中小学教育资源及组卷应用平台
第22章 二次函数 单元测试
范围：二次函数
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.若函数的图象是抛物线，则
的值为( )
A. B. 2 C. 4 D.
B
2.二次函数 的图象大致是( )
A
3.抛物线 的顶点坐标是( )
A. B. C.D.
B
4.抛物线 的对称轴是直线( )
A. B. C. D.
B
5.若抛物线与轴没有交点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.A [解析] 因为抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,
所以Δ=b2-4ac<0,即(-6)2-4×1·m<0,解得m>9.故选A.
6.已知抛物线过， ，三点，则将，， 按从小到大的顺序排列是( )
A. B.
C. D.
6.C [解析] 因为y=-x2+2x-c=-(x-1)2+1-c,所以抛物线的开口向下,对称轴是直线x=1,所以当x>1时,y随x的增大而减小.因为点A(-1,y1)关于直线x=1的对称点是点(3,y1),且1<2<3<5,所以y2>y1>y3,即y37.关于二次函数 ，下列叙述正确的是( )
A. 当时，有最大值
B. 当时，有最小值
C. 当时，有最大值
D. 当时，有最小值
D
8.某人画二次函数 的图象时，列出下表:
3.22 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
根据此表判断：一元二次方程的一个根 满足下列关系式中的( )
A. 3.22C. 3.24C
9.已知二次函数 的图象如图22-Z-2所示，并有以下结论：
①函数图象与 轴正半轴相交；②当时，随 的增大而增大，则坐标系的原点可能是( )
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
B
10. 如图22-Z-3，已知二次函数图象的顶点为 ，且经过点，有以下结论： ；； ；④当时，随 的增大而减小；⑤对于任意实数，总有 .其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
10.C [解析] ①由抛物线的开口向下,得a<0,故①正确.②因为抛物线的顶点为P(1,m),所以-=1,所以b=-2a.因为a<0,所以b>0.因为抛物线与y轴的交点在正半轴上,所以c>0,所以abc<0,故②错误.③因为抛物线经过点A(2,1),所以1=a·22+2b+c,即4a+2b+c=1,故③正确.④由图象可知当x>1时,y随x的增大而减小,故④正确.⑤因为抛物线开口向下,且顶点为P(1,m),所以当x=1时,函数取得最大值m,且m=a+b+c,所以对于任意实数t,总有at2+bt+c≤a+b+c,所以at2+bt≤a+b,故⑤正确.综上,正确的共有4个.故选C.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.如图22-Z-4所示，抛物线 经过原点，那么 的值是____.
11.-1 [解析] 因为抛物线y=ax2-3x+a2-1经过原点,
所以a2-1=0,解得a=±1.
因为抛物线的开口向下,所以a<0,故a=-1.
12.若抛物线的顶点在轴上，则 的值为_____.
13.二次函数的自变量与函数值 的部分对应值如下表：
… 0 1 …
… …
则该二次函数图象的对称轴为直线________.
13.x=- [解析] 因为当x=-1,x=0时的函数值相等,所以此函数图象的对称轴为直线x==-.
14.将二次函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象的函数解析式是__________________.
15.如图22-Z-5，平行于轴的直线 与函数， 的图象分别交于,两点，过点作 轴的平行线交的图象于点 ，直线交的图象于点，则 _______.
15.3- [解析] 设点A的坐标为(0,b),则B(,b),C(,b),D(,3b),E(3,3b),所以AB=,DE=3-=(3-),所以==3-.
16.已知直线与轴交于点，与直线 交于点，以为边向右作菱形，点恰与原点 重合，抛物线的顶点在直线 上移动.若抛物线与菱形的边，都有公共点，则 的取值范围是___________.
16.-2≤h≤ [解析] 把x=0代入y=x+2,得y=2,所以A(0,2).
联立解得所以B(-2,1).
因为抛物线y=(x-h)2+k的顶点在直线y=-x上,
所以抛物线的顶点坐标为(h,k)且k=-h,
所以抛物线的解析式为y=(x-h)2-h.
如图①所示:
当抛物线经过点C(O)时,将C(0,0)代入y=(x-h)2-h,得h2-h=0,解得h1=0,h2=.
如图②所示:
当抛物线经过点B时,将B(-2,1)代入y=(x-h)2-h,得h2+h+3=0,解得h1=-2,h2=-.
综上可知,当-2≤h≤时,抛物线与菱形的边AB,BC都有公共点.
故答案为-2≤h≤.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（6分）已知抛物线 .
解：这里，， .
（1）求抛物线的对称轴；
[答案] 抛物线的对称轴是直线 .
（2）求抛物线的顶点坐标；
[答案] 抛物线的顶点的纵坐标是
，
所以抛物线的顶点坐标为， .
（3）写出一种将该抛物线平移得到抛物线 的方法.
[答案] 答案不唯一，如将抛物线 向上平移
2个单位长度，再向左平移个单位长度即得抛物线 .
18.（6分）已知抛物线过点 ， .
（1）求该抛物线的解析式；
解：根据题意，得
解得
所以该抛物线的解析式为 .
（2）判断点 是否在该抛物线上，并说明理由.
解：不在.
理由如下：当 时，
，
所以点 不在该抛物线上.
19.（7分）已知二次函数 的图象经过点， .
（1）求此二次函数的解析式；
解：把，代入 ，得
解得
所以此二次函数的解析式为 .
（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴和函数的最大（小）值.
解：因为 ，
所以该二次函数图象的开口向上，顶点坐标为 ，对
称轴为直线，函数有最小值 .
20.（8分）如图22-Z-6，抛物线经过点， ， 是抛物线上一点.
（1）求， 的值及抛物线的顶点坐标；
解：因为抛物线 经过点
， ，
所以
解得
所以 ，
所以抛物线的顶点坐标为 .
（2）若，比较， 的大小；
解：因为抛物线开口向上，对称轴为直线
，
所以在直线的左侧，随 的增大而
减小，点 关于抛物线对称轴的对称
点的坐标为 .
因为是抛物线上一点，且 ，
所以 .
（3）当时，二次函数的最小值为 ，直接写出 的取值范围.
解：因为抛物线开口向上，顶点坐标为
，
所以当时，函数有最小值 .
因为当 时，二次函数的最
小值为 ，
所以 ，
解得 .
21.（8分）如图22-Z-7，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地，为美化环境，用总长为 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证： ；
解：证明：因为四块矩形花圃的面积相等，
所以， ,
所以， ，
所以 .
（2）在（1）的条件下，设的长度为 ，矩形区域的面积为，求与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围.
解：因为篱笆总长为 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
因为的长度为，矩形区域
的面积为 ，
所以 .
由题意可得
解得 ，
所以 .
22.（8分）某市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外贸商李经理按市场价格10元/千克在该市收购了2000千克香菇存放入冷库中.请根据李经理提供的预测信息（如图22-Z-8）帮他解决以下问题：
（1）若存放x(x>0) 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x 之间的函数解析式；（销售总金额= 销售价格×销售量）
解：因为香菇的市场价格每天上午每
千克上涨0.5元，
所以 天后这批香菇的销售价格为
元/千克.
因为平均每天有6千克的香菇损坏不
能出售，
所以 天后这批香菇的销售量是
千克，
所以 ，
即
（且 为整数）.
（2）存放多少天后出售这批香菇可获得最大利润？最大利润是多少？
解：设出售这批香菇获得的利润为
元.
由题意，得
.
因为 ，
所以抛物线开口向下，
所以当时， ，
所以存放100天后出售这批香菇可获
得最大利润，最大利润是30000元.
23.（9分）已知抛物线，其中 为实数.（1）判断该抛物线与 轴的交点情况，并说明理由；
解：该抛物线与 轴没有交点.
理由如下：
令，得 .
因为 ，
所以该抛物线与 轴没有交点.
（2）若与轴平行的直线与该抛物线相交于， 两点（点在点的左侧），已知点到轴的距离为，求点 到 轴的距离；
解：因为 ，
所以抛物线的对称轴为直线 .
又因为与轴平行的直线与这条抛物线相交于， 两点
（点在点 的左侧），
所以点，关于直线 对称.
因为点到轴的距离为 ，
所以点的横坐标为或 .
当点的横坐标为时，点的横坐标为 ；
当点的横坐标为时，点的横坐标为 ，
所以点到轴的距离为或 .
（3）设该抛物线的顶点的纵坐标为，当 时，求 的取值范围.
解：因为 ，
所以该抛物线的顶点的纵坐标为，即 .
对于二次函数，当时，随 的增大而减
小，当时，随的增大而增大，当时， 取得
最小值，为3.
因为当时，；当时， ，
所以在的范围内，当时， 取得最大值
12,当时， 取得最小值3，
所以当时，的取值范围为 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第22章 二次函数 单元测试
范围：二次函数
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.若函数的图象是抛物线，则
的值为( )
A. B. 2 C. 4 D.
2.二次函数 的图象大致是( )
3.抛物线 的顶点坐标是( )
A. B. C.D.
4.抛物线 的对称轴是直线( )
A. B. C. D.
5.若抛物线与轴没有交点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线过， ，三点，则将，， 按从小到大的顺序排列是( )
A. B.
C. D.
7.关于二次函数 ，下列叙述正确的是( )
A. 当时，有最大值
B. 当时，有最小值
C. 当时，有最大值
D. 当时，有最小值
8.某人画二次函数 的图象时，列出下表:
3.22 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
根据此表判断：一元二次方程的一个根 满足下列关系式中的( )
A. 3.22C. 3.249.已知二次函数 的图象如图22-Z-2所示，并有以下结论：
①函数图象与 轴正半轴相交；②当时，随 的增大而增大，则坐标系的原点可能是( )
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
10. 如图22-Z-3，已知二次函数图象的顶点为 ，且经过点，有以下结论： ；； ；④当时，随 的增大而减小；⑤对于任意实数，总有 .其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.如图22-Z-4所示，抛物线 经过原点，那么 的值是____.
12.若抛物线的顶点在轴上，则 的值为_____.
13.二次函数的自变量与函数值 的部分对应值如下表：
… 0 1 …
… …
则该二次函数图象的对称轴为直线________.
14.将二次函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象的函数解析式是__________________.
15.如图22-Z-5，平行于轴的直线 与函数， 的图象分别交于,两点，过点作 轴的平行线交的图象于点 ，直线交的图象于点，则 _______.
16.已知直线与轴交于点，与直线 交于点，以为边向右作菱形，点恰与原点 重合，抛物线的顶点在直线 上移动.若抛物线与菱形的边，都有公共点，则 的取值范围是___________.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（6分）已知抛物线 .
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）写出一种将该抛物线平移得到抛物线 的方法.
18.（6分）已知抛物线过点 ， .
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断点 是否在该抛物线上，并说明理由.
19.（7分）已知二次函数 的图象经过点， .
（1）求此二次函数的解析式；
（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴和函数的最大（小）值.
20.（8分）如图22-Z-6，抛物线经过点， ， 是抛物线上一点.
（1）求， 的值及抛物线的顶点坐标；
（2）若，比较， 的大小；
（3）当时，二次函数的最小值为 ，直接写出 的取值范围.
21.（8分）如图22-Z-7，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地，为美化环境，用总长为 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证： ；
（2）在（1）的条件下，设的长度为 ，矩形区域的面积为，求与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围.
22.（8分）某市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外贸商李经理按市场价格10元/千克在该市收购了2000千克香菇存放入冷库中.请根据李经理提供的预测信息（如图22-Z-8）帮他解决以下问题：
（1）若存放x(x>0) 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x 之间的函数解析式；（销售总金额= 销售价格×销售量）
（2）存放多少天后出售这批香菇可获得最大利润？最大利润是多少？
23.（9分）已知抛物线，其中 为实数.（1）判断该抛物线与 轴的交点情况，并说明理由；
（2）若与轴平行的直线与该抛物线相交于， 两点（点在点的左侧），已知点到轴的距离为，求点 到 轴的距离；
（3）设该抛物线的顶点的纵坐标为，当 时，求 的取值范围.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共50张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
2024秋人教九上数学精简课堂 阶段性检测讲解课件
第22章 二次函数 单元测试
范围：二次函数
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.若函数的图象是抛物线，则
的值为( )
B
A. B. 2 C. 4 D.
2.二次函数 的图象大致是( )
A
A. B. C. D.
3.抛物线 的顶点坐标是( )
B
A. B. C. D.
4.抛物线 的对称轴是直线( )
B
A. B. C. D.
5.若抛物线与轴没有交点，则 的取值范
围是( )
A
A. B. C. D.
5.A [解析] 因为抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,
所以Δ=b2-4ac<0,即(-6)2-4×1·m<0,解得m>9.故选A.
6.已知抛物线过， ，
三点，则将，， 按从小到大的顺序排列是
( )
C
A. B.
C. D.
6.C [解析] 因为y=-x2+2x-c=-(x-1)2+1-c,所以抛物线的开口向下,对称轴是直线x=1,所以当x>1时,y随x的增大而减小.因为点A(-1,y1)关于直线x=1的对称点是点(3,y1),且1<2<3<5,所以y2>y1>y3,即y37.关于二次函数 ，下列叙述正确的是( )
D
A. 当时，有最大值
B. 当时，有最小值
C. 当时，有最大值
D. 当时，有最小值
8.某人画二次函数 的图象时，列出下表:
3.22 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
根据此表判断：一元二次方程的一个根
满足下列关系式中的( )
C
A. B.
C. D.
图22-Z-2
9.已知二次函数 的
图象如图22-Z-2所示，并有以下结论：
①函数图象与 轴正半轴相交；②当
时，随 的增大而增大，则坐
标系的原点可能是( )
B
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
图22-Z-3
10. 如图22-Z-3，已知二次函数
图象的顶点为 ，
且经过点，有以下结论： ；
； ；④当
时，随 的增大而减小；⑤对于任意
实数，总有 .其中正确的
有( )
C
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
10.C [解析] ①由抛物线的开口向下,得a<0,故①正确.②因为抛物线的顶点为P(1,m),所以-=1,所以b=-2a.因为a<0,所以b>0.因为抛物线与y轴的交点在正半轴上,所以c>0,所以abc<0,故②错误.③因为抛物线经过点A(2,1),所以1=a·22+2b+c,即4a+2b+c=1,故③正确.④由图象可知当x>1时,y随x的增大而减小,故④正确.⑤因为抛物线开口向下,且顶点为P(1,m),所以当x=1时,函数取得最大值m,且m=a+b+c,所以对于任意实数t,总有at2+bt+c≤a+b+c,所以at2+bt≤a+b,故⑤正确.综上,正确的共有4个.故选C.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.如图22-Z-4所示，抛物线 经过原点，
那么 的值是____.
12.若抛物线的顶点在轴上，则 的值为
_____.
11.-1 [解析] 因为抛物线y=ax2-3x+a2-1经过原点,
所以a2-1=0,解得a=±1.
因为抛物线的开口向下,所以a<0,故a=-1.
13.二次函数的自变量与函数值 的部分
对应值如下表：
… 0 1 …
… …
则该二次函数图象的对称轴为直线________.
13.x=- [解析] 因为当x=-1,x=0时的函数值相等,所以此函数图象的对称轴为直线x==-.
14.将二次函数 的图象先向右平移2个单位长度，再
向下平移3个单位长度，得到的图象的函数解析式是______
____________.
图22-Z-4
图22-Z-5
15.如图22-Z-5，平行于轴的直线 与
函数，
的图象分别交于,两点，过点作 轴
的平行线交的图象于点 ，直线
交的图象于点，则
_______.
15.3- [解析] 设点A的坐标为(0,b),则B(,b),C(,b),D(,3b),E(3,3b),所以AB=,DE=3-=(3-),所以==3-.
16.已知直线与轴交于点，与直线 交
于点，以为边向右作菱形，点恰与原点 重合，
抛物线的顶点在直线 上移动.若抛
物线与菱形的边，都有公共点，则 的取值范围是
___________.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（6分）已知抛物线 .
解：这里，， .
（1）求抛物线的对称轴；
[答案] 抛物线的对称轴是直线 .
（2）求抛物线的顶点坐标；
[答案] 抛物线的顶点的纵坐标是
，
所以抛物线的顶点坐标为， .
（3）写出一种将该抛物线平移得到抛物线 的方法.
[答案] 答案不唯一，如将抛物线 向上平移
2个单位长度，再向左平移个单位长度即得抛物线 .
18.（6分）已知抛物线过点 ，
.
（1）求该抛物线的解析式；
解：根据题意，得
解得
所以该抛物线的解析式为 .
（2）判断点 是否在该抛物线上，并说明理由.
解：不在.
理由如下：当 时，
，
所以点 不在该抛物线上.
19.（7分）已知二次函数 的图象经过点
， .
（1）求此二次函数的解析式；
解：把，代入 ，得
解得
所以此二次函数的解析式为 .
（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴
和函数的最大（小）值.
解：因为 ，
所以该二次函数图象的开口向上，顶点坐标为 ，对
称轴为直线，函数有最小值 .
图22-Z-6
20.（8分）如图22-Z-6，抛物线
经过点， ，
是抛物线上一点.
（1）求， 的值及抛物线的顶点坐标；
图22-Z-6
解：因为抛物线 经过点
， ，
所以
解得
所以 ，
所以抛物线的顶点坐标为 .
（2）若，比较， 的大小；
图22-Z-6
图22-Z-6
解：因为抛物线开口向上，对称轴为直线
，
所以在直线的左侧，随 的增大而
减小，点 关于抛物线对称轴的对称
点的坐标为 .
因为是抛物线上一点，且 ，
所以 .
（3）当时，二次函数的最小值为 ，直接
写出 的取值范围.
图22-Z-6
图22-Z-6
解：因为抛物线开口向上，顶点坐标为
，
所以当时，函数有最小值 .
因为当 时，二次函数的最
小值为 ，
所以 ，
解得 .
图22-Z-7
21.（8分）如图22-Z-7，某小区有一块
靠墙（墙的长度不限）的矩形空地
，为美化环境，用总长为
的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不
用篱笆，篱笆的厚度不计）.
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证： ；
解：证明：因为四块矩形花圃的面积相等，
所以， ,
所以， ，
所以 .
图22-Z-7
（2）在（1）的条件下，设的长度为 ，矩形区域
的面积为，求与 之间的函数关系式，并写出
自变量 的取值范围.
图22-Z-7
图22-Z-7
解：因为篱笆总长为 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
因为的长度为，矩形区域
的面积为 ，
所以 .
由题意可得
解得 ，
所以 .
图22-Z-8
22.（8分）某市绿色和特色农产品在
国际市场上颇具竞争力，其中香菇远
销日本和韩国等地.上市时，外贸商
李经理按市场价格10元/千克在该市
收购了2000千克香菇存放入冷库中.
请根据李经理提供的预测信息
（如图22-Z-8）帮他解决以下问题：
图22-Z-8
（1）若存放 天后，将这批
香菇一次性出售，设这批香菇的销售
总金额为元，试写出与 之间的函
数解析式；（销售总金额 销售价格
×销售量）
图22-Z-8
解：因为香菇的市场价格每天上午每
千克上涨0.5元，
所以 天后这批香菇的销售价格为
元/千克.
因为平均每天有6千克的香菇损坏不
能出售，
所以 天后这批香菇的销售量是
千克，
所以 ，
即
（且 为整数）.
图22-Z-8
（2）存放多少天后出售这批香菇可获
得最大利润？最大利润是多少？
图22-Z-8
解：设出售这批香菇获得的利润为
元.
由题意，得
.
因为 ，
所以抛物线开口向下，
所以当时， ，
所以存放100天后出售这批香菇可获
得最大利润，最大利润是30000元.
23.（9分）已知抛物线，其中 为实数.
（1）判断该抛物线与 轴的交点情况，并说明理由；
解：该抛物线与 轴没有交点.
理由如下：
令，得 .
因为 ，
所以该抛物线与 轴没有交点.
（2）若与轴平行的直线与该抛物线相交于， 两点
（点在点的左侧），已知点到轴的距离为，求点
到 轴的距离；
解：因为 ，
所以抛物线的对称轴为直线 .
又因为与轴平行的直线与这条抛物线相交于， 两点
（点在点 的左侧），
所以点，关于直线 对称.
因为点到轴的距离为 ，
所以点的横坐标为或 .
当点的横坐标为时，点的横坐标为 ；
当点的横坐标为时，点的横坐标为 ，
所以点到轴的距离为或 .
（3）设该抛物线的顶点的纵坐标为，当 时，
求 的取值范围.
解：因为 ，
所以该抛物线的顶点的纵坐标为，即 .
对于二次函数，当时，随 的增大而减
小，当时，随的增大而增大，当时， 取得
最小值，为3.
因为当时，；当时， ，
所以在的范围内，当时， 取得最大值
12,当时， 取得最小值3，
所以当时，的取值范围为 .
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
