3.2.1 单调性与最大（小）值教学设计（表格式）- 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课时教学设计
课题 3.2.1 单调性与最大（小）值
授课时间：年 月 日 课型：新授课 课时：
教学目标 知识与技能 ：通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识， 通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义， 掌握用定义证明函数单调性的步骤。 过程与方法：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。 情感态度图价值观：体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具，能从函数的图象中发现函数的性质，并在这个过程中能进行直观与抽象的转化。
学习重点难点 教学重点：函数的单调性及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
教学准备：ppt课件
学习活动设计
环节一：情景引入，温故知新 情境导学 问题1：阅读课本第76页节引言的内容，回答下列问题： （1）为什么要研究函数的性质？ （2）什么叫函数的性质？ （3）函数的性质主要有哪些？ （4）如何发现函数的性质？ 预设的答案：（1）通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；（2）变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；（3）比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；（4）先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以发现函数的一些性质．
教师活动 学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括节引言的内容 学生活动 学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括节引言的内容
活动设计意图：明确研究对象，初步构建研究框架． 环节二：新知探究 知识点一：增函数、减函数定义 一般地，设函数的定义域为I，区间：如果，，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递增.（如下图） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数. 如果，，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递减.（如右图） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数. 例题点拨 例1 根据定义，研究函数的单调性. 分析：根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是.根据实数大小关系的基本事实，只要考查与0的大小关系. 解：函数的定义域是R. ，，且，则. 由，得. 所以①当时，. 于是，即. 这时，是增函数. ②当时，. 于是，即. 这时，是减函数. 例2 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明. 分析：根据题意，只要证明函数是减函数即可. 证明：，，且，则 由，，得； 由，得. 又，于是，即 所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说，当体积V 减小时，压强p将增大.
教师活动 老师提问：你能总结用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤吗？ 让学生总结 学生活动 在老师的指导下总结出步骤第一步：在区间D上任取两个自变量的值x1，x2∈D，并规定x1＜x2，简记为“设元”；第二步：计算f(x1)－f(x2)，将f(x1)－f(x2)分解为若干可以直接确定符号的式子，简记为“作差、变形”；第三步：确定f(x1)－f(x2)的符号．若f(x1)－f(x2)＜0，则函数在区间D上单调递增；若f(x1)－f(x2)＞0，则函数在区间D上单调递减．简记为“断号、定论”．）
活动设计意图：体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以把握事物的变化规律．通过证明进一步熟悉使用定义证明单调性的程序，并通过追问让学生总结出证明单调性的基本步骤，提升学生的数学抽象素养．
知识点2 函数的最大（小）值 最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1），都有；（2），使得.那么称M是函数的最大值. 最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1），都有；（2），使得.那么称M是函数的最小值. 例题点拨 例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？ 解：画出函数的图象如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数， 当时，函数有最大值 于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
教师活动 你能说说计算烟花爆裂的最佳时刻的意义吗？ 学生活动 学生回答老师问题，总结出烟花设计者就可以根据这个数据设定引信的长度，以达到施放烟花的最佳效果．
活动设计意图：根据函数图象确定函数的最大值，提升学生的直观想象素养；体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以进行有效的规划和设计，感受学习函数的意义．
环节三：巩固练习 1.函数在区间[上的最小值为( ) A. B.-1 C. D.-2 解析：因为的图象开口向上，对称轴为直线，所以在区间上，当时，函数取得最小值.故选C. 2.下列四个函数中，在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：对于A，为一次函数，在区间上单调递减，不符合题意； 对于B，为二次函数，在区间上单调递减，不符合题意； 对于C，在区间上单调递减，不符合题意； 对于D，在区间上单调递增，符合题意.故选D.
4.课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 题型一 利用图象确定函数的单调区间 解题技巧：（利用图象确定函数的单调区间） 1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象“上升”,则函数为增区间;若函数的图象“下 降”,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开. 2.一次、二次函数及反比例函数的单调性: (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=- 为分界线 题型二 利用函数的图象求函数的最值 解题技巧：(用图象法求最值的3个步骤) 题型三 证明函数的单调性 解题技巧：（利用定义证明函数单调性的4个步骤） 题型四 利用函数的单调性求最值 解题方法（单调性与最值的关系） 1.利用单调性求函数最值的一般步骤: (1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系: (1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间(b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个. (3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值. (4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 题型五 函数单调性的应用 解题方法（抽象函数单调性求参） 1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. 2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
5.板书设计 3.2.1函数的单调性与最大（小）值 函数的单调性 例1 例2 例3 单调性证明 最值
6.作业 课本85页习题3.2 1-5
7.教学反思与改进 优点： 不足： 改进措施：