湖北省黄冈市2024-2025学年高三上学期9月调研考试数学试题（PDF版，含答案）

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2024 年 9 月高三起点联考数学答案
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错
的得 0 分．
9. 10. 11. ABD
11.解析：A. = 1时， ′( ) = 6 2 6 = 6 ( 1),
( )在( ∞，0)递增 ，(0，1)递减，(1，+∞)递增，
( )极大值 = (0) = > 0,
∴ { ,A 正确；
( )极小值 = (1) = 1 < 0
B.由（1）知： ( )在(0，1)递减，当 ∈ (0, )时，0 < sin2 < sin < 1,B 正确；
C.因为 (1 ) = 2 ( ),
1 1
所以 ( )关于( ，1)对称，则 ( ) = 1,得2 = 2,C 错误；
2 2
D.由题意知： ′( 0) = 6
2
0 6 0 + 1 = 0，①
又由 ( 0) = ( 1)化简得：
( 2 20 1)[2( 0 + 1 0 + 1 ) 3( 0 + 1) + (1 )] = 0,
因为 0 ≠ 1,所以2(
2 2
0 + 1 0 + 1 ) 3( 0 + 1) + (1 ) = 0， ②
① ②化简可得,D正确.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
3 2
12. ≤ 2 13. 1 14.[ 5, 4)
4 3
14.解析：分析 ( ) = sin + 1,可知函数 ( )单调递减，在(0，1)中心对称，
得： ( ) + ( ) = 2,将不等式 ( )+ ( + 2)>2，变形得
( 2)
( )> ( + 2),所以得 < + 2,变形得： ( 1) < ( 2), ( 1) < ,
(4 2)
(4 1) <
据图可得：{
4 3
, 解得 ∈ [ 5
2
, 4).
(5 2)
(5 1) ≥ 4 3
5
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解：(1)证明：因为 = 1 ,
所以 +1 = 1 +1,
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两式相减得： = 2 +1,....................................3分
1
所以数列{ }为等比数列，公比 = , 2
1
当 = 1时， 1 = 1 1,所以 1 = ..................4分 2
1
所以 = ( ) ..................5分 2
1
（2） = 1 ,所以 = 1 ( ) ..................7分 2
2 1 1 = 1 + 1, 9 分 4 2
1 1 1 1 1 1
= + ( + + + ) 2( + + + ) 11分 4 42 4 2 22 2
1 1 5
= + 13分
2 1 3 × 4 3
1 1+cos2 1 1 1
16. 解：(1) ( ) = sin · cos + 2 = sin2 + = sin2 + cos2 + =
2 2 2 2 2
√ 2 1
sin(2 + ) + ，....................................1分
2 4 2
2
因为函数 ( )的最小正周期为 ，所以 = = ，即 = 1，....................................2分
2
√ 2 1
所以 ( ) = sin(2 + ) + ，........................................................................3分
2 4 2
3
令 + 2 2 + + 2 ( ∈ )，解得 + + ( ∈ )，
2 4 2 8 8
3
所以 ( )的单调递增区间为[ + , + ]( ∈ )，....................................5分
8 8

令2 + = ( ∈ )，解得 = + ( ∈ )，
4 8 2
1
所以 ( )的对称中心为( + , )( ∈ );..................7分
8 2 2
1
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数 ( )的图象，
8 2
1 √ 2 1 1 √ 2
则 ( ) = ( ) = sin [2 ( ) + ] + = sin2 ，....................................9分
8 2 2 8 4 2 2 2
所以函数 ( )的最小正周期为 ，..................10分

由 +1 = ( ∈ )知， 3
( 1) + ( 2) + ( 3) = ( 4) + ( 5) + ( 6) = = ( 2020) + ( 2021) + ( 2022),
√2 √2 √2
( 1) + ( 2) + ( 3) = =0， ..................13分 2 4 4
2
所以 (
√
1) + ( 2) + + ( 2024) = ( 2023) + ( 2024) = ( 1) + ( 2) = . ..................15分 4
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17. 解：(1) ( )的定义域为(0，+∞), ..................1分
′ 2 3 ( ) = + ( + 3)...............................................................2分
2
3 1
由题意知： ′(1) = = 1,所以 = .......................................................4分
2 2
3 7
(1) = 3 = 1+ , = .........................................................................6分
4 4
2 3 (3 2 )( 2)
(2) ′( ) = + ( + 3) =
2 2
′ 2令 ( ) = 0 1 = 2, 2 = ,........................................................................7分 3
当 ≤ 0时，
所以 ( )在(0,2)单调递减，(2,+∞)单调递增； ............................9分
当0 < < 3时，0< 2 < 1
2 2
所以 ( )在(0, )单调递增，( , 2)单调递减，(2,+∞)单调递增；..................11分
3 3
当 = 3时， 1 = 2 = 2,
′( ) ≥ 0, ( )在(0,+∞)单调递增；..................13分
2
当 > 3时，0 < 1 = 2 < 2 = , 3
2 2
所以 ( )在(0,2)单调递增，(2, )单调递减，( ,+∞)单调递增. .....................................15分
3 3
2 2
1 cos 1 (1 2sin ) 2 sin
18. 解：(1) = 2 = 2 = tan , 3 分 sin 2 sin cos 2 sin cos 2
2 2 2 2

sin 2 sin cos 2 sin cos
= 2 2 = 2 2

= tan ,
1+cos 1+(2 cos2 1) 2 cos2
2
2 2
1 cos sin
故tan = = . 6 分
2 sin 1+cos
(2)(i)由题意设 = , = 2,由三角形三边关系知
> 0
+ > 2
2 8 分
+ >
{ + 2 >
√5 1 √5+1
解之得： ∈ ( , ) ....................................10分
2 2
sin 1 cos sin 1 cos
（ii）由(1)的结论可知，tan tan = = 12分
2 2 1+cos sin sin 1+cos
2 + 2 2
1 2 + +
2
= 2 2 2 = = 14分 + + + + 2 +
1 + 2
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1 + 2 (1 + 2 + ) 2 2
= = = 1 15分
1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 +
2 1 3 √5
= 1 ∈ [ , ) 16分
1
+ + 1 3 2

1 3 √5
故tan tan 的取值范围为[ , ) 17 分
2 2 3 2
19.解：（1）当 ≥ 1时，|sin | < 显然成立；
当0 < < 1时，|sin | = sin .
即证 sin < ， ∈ (0,1). ※ 2分
构造 ( ) = sin , ∈ (0,1).
′( ) = 1 cos ≥ 0. ∴ ( )在(0,1)单调递增，
( ) > (0) = 0,即※式成立
综上：|sinx| < ， > 0 4分
(2)当 > 1时， ( ) = sin , ′( ) = cos 1,
当 ∈ (0,1)时，cos 单调递减， 1单调递增，
∴ ′( )在(0,1)单调递减， 6分
又 ′(0) = 1 > 0, ′(1) = cos1 1 < 0,
∴ ′( ) = 0在(0,1)存在唯一零点，记为 0, 8分
∴ ( ) 在(0, 0)单调递增，在( 0,1)单调递减， 9分
∴ ( 0) > (0) = 0,证毕. 10 分
1
(3) ( ) < ( ), > 0,即 sin sin < , > 0,

1 1
若 sin 与 sin 异号，显然成立，只考虑 sin 与 sin 同号， 11分

1
又 = 1时，sin21 < 1命题成立； > 1时， > 1 ≥ sin sin ，命题成立， 12 分

1
故只需考虑 ∈ (0,1)时，sin sin < , ( > 0) ※※ 13分

1 1
若0 < ≤ 1，sin sin = |sin | |sin | ≤ |sin | < ≤ ※※式成立（用（1）结论）， 15分

1 1
若 > 1,取 ∈ , > ,取
1
= 1 ∈ (0, 0),
0 (2 + ) 2
1 1
sin 1 sin = sin 1 sin (2 + ) = sin 1 > 1 (由（2）结论), ※※式不成立， 16 分 1 2
综上：0 < ≤ 1. 17分
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