江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题（含答案）

南京市2025届高三年级学情调研
数学
2024.09
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，，则（ ）
A.5 B.6 C.7 D.12
3.已知，.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（ ）
A. B. C.9 D.18
5.若是第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
7.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A.24 B.32 C.96 D.128
8.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上.若，，则的面积为（ ）
A. B.25 C. D.55
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9.已知复数z，下列命题正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则的虚部为
C.若，则 D.若，则
10.对于随机事件A，B，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
11.设函数，则（ ）
A.的定义域为
B.的图象关于对称
C.的最小值为
D.方程在上所有根的和为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上
12.展开式中的常数项是___________.
13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
小王早晨7：30从家出发上班，有A，B两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A，B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：
8点前到（天数） 8点或8点后到（天数）
A方案 28 12
B方案 30 30
（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；
（2）小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X.若用频率估计概率，求.
附：，其中，
0.10 0.05 0.025 0.010 0.011
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16.（本小题满分15分）
如图，在四面体中，是边长为3的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线BD与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
已知数列，，，，且为等比数列.
（1）求的值；
（2）记数列的前项和为.若，求的值.
18.（本小题满分17分）
已知，是双曲线的左、右焦点，，点在C上.
（1）求的方程
（2）设直线过点，且与交于A，B两点.
①若，求的面积；
②以线段AB为直径的圆交轴于P，Q两点，若，求直线的方程.
19.（本小题满分17分）
已知函数，.
（1）当时，求曲线在处切线的方程；
（2）当时，试判断在上零点的个数，并说明理由；
（3）当时，恒成立，求的取值范围.
南京市2025届高三年级学情调研
数学参考答案
2024.09
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1 2 3 4 5 6 7 8
D D A B A C C B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9 10 11
AB BCD ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12.240 13. 14.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
解：（1）假设点前到单位与方案选择无关，
则.
，
所以有的把握认为8点前到单位与路线选择有关.
（2）选择方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择方案上班，8点前到单位的概率为0.5.
当时，则分两种情况：
①若周一8点前到单位，则.
（2）若周一8点前没有到单位，则.
综上，.
16.（本小题满分15分）
解：（1）因为E，F分别为线段AB，BC中点，所以.
因为，，即，所以，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）取AC中点，连接DO，OE
因为为正三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为O，E分别为AC，AB中点，则.
又因为，所以.
以为坐标原点，OE，OC，OD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，，.
设平面的法向量为，直线BD与平面所成角为，
则即取.
则，
所以BD与平面所成角的正弦值为.
17.（本小题满分15分）
解：（1）因为，则，，，.
又，则，，.
因为为等比数列，则，所以，
整理得，解得或2.
因为，故.
当时，
.
则，故为等比数列，所以符合题意.
（2）
当为偶数时，
当为奇数时.
综上，
因为，又，
故，所以为偶数.
所以，
整理得，解得或（舍），所以.
18.（本小题满分17分）
解：（1）由题意可知，点在上，根据双曲线的定义可知，
即，所以，
则，所以的方程为.
（2）①设，.
因为，所以，
所以点坐标为，
因为A，B在双曲线上，所以
解得，，所以点坐标为，
所以.
②当直线与轴垂直时，此时不满足条件.
设直线的方程为，，，，.
直线与联立消去，得，
所以，.
由，得且.
以AB为直径的圆方程为，
令，可得，则，为方程的两个根，
所以，，
所以
.
解得（舍）或，即，
所以直线的方程为：.
19.（本小题满分17分）
解：（1）当时，，则，
所以曲线在处切线的斜率.
又因为，所以曲线在处切线的方程为.
（2），，则，
当时，，则在上单调递增.
因为，，
所以存在唯一的，使得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
又因为，所以.
又因为，所以当时，在上有且只有一个零点.
（3）①当时，，与当时，矛盾，
所以不满足题意.
②当时，，
，，.
记函数，，
则，
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减，
所以，所以.
又因为在上单调递增，
所以，所以在上单调递增.
（i）若，
则，所以在上单调递增，
则，符合题意；
（ii）若，可得，则.
因为，且在上单调递增，
所以存在唯一的，使得.
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
其中，且.
所以
，
因为，所以.
又因为，所以，
所以，满足题意.
结合①②可知，当时，满足题意.
综上，的取值范围为.