数，同理可得y＝()x2－2x－3在[1，＋∞)上为减函数．
又∵t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴y＝在t∈[－4，＋∞)上的值域是(0,81]．
∴y＝x2－2x－3的值域为(0,81]．
变式3．解析: (1)定义域为(－∞，＋∞)，设g(x)＝－x2＋2x＋1，则原函数可化为y＝3g(x)，
∵g(x)＝－(x－1)2＋2≤2，∴0即值域为(0,9]．
又∵g(x)的对称轴为x＝1，∴x∈(－∞，1]时，
g(x)是增函数；当x∈[1，＋∞)时，g(x)是减函数．
又∵f(x)＝3x在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴y＝f[g(x)]＝3－x2＋2x＋1的增区间是(－∞，1]，
减区间是[1，＋∞)．
(2)原函数的定义域是(－∞，＋∞)，
又2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1≥1，
∴原函数值域是(0，]
单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞)．
达标拓展（检测、拓展）：
1.答案: B解析: 由题意，得1－3x≥0，∴3x≤1，∴x≤0，
∴函数y＝的定义域为(－∞，0]．
答案: A
解析: 令x－1＝0，x＝1，f(x)＝3，
∴点P的坐标是(1,3)．
3.答案: 2x－2＋2
解析: 因为将函数y＝2x的图像向上平移2个单位得到函数y＝2x＋2的图像，再向右平移2个单位得到函数y＝2x－2＋2的图像，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－2＋2.
§3.3.3指数函数（三）
自主学习
1.①,,-②a
2.①②;③0,无意义
3.①②
合作探究（对学、群学）
例1：
变式1．
例2：解析：(1)由于ax－1≠0，即ax≠1，所以x≠0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
(2)对于定义域内任意x，有f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3＝(－x)3
＝x3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1，
∴ax－1＞0，＋＞0.
又x＞0时，x3＞0，
∴x3＞0，即当x＞0时，f(x)＞0.
又由(2)知f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
则当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立．
所以，当a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立．
当0＜a＜1时，f(x)＝.
当x＞0时，1＞ax＞0，ax＋1＞0，
ax－1＜0，x3＞0，此时f(x)＜0，不满足题意；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．
综上可知，所求a的取值范围是a＞1.
变式2．(2)因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，即＋＝＋，
整理得(ex－e－x)＝0，
又∵对任意x∈R都成立，∴有a－＝0，得a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝e－x＋ex，以下讨论其单调性，
例3.解析：y＝＝1＋，当x＞0时，e2x－1＞0且随着x的增大而增大，故y＝1＋＞1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.
变式3．解析：作函数y＝f(x)＝10 ( http: / / www.21cnjy.com )x，y＝g(x)＝lgx，y＝h(x)＝10－x的图像如图所示，由于y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，∴它们的图像是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h(x)与y＝x垂直，∴y＝f(x)与y＝h(x)的交点A和y＝g(x)与y＝h(x)的交点B是关于y＝x对称的．而y＝x与y＝h(x)的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x的解α为A点横坐标，同理，β为B点横坐标．
∴＝5，即α＋β＝10.
答案：10
达标拓展（检测、拓展）：
1.C
2.解析：设y＝f(x)， ( http: / / www.21cnjy.com )t＝2x＋1，则y＝，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)，t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．
因此y＝在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．
3.解析：由已知条件(a eq \s\up15( ) ＋a eq \s\up15(－ ) )2＝9，整理得：a＋a－1＝7.
又(a＋a－1)2＝49，因此a2＋a－2＝47.
答案：7 47
3.4．1 对数及其运算答案
自主学习
1.(1)答;对数,logaN (2)
2.答;常用对数
4.答：logaM＋logaN，nlogaM，logaM－logaN
合作探究（对学、群学） 用换底公式求对数式的值
例1：【解】 (1)由logx27＝，得x＝27，
∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝2，
得3＋2＝x2，即x＝(3＋2)＝＋1.
变式1．(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，
∴x＝21＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，
∴x＝－.
(6)由x＝log16，得()x＝16，即2－x＝24，
∴x＝－4.
例2：【解】(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1.
∴x＝41＝4.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3.
∴x＝103＝1000.
(3)∵log(－1)＝x，
∴(－1)x＝＝＝
＝－1.∴x＝1.
变式2．解：(1)原式＝7·7log75＝7×5＝35；
(2)原式＝bc；
(3)原式＝log220＝log21＝0；
(4)原式＝log51＝0.
例3.【解】(1)原式＝log2＝log2＝－.
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(1＋lg2)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)
＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.
变式3．解：(1)法一：原 ( http: / / www.21cnjy.com )式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
法二：原式＝lg14－lg()2＋lg7－lg18
＝lg
(2)原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg(5×10)＝lg2·lg10＋lg5＋lg10＝lg2＋lg5＋1＝1＋1＝2.
＝lg1＝0.
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：选B.底数不变，幂值为对数的真数，指数为对数值．
2.答案：A
3.解：由已知可得lg(MN)＝lg(M－2N)2，
故得MN＝(M－2N)2，
整理得M2－5MN＋4N2＝0，
即(M－N)(M－4N)＝0.
解得M＝N或M＝4N.
又∵M＞0，N＞0，M－2N＞0，
∴M＞2N＞0，∴M＝N应舍去．
∴M＝4N，即＝4.
∴log＝log4＝4.
3.4.2 换底公式
答案：
自主学习
1.提示：logab＝.
2.提示：(logab)·(logbc)·(logca)＝logab··＝1
合作探究（对学、群学） 用换底公式求对数式的值
例1：【解】 (1)log1627log8132＝×
＝×＝×＝.
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
＝
＝(log32＋log32)
＝log32×log23＝××＝.
变式1．解：法一：原式＝(log253＋＋)(log52＋＋)＝(3log25＋log25＋log25)(log52＋log52＋log52)
＝(3＋1＋)log25·(3log52)＝13log25·＝＝13.
法二：原式＝(＋＋)(＋＋)
＝(＋＋)(＋＋)
＝()()＝13.
例2：【解】 法一：由18b＝5，得log185＝b.又log189＝a，
则log3645＝＝
＝
＝＝
＝.
法二：由log189＝a,18b＝5，
有＝a，①
log185＝b，
＝＝b，②
而log3645＝＝，③
由①②联立，得lg2＝，lg9＝，④
把④代入③，得log3645＝.
变式2．解：法一：∵log142＝a，∴log214＝.
∴1＋log27＝.∴log27＝－1.
由对数换底公式，得log27＝＝.
例3 解】法一：由3a＝4b＝36，得log336＝a，log436＝b，由换底公式可得a＝log336＝，b＝log436＝，…5分
所以＋＝2log363＋log364＝log369＋log364
＝log3636＝1.10分
eq \a\vs4\al(法二：对已知条件中的三项取以6为底的对数，,得alog63＝2blog62＝2.…2分,所以\f(2,a)＝log63，\f(1,b)＝log62.………5分)
所以＋＝log63＋log62＝log66＝1.
变式3．
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：选B.log713换为常用对数为.
2.解析：令t＝3x，则x＝log3t，
∴f(t)＝4log3t·log23＋234＝4··log23＋234＝3.log2t＋234.
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)
＝4(1＋2＋3＋…＋8)＋8×234＝144＋1872＝2016.
4.解：3x－4y＝3log3k－4log4k＝－
＝＝，
∵k＞1，∴logk64－logk81＜0，∴3x＜4y.
4y－6z＝4logk4－6log6k
＝－＝＝，
∵k＞1，∴logk36＜logk64，
∴4y＜6z，∴3x＜4y＜6z.
§3.5.1对数函数的概念 ( file: / / / D:\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\成才之路·北师大版数学必修1\\3-5-1、2.ppt" \t "_parent )
§3.5.2对数函数y＝log2x的图像和性质
自主学习
2.反函数
问：提示：y＝log2x与x＝2y的数量关系是相同的,图像是一致的．
y＝log2x与y＝2x是一对互为反函数，图像关于y＝x对称，都是增函数．
合作探究（对学、群学）
例1：解析： (1)要使函数有意义，须9－x＞0，
∴x＜9，
∴此函数定义域为(－∞，9)．
(2)要使函数有意义，
须，∴，
∴此函数定义域为(1,2)∪(2,3)．
变式1．解：(1)由，得，
∴x＞－1且x≠999.
∴函数的定义域为{x|x＞－1且x≠999}．
(2)由，得.
∴函数的定义域为{x|0＜x＜2且x≠1}．
例2：解析： (1)对数函数y＝logx的底数是，它的反函数是指数函数y＝()x.
(2)对数函数y＝lnx的底数是e，它的反函数是指数函数y＝ex.
(3)由y＝2x－1得2x＝y＋1，
∴x＝log2(y＋1)．
故它的反函数是y＝log2(x＋1)(x＞－1)．
(4)指数函数y＝()x的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx(x＞0)．
变式2．解：根据指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数来判
断．(2)和(3)组是，
因为它们的定义域、值域互换，对应法则互换，符合y＝ax和y＝logax的关系；
(1)和(4)组不是，不符合y＝ax和y＝logax的关系．
例3.解析： 函数y＝log2x的图像如图．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)因为y＝log2x是增函数，
若f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，则a＞2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).5分
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，
最大值为log227.8分
(3)令2x－1，∴x＝1，∴y＝0，
∴y＝log2(2x－1)过定点(1,0).
变式3．解：(1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵＞，∴log2＞log2.
(2)log2(2－x)＞0即log2(2－x)＞log21，
∵函数y＝log2x为增函数，
∴2－x＞1，∴x＜1.
∴x的取值范围为(－∞，1)．
达标拓展（检测、拓展）：
1.答案：D
2.y＝()x
3.C
5．3 对数函数的图像和性质 （一）
自主学习
1.y＝ax与y＝logax互为反函数，其图像关于y＝x对称．
2.提示：y＝logx＝－logax与y＝logax关于x轴对称．
合作探究（对学、群学）
例1：【解】 (1)考查对数函数y＝log2x，
∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．
∴log23.4＜log28.5.
(2)考查对数函数y＝log0.3x，
∵0＜0.3＜1，
∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31.8＞log0.32.7.
(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，
∴log67＞log76.
(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，
∴log3π＞log20.8.
(5)在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，如图，由底数
变化对图像位置的影响知：
log712＞log812.
变式1．解：(1)(单调性法)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9＜log32.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0,log0.32＜0,
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141.
综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
例2：【解】作出函数y＝log2x的图像， ( http: / / www.21cnjy.com )将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图像的另一分支曲线，再将整个图像向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图像,如图所示：
由图可得函数y＝log2|x＋1|
的递减区间为(－∞，－1)，
递增区间为(－1，＋∞)．
变式2．解析：选D.只需将y＝logx的图像向右平移一个单位长度即可．故选D.
例3.【解】 (1)由loga＞1，得loga＞logaa.
①当a＞1时，有a＜，此时无解；
②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1.
∴a的取值范围是(，1)．
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，
得，解得x＞1.
变式3．解：要使函数有意义需有
即解得＜x≤1.
∴函数f(x)的定义域为.
∵x∈(－2,1]时，u关于x是增函数，y＝logu是减函数，
∴y＝log(－x2＋2x＋8)为减函数．
x∈[1,4)时，u关于x是减函数，y＝logu是减函数，
∴y＝log(－x2＋2x＋8)为增函数．
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：选A.当x＝1时，y＝1.
2．解析：选D.使函数有意义，需log2x－2≥0，即log2x≥2＝log24，∴x≥4.
3.解：函数y＝log2的定义域为R，
即ax2＋(a－1)x＋＞0恒成立，
若a＝0时，显然－x＋＞0不能恒成立，
∴a≠0，
∴二次函数t＝ax2＋(a－1)x＋
的图像在x轴上方，
∴a＞0，且Δ＜0，即(a－1)2－4··a＜0，
∴a2－3a＋1＜0
令t＝a2－3a＋1，并作出其图像如图，
令t＝0，得a＝
观察图像得a∈.
3.5.3对数函数复习课
自主学习
2.(1)N;N (2) logbN＝ ;logad
(3)logaM＋logaN;
logaM－logaN;
nlogaM;
logaM
4.y＝logax; y＝x
合作探究（对学、群学）
例1：解析：(1)原式＝＝.
(2)原式＝(lg5)2＋lg(10×5)lg＝(lg5)2＋(1＋lg5)(1－lg5)＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.
(3)方法一：原式＝(5lg2－2lg7) ( http: / / www.21cnjy.com )－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.
方法二：原式＝lg－lg4＋lg(7)＝lg
＝lg＝.
变式1．析：(1)由已知a＝log210，b＝log510，则＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.
由已知x＝log43，则4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋＝.
例２
∴f(0.2－0.6)＜f( ( http: / / www.21cnjy.com )log3)＜f(log47)，即c＜b＜a，选B 变式2．解析：方法一：a＝log32＝，b＝ln2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝5 eq \s\up15(－ ) ＝，而＞2＝log24＞log23，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C.
方法二：a＝log32＝，b＝ln2＝，1＜log2e＜log23＜2，
∴＜＜＜1；
c＝5 eq \s\up15(－ ) ＝＜＝，所以c＜a＜b，选C.
例3.解析：∵a＞0，且a≠1， ( http: / / www.21cnjy.com )∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，
∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．
其充要条件是即1＜a＜2.
变式3．解析：(1)由4x－1＞0解得x＞0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，
因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在(0，＋∞)上递增．
(3)f(x)在区间上递增，又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415].
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2. 答案：C
2.解析：设y＝f(x)，t＝3x＋1，则y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.
由y＝log2t，t＞1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)． 答案：A
3.解析：令x＋2 013＝1，即x＝－2 012时，y＝2，故其图像恒过定点(－2 012,2)．
答案：(－2 012,2)
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
自主学习
：增函数，大；增函数，小；增函数，大；
问1.提示：不对．y＝2x与y＝x2的图像有交叉现象，只有当x＞4时，才有2x＞x2成立．
合作探究（对学、群学）
例1：解析:指数型函数呈“爆炸式”增长．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3 ( http: / / www.21cnjy.com )，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化，故填y2.
答案: y2
变式1．
解析：选C.通过指数型函数，对数型函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律,故选C.
例2：解析: (1)函数y1＝为减函数，又＞，
∴＞.∴＞.
∴＞.
(2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，
y3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作x＝0.3，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知
log20.3＜0.32＜20.3.
又函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且＞，
变式2．
解析：选B.在同一平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )画出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(图略)，在区间(2,4)上从上往下图像依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x，所以y2＞y1＞y3.
例3.解析: 借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，
y＝1.002x的图像如图所示：
观察图像发现，在区间[10,10 ( http: / / www.21cnjy.com )00]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10 ( http: / / www.21cnjy.com )，1000]上是单调递增的，当x∈(20，1000]时，y＞5，因此该模型不符合要求.对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1000]时，y＞5，因此，也不符合题意.对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上单调递增且当x＝1000时，y＝log71000＋
1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过
5万元的要求.
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否
超过利润x的25%，即当x∈[10,1000]时，利
用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x
的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)
＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1000]时，y ( http: / / www.21cnjy.com )＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%. 综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求.
变式3．
解：根据散点图如图所示，宜采用指数型函数作模型．设f(x)＝a×bx＋c，
代入前三个数据可得a＝，b＝2，c＝.
所以f(x)＝×2x＋，用x＝5和6代入检验f(5)＝＝5.2，f(6)＝10，刚好符合．所以f(4)＝2.8，f(7)＝19.6.实际上后来在离太阳19.2天文单位处发现了天王星，与19.6非常接近，提丢斯创造了一个天文史上的传奇．
达标拓展（检测、拓展）：
1.答案：B
2.D
3解：三个函数中，y＝log5x增长的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度要比y＝x100和y＝5x增长的速度慢得多，且y＝log5x增长得越来越慢，图像几乎渐渐与x轴平行;而y＝x100和y＝5x，当x比较小时，y＝x100要比y＝5x增长得快，但当x逐渐增大，增大到一定程度后，y＝5x要比y＝x100增长得快．．
本章小结与复习(一)
合作探究（对学、群学）
例1：【解析】 ∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且a＝f(ln)
＝f(－ln 3)＝f(ln 3)．
∵ln 3＞ln e＝1，＝log42＜log43＜log44＝1,0＜0.41.2＜，
∴0.41.2＜log43＜ln 3，
故f(0.41.2)＞f(log43)＞f(ln 3)，即c＞b＞a.
【答案】 c＞b＞a
变式1．解析：因为b＝53＞a＝30.2＞1，而0＜c＝3－0.2＜1，
所以b＞a＞c.
答案：B
例2：【解】 y＝22(x－)－3·2x＋5＝·22x－3·2x＋5＝(2x－3)2＋.
∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4.
∴当2x＝3，即x＝log23时，ymin＝；
当2x＝1，即x＝log21＝0时，ymax＝.
∴当x＝log23时，ymin＝，当x＝0时，ymax＝
变式2．解析: y＝a2x＋2ax＋3＝(ax)2＋2ax＋3
＝(ax＋1)2＋2，
令ax＝t，则y＝(t＋1)2＋2，
当a>1时，因为－1≤x ( http: / / www.21cnjy.com )≤1，所以≤ax≤a，即≤t≤a.因为函数的对称轴为t＝－1，所以当t＝a时函数取最大值，所以(a＋1)2＋2＝11，所以a＝2；
当0即a≤t≤，所以当t＝时函数取最大值，
所以2＋2＝11，所以a＝.
综上所述，a的值是2或.
例3.【解】 当a＞1时，由原不等式有
解得＜x＜4.
当0＜a＜1时，由原不等式有
解得x＞4.
∴当a＞1时，x的取值范围为；当0＜a＜1时，x的取值范围为(4，＋∞)．
变式3.【解】 ∵x∈[－2，－1]，∴1≤x＋3≤2.
当a＞1时，loga1≤loga(x＋3)≤loga2，即0≤f(x)≤loga2.
∵|f(x)|＜2，∴∴a＞.
当0＜a＜1时，loga2≤loga(x＋3)≤loga1，即loga2≤f(x)≤0.
∵|f(x)|＜2，∴∴0＜a＜.
综上可得，实数a的取值范围是∪(，＋∞)．
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：选A.利用界值法可得a＞log33＝1,0＜b＝log76＜log77＝1，c＝log20.8＜log21＝0.故选A.
2.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴lg(10－x＋1)－ax＝lg(10x＋1)＋ax，
即lg(10x＋1)－x－ax＝lg(10x＋1)＋ax，
∴(2a＋1)x＝0，∴2a＋1＝0，即a＝－，
又g(x)为奇函数，且x∈R，
∴g(0)＝0＝，∴b＝1，∴a＋b＝.
3.解：原不等式可转化为2m－3＜ ( http: / / www.21cnjy.com )2x在x∈[0，＋∞)时恒成立，只要2m－3小于2x的最小值即可．当x∈[0，＋∞)时，由y＝2x的单调性知，2x的最小值是20＝1，
∴2m－3＜1，∴m＜2.∴实数m的取值范围为(－∞，2)．
第三章 指数函数与对数函数复习（二）
例４：（1）b的取值范围是（0，]
（2）f(x)在(-b，b)内是减函数，具有单调性.
变式４．(1),(2)R
例５：（1）f(x)为奇函数
（2）a的取值范围是(0，1)∪( ，+∞).
变式５．（1）a=1（2） (-1例６. （1）f(x)的定义域是(-∞，1)，f(x)的值域为(-∞，1).
（2）f(x)是减函数（3）函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称
变式６．（1）定义域为(0，+∞).（2）f(x)在(0，+∞)是增函数.（3）a-b≥1
达标拓展（检测、拓展）：
1.D ２.D ３.
§3.1 正整数指数函数
学习目标:
了解正整数指数函数的概念;理解具体 的正整数指数函数的图像特征及单调性;正整数指数幂的运算的函数性质
学习重点:
正整数指数函数的概念及性质．
自主学习（独学、质疑）
1．正整数指数函数的概念
一般地，函数___________ (a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
２.下列函数是正整数指数函数的为( )
A．y＝－2x(x∈N＋) B．y＝2x(x∈R)
C．y＝x2(x∈N＋) D．y＝()x(x∈N＋)
３．正整数指数函数的图像和性质
由于正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，
不能用平滑的曲线将各点连接起来．也就是说，正整数指数
函数的图像是由一些____________组成的．如函数y＝()x，y＝2x(x∈N＋)的图像(如图所示)．
由图像可得：
(1)当底数a＞1时，正整数指数函数的图像是____
____的；
(2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数的图像是________的．
由此得出正整数指数函数的单调性：(1)当底数a＞1时,正整数指数函数是___函数;
(３)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数是
____函数．
4：y＝2x(x∈N＋)的单调增区间是N＋吗？
函数f(x)＝()x(x∈N＋)，则f(2)＝________.
合作探究（对学、群学）
例１：若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性．
(1)y＝(－)x；
(2)y＝x4；
(3)y＝；
(4)y＝()x；(5)y＝(π－3)x.
变式1：若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则实数a的值为________．
例２：在同一平面直角坐标系中，分别画出下列两组函数的图像，并分析底数的不同对函数的单调性和图像递增或递减快慢的影响．
(1)y＝2x，x∈N＋，与y＝3x，x∈N＋；
(2)y＝y＝()x，x∈N＋与y＝y＝()x，x∈N＋.
变式2：比较下列各组幂值的大小(用“＞”或“＜”填空)．
(1)1.5819________1.5820；
(2)0.52012________0.52013.
例３：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.
写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋ ( http: / / www.21cnjy.com ))变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一半．
变式3：一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出
去，各自找回了5个伙伴，…，如果找伙伴的过程这样继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有多少只蜜蜂？
评价提升（评价、完善）：
1．要注意正整数指数函数与幂函数y＝xa的区别：正整数指数函数解析式中的底数是常数，而幂函数解析式中的指数是常数．
2．正整数指数函数的值域不是[a，＋∞)，而是{a，a2，a3，…}．
达标拓展（检测、拓展）
1．若f(x)＝3x(x∈N且x>0)，则函数y＝f(－x)在其定义域上为( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
2．某厂2000年的生产总值为x万元，预计生产总值每年以12%的速度递增，则该厂到2012年的生产总值是________万元．
3．截止到1999年底，我国人口约为13亿 ( http: / / www.21cnjy.com )，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．
§3.2 指数扩充及其运算性质
学习目标::
理解无理数指数幂、分数指数幂的含义；理 解并应用幂的运算性质
学习重点:：
正整数指数函数的概念及性质
自主学习
1．分数指数幂
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n
(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得b ( http: / / www.21cnjy.com )n＝am，就把b叫作 ________________，记作_______________.它就是分数指数幂．
(1)正分数指数幂也可写成根式的形式，即＝__________ (a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿：＝__________(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
(3)0的正分数指数幂等于________,0的负分数指数幂_______________．
问1.是个a相乘吗？
问2.()n与(n∈N＋，n＞1)相同吗？
2.正整数指数幂的运算性质：
(1)aman＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn；
(4)当a≠0时，有＝
合作探究（对学、群学）
例1：计算下列各式的值：
(1)2××；
(2).
变式1．化简：
(1)(－)÷；
(2)·(a＜0)；
(3) (a，b＞0)．
例2：计算下列各式．
(1)(·)－3÷ ；
(2)()－2＋＋＋4·3.
变式2．化简下列各式．
(1)；
(2)；
(3)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(2－)0.
例3已知，求下列各式的值，
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)
变式3．已知a2x＝＋1，求的值．
评价提升（评价、完善）：
1．注意：式子()n(n∈N＋，且n＞1)中被开方数a的取值范围由根指数n来确定．当n是奇数时，a∈R；当n为偶数时，a∈[0，＋∞)．
2．对于分数指数幂的运算性质要注意其成立的条件．
达标拓展（检测、拓展）
1.等于( )
A. B. C. D.
2.若有意义，则－|3－x|化简后的结果是________．
3. 化简: ÷(1-2)×.
§3.3.1 指数函数(一)
学习目标::
理解并应用指数函数的图像与性质 ；理解指数函数中底数a的变化对函数值变 化的影响．
学习重点:
指数函数的图像与性质．
自主学习
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a＞0且a≠ ( http: / / www.21cnjy.com )1，x∈R)叫作指数函数，在这个函数中，自变量x出现在指数的位置上，底数a是一个大于0且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R.
2.指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质
问1:函数y＝ax与y＝()x(a＞0，a≠1)的图像有什么关系？
合作探究（对学、群学）
例1：求下列函数的定义域和值域：
y＝()；
(2)y＝.
变式1．求下列函数的定义域和值域：
y＝3；
(2)y＝.
例2： 画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时,方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
变式2．画出函数y＝()|x|的图像，根据图像指出其值域和单调区间．
例3：(1)解不等式()x2－2≤2；
(2)已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围．
变式3．比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.72.5 ,1.73；
(2)2.3－0.28 ,0.67－3.1；
(3)a1.3，a2.5(a＞0且a≠1)．
评价提升（评价、完善）：
1．指数幂ax和1的比较：
当x＜0,0＜a＜1或x＞0，a＞1时，ax＞1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相同时，ax大于1，简称为“同大”．
当x＜0，a＞1或x＞0,0＜a＜1时,0＜ax＜1，
即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相反(异)时,ax小于1,简称为“异小”．
因此简称为“同大异小”．
2.比较指数幂的大小时，通常有以下几种 ( http: / / www.21cnjy.com )方法：当幂式的底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较，当底数中含有字母时要注意分类；若幂式的底数不同而指数相同时，可以根据指数函数的图像随底数的变化规律，利用图像进行比较；若底数不同且幂指数也不同时,则需要引入中间量进行比较,中间量可以是幂式，使它与其中一个底数相同而与另外一个指数相同，或用0、1作为中间量．
达标拓展（检测、拓展）
1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
2．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
3．设f(x)＝，若0
§3.3.2指数函数 (二)
学习目标::
1．理解指数函数的概念和意义，探求并理解指数函数的单调性和特点．
2．掌握与指数函数有关的复合函数的单调性求解问题．
3．掌握与指数函数有关的函数图像的变换问题及指数方程、不等式问题．。
学习重点::
指数函数的定义、图像和性质及其应用．
自主学习:
1．指数函数定义
函数________叫作指数函数，其中________，定义域为________，值域为________．
2.指数函数的图像与性质
( http: / / www.21cnjy.com )
3.y＝ax与y＝()x的关系
一般地，当函数y＝ax与函数y＝的自变量的取值互为相反数时，其函数值________，这两个函数的图像是关于________对称的．
4．函数y＝ax与y＝bx的特点(a>b>1)
(1)当x<0时，总有ax________bx________1.
(2)都过点________．
(3)当x>0时，总有ax________bx________1.
(4)指数函数的底数越大，当x>0时，其函数值增长得就________．
合作探究（对学、群学）
例1．如图是指数函数：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a
( http: / / www.21cnjy.com )
例2.利用y＝2x的图像，如何变换得到下列函数的图像？试作出它们的图像．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x ( http: / / www.21cnjy.com )＋1；(3)y＝2－x；(4)y＝－2x；(5)y＝－2－x；(6)y＝2|x|；(7)y＝|2x－1|.
变式2．已知函数y＝ax＋b的图像经过第一、三、四象限，试确定a，b的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )
例3.已知函数y＝(x∈R)，确定其单调性及相应的单调区间，并求值域．
变式3．求下列函数的定义域、值域及单调区间：
(1)y＝3－x2＋2x＋1；
(2)y＝()2x2－4x＋3.
评价提升（评价、完善）：
1.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象在第一象限内逆时针方向，图象对应的底数依次增大，即底大图高．
2.对于形如y＝af(x)(a>0且a≠1)一类的函数，有以下结论：
(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；
(2)先确定函数f(x)的值域，根据指数函数的值域、单调性，可确定函数y＝af(x)的值域；
(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数u＝f(x)的增减性相同；
当0
1．函数y＝的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
2．已知函数f(x)＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,2) D．(2,0)
3．把函数y＝f(x)的图像向左、向下分别平移2个单位，得到函数y＝2x的图像，则f(x)＝________.
§3.3.3指数函数（三）
学习目标:
了解指数函数模型的实际背景 ( http: / / www.21cnjy.com )．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．
学习重点:
指数函数的图像与性质的应用
自主学习
1.两个重要公式 ( http: / / www.21cnjy.com )
②________(注意必须使有意义)
2.有理数的指数幂
(1)幂的有关概念．
①正分数指数幂：＝____( ＞0，m、n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：＝____＝___(＞0，m、n∈N*，且n＞1)．
③0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________.
合作探究（对学、群学）
例1：化简下列各式：(其中各字母均为正数)
变式训练1 计算：
例2：已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
变式2．设f(x)＝＋是定义在R上的函数．(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性．
例3函数y＝的图像大致为( )
A. B. C. D
变式3．已知方程10x＝10－x，lgx＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是______．
评价提升（评价、完善）：
1.在指数幂的运算过程中，根式一般化为分数指数幂参与运算，要注意公式成立的条件
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)是描 ( http: / / www.21cnjy.com )述客观世界中许多事物发展变化的一类重要模型．研究指数函数应从a>1和0
达标拓展（检测、拓展）
1.等于（ ）
A、 B、 C、 D、
2．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
3.已知a eq \s\up15( ) 错误！未找到引用源。＋a eq \s\up15(－ ) 错误！未找到引用源。＝3，则a＋a－1＝__________；a2＋a－2＝__________.
§3.4．1 对数及其运算
学习目标:了解对数式的书写形与指数式的区；
理解对数的概念及运算性质；掌握指数式与对数式的互化，对数式的运算性质及对数式的化简。
学习重点:
对数的概念及运算性质．
自主学习
1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果ab＝N(a＞0，且
a≠1)，那么数b叫作以a为底N的________，
记作b＝______________，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)指数式与对数式的关系
式子 名称
a b N
指数式 ab＝N ______ _____ _____
对数式 logaN＝b ______ _____ 真数
2.两种特殊的对数
(1)以10为底的对数叫作________________，简记为lgN.
(2)以无理数e＝2.71828…为底数的对数叫作____________，简记为lnN.
3．对数的基本性质
(1)零和负数_________对数；
(2)alogaN＝______ (a＞0，a≠1)；
(3)loga1＝______ (a＞0，a≠1)；
(4)logaa＝________ (a＞0，a≠1)．
4．对数的运算性质
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：
loga(MN)＝________________；(2)logaMn＝____________________ (n∈R)
(3)loga＝________________.
合作探究（对学、群学）
例1：利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x.
(1)logx27＝； (2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝2；
变式1:利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x.
(1log5(log2x)＝0； (2)x＝log27；
(3)x＝log16.
例2 求下列各式中x的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1；
(3)log(－1)＝x.
变式2．求下列各式的值．
(1)71＋log75；( ( http: / / www.21cnjy.com )2)alogab·blogbc(a，b为不等于1的正数，c＞0)；(3)log22log21；(4)log5(lg10)．
例3：计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
变式3．计算：
lg14－2lg＋lg7－lg18；
(2)(lg2)2＋lg2·lg5＋lg50.
评价提升（评价、完善）：
1．在使用对数的运算性质时，应注意各个字母的取值范围：
a＞0，a≠1，M＞0， ( http: / / www.21cnjy.com )N＞0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意M＞0,N＞0与M·N＞0并不等价.
例如lg[(－2)×(－3)]存在，但 ( http: / / www.21cnjy.com )lg(－2)、lg(－3)不存在，lg(－10)2存在，而2lg(－10)不存在等，因此不能得出lg[(－2)×(－3)]＝lg(－2)＋lg(－3)，lg(－10)2＝2lg(－10)．
2．运用对数的运算性质，可进行对数式的化简求值问题，但要防止出现下面的错误：
loga(M±N)＝logaM±logaN；loga(M＋N)＝logaM·logaN；loga(M·N)＝logaM·logaN；
loga＝；logaMn＝(logaM)n(其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R)．
达标拓展（检测、拓展）
1.3b＝5化为对数式是( )
A．logb3＝5 B．log35＝b
C．log5b＝3 D．log53＝b
2.若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子中正确的个数是( )
①logax·logay＝loga(x ( http: / / www.21cnjy.com )＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知lgM＋lgN＝2lg(M－2N)，求log 的值．
§3.4.2 换底公式
学习目标:
了解对数的概念与运算，理解换底公式的推导过程；掌握将其它对数转化常用对数，自然对数求值。
学习重点:
换底公式的特征
自主学习
１.对数换底公式
logbN＝_______(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)
问1.logab与logba(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)有什么关系？
问2.(logab)·(logbc)·(logca)(a，b，c＞0且a，b，c≠1)的值是多少？
合作探究（对学、群学）
例1：计算：
(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
变式1．计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．
例2：已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.
变式2．已知log142＝a，试用a表示log7
例3 设3a＝4b＝36，求＋的值．
变式3．设2a＝5b＝m且＋＝2，则m＝( )
A. B．10 C．20 D．100
评价提升（评价、完善）：
利用对数换底公式logbN＝(a＞ ( http: / / www.21cnjy.com )0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0)，可以将不同底数的对数化为同底数的对数；将一般的对数化为自然对数或常用对数，再化简计算．
换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用 ( http: / / www.21cnjy.com )对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．例如：loganbn＝logab；loganbm＝logab.
达标拓展（检测、拓展）
1.log713等于( )
A．log137 B. C. D.
2.已知f(3x)＝4xlog23＋234，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．
3．设x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z，比较3x,4y,6z的大小．
§3.5.1对数函数的概念 ( file: / / / D:\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\成才之路·北师大版数学必修1\\3-5-1、2.ppt" \t "_parent )学习目标:：了解y=2x与y=log2x互为反函数的关系；理解对数函数的概念；掌握y=log2x的图像与性质
学习重点:：对数函数的概念及y＝log2x的图像性质．
自主学习
1．对数函数的概念
2.反函数的概念
通常情况下，x表示自变量，y表示函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以对数函数应该表示为y＝logax(a＞0，a≠1),指数函数表示为y＝ax(a＞0，a≠1)，因此，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函
数y＝logax(a＞0，a≠1)的_ ( http: / / www.21cnjy.com )_______;同时,对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数．
问：y＝log2x、x＝2y,y＝2x图像之间有什么关系？
3．函数y＝log2x的图像与性质
合作探究（对学、群学）
例1： 求下列函数的定义域：
(1) y＝loga(9－x)(a＞0，a≠1);
(2) y＝log(x－1)(3－x)．
变式1．求下列函数的定义域：
y＝；
(2)y＝logx(2－x)．
例2：写出下列函数的反函数：
y＝logx；
y＝lnx；
y＝2x－1；
(4)y＝()x.
变式2．指出下列各组函数之间是否互为反函数，并说明理由．
(1)y＝x和y＝lgx；
(2)y＝2x和y＝log2x；
(3)y＝ex和y＝lnx；
(4)y＝x和y＝log2x.
例3根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围；
(2)y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值；
(3)求函数y＝log2(2x－1)的图像所过的定点坐标．
变式3．(1)比较log2与log2的大小；
(2)若log2(2－x)＞0，求x的取值范围．
评价提升（评价、完善）：
1．对数函数的解析式同时满足：
(1)对数符号前面的系数是1；
(2)对数的底数是不等于1的正实数常数；
(3)对数的真数仅有自变量x，才可为对数函数．
2．求对数函数定义域时，要注意底数是否有“未知数x”，若有也应满足底数的条件．
3．并不是所有的函数都有反函数，只有x与y之间是一一对应的函数才可求反函数．
达标拓展（检测、拓展）
1.下列为对数函数的是( )
A．y＝log1x B．y＝3log21x
C．y＝log19(x＋1) D．y＝log32x
3.函数y＝logx反函数为________．
4．函数y＝log2x的图像大致是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
§3.5.2 对数函数的图像和性质
学习目标:
了解底数a对对数函数y=logax图像的影响，理解对数函数y=logax常用性质，掌握对数的尾数的大小比较，定义域，值域，单调区间等求法
学习重点:
对数函数y＝logax的图像性质．
自主学习
1.对数函数的图像和性质
(1).函数y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的图像是什么关系？
(2).函数y＝logax与y＝logx的图像有什么对称性？
合作探究（对学、群学） 比较对数值的大小
例1：比较大小．
(1)log23.4 log28.5；(2)log0.31.8 log0.32.7；
log67 log76； (4)log3π log20.8；
(5)log712 log812.
变式1．比较下列各组中两个值的大小；
(1)log31.9 log32；(2)log23 log0.32；
(3)logaπ loga3.141.
例2：作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由y＝log2x的图像经过怎样变换而得到．
变式2．函数y＝log(x－1)的图像是如图所示的( )
例3(1)已知loga＞1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．
变式3．求函数f(x)＝的定义域；
评价提升（评价、完善）：
1．对数函数的底数的大小决定了图像相对位置的高低，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大．
即b＞a＞1＞d＞c.
2．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
3．形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
达标拓展（检测、拓展）
1.函数y＝logax＋1(a＞0，a≠1)的图像过定点( )
A．(1,1) B．(1,0) C．(0,1) D．(0,0)
2．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
3．若函数y＝log2的定义域为R，求实数a的取值范围．
§3.5.3对数函数(三)
学习目标:：
理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点．
学习重点:
是对数式的运算和对数函数的图像、性质的综合应用
自主学习
1.对数的概念
(1)对数的定义 (2)几种常见对数
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质：
①alogaN＝______；②logaaN＝______(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的重要公式：
①换底公式：__________(a，b均大于零，且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝________.
(3)对数的运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝__________________；
②loga＝____________________；
③logaMn＝__________________(n∈R)；
④logamMn＝________________________
3.对数函数的图像与性质
4.y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的关系
指数函数y＝ax与对数函数__________互为反函数，它们的图像关于直线______对称．
合作探究（对学、群学）
例1：求值：
(1)；
(lg5)2＋lg50·lg2；
(3)lg－lg＋lg.
变式1．(1)若2a＝5b＝10，求＋的值；
(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．
例2：已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A.c＜a＜b B.c＜b＜a C.b＜c＜a D.a＜b＜c
变式2．设a＝log32，b＝ln2，c＝5则a，b，c的大小关系是( )
A.a
变式3．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间上的值域．
评价提升（评价、完善）：
熟练地掌握对数的性质、对数的运算法则、对数恒等式和换底公式是有效的解决对数问题的前提，要注意各公式的适用条件．
2．含指数式或对数式的方程(或不等式)常常用换元法，结合单调性来解决．
达标拓展（检测、拓展）
1.2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.(1，＋∞)D.[1，＋∞)
3．已知a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x＋2 013)＋2的图像恒过定点__________．
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习目标:
了解指数函数，对数函数，幂函数的增长差异，理解直线上升，指数爆炸对数增长的含义，掌握解决相应的实际问题。
学习重点:
指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义．
自主学习
1.三种函数的增长趋势：当a＞ ( http: / / www.21cnjy.com )1时，指数函数y＝ax是_________，并且当a越____时， 其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝logax是_______，并且当a越_____时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是
__________，并且当n越_______时，其函数值的增长就越快．
问1.由于指数函数值增长非常快，所以对于x∈R都是2x＞x2，对吗？
合作探究（对学、群学）
例1：四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
( http: / / www.21cnjy.com )
关于x呈指数型函数变化的变量是______．
变式1．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
( http: / / www.21cnjy.com )
则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
例2：比较下列各组数的大小．
(1)，；(2)0.32，log20.3,20.3.
变式2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x,当2＜x＜4时,有( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
例3 某公司为了实现1000万元利润的 ( http: / / www.21cnjy.com )目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？
变式3． 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表所示：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物．请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
评价提升（评价、完善）：
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，应正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范
围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必
须验证这个数学解对实际问题的合理性．
达标拓展（检测、拓展）
1.当a＞1时，下列结论：①指数函数y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x，当a越大时，其函数值的增长越快；②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2. 函数，满足 ( ) （ ）
A．奇函数是减函数 B．偶函数又是增函数
C．奇函数又是增函数 D．偶函数又是减函数
3．试比较函数y＝x100，y＝5x，y＝log5x的增长情况．
本章小结与复习(一)
本章知识结构:
1.正整数指数函数
2. 指数概念的扩充
3.指数函数和对数函数
4. 对数及其运算
5. 指数函数的图像和性质
6. 对数函数的图像和性质
7.指数函数、幂函数和对数函数增长的比较
复习重点：
指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.
自主学习（独学、质疑）
指数函数与对数函数的函数性质及图象特征
合作探究（对学、群学）：
比较两数(式)或几个数(式) ( http: / / www.21cnjy.com )大小问题是一个重要题型，它主要是考查幂函数、指数函数、对数函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用，常用的方法有单调性法、图像法、中间量搭桥法、作差法、作商法、分析转化
例1：已知f(x)是定义在(－∞，＋∞ ( http: / / www.21cnjy.com ))内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(ln)，b＝f(log43)，c＝f(0.41.2)，则a，b，c的大小关系是________．
法等．
变式1．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝3－0.2，则a，b，c三者的大小关系是 ( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
例2：设0≤x≤2，求函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值和最小值．
变式2．已知函数y＝a2x＋2ax＋3(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上有最大值11，试求a的值．
例3：求不等式loga(2x＋7)＞loga(4x－1)
(a＞0且a≠1)中x的取值范围．
变式３：已知函数f(x)＝loga(x＋3)在区间
[－2，－1]上总有|f(x)|＜2，求实数a的取值范围．
评价提升（评价、完善）：
指数函数、对数函数是中学数学中 ( http: / / www.21cnjy.com )重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的形状特征及画法，记熟性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．
达标拓展（检测、拓展）
：
1.若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8,则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
2.如果f(x)＝lg(10x＋1)＋ax为偶函数，g(x)＝为奇函数，那么a＋b的值为________．
3.不等式2x＋3－2m＞0在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数m的取值范围．
第三章 指数函数与对数函数复习（二）
复习目标
掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征,加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解,.体会分类讨论，数形结合等数学思想.
复习重点：
指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.
自主学习（独学、质疑）
指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.
例４:设a、b∈R，且a≠2，定义在区间(-b，b)内的函数 是奇函数. (1)求b的取值范围；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
变式４．函数是奇函数 (其中0＜a＜1)，则
(1)m=_______;
(2)若m≠1，则f(x)的值域为________.
例５：设a＞0且a≠1,为常数,函数
(1)试确定函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)是增函数，求a的取值范围.
变式５．设函数（） 是R上的奇函数.
(1)求a的值；
(2)求f(x)的反函数；
(3)解不等式:f -1(x)>log2(x+1).
例６ 已知函数f(x)=loga(a-ax) (a＞1且为常数).
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)判断f(x)的单调性；
(3)证明：函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
变式６．已知f(x)=lg(ax-bx)(a＞1＞b＞0).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)在其定义域内的单调性；
(3)若f(x)在(1，+∞)内恒为正，试比较a-b与1的大小.
评价提升（评价、完善）：
1.函数单调性的证明应利用定义.
2.含参数的二次函数在闭区间上的最值应注意谈论.
3.会用反证法证明否定性的命题.
达标拓展（检测、拓展）
:
1.设，则 ( )
A. B
C D
2.函数的单调递增区间为 ( )
A B C D
函数的递增区间是 .
第三章指数函数和对数函数
.§3.1 正整数指数函数
自主学习（独学、质疑）
1.y＝ax
2.D
(1)上升
(2)下降_
3.孤立的点
1.提示：不是 由于正整数指数函数的定义域是N＋，而N＋
不是区间，因此正整数指数函数虽然是单调函数，却没有单调区间．
4.答案：
合作探究（对学、群学）
例１：解析： (1)因为y＝(－)x的底数－小于0，所以y＝(－)x不是正整数指数函数；
(2)因为y＝x4中自变量x在底数位置上，所以y＝x4不是正整数指数函数，实际上y＝x4是幂函数；
(3)y＝＝·2x，因为2x前的系数不是1，所以y＝不是正整数指数函数；
(4)是正整数指数函数，因为y＝()x的底数是大于1的常数，所以是增函数；
(5)是正整数指数函数，因为y＝(π－3)x的底数是大于0且小于1的常数，所以是减函数．
变式１解析：根据正整数指数函数解析式的结构特征，若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数
a＞0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
答案：2
例２解析： 两组函数的图像如下(为了便于辨认某点在哪一函数图像上，特用虚线将同一函数图像上的点连接)．
由上图可以看出，对于正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)，当a＞1时，底数a越大，图像上升的越快；
当0＜a＜1时，底数a越小，图像下降的越
快. 10分
变式2.解析：(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.
∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820.
(2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.
∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．
又∵2012＜2013，∴0.52012＞0.52013.
答案：＜ ＞
例3解析： (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，由题意得
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年,剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．
(4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
即约经过4年，剩留量是原来的一半．
变式3:解：设第n天共有yn只蜜蜂，则：
y1＝5＋1＝6，
y2＝6×5＋6＝62，
y3＝62×5＋62＝63
yn＝6n，
∴y6＝66＝46656，
∴第6天共有46656只蜜蜂．
达标拓展（检测、拓展）：
1.. B
解析： ∵f(x)＝3x(x∈N且x<0)，
∴y＝f(－x)＝3－x＝()x，
∴函数为减函数，故选B.
2.解:可先考察正整数指数函数y＝0.9 ( http: / / www.21cnjy.com )x(x∈N＋),因为此函数是减函数，所以0.911＜0.910＜1;再考察正整数指数函数y＝1.1x(x∈N＋),因为此函数是增函数，所以1.15＞1.14＞1.因此0.911＜0.910＜0.010＜1.14＜1.15.
3.解析： (1)1999年年底的人口数：13亿；
当0＜a＜1时，底数a越小，图像下降的越
快. 10分
变式2.解析：(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.
∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820.
(2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.
∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．
又∵2012＜2013，∴0.52012＞0.52013.
答案：＜ ＞
例3解析： (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，由题意得
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年,剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．
(4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
即约经过4年，剩留量是原来的一半．
变式3:解：设第n天共有yn只蜜蜂，则：
y1＝5＋1＝6，
y2＝6×5＋6＝62，
y3＝62×5＋62＝63
yn＝6n，
∴y6＝66＝46656，
∴第6天共有46656只蜜蜂．
§3.2 指数扩充及其运算性质
自主学习
问1.提示：分数指数幂不是个a相乘，实质上是关于b的方程bn＝am的解．
问2.提示：不同()n＝a.
合作探究（对学、群学）
例1：解析：(1)原式＝2×3×()×(3×22)＝21－＋×3＋＋＝2×3＝6.
(2)原式＝(52×5)÷(5×5)＝52＋－－＝5.
变式1．解：(1)原式＝(5－5)÷5＝5÷5－5÷5＝5－－5－＝5－5.
(2)原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)
＝－(－a)＋＝－(－a).
(3)原式＝{ab2[(ab)]3}＝(a1＋·b2＋)
＝a×b×＝ab.
例2：解析： (1)原式＝(a·b)－3÷[b－4(a－2)]
＝a－·b－2÷(b－2·a－)
＝a－＋·b－2＋2
＝a－1·b0＝.
(2)原式＝(2－2)－2＋(6－)－＋(3＋2)2－4××6＝24＋6＋5＋2×6－3×6＝21.
变式2．解：(1)＝a.
(2)＝|3－π|＝π－3.
(3)原式＝(－1)－(3)－＋()－－＋1
＝()－＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
例3.解析： (1)将a＋a－＝3两边平方，得
a＋a－1＋2＝9.即a＋a－1＝7.
(2)将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
(3)设a＝t，则a－＝，所以t＋＝3.
于是a＋a－＝t3＋＝(t＋)(t2＋－1)，
＝＝.
变式3．解：令ax＝t，则t2＝＋1.
∴＝
＝＝t2＋t－2－1
＝＋1＋－1＝＋1＋－1－1＝2－1.
达标拓展（检测、拓展）：
1.D
2.－1
3.解：原式＝××a
＝＝a.
§3.3.1 指数函数(一)
问1:提示：一般地，当函数y＝ax与函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )()x(即函数y＝a－x)的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图像是关于y轴对称的．
合作探究（对学、群学）
例1：解析: (1)要使函数有意义，只需x∈R，所以函数的定义域为R.因为当x∈R时，x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，y＝()x为减函数，所以0＜()≤()－1，即0＜y≤2.
所以函数的值域为{y|0＜y≤2}．
(2)由1－3x≥0，得3x≤1＝30，
因为函数y＝3x是R上的增函数，所以x≤0，
故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0＜3x ≤1，所以0≤1－3x＜1，所以0≤＜1，即函数y＝的值域为[0,1)．
变式1．解：(1)要使函数y＝3有意义，需1－x≥0，即x≤1，
∴函数的定义域是(－∞，1]．
设y＝3u，u＝，则有u≥0.
又函数y＝3u是增函数，
∴y≥30＝1，即函数y＝3的值域是[1，＋∞)．
(2)要使函数y＝有意义，需(x)－2≥0，即()x≥2＝()－1，因为函数y＝()x是R上的减函数，所以x≤－1，故函数y＝的定义域为(－∞，－1]．因为x≤－1，所以()x≥2，所以()x－2≥0，所以 ≥0，
即函数y＝的值域为[0，＋∞)．
例2：解析: 函数y＝|3x－1|的图像如下(图中实线部分)．
由图可知，当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点,即方程|3x－1|＝k无解;
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，即方程|3x－1|＝k有一解；
当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有两个不同交点，即方程|3x－1|＝k有两解．
变式2．解：因为|x|＝所以当x≥0时，函数为y＝()x；
当x＜0时，函数为y＝()-x＝2x，
其图像由y＝()x(x≥0)和
y＝2x(x＜0)的图像合并而成．
而y＝()x(x≥0)和y＝2x(x＜0)
的图像关于y轴对称，所以
原函数图像关于y轴对称，如图所示．
由图像可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．
＝＝() x－x－2(x2－x1)
＝() (x2－x1)(x2＋x1－2)
.4分
①当x1＜x2≤1时，x1＋x2＜2，即有x1＋x2－2＜0.
又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＜0，
则知()(x2－x1)(x2＋x1－2)＞1.
又对于任意x∈R，f(x)＞0恒成立，
∴f(x2)＞f(x1)．
∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递增. 7分
②当1≤x1＜x2时，x1＋x2＞2时，即有x1＋x2－2＞0，
又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＞0，
则知0＜()(x2－x1)(x2＋x1－2)＜1，∴f(x2)＜f(x1)．
∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
综上所述，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数. 8分
∴函数f(x)的值域为(0,3].12分
法二：∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，
∴f(u)＝()u.2分
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1]上是减函数，
f(u)＝()u在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数5分
又∵f(u)＝()u在其定义域内为减函数，
而u＝x2－2x在[1，＋∞)上为增函数，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上为减函数.8分
值域求法同法一．
例3：解析: (1)∵()x2－2＝(2－1)x2－2＝22－x2，
∴原不等式等价于22－x2≤2.
∵y＝2x在R上是增函数，∴2－x2≤1，∴x2≥1，观察二次函数y＝x2的图像可知x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
(2)∵a2＋a＋2＝(a+)2＋＞1，
∴y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数，
∴x＞1－x，解得x＞，∴x的取值范围是{x|x＞}．
变式3．解：(1)由于1.72.5与1 ( http: / / www.21cnjy.com ).73的底数都是1.7，故可以构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x是R上的增函数，又2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
(2)由指数函数的性质知：2.3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，所以2.3－0.28＜0.67－3.1.
(3)当0＜a＜1时,函数y＝ax是R上的减函数，此时a1.3＞a2.5；当a＞1时，函数y＝ax是R上的增函数，此时a1.3＜a2.5.
综上所述，当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5；当a＞1时，a1.3＜a2.5.
达标拓展（检测、拓展）
1．答案: A
解析: 本题考查分段函数求值．
∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知 f(a)＝－2.
当a>0时 2a＝－2不成立．
当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.
2．答案: m
＝＋＝＋＝＋＝＋
＝＝1.
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()
＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝500×1＝500.
3.3.2.指数函数 (二)
自主学习
例1.解析: 当y＝ax(a>1)时图像 ( http: / / www.21cnjy.com )上升且底数越大，图像越向上靠近y轴；当y＝ax(0
∴其图像关于y轴对称，当x>0时，y>1，与y＝ax(a>1)的图像一致，故选B.
例2.解析: (1)将y＝2x图像向右平移1个单位可得到y＝2x－1的图像，如图①.
(2)将y＝2x图像向上平移1个单位可得到y＝2x＋1的图像，如图②.
(3)将y＝2x图像关于y轴对称，可得到y＝2－x的图像，如图③.
(4)将y＝2x图像关于x轴对称，可得到y＝－2x的图像，如图④.
(5)将y＝2x图像关于原点对称，可得到y＝－2－x的图像，如图⑤.
(6)将y＝2x图像位于y轴左边的 ( http: / / www.21cnjy.com )部分删除，由y＝2|x|是偶函数，图像应关于y轴对称，只要作y轴右边部分的图像然后再关于y轴对称，就可得到y＝2|x|的图像，如图⑥.
(7)将y＝2x图像向下平移1个单位，再将位于x轴下方的图像关于x轴翻折到x轴上方，即可得到y＝|2x－1|的图像，如图⑦.
( http: / / www.21cnjy.com )
变式2．解析: 如图所示，当x＝0时，y<0，
∴a0＋b<0，∴b<－1，显然a>1.
故a∈(1，＋∞)，b∈(－∞，－1)．
例3.解析: 令t＝x2－2x－3，则t＝(x－1)2－4.
y＝，y是关于t的减函数，t在x∈(－∞，1]上是减函数，在x∈[1，＋∞)上是增函数，
则当x∈(－∞，1]时，t随x增大而减小，而y＝却随着t的增大而减小，故可得出y＝x2－2x－3在(－∞，1]上是增函数，同理可得y＝()x2－2x－3在[1，＋∞)上为减函数．
又∵t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴y＝在t∈[－4，＋∞)上的值域是(0,81]．
∴y＝x2－2x－3的值域为(0,81]．
变式3．解析: (1)定义域为(－∞，＋∞)，设g(x)＝－x2＋2x＋1，则原函数可化为y＝3g(x)，
∵g(x)＝－(x－1)2＋2≤2，∴0
又∵g(x)的对称轴为x＝1，∴x∈(－∞，1]时，
g(x)是增函数；当x∈[1，＋∞)时，g(x)是减函数．
又∵f(x)＝3x在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴y＝f[g(x)]＝3－x2＋2x＋1的增区间是(－∞，1]，
减区间是[1，＋∞)．
(2)原函数的定义域是(－∞，＋∞)，
又2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1≥1，
∴原函数值域是(0，]
单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞)．
达标拓展（检测、拓展）：
1.答案: B解析: 由题意，得1－3x≥0，∴3x≤1，∴x≤0，
∴函数y＝的定义域为(－∞，0]．
答案: A
解析: 令x－1＝0，x＝1，f(x)＝3，
∴点P的坐标是(1,3)．
3.答案: 2x－2＋2
解析: 因为将函数y＝2x的图像向上平移2个单位得到函数y＝2x＋2的图像，再向右平移2个单位得到函数y＝2x－2＋2的图像，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－2＋2.
§3.3.3指数函数（三）
自主学习
1.①,,-②a
2.①②;③0,无意义
3.①②
合作探究（对学、群学）
例1：
变式1．
例2：解析：(1)由于ax－1≠0，即ax≠1，所以x≠0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
(2)对于定义域内任意x，有f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3＝(－x)3
＝x3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1，
∴ax－1＞0，＋＞0.
又x＞0时，x3＞0，
∴x3＞0，即当x＞0时，f(x)＞0.
又由(2)知f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
则当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立．
所以，当a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立．
当0＜a＜1时，f(x)＝.
当x＞0时，1＞ax＞0，ax＋1＞0，
ax－1＜0，x3＞0，此时f(x)＜0，不满足题意；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．
综上可知，所求a的取值范围是a＞1.
变式2．(2)因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，即＋＝＋，
整理得(ex－e－x)＝0，
又∵对任意x∈R都成立，∴有a－＝0，得a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝e－x＋ex，以下讨论其单调性，
例3.解析：y＝＝1＋，当x＞0时，e2x－1＞0且随着x的增大而增大，故y＝1＋＞1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.
变式3．解析：作函数y＝f(x)＝10 ( http: / / www.21cnjy.com )x，y＝g(x)＝lgx，y＝h(x)＝10－x的图像如图所示，由于y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，∴它们的图像是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h(x)与y＝x垂直，∴y＝f(x)与y＝h(x)的交点A和y＝g(x)与y＝h(x)的交点B是关于y＝x对称的．而y＝x与y＝h(x)的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x的解α为A点横坐标，同理，β为B点横坐标．
∴＝5，即α＋β＝10.
答案：10
达标拓展（检测、拓展）：
1.C
2.解析：设y＝f(x)， ( http: / / www.21cnjy.com )t＝2x＋1，则y＝，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)，t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．
因此y＝在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．
3.解析：由已知条件(a eq \s\up15( ) ＋a eq \s\up15(－ ) )2＝9，整理得：a＋a－1＝7.
又(a＋a－1)2＝49，因此a2＋a－2＝47.
答案：7 47
3.4．1 对数及其运算答案
自主学习
1.(1)答;对数,logaN (2)
2.答;常用对数
4.答：logaM＋logaN，nlogaM，logaM－logaN
合作探究（对学、群学） 用换底公式求对数式的值
例1：【解】 (1)由logx27＝，得x＝27，
∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝2，
得3＋2＝x2，即x＝(3＋2)＝＋1.
变式1．(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，
∴x＝21＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，
∴x＝－.
(6)由x＝log16，得()x＝16，即2－x＝24，
∴x＝－4.
例2：【解】(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1.
∴x＝41＝4.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3.
∴x＝103＝1000.
(3)∵log(－1)＝x，
∴(－1)x＝＝＝
＝－1.∴x＝1.
变式2．解：(1)原式＝7·7log75＝7×5＝35；
(2)原式＝bc；
(3)原式＝log220＝log21＝0；
(4)原式＝log51＝0.
例3.【解】(1)原式＝log2＝log2＝－.
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(1＋lg2)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)
＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.
变式3．解：(1)法一：原 ( http: / / www.21cnjy.com )式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
法二：原式＝lg14－lg()2＋lg7－lg18
＝lg
(2)原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg(5×10)＝lg2·lg10＋lg5＋lg10＝lg2＋lg5＋1＝1＋1＝2.
＝lg1＝0.
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：选B.底数不变，幂值为对数的真数，指数为对数值．
2.答案：A
3.解：由已知可得lg(MN)＝lg(M－2N)2，
故得MN＝(M－2N)2，
整理得M2－5MN＋4N2＝0，
即(M－N)(M－4N)＝0.
解得M＝N或M＝4N.
又∵M＞0，N＞0，M－2N＞0，
∴M＞2N＞0，∴M＝N应舍去．
∴M＝4N，即＝4.
∴log＝log4＝4.
3.4.2 换底公式
答案：
自主学习
1.提示：logab＝.
2.提示：(logab)·(logbc)·(logca)＝logab··＝1
合作探究（对学、群学） 用换底公式求对数式的值
例1：【解】 (1)log1627log8132＝×
＝×＝×＝.
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
＝
＝(log32＋log32)
＝log32×log23＝××＝.
变式1．解：法一：原式＝(log253＋＋)(log52＋＋)＝(3log25＋log25＋log25)(log52＋log52＋log52)
＝(3＋1＋)log25·(3log52)＝13log25·＝＝13.
法二：原式＝(＋＋)(＋＋)
＝(＋＋)(＋＋)
＝()()＝13.
例2：【解】 法一：由18b＝5，得log185＝b.又log189＝a，
则log3645＝＝
＝
＝＝
＝.
法二：由log189＝a,18b＝5，
有＝a，①
log185＝b，
＝＝b，②
而log3645＝＝，③
由①②联立，得lg2＝，lg9＝，④
把④代入③，得log3645＝.
变式2．解：法一：∵log142＝a，∴log214＝.
∴1＋log27＝.∴log27＝－1.
由对数换底公式，得log27＝＝.
例3 解】法一：由3a＝4b＝36，得log336＝a，log436＝b，由换底公式可得a＝log336＝，b＝log436＝，…5分
所以＋＝2log363＋log364＝log369＋log364
＝log3636＝1.10分
eq \a\vs4\al(法二：对已知条件中的三项取以6为底的对数，,得alog63＝2blog62＝2.…2分,所以\f(2,a)＝log63，\f(1,b)＝log62.………5分)
所以＋＝log63＋log62＝log66＝1.
变式3．
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：选B.log713换为常用对数为.
2.解析：令t＝3x，则x＝log3t，
∴f(t)＝4log3t·log23＋234＝4··log23＋234＝3.log2t＋234.
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)
＝4(1＋2＋3＋…＋8)＋8×234＝144＋1872＝2016.
4.解：3x－4y＝3log3k－4log4k＝－
＝＝，
∵k＞1，∴logk64－logk81＜0，∴3x＜4y.
4y－6z＝4logk4－6log6k
＝－＝＝，
∵k＞1，∴logk36＜logk64，
∴4y＜6z，∴3x＜4y＜6z.
§3.5.1对数函数的概念 ( file: / / / D:\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\成才之路·北师大版数学必修1\\3-5-1、2.ppt" \t "_parent )
§3.5.2对数函数y＝log2x的图像和性质
自主学习
2.反函数
问：提示：y＝log2x与x＝2y的数量关系是相同的,图像是一致的．
y＝log2x与y＝2x是一对互为反函数，图像关于y＝x对称，都是增函数．
合作探究（对学、群学）
例1：解析： (1)要使函数有意义，须9－x＞0，
∴x＜9，
∴此函数定义域为(－∞，9)．
(2)要使函数有意义，
须，∴，
∴此函数定义域为(1,2)∪(2,3)．
变式1．解：(1)由，得，
∴x＞－1且x≠999.
∴函数的定义域为{x|x＞－1且x≠999}．
(2)由，得.
∴函数的定义域为{x|0＜x＜2且x≠1}．
例2：解析： (1)对数函数y＝logx的底数是，它的反函数是指数函数y＝()x.
(2)对数函数y＝lnx的底数是e，它的反函数是指数函数y＝ex.
(3)由y＝2x－1得2x＝y＋1，
∴x＝log2(y＋1)．
故它的反函数是y＝log2(x＋1)(x＞－1)．
(4)指数函数y＝()x的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx(x＞0)．
变式2．解：根据指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数来判
断．(2)和(3)组是，
因为它们的定义域、值域互换，对应法则互换，符合y＝ax和y＝logax的关系；
(1)和(4)组不是，不符合y＝ax和y＝logax的关系．
例3.解析： 函数y＝log2x的图像如图．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)因为y＝log2x是增函数，
若f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，则a＞2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).5分
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，
最大值为log227.8分
(3)令2x－1，∴x＝1，∴y＝0，
∴y＝log2(2x－1)过定点(1,0).
变式3．解：(1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵＞，∴log2＞log2.
(2)log2(2－x)＞0即log2(2－x)＞log21，
∵函数y＝log2x为增函数，
∴2－x＞1，∴x＜1.
∴x的取值范围为(－∞，1)．
达标拓展（检测、拓展）：
1.答案：D
2.y＝()x
3.C
5．3 对数函数的图像和性质 （一）
自主学习
1.y＝ax与y＝logax互为反函数，其图像关于y＝x对称．
2.提示：y＝logx＝－logax与y＝logax关于x轴对称．
合作探究（对学、群学）
例1：【解】 (1)考查对数函数y＝log2x，
∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．
∴log23.4＜log28.5.
(2)考查对数函数y＝log0.3x，
∵0＜0.3＜1，
∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31.8＞log0.32.7.
(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，
∴log67＞log76.
(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，
∴log3π＞log20.8.
(5)在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，如图，由底数
变化对图像位置的影响知：
log712＞log812.
变式1．解：(1)(单调性法)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9＜log32.
(2)(中间量法)因为log23＞log21＝0,log0.32＜0,
所以log23＞log0.32.
(3)(分类讨论)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141.
综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；
当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
例2：【解】作出函数y＝log2x的图像， ( http: / / www.21cnjy.com )将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图像的另一分支曲线，再将整个图像向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图像,如图所示：
由图可得函数y＝log2|x＋1|
的递减区间为(－∞，－1)，
递增区间为(－1，＋∞)．
变式2．解析：选D.只需将y＝logx的图像向右平移一个单位长度即可．故选D.
例3.【解】 (1)由loga＞1，得loga＞logaa.
①当a＞1时，有a＜，此时无解；
②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1.
∴a的取值范围是(，1)．
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，
得，解得x＞1.
变式3．解：要使函数有意义需有
即解得＜x≤1.
∴函数f(x)的定义域为.
∵x∈(－2,1]时，u关于x是增函数，y＝logu是减函数，
∴y＝log(－x2＋2x＋8)为减函数．
x∈[1,4)时，u关于x是减函数，y＝logu是减函数，
∴y＝log(－x2＋2x＋8)为增函数．
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：选A.当x＝1时，y＝1.
2．解析：选D.使函数有意义，需log2x－2≥0，即log2x≥2＝log24，∴x≥4.
3.解：函数y＝log2的定义域为R，
即ax2＋(a－1)x＋＞0恒成立，
若a＝0时，显然－x＋＞0不能恒成立，
∴a≠0，
∴二次函数t＝ax2＋(a－1)x＋
的图像在x轴上方，
∴a＞0，且Δ＜0，即(a－1)2－4··a＜0，
∴a2－3a＋1＜0
令t＝a2－3a＋1，并作出其图像如图，
令t＝0，得a＝
观察图像得a∈.
3.5.3对数函数复习课
自主学习
2.(1)N;N (2) logbN＝ ;logad
(3)logaM＋logaN;
logaM－logaN;
nlogaM;
logaM
4.y＝logax; y＝x
合作探究（对学、群学）
例1：解析：(1)原式＝＝.
(2)原式＝(lg5)2＋lg(10×5)lg＝(lg5)2＋(1＋lg5)(1－lg5)＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.
(3)方法一：原式＝(5lg2－2lg7) ( http: / / www.21cnjy.com )－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.
方法二：原式＝lg－lg4＋lg(7)＝lg
＝lg＝.
变式1．析：(1)由已知a＝log210，b＝log510，则＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.
由已知x＝log43，则4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋＝.
例２
∴f(0.2－0.6)＜f( ( http: / / www.21cnjy.com )log3)＜f(log47)，即c＜b＜a，选B 变式2．解析：方法一：a＝log32＝，b＝ln2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝5 eq \s\up15(－ ) ＝，而＞2＝log24＞log23，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C.
方法二：a＝log32＝，b＝ln2＝，1＜log2e＜log23＜2，
∴＜＜＜1；
c＝5 eq \s\up15(－ ) ＝＜＝，所以c＜a＜b，选C.
例3.解析：∵a＞0，且a≠1， ( http: / / www.21cnjy.com )∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，
∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．
其充要条件是即1＜a＜2.
变式3．解析：(1)由4x－1＞0解得x＞0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，
因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，即f(x1)＜f(x2)，f(x)在(0，＋∞)上递增．
(3)f(x)在区间上递增，又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415].
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2. 答案：C
2.解析：设y＝f(x)，t＝3x＋1，则y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.
由y＝log2t，t＞1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)． 答案：A
3.解析：令x＋2 013＝1，即x＝－2 012时，y＝2，故其图像恒过定点(－2 012,2)．
答案：(－2 012,2)
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
自主学习
：增函数，大；增函数，小；增函数，大；
问1.提示：不对．y＝2x与y＝x2的图像有交叉现象，只有当x＞4时，才有2x＞x2成立．
合作探究（对学、群学）
例1：解析:指数型函数呈“爆炸式”增长．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3 ( http: / / www.21cnjy.com )，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化，故填y2.
答案: y2
变式1．
解析：选C.通过指数型函数，对数型函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律,故选C.
例2：解析: (1)函数y1＝为减函数，又＞，
∴＞.∴＞.
∴＞.
(2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，
y3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作x＝0.3，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知
log20.3＜0.32＜20.3.
又函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且＞，
变式2．
解析：选B.在同一平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )画出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(图略)，在区间(2,4)上从上往下图像依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x，所以y2＞y1＞y3.
例3.解析: 借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，
y＝1.002x的图像如图所示：
观察图像发现，在区间[10,10 ( http: / / www.21cnjy.com )00]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10 ( http: / / www.21cnjy.com )，1000]上是单调递增的，当x∈(20，1000]时，y＞5，因此该模型不符合要求.对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1000]时，y＞5，因此，也不符合题意.对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上单调递增且当x＝1000时，y＝log71000＋
1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过
5万元的要求.
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否
超过利润x的25%，即当x∈[10,1000]时，利
用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x
的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)
＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1000]时，y ( http: / / www.21cnjy.com )＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%. 综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求.
变式3．
解：根据散点图如图所示，宜采用指数型函数作模型．设f(x)＝a×bx＋c，
代入前三个数据可得a＝，b＝2，c＝.
所以f(x)＝×2x＋，用x＝5和6代入检验f(5)＝＝5.2，f(6)＝10，刚好符合．所以f(4)＝2.8，f(7)＝19.6.实际上后来在离太阳19.2天文单位处发现了天王星，与19.6非常接近，提丢斯创造了一个天文史上的传奇．
达标拓展（检测、拓展）：
1.答案：B
2.D
3解：三个函数中，y＝log5x增长的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度要比y＝x100和y＝5x增长的速度慢得多，且y＝log5x增长得越来越慢，图像几乎渐渐与x轴平行;而y＝x100和y＝5x，当x比较小时，y＝x100要比y＝5x增长得快，但当x逐渐增大，增大到一定程度后，y＝5x要比y＝x100增长得快．．
本章小结与复习(一)
合作探究（对学、群学）
例1：【解析】 ∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且a＝f(ln)
＝f(－ln 3)＝f(ln 3)．
∵ln 3＞ln e＝1，＝log42＜log43＜log44＝1,0＜0.41.2＜，
∴0.41.2＜log43＜ln 3，
故f(0.41.2)＞f(log43)＞f(ln 3)，即c＞b＞a.
【答案】 c＞b＞a
变式1．解析：因为b＝53＞a＝30.2＞1，而0＜c＝3－0.2＜1，
所以b＞a＞c.
答案：B
例2：【解】 y＝22(x－)－3·2x＋5＝·22x－3·2x＋5＝(2x－3)2＋.
∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4.
∴当2x＝3，即x＝log23时，ymin＝；
当2x＝1，即x＝log21＝0时，ymax＝.
∴当x＝log23时，ymin＝，当x＝0时，ymax＝
变式2．解析: y＝a2x＋2ax＋3＝(ax)2＋2ax＋3
＝(ax＋1)2＋2，
令ax＝t，则y＝(t＋1)2＋2，
当a>1时，因为－1≤x ( http: / / www.21cnjy.com )≤1，所以≤ax≤a，即≤t≤a.因为函数的对称轴为t＝－1，所以当t＝a时函数取最大值，所以(a＋1)2＋2＝11，所以a＝2；
当0
所以2＋2＝11，所以a＝.
综上所述，a的值是2或.
例3.【解】 当a＞1时，由原不等式有
解得＜x＜4.
当0＜a＜1时，由原不等式有
解得x＞4.
∴当a＞1时，x的取值范围为；当0＜a＜1时，x的取值范围为(4，＋∞)．
变式3.【解】 ∵x∈[－2，－1]，∴1≤x＋3≤2.
当a＞1时，loga1≤loga(x＋3)≤loga2，即0≤f(x)≤loga2.
∵|f(x)|＜2，∴∴a＞.
当0＜a＜1时，loga2≤loga(x＋3)≤loga1，即loga2≤f(x)≤0.
∵|f(x)|＜2，∴∴0＜a＜.
综上可得，实数a的取值范围是∪(，＋∞)．
达标拓展（检测、拓展）：
1.解析：选A.利用界值法可得a＞log33＝1,0＜b＝log76＜log77＝1，c＝log20.8＜log21＝0.故选A.
2.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴lg(10－x＋1)－ax＝lg(10x＋1)＋ax，
即lg(10x＋1)－x－ax＝lg(10x＋1)＋ax，
∴(2a＋1)x＝0，∴2a＋1＝0，即a＝－，
又g(x)为奇函数，且x∈R，
∴g(0)＝0＝，∴b＝1，∴a＋b＝.
3.解：原不等式可转化为2m－3＜ ( http: / / www.21cnjy.com )2x在x∈[0，＋∞)时恒成立，只要2m－3小于2x的最小值即可．当x∈[0，＋∞)时，由y＝2x的单调性知，2x的最小值是20＝1，
∴2m－3＜1，∴m＜2.∴实数m的取值范围为(－∞，2)．
第三章 指数函数与对数函数复习（二）
例４：（1）b的取值范围是（0，]
（2）f(x)在(-b，b)内是减函数，具有单调性.
变式４．(1),(2)R
例５：（1）f(x)为奇函数
（2）a的取值范围是(0，1)∪( ，+∞).
变式５．（1）a=1（2） (-1
（2）f(x)是减函数（3）函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称
变式６．（1）定义域为(0，+∞).（2）f(x)在(0，+∞)是增函数.（3）a-b≥1
达标拓展（检测、拓展）：
1.D ２.D ３.