江苏省南通市名校联盟2025届高三上学期模拟演练性联考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省南通市名校联盟2025届高三上学
期模拟演练性联考数学试卷
2024~2025学年高三年级模拟考试
数 学
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
z
1 .复数 z满足 1 i，则 z
z 1
A.1 B.2 C. 2 D.4
cos
2 .已知 3，则tan
cos - sin 4
A. 2 3 1 B. 2 3 3 1 C. D.1 3
2
x2 x3
3 .设 x，y为实数，满足 3≤xy2≤8，4≤ ≤9，则
y y4
的最大值为
A.27 B.24 C.12 D.32
b a
4 .锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c.若 6cosC tanC tanC，则
a b tanA tan B
的值为
A.2 B.4 C.6 D.8
x2 y2
5 .在平面直角坐标系 xOy中，如图，已知椭圆 1的左、右顶点为 A、B，右焦点
9 5
为 F.设过点 T(9，m)的直线 TA、TB与此椭圆分别交于点 M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中 m>0，
y1>0，y2<0.则直线 MN必过一定点的坐标为
A.(1，0)
B.(－1，0)
C.(0，－1)
D.(0，1)
高三数学考试 第 1 页 共 6 页
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6 .在平面直角坐标系 xOy中，已知 P是函数 f(x)=ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点 P处
的切线 l交 y轴于点 M，过点 P作 l的垂线交 y轴于点 N.设线段 MN的中点的纵坐标为 t，
则 t的最大值为
1 1 1
A. e B. 2 e2 C. e D. e3
2e 2 e
a11 a12 a1n
a21 a22 a7 . m×n 2n 由 个数排成一个 m行 n列的数表 A= 称为一个 m×n矩阵，也

am1 am2 a mn
可简记为 A= aij .定义矩阵的乘法如下：设 A= aij ，B= b ，则称 C= c 为m n m s ij s n ij m n
s 1 2 1 0
矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C=AB.其中 c

ij aikbkj .现有矩阵 A= ，
k 1 1 0 1 1
1 1 1

2 1 0
B= ，则 AB=
0 0 3


4 3 1
3 3 3 3
3 4 3 3 3 4
A. 4 3 B. 3 4 C. D.
3 3 4

3 4 3
3 4 4 3


8 .定义：已知数列{an}(n∈N*)的首项 a1=1，前 n项和为 Sn.设λ与 k是常数，若对一切正整数
1 1 1 3
n，均有 S kn 1 S k kn an 1成立，则称此数列为“λ&k”数列.若数列{an}(n∈N*)是“ &2”3
数列，则数列{an}的通项公式 an=
1(n 1) 1(n 1)
A.3×4n-2

B. C.4×3n-2 D.3 4n 2 (n 2) 4 3
n 2 (n 2)
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0分。
9 .已知函数 f x 1 的定义域为R，且 f 0，若 f x y f x f y 4xy，则
2
A
1 1
． f 2
0 B． f 2
2
f x 1 f x 1C ．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
2 2
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10.在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E在棱 A1B1上运动，点 F 在正方体表面上运
动，则
A．存在点 E，使 AE DB1
A E
B 1．当 3EB 时，经过点
A,C,E的平面将正方体分成体积比为3 :1的大小两部分
1
C．当 FA FB时，点 F的轨迹长度为 4
8 3 3 πD．当 FA 2FB时，点F 的轨迹长度为
18
11.记 f ’(x)，g’(x)分别为函数 f (x)，g(x)的导函数.若存在 x0∈R，满足 f (x0)=g(x0)且 f ’(x0)=g’(x0)，
则称 x0为函数 f (x)与 g(x)的一个“S点”.则下列说法正确的是
A.函数 f (x)=x与 g(x)=x2+2x－2不存在“S点”
e
B.若函数 f (x)=ax2－1与 g(x)=lnx存在“S点”,则 a=
2
be x
C.对于函数 f (x)=－x2+a与 g(x)= .对于任意的 a>0，均不存在 b>0，使得函数 f (x)与 g(x)
x
在区间(0，+∞)内存在“S点”
be x
D.对于函数 f (x)=－x2+a与 g(x)= .对于任意的 a>0，存在 b>0，使得函数 f (x)与 g(x)在
x
区间(0，+∞)内存在“S点”
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.以 maxM 表示数集 M 中最大的数．设 0 a b c 1，已知 b 2a 或 a b 1，则
max b a,c b,1 c
的最小值为 ▲ .
13.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M~数列”.已知数列{bn}(n∈N*)的前 n项和为
1 2 2
Sn，且满足 b1=1， .设 m为正整数.若存在“M~数列”{cn}(n∈N*)，对任意正
Sn bn bn 1
整数 k，当 k≤m时，都有 ck≤bk≤ck+1成立，则 m的最大值为 ▲ .
k个
14.设数列{a k 1 k 1n}：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…， ( 1) k， ，( 1) k，…，即当
(k 1)k n k(k 1) （k N*）时，an ( 1)
k 1k.记 Sn为数列{an}前 n项和.对于 l∈N*，
2 2
定义集合 Pl={n|Sn是 an的整数倍，n∈N*，且 1≤n≤l}.则集合 P11中元素的个数为 ▲ ；
集合 P2000中元素的个数为 ▲ .
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D，E，F分别为 AB，BC， B1B的中点．
(1)证明： A1C1 / /平面 B1DE；
(2)若 AB 1， AB AC， B1D A1F ，求点 E到平面 A1FC1的距离．
16. 2已知 O为坐标原点，抛物线的方程为 x 2py p 0 ，F是抛物线的焦点，椭圆的方程
x2 y2
为 2 2 1 a b 0 ，过 F的直线 l与抛物线交于 M，N两点，反向延长OM ，ON分a b
别与椭圆交于 P，Q两点．
(1)求 kOM kON 的值；
(2)若 OP 2 OQ 2 5恒成立，求椭圆的方程；
S
(3) △OMN在（2）的条件下，若 S 的最小值为 1，求抛物线的方程（其中 S△OMN ，
S OPQ分别
△OPQ
是 OMN 和△OPQ的面积）．
a
17.已知函数 f x x e x cos
1
，其中 a为正实数．
x
(1)若 a
2 2
, ，讨论 f x 在 ,a 的单调性．
π π
π 2
(2) π若 a 1，方程 f x mx e 2 m 在 , 至少有一个根，求实数 m的取值范围．2 π
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18.“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，
实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.
1
(1) 2利用恒等式 sin2 cos2 1和 tan 1 ，求函数 y x 1 x2 和
cos2 1
y 2 3 22 tan 4 tan 4 的最小值.cos cos 2
(2)在△ABC中，角 A、B、C对应的边为a、b、c .
(i)求证： cos2 A cos2 B cos2C 2cos AcosBcosC 1.
(ii)已知实数 x，y 2满足 x y2
1
2xy ，求二元函数
2
f x,y x2 4 2x 9 2 2 y 2 2x2 2 2xy 1 x的最大值.
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19.解二元一次方程组是数学学习的必备技能。设有满足条件 a11a22≠a12a21的二元一次方程组
a11x1 a12x2 b1
.
a21x1 a22x2 b2
(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；
(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中 x1，x2的系数 a11、a22、a12、a21所唯
a11 a12
一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表 ，由此
a21 a22
可以看出 a11a22－a12a21是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左
a11 a12
下对角线上两个数的乘积的差，称 a11a22－a12a21为该数表的二阶行列式，记为 .
a21 a22
a11 a12 a11x1 a12x2 b
当 ≠0 1时，二元一次方程组
a a
有唯一一组解.同样的，行列式
21 22 a21x1 a22x2 b2
a b c a b c
l m n 称为三阶行列式，且 l m n = amz bnx cly cmx blz any .
x y z x y z
a11x1 a xI. 12 2
b1
用二阶行列式表示方程组 的两个解；
a21x1 a22x2 b2
a11x1 a12x2 a13x3 b1
II. 对于三元一次方程组 a21x1 a22x2 a23x3 b2 ，类比二阶行列式，用三阶行列式推

a31x1 a32x2 a33x3 b3
导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件(结论不得使用行列式表达)，并用三阶
行列式表示该方程组的解.
sinx m
(3)若存在 x∈[0,π]，使得 sin2x 2，求 m的取值范围.
cosx m
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2024~2025学年高三年级模拟考试
数学试题评分参考
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1.C 2.B 3.A 4.B
5.A 6.C 7.D 8.B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
9.ABD 10.BCD 11.ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12. 13.5 14.5 1008
5
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。
15.（13分）
（1）因为 ABC A1B1C1为直三棱柱，所以 A1C1 / /AC，
又 D，E，分别为 AB，BC的中点，所以DE / /AC，
所以DE / /A1C1，
又 A1C1 平面 B1DE，DE 平面 B1DE，
所以 A1C1 / /平面 B1DE . ……5分
（2）因为 ABC A1B1C1为直三棱柱，且 AB AC，
以A为坐标原点，分别以 AB, AC, AA1所在直线为 x, y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
AA 1 a a 0 a 设 1 ，且 AB 1，则 B1 1,0,a ,D ,0,0 , A1 0,0,a ,F 1,0, ，
2 2
1 B a 则 1D , 0, a ， A1F 1,0, ，
2 2
2
由 B1D A1F 可得 B1D A1F 0
1 a
，即 0，且 a 0，解得 a 1，
2 2

设 AC b b 1 0 C ，则 1 0,b,1 ，即 A1F 1,0, , AC 0,b, 0 ，
2 1 1

设平面 A1FC1的法向量为 n x, y, z ，

n A
1
1F x z 0 z 2x
则 2 ，解得 ，取 x 1，则 z 2，
n AC by 0
y 0
1 1

所以平面 A1FC1的一个法向量为 n 1,0,2 ，
高三数学评分参考 第 1 页 共 8 页
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1 b 1 b
又 E , ,0 ，即 A E , , 1 ，
2 2 1 2 2
1 2
所以点 E到平面 A1FC1的距离 A1E nd 2 3 5 . ……13分
n 5 10
16.（15分）
（1）设直线 OM的斜率为 k1(k1 0)，直线 ON的斜率为 k2，
由题可知，直线 MN的斜率不为 0，设M (x1, y1), N (x2, y2)，
设直线MN y
p
： kx ，
2

y kx
p

则由 2 ，可得 x2 2pkx p2 0，
2
x 2 py
(x x )2 p2
易知 0，且 x x p 2 ,y y 1 21 2 1 2 2 4p 4 ，
y1 y2 1
则 k1k2 x x ； ……4分1 2 4
（2）设 P(x3 , y3),Q(x4 , y4 ) ，
由题可知， lOM: y k1x , lON:y k 2x ，其中 k1k
1
2 ，4
y k
1
x
a2b2 16a2b2k 22 2
联立方程 x2 y2 x 13 ，同理 x4
1 b2 a2k 2 a2 16b2k 2
，
2 1 a b2 1
2 2 2 2 2 2 2 x
2 x2
因为： |OP | |OQ | x 3 y 3 x 4 y 4 x 3 1
3 2
2 b x
2
4 1
2
a
42 b
a

2b2 1 b
2
(x2 x2 a2 3 4
)

a2 b2 a2b2 16a2b2k 2
2b2 1 a2

b
2 a2k 21 a
2 16b2k 2 1
2 2 2 2 4 2 2 2 4
2b2
a b a b (32b )k 16a b k
2 1 1 a2
a 2 2 4 4 2 2 2 4
a b (a 16b )k 1 16a b k 1
2 2 4 2 2 2 4
2b2 (a2 b2 ) a b (32b )k1 16a b k12 2 4 4 ．a b (a 16b )k 21 16a
2b2k 41
因为 |OP |2 |OQ |2 5 为定值，所以上式与 k1无关，
所以当 32b4 a4 16b4 ，即 a2 4b2时，此时 a2 b2 5，所以 a2 4, b2 1，
x2
所以椭圆的方程为 y2 1． ……10分
4
1
S |OM ||ON | sin MON |OM ||ON | x x
（3 △OMN）因为 2 1 2S OPQ 1
，
△ |OP ||OQ | sin POQ |OP ||OQ | x x3 4
2
由（2）可知，当 a2 4，b2 1时，
高三数学评分参考 第 2 页 共 8 页
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2
x2 4 x2 16k ， 1 ，x x p23 1 4k 2 41 1 4k
2 1 2 ，
1
S x x p2 p2 2△OMN 1 p 1 2
S x x 8 | k
4 | k1 | ≥ ，
△OPQ 3 4 1
| 8 | k1 | 2
1 4k 21
p2 1
故 1 p 2，当且仅当 k1 时，等号成立，2 2
此时抛物线方程为 x2 2 2y . ……15分
17.（15分）
a a
（1） f

x x e x cos
1
xe x xcos
1
，
x x
a a
f x e x xe x a cos 1 xsin
1 1
x2 x x x2
a a ae x e x cos 1 1 sin 1
a
e x x a cos
1 1
sin 1 ，
x x x x x x x x
x 2因为 ,a
a 2 , 1 1 π 1 π ， ，所以
, , 0,

，
π π x a 2 a 2
a x a 1 1 1x 所以 e 0， cos sin 0，x x x x
所以 f (x) 0，所以 f x 2 在 ,a 单调递减． ……6分
π
1 （2）当 a 1时， f x x e x cos 1 t 1 0, π ，设 ，
x x

2
π
π 1 π πt
则 e cos t m t e2 m πet πcost πm 2te2 2tm πe π cos t 2te 2 ，2 t t mπ 2t
π
πet πcos t 2te2设 h(t) ， t
π 0, ，
π 2t 2
π π
πet πsin t 2e2 π 2t 2 πe t πcos t 2 te 2
则 h (t) ，
π 2t 2
π π
m(t) πet

设 πsin t 2e2 π 2 t

2 πe t πcos t 2 et 2 , t
0,π ，
2
则
t
π π
m (t) πe π cost π 2t πet πsint 2e 2 2 2 πet πsint 2e2

高三数学评分参考 第 3 页 共 8 页
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πet π cos t π 2t ，
因为 t
0, π ，所以2 πe
t π cos t π 2t 0，即m (t) 0，

m(t) 0, π 所以 在 单调递增，
2
π π π π π π
m(0) π 2e2 π π2

又 2πe 2
π
0，m( ) 2 πe2
π
π 2 e 2 2π e 2 e 2 0，
2 2
所以当 t
π
0, 时，m(t) 0，即 h (t) 0，
2
所以 h(t)

在 0,
π
上单调递减， h(0) 0，当 t
π
时， h(t) ，
2 2
π
πet π cos t 2te 2 t π所以 m在
0, 至少有一个根时，m ,0 ． ……15分
π 2t 2
18.（17分）
（1）设 x cos ，θ 0, π ，则 y1 cos sin 2 cos θ
π
，
4
θ 0, π π π 5π π
2
因为 ，所以θ , ，所以 cos θ ,1 ，所以 y4 4 4 4 1
1，
2
即 y1 x 1 x
2 的最小值为： 1，
当 cosθ 0 2 3时， y 22 cosθ cos2
tan θ 4 tanθ 4
θ
4 3
2 tan
2 θ 4 tanθ 4
cos θ cos2 θ
4 tan2 θ+4 4 tan2 θ 4 tanθ 7
2
2 tan θ 0 2 + 0 2 2 2 tan θ 1 2 0 6 ，
表示点 2 tanθ,0 到点 0,2 和 1, 6 的距离之和，
所以 y2 1 2 6
2
2 2 3 .
当 cosθ 0 y 2 3时， 22 2 tan θ 4 tanθ 4cosθ cos θ
4 3
2 2 tan
2 θ 4 tanθ 4 2 2
cos θ cos θ 4 tan θ 4 4 tan θ 4 tanθ 7
2
2 tan θ 0 2 + 0 2 2 2 tan θ 1 2 0 6 ，
表示点 2 tanθ,0 到点 0,2 和 1, 6 的距离之差，
高三数学评分参考 第 4 页 共 8 页
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2
所以 y2 1 2 6 3 2 2 ，
综上，y2的最小值为： 3 2 2 . ……6分
（2）（i）因为 cosC cos π A B cos A B sin Asin B cos Acos B，
所以 cos2 A cos2 B cos2 C 2cos Acos B cosC
cos2 A cos2 B sin2 Asin2 B cos2 Acos2 B 2sin Asin Bcos AcosB 2cos AcosBcosC
cos2 A cos2 B 1 cos2 A 1 cos2 B cos2 Acos2 B
2sin Asin Bcos AcosB 2cos AcosBcosC
1 2 cos2 Acos2 B cos Acos B sin Asin B 2cos Acos B cosC
1 2cos AcosB cos AcosB sin Asin B 2cos AcosBcosC
1 2cos AcosBcos A B 2cos AcosBcosC
1 2cos Acos B cosC 2cos Acos B cosC 1，证毕. ……11分
π 1
（ii 2 2）在（i）中，令C ，则 cos A cos B 2 cos Acos B 且 A B
3π
，
4 2 4
x2 y2因为 2xy
1
，设 x cos A， y cos B，
2
所以 f x,y x 2 4 2x 9 2 2y 2 2x 2 2 2xy 1 x
可得 f A cos2
3π
A 4 2 cosA 9 4sinA cosA （ A 0, ），
4
则 f A 2cos2 A 4 2 cos A 4 sin2 A 4sin A 4 cos A
2
2 cos A 2 sin A 2 2 cos A
2 2 cos A 2 sin A 2 2 2 cos A 2
2 22 cos A 2 sin A 2 2 2 cos A 2
2
2 cos A 2 sin A 2 2 2cos2 A 2 2 cos A 1 sin2 A 2
2 2
2 cos A 2 sin A 2 2 2 cos A 1 sin A 0 2 2
其表示点 2 cos A，sin A 到点 2, 2 和 1,0 的距离之差再加上 2，
所以 f A 1 2 2 0 2 2 2 5 2，
sin A 0 sin A 2
当且仅当 ，
2 cos A 1 2 cos A 2
高三数学评分参考 第 5 页 共 8 页
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3π
即 cos A 4 2 5 ,sin A 2 2 2 时等号取得，此时满足 A 0, . ……17分
9 9 4
19.（17分）
x b1a b a 1
22 2 12
(1) a11a22 a a该方程组的两个解为 12 21b a b a ……4分 x 2 11 1 21
2 a11a22 a12a21
b1 a12

b2 ax 22
1 a11 a12

a a
(2)I.该方程组的两个解为 21 22 ……6分
a11 b1
a b
x 21 22
a11 a12
a21 a22
a11 a12 a13
II.类比二元一次方程组，将三元一次方程组中 x1，x2，x3的系数排成一个数表 a21 a22 a23 ，
a31 a32 a33
a11 a12 a13
则可以得到三阶行列式 a21 a22 a23 .
a31 a32 a33
a11 a12 a13
令 D= a21 a22 a23 ，当 D≠0时，该三元一次方程组有唯一一组解，即得该三元一次方程
a31 a32 a33
组有唯一一组解的条件为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32－a11a23a32－a12a21a33－a13a22a31≠0.
……8分
用三阶行列式表示该方程组的解为
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{#{QQABbYCEogAoAJIAABgCAwnICkGQkAGCAagGxFAAsAABABFABAA=}#}
b1 a12 a13

b2 a22 a23
b a
x 3 32
a33
1
a11 a12 a13
a
21
a22 a23
a31 a32 a33
a
11
b1 a13
a21 b2 a23
a bx 31 3
a33
2
a11 a12 a13
a
21
a22 a23
a31 a32 a33
a11 a 12
b1
a21 a22 b2
a a b
x 31 32 33
a11 a12 a13
a
21
a22 a23
a31 a32 a33
……11分
sin x m
(3) m sin x cos x 2sin x cos x 2cos x m ，
2
令 sin x cos x t，则 sin xcos x t 1 ，
2
t π其中 sin x cos x 2 sin

x

4
，

因为 x 0, π x π π , 5π π ，所以 ， t 2 sin x 1, 2 ，4 4 4 4
故m sin x cos x 2sin xcos x 2 mt t2 1，
当 t 0时，0 1无解，不合要求，
当 t 0, 2 时，m 1 t ，t
1
其中 y t 在 t 0,1 上单调递减，在 t 1, 2 上单调递增，t
1
故当 t 1时， y t 取得最小值，最小值为 2，故m 2；
t
当 t 1,0 1时，m t ，
t
1
其中 y t 在 t 1,0 上单调递减，
t
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1
故当 t 1时， y t 取得最大值，最大值为-2，故m 2，
t
sin x m
因为存在 x 0, π ，使得 sin 2x 2，所以m 2或m 2cos x m ，
综上所述，m的取值范围为 , 2 2, . ……17分
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