江西省丰城中学2015-2016学年上学期高一数学必修一导学案第一章 集合

第一章. 集合
§1.1.1集合的含义与表示
学习目标：
1. 了解集合的含义，能够举例说明集合，能够判断元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握列举法和描述法表示集合、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
学习重点：
判断元素与集合的“属于”关系；
用列举法和描述法表示集合、常用数集
理解集合元素的三个特征
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1. 一般地，指定的某些对象的全体为 ，集合中的每个对象叫做这个集合的 .
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作： ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作： .
3. 集合中元素的三个性质：① ， ② ，③ .
全体整数的集合简称 ，记作 ；
所有正整数的集合简称 ，记作 ；
全体非负整数组成的集合简称 ，记作 ；
全体有理数的集合简称 ，记作 ；
全体实数的集合简称 ，记作 ；
不含任何元素的集合称 ，记作 ；
合作探究：
例1：以下能组成集合的是________．
①π的近似值的全体；　
②2012年北京四中暑假新入学的学生；
③平方等于－1的实数的全体；
④平面直角坐标系中第一象限内的一些点；
⑤1,2,3,1.
变式训练1：下列所给对象不能构成集合的是(　　)
A．一个平面内的所有点
B．所有小于零的整数
C．某校高一(4)班的高个子学生
D．某一天到商场买过货物的顾客
例2：需添加什么条件，才能使表示一个集合？
变式训练2：设集合,求实数x的取值范围.
例3：所给下列关系正确的个数是(　　)
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
变式训练3：若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，试判断6－2是不是集合A中的元素？
知识总结（评价提升）：
1．判断一组对象能否组成集合，关键看该对象是否满足确定性．如果此组对象满足确定性，就可组成集合;否则,不能组成集合．
2．判断元素是否在集合内，关键是弄清集合中元素所具有的特性，然后看此元素是否具有这一性质．
达标拓展：
1.若,则实数的值为(　　)
A． B．0或1 C．0或1 或-1 D．-1
2.由实数x、－x、|x|、、－所组成的集合，最多含有元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
3.若不等式的解集为,且,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
§1.1.2集合的含义与表示
学习目标：
1. 了解集合的含义，能够举例说明集合，能够判断元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握列举法和描述法表示集合、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
学习重点：
1. 判断元素与集合的“属于”关系；
2. 用列举法和描述法表示集合、常用数集
3. 理解集合元素的三个特征
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1.列举法
将集合的元素______，并写在_____内的方法.
2.描述法
用确定的条件表示某些对象________，并写在______内的方法．
合作探究：
例1：用列举法表示下列集合．
（1）以内所有的质数；
（2）同时满足的整数解的集合；
（3）由所确定的实数集合；
（4）直线与坐标轴的交点．
变式训练1：若，则为（ ）
A． B．
C． D．
例2：用描述法表示下列集合．
（1）不等式的解集；
（2）使有意义的x的集合；
（3）抛物线图像上所有点组成的集合；
（4）被5整除余1的正整数集合．
变式训练2：直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是( )
A．第一象限内的点
B．第三象限内的点
C．第一或第三象限内的点
D．非第二、第四象限内的点
例3：已知集合，集合,求集合.
变式训练3：已知集合,集合,求集合.
知识总结（评价提升）：
元素较少的有限集宜采用列举法表示；对无限 ( http: / / www.21cnjy.com )集或元素较多的有限集宜采用描述法表示．但是对于元素较多的有限集，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．
达标拓展：
1. 方程组的解集不能表示为 (　　)
A．
B．
C． D．
设，则
中所有元素之和为(　　)
A．4 B．-1 C．2 D．-5
集合
，则B中所含元素的个数为(　)
A．3 B．6 C．8 D．10
§1.2集合的基本关系
学习目标：
1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 理解子集、真子集的概念，了解空集的含义；
3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
学习重点：
1. 区别集合间“包含”与“相等”的关系，子集与真子集的概念及关系；
2. 区别元素和集合的属于关系与集合间的包含关系.
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1. 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合 A为集合B的子集,记为_________
2.如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素，则称集合 A与集合B相等,记为_______
3.如果，并且A≠B，这时集合 A称为集合B的真子集,记为______
4. 不含有任何元素的集合称为空集，记为___________.并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
5. 若一个集合中有n个元素，则它有_____ 个子集，有_____个真子集，有_____个.
合作探究：
例1： 写出满足的所有集合A的真子集.
变式训练1：已知集合A,且集合A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有（ ）
A．11 B．12 C．15 D．16
例2：,
，,则的关系是(　　)
A． B．
C． D．无公共元素
变式训练2：设集合
,，
，则、、之间的关系为（ ）
B．=
C． = D．=
例3：已知集合，，若BA，求实数的取值范围．
变式训练3：设集合，.若，求实数的取值范围．
知识总结（评价提升）：
1．集合A的子集包括由集合A的部分元素构成的集合，还包括和集合A本身．
2．判断集合间关系的方法有两种：(1)一一 ( http: / / www.21cnjy.com )列举出来，通过观察可判断．(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清构成集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
达标拓展：
1.集合，其中，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2.设集合,
,则（ ）
= B．
C． D．以上均不对
3. 集合S＝{0,1,2,3,4,5}， ( http: / / www.21cnjy.com )A是S的一个子集．当x∈A时，若有x－1 A且x＋1 A，则称x为集合A的一个“孤立元素”，那么S的无孤立元素的含四个元素的子集的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
§1.3.1集合的基本运算---交集与并集
学习目标：
1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；
3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
学习重点：
1. 交集与并集的概念及运算的理解；
2. 集合的交集与并集的性质的运用.
自主学习（独学、质疑）
1. 一般地，_____________________，称为A与B交集，记作____________，用符号语言表示为____________________________
2. A∩B A， A∩B B；
A∩B B∩A；A∩A = ，A∩= ；
3. 一般地，___________________，称为A与B的并集，记作_______用符号语言表示为： ________________________________
4.A A∪B，B A∪B；
A∪B B∪A；A∪A = ，A∪= ；
合作探究（对学、群学）
例1：（1）设集合，
，则A∩B＝(　　)
A． B．
C． D．
设集合，
，则A∪B＝（ ）
A．　 B．
C． D．
例2：设集合，，求A∪B，A∩B.
变式训练1：设集合，集合，当A∩B＝时，求A∪B.
例3：，
，当为何值时，（1）A∩B＝；(2)A∩B≠；(3)A∩B＝A.
变式训练2：若，，且A∪B＝，求的值．
知识总结（评价提升）：
解答有关两集合(或两个以上集合)交、并集的运算时，需要考虑集合的类型。
如果集合是有限集，一般需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合集合交、并集的定义分别求出；
如果集合是无限集，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，在解答过程中需注意边界问题。
达标拓展（检测、拓展）
1.已知集合，，那么M∩P＝(　　)
A.
B．
C．
D．
2. 已知集合，
，，且A∩B=C，
则 a，b 的值为 （ ）
A．a=5，b=-7 B．a=5，b=-5
C．a=2，b=-7 D．a=2，b=-5
设集合，
，．若(A∪B)∩C=，则的取值范围是_________；若(A∪B)∩C≠，则的取值范围是_______
§1.3.2集合的基本运算----全集与补集学习目标：
1．理解补集和全集的含义．
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
3．重视补集思想在解题中的应用．
学习重点：
1．全集、补集的概念与运算．
2．补集含义的理解以及补集的应用．
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1. 如果集合U包含我们所要研究的各个集合，这时U可以看做一个_____，记作_____
2.设____________，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集, 记作_____，用符号语言表示为：____________
3.UA＝____；UA＝____；
U（UA）＝_____．
U、UA和UB之间存在什么关系？ U、UA和UB之间存在什么关系？
设U是全集，A,B是U的二个子集，则、、UB、UA之间存在什么关系？
合作探究（对学、群学）
例1：集合A＝{x|－1≤x≤2},B＝{x|x<1}，则A∩(RB)＝(　　)
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1变式训练1：已知全集U＝R，集合M＝{x|－1≤x≤3},则UM＝(　　)
A．{x|－1C．{x|x<－1或x>3} D．{x|x≤－1或x≥3}
例2：设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2变式训练2：设全集，集合，
，则集合U(A∪B)中元素的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
例3：已知全集，
，
，且(UA)∪B＝，求m＋n的值．
变式训练3：全集，集合，若UA＝{1,2}，则实数m＝________.
知识总结（评价提升）：
1．补集是集合间的一种运算，求集合 ( http: / / www.21cnjy.com )A相对于全集U的补集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
2．UA的包括两个方面：首先必须具有A U；其次是定义UA．
达标拓展：
1. 如图,U是全集,M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．(M∩P)∩S
B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(US)
D．(M∩P)∪(US)
2.已知U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x| ( http: / / www.21cnjy.com )－1＜x＜3}，B ＝{x|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x＜3}，则下列关系正确的是 (　　)
A. UA＝B B. UB＝C
C.(UB) C D. AC
3.已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(RB)＝R，则实数a的取值范围是 (　　)
A. a≤2 B. a＜1
C. a≥2 D. a＞2
章末检测
本章知识体系
本章热点透析
专题一：集合中元素的“三性”
集合中的元素具有确定性,互 ( http: / / www.21cnjy.com )异性和无序性,判断所给对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”“无序性”。
例1：已知，,若
,则________．
专题二：集合间的基本关系
在解决集合间的基本关系问 ( http: / / www.21cnjy.com )题时，要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形。
例2: 已知集，，若，求实数的取值范围．
专题三： 集合的基本运算
集合有交、并、补三种运算，设全集为U，已知集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}, A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，UA＝{x|x∈U，且x A}．解决具体集合的运算问题,关键在于把握集合的“元素构成”——集合由哪些元素组成;涉及与不等式有关的集合运算问题，应注意利用数轴来求解，特别要注意端点的取值；解决抽象集合的运算问题，应注意运用Venn图把它形象化、直观化．
例3：设集,
.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围；
（3）若，求实数a的值.
专题四：“正难则反”策略与“补集思想”
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决，这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U（UA）＝A求A.
例4：已知集，若集合A中至多只有一个元素,求的取值范围.
第一章 集合
§1.1.1集合的含义与表示
自主学习
1.集合 元素
2.a∈A　　a A
3.确定性、互异性、无序性
4.整数集，Z；正整数集，；自然数集，N；有理数集，Q；实数集，R ；空集，
　　　　
合作探究：
例1：②③⑤.
变式训练1：C．
例2：
变式训练2：
例3：B
变式训练3：因为在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，
即可得到6－2，
所以6－2是集合A中的元素．
达标拓展：
DAA
§1.1.2集合的含义与表示
自主学习
一一列举出来　大括号　
2.属于一个集合　大括号
合作探究：
例1:(1)
（2）{-1，0，1，2}；
（3）{-2，0，2}；
（4）
变式训练1：A．
例2：（1）
（2）{x|x≤2且x≠0 }
（4）
变式训练2：D
例3：
变式训练3：
达标拓展：
CCD
§1.2集合的基本关系
自主学习
2.=，
3.
4.
5.
合作探究：
例1：满足条件的集合有{a，b，c},{a，b，d}，{a，b，c，d}．
变式训练1：A
例2：D
变式训练2：C
例3：∵BA，∴a＋4≤－1或a≥5，∴a≤－5或a≥5.
变式训练3：①B≠ 时，由BA得
解得2≤m≤3.
②B＝ 时，m＋1>2m－1，解得m<2. 8分
由以上可得m≤3.
达标拓展：
CCC
§1.3.1集合的基本运算---交集与并集
自主学习
1.由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，A∩B，　A∩B={x|x∈A且x∈B}。
2. ＝A
3.由属于集合A或属于集合B的所有元素， A∪B，A∪B={x|x∈A或x∈B}。
4. ＝AA
合作探究：
例1：DD
例2：　由已知得B＝{－2，－1}．
①当－a＝－1，即a＝1时，A＝{7，－1}，
得A∪B＝{－2，－1,7}，A∩B＝{－1}；
②当－a＝－2，即a＝2时，A＝{7，－2}，
得A∪B＝{－2，－1,7}，A∩B＝{－2}；
③当－a＝7，即a＝－7时，A＝{7}，
得A∪B＝{－2，－1,7}，A∩B＝ ；
④当a≠1且a≠2，a≠－7时, A＝{7，－a}，A∪B＝{－2，－1，－a,7}，A∩B＝ .
变式训练1：
由题意得|a＋1|＝2，解得a＝1或a＝－3.
当a＝1时,集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3.
由集合的元素具有互异性知a≠1.
当a＝－3时，集合B＝{－5,2,3}，
∴A∪B＝{－5,2,3,5}．
例3：(1)A∩B＝，解得－1≤a≤2.
(2)A∩B≠的反面就是A∩B＝
∴当a<－1或a>2时，A∩B≠.
∵A∩B＝A，∴A B.
a＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A∩B＝A.
变式训练2：解：A＝{x|x－2>3}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－3>3x＋a}＝{x|x<－3－a}．
又∵A∪B＝{x|x<4或x>5}，∴－3－a＝4，∴a＝－7，即a的值为－7.
达标拓展：CD a≥3，a<3
§1.3.2集合的基本运算----全集与补集
自主学习
1.全集,
2.是全集，UA，UA
3.，，
4. UUAUB
UUAUB
5.UB）（UA
合作探究：
例1： D
变式训练1： D
例2： A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
∵ RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2变式训练2：B
例3：∵U＝{1,2,3,4,5}，( UA)∪B＝{1,3,4,5}，∴2∈A，
又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，得m＝6且A＝{2,3}．
而( UA)∪B＝{1,3,4,5}． ( http: / / www.21cnjy.com )∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}．∴3是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根,得n＝－7. ∴m＋n＝－1.
变式训练3：－3
达标拓展：
CAC
章末小结
例1 ：由已知得＝0及a≠0，所以b ( http: / / www.21cnjy.com )＝0于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 014＋b2 014＝1.
例2 ：当B＝ 时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，可得
或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
例3 ：（1）由题意知：，，.
①当时，得，解得．
②当时，得，解得．
综上，．
（2）①当时，得，解得；
②当时，得，解得．
综上，．
由，则
例4 ：　假设集合A中有两个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，则
解得a<1且a≠0.
所以若集合A中至多只有一个元素，实数a的取值范围为a≥1或a＝0.
无限集
有限集
分类
空集
集合的概念
确定性
元素的性质
集合
互异性
列举法
无序性
集合的表示法
描述法
真子集
包含关系
子集
相 等
交集
集合运算
集合与集合的关系
并集
补集