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第12章 全等三角形 单元测试
范围：范围：全等三角形
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意）
1.下列叙述中错误的是( )
A. 能够完全重合的图形称为全等形
B. 全等形的形状和大小都相同
C. 所有正方形都是全等形
D. 形状和大小都相同的两个图形是全等形
C
2.如图12-Z-1， ，边过点且平分交于点 ， ， ，则 的度数为( )
A. B.
C. D.
A
3.如图12-Z-2，，以点 为圆心，小于 的长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点， 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点.若 ，则 的大小为( )
A.
B.
C.
D.
C
4.要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图12-Z-3所示的卡钳， 为卡钳两柄交点，且有 .若圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是 的长，其中的依据是全等三角形的判定方法( )
A.
B.
C.
D.
B
5.已知：如图12-Z-4，在 中，.求证： .证明：如图，作______.
在和 中，
.
其中，横线上应补充的内容是( )
A. 边上的高
B. 边上的中线
C. 的平分线
D. 边的垂直平分线
C
6.如图12-Z-5，在和 中，点，， 在一条直线上，已知， ，添加以下条件后，仍不能判定 的是( )
A.
B.
C.
D.
D
7.如图12-Z-6，已知， ，分别以点， 为圆心，以同样长为半径作弧，交，于点， ，交，于点，；以点为圆心，以 长为半径作弧，交弧于点，作射线，则 的度数是( )
A.
B.
C.
D.
B
8.如图12-Z-7，已知， 为与 的平分线的交点，且于点.若 ，则四边形 的面积是( )
A. 36 B. 27
C. 20 D. 18
B
9.如图12-Z-8，与 都是等腰三角形，，，且，， 交于点，点，，在同一条直线上.若 ， ，则 和 之间的数量关系为( )
A.
B.
C.
D.
A
10.如图12-Z-9， ，，，点 在线段上以的速度由点向点 运动，同时，点在线段上由点向点 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为，若存在某一时刻使 与全等，则点 的运动速度为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
10.D [解析] 设点Q的运动速度是x cm/s.
∵∠CAB=∠DBA,∴△ACP与△BPQ全等有以下两种情况:
①若AP=BP,AC=BQ,则△ACP≌△BQP,
此时1·t=4-1·t,解得t=2,则3=2x,解得x=1.5;
②若AP=BQ,AC=BP,则△ACP≌△BPQ,
此时1·t=tx,4-1·t=3,解得t=1,则x=1.
综上所述,点Q的运动速度为1 cm/s或1.5 cm/s.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.如图12-Z-10，在平面直角坐标系中，，则点 的坐标是________.
12.如图12-Z-11，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点 ，，再分别以点， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交 于点.若，，则 的面积为___.
8
13.如图12-Z-12，， ，要使 ，应添加的一个条件是_______________________.（只需写出一个即可）
答案不唯一，如
14.在平面直角坐标系中，已知点， 的坐标分别为，，若以，，为顶点的三角形与 全等（点不与点重合），则点 的坐标为_____________________.
或或
15.如图12-Z-13，在中，， ， 是内一点，且，外一点满足 ，且平分，则 的度数为____.
16.如图12-Z-14，于点，于点 .若，，则有下列结论：； 平分；； .其中正确的是________.（填序号）
16.①②④ [解析] 在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF,故①正确;
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC,故②正确;
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).∴AE=AF.∴AB+BE=AC-CF.
∴AC-AB=BE+CF=2BE,故④正确;
由垂线段最短可得AE
综上所述,正确的结论是①②④.故答案为①②④.
17.（6分）如图12-Z-15，点， 在线段上，， ，.求证： .
证明:， .
在和中，
.
18.（6分）如图12-Z-16，已知线段，和 .求作：，使，， .（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解:如图， 即为所求.
19.（6分）学习了《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸， 两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图12-Z-17，在点所在河岸同侧平地上取点和点 ，使点，， 在一条直线上，且，测得 ， ，在 的延长线上取一点，使 ，这时测得的长就是， 两点间的距离.你同意他们的说法吗？请说明理由.
解:同意.
理由： ， ，
.
， .
在和中，
.
， ，即
.
测得的长就是， 两点间的距离.
20.（8分）如图12-Z-18，在 中， ，是 边上的中线，过点作，垂足为，过点 作交的延长线于点 ， .
（1）求证： ；
解:证明：， ，
，
.
，
.
.
在和 中，
.
（2）若，求 的长.
解:， ,
.
是的 边上的中线，
.
， .
21.（8分）如图12-Z-19，在等腰直角三角形 中，， ，为射线 上的一个动点（不与点,重合），连接，以为直角边， 为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接 .
（1）如图①，当点在线段 上时，求证： ；
解:证明： ,
,
即 .
在和中，
.
（2）如图②，当点在线段 的延长线上时，请直接写出线段和 的数量关系与位置关系.
21.(2)BP=CD,BP⊥CD.[解析] ∵∠BAC=∠PAD=90°,
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC,即∠BAP=∠CAD.
在△BAP和△CAD中,∴△BAP≌△CAD(SAS).
∴BP=CD(全等三角形的对应边相等),
∠B=∠ACD(全等三角形的对应角相等).
∵∠B+∠ACB=90°,∴∠ACD+∠ACB=90°,即BP⊥CD.
22.（8分）如图12-Z-20，， 相交于点，， ，,点从点 出发，沿的方向以 的速度匀速运动，点从点出发，沿 的方向以的速度匀速运动.，两点同时出发，当点 回到点时，，两点同时停止运动.设点的运动时间为 .
（1）当时，___；当时，___ .
2
（2）求证： .
解:证明：在和 中，
.
.
（3）连接，当线段经过点时， 的长为多少厘米？
解:由（1）得 ，
，
.
根据题意，得 ,
则 .
当线段经过点时，在 和
中，
.
当时， ,
则 ,
解得，此时 ；
当时，,则 ,
解得，此时 .
综上所述，当线段经过点时，的长为或 .
23.（10分）如图12-Z-21①，在中， ，，直线经过点，过点作于点 ，过点作于点，易证明 ，我们将这个模型称为“一线三直角”.接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图②，将一块三角尺 放置在平面直角坐标系中， ，，点的坐标为，点 的坐标为，点在第二象限，求点 的坐标；
解:如图①，过点作轴于点 .
，，， .
由条件知， ，
， .
.
（2）如图③，在平面直角坐标系中， ，，点的坐标为，点的坐标为，求点 的坐标.
解:如图②,过点作轴，过点 作
于点，过点作 于点
，交轴于点 .
，， ，
.
易知 ，
， .
由条件知， ，
， .
， .
.
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第12章 全等三角形 单元测试
范围：范围：全等三角形
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意）
1.下列叙述中错误的是( )
A. 能够完全重合的图形称为全等形
B. 全等形的形状和大小都相同
C. 所有正方形都是全等形
D. 形状和大小都相同的两个图形是全等形
2.如图12-Z-1， ，边过点且平分交于点 ， ， ，则 的度数为( )
A. B.
C. D.
3.如图12-Z-2，，以点 为圆心，小于 的长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点， 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点.若 ，则 的大小为( )
A.
B.
C.
D.
4.要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图12-Z-3所示的卡钳， 为卡钳两柄交点，且有 .若圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是 的长，其中的依据是全等三角形的判定方法( )
A.
B.
C.
D.
5.已知：如图12-Z-4，在 中，.求证： .证明：如图，作______.
在和 中，
.
其中，横线上应补充的内容是( )
A. 边上的高
B. 边上的中线
C. 的平分线
D. 边的垂直平分线
6.如图12-Z-5，在和 中，点，， 在一条直线上，已知， ，添加以下条件后，仍不能判定 的是( )
A.
B.
C. D.
7.如图12-Z-6，已知， ，分别以点， 为圆心，以同样长为半径作弧，交，于点， ，交，于点，；以点为圆心，以 长为半径作弧，交弧于点，作射线，则 的度数是( )
A.
B. C.
D.
8.如图12-Z-7，已知， 为与 的平分线的交点，且于点.若 ，则四边形 的面积是( )
A. 36 B. 27
C. 20 D. 18
9.如图12-Z-8，与 都是等腰三角形，，，且，， 交于点，点，，在同一条直线上.若 ， ，则 和 之间的数量关系为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图12-Z-9， ，，，点 在线段上以的速度由点向点 运动，同时，点在线段上由点向点 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为，若存在某一时刻使 与全等，则点 的运动速度为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.如图12-Z-10，在平面直角坐标系中，，则点 的坐标是________.
12.如图12-Z-11，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点 ，，再分别以点， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交 于点.若，，则 的面积为___.
13.如图12-Z-12，， ，要使 ，应添加的一个条件是_______________________.（只需写出一个即可）
14.在平面直角坐标系中，已知点， 的坐标分别为，，若以，，为顶点的三角形与 全等（点不与点重合），则点 的坐标为_____________________.
15.如图12-Z-13，在中，， ， 是内一点，且，外一点满足 ，且平分，则 的度数为____.
16.如图12-Z-14，于点，于点 .若，，则有下列结论：； 平分；； .其中正确的是________.（填序号）
17.（6分）如图12-Z-15，点， 在线段上，， ，.求证： .
18.（6分）如图12-Z-16，已知线段，和 .求作：，使，， .（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
19.（6分）学习了《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸， 两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图12-Z-17，在点所在河岸同侧平地上取点和点 ，使点，， 在一条直线上，且，测得 ， ，在 的延长线上取一点，使 ，这时测得的长就是， 两点间的距离.你同意他们的说法吗？请说明理由.
20.（8分）如图12-Z-18，在 中， ，是 边上的中线，过点作，垂足为，过点 作交的延长线于点 ， .
（1）求证： ；
（2）若，求 的长.
21.（8分）如图12-Z-19，在等腰直角三角形 中，， ，为射线 上的一个动点（不与点,重合），连接，以为直角边， 为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接 .
（1）如图①，当点在线段 上时，求证： ；
（2）如图②，当点在线段 的延长线上时，请直接写出线段和 的数量关系与位置关系.
22.（8分）如图12-Z-20，， 相交于点，， ，,点从点 出发，沿的方向以 的速度匀速运动，点从点出发，沿 的方向以的速度匀速运动.，两点同时出发，当点 回到点时，，两点同时停止运动.设点的运动时间为 .
（1）当时，___；当时，___ .
（2）求证： .
（3）连接，当线段经过点时， 的长为多少厘米？
23.（10分）如图12-Z-21①，在中， ，，直线经过点，过点作于点 ，过点作于点，易证明 ，我们将这个模型称为“一线三直角”.接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图②，将一块三角尺 放置在平面直角坐标系中， ，，点的坐标为，点 的坐标为，点在第二象限，求点 的坐标；
（2）如图③，在平面直角坐标系中， ，，点的坐标为，点的坐标为，求点 的坐标.
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第12章 全等三角形 单元测试
范围：范围：全等三角形
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在
每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意）
1.下列叙述中错误的是( )
C
A. 能够完全重合的图形称为全等形
B. 全等形的形状和大小都相同
C. 所有正方形都是全等形
D. 形状和大小都相同的两个图形是全等形
图12-Z-1
2.如图12-Z-1， ，边
过点且平分交于点 ，
， ，则 的度
数为( )
A
A. B. C. D.
图12-Z-2
3.如图12-Z-2，，以点 为圆心，
小于 的长为半径作圆弧，分别交
，于点，，再分别以点， 为
圆心，大于 的长为半径作圆弧，两
C
A. B. C. D.
弧交于点，作射线交于点.若 ，则
的大小为( )
图12-Z-3
4.要测量圆形工件的外径，工人师傅
设计了如图12-Z-3所示的卡钳， 为
卡钳两柄交点，且有
.若圆形工件恰
B
A. B. C. D.
好通过卡钳，则此工件的外径必是 的长，其中的依据
是全等三角形的判定方法( )
图12-Z-4
5.已知：如图12-Z-4，在 中，
.求证： .
证明：如图，作______.
在和 中，
.
其中，横线上应补充的内容是( )
A. 边上的高 B. 边上的中线
C. 的平分线 D. 边的垂直平分线
√
图12-Z-5
6.如图12-Z-5，在和 中，
点，， 在一条直线上，已知
， ，添加以下条件
后，仍不能判定 的是
( )
D
A. B.
C. D.
图12-Z-6
7.如图12-Z-6，已知
， ，分
别以点， 为圆心，以同样长为
半径作弧，交，于点， ，
B
A. B. C. D.
交，于点，；以点为圆心，以 长为半径作弧，
交弧于点，作射线，则 的度数是( )
图12-Z-7
8.如图12-Z-7，已知， 为
与 的平分线的交点，且
于点.若 ，则四边形
的面积是( )
B
A. 36 B. 27 C. 20 D. 18
9.如图12-Z-8，与 都是等腰三角形，
，，且，， 交
于点，点，，在同一条直线上.若 ，
，则 和 之间的数量关系为( )
A
图12-Z-8
A.
B.
C.
D.
图12-Z-9
10.如图12-Z-9， ，
，，点 在
线段上以的速度由点向点 运
动，同时，点在线段上由点向点 运
动，当其中一点到达终点时，另一点也随
之停止运动.设运动时间为，若存在某一时刻使
与全等，则点 的运动速度为( )
A. B.
C. 或 D. 或
√
10.D [解析] 设点Q的运动速度是x cm/s.
∵∠CAB=∠DBA,∴△ACP与△BPQ全等有以下两种情况:
①若AP=BP,AC=BQ,则△ACP≌△BQP,
此时1·t=4-1·t,解得t=2,则3=2x,解得x=1.5;
②若AP=BQ,AC=BP,则△ACP≌△BPQ,
此时1·t=tx,4-1·t=3,解得t=1,则x=1.
综上所述,点Q的运动速度为1 cm/s或1.5 cm/s.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
图12-Z-10
11.如图12-Z-10，在平面直角坐标系中，
，则点 的坐标是_____
___.
图12-Z-11
12.如图12-Z-11，在 中，
，以顶点 为圆心，适当长
为半径画弧，分别交，于点 ，
，再分别以点， 为圆心，大于
8
的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交 于点
.若，，则 的面积为___.
13.如图12-Z-12，， ，要使
，应添加的一个条件是_________________
______.（只需写出一个即可）
答案不唯一，如
图12-Z-12
14.在平面直角坐标系中，已知点， 的坐标分别为
，，若以，，为顶点的三角形与 全等
（点不与点重合），则点 的坐标为_________________
____.
或或
15.如图12-Z-13，在中，， ， 是
内一点，且，外一点满足 ，
且平分，则 的度数为____.
图12-Z-13
16.如图12-Z-14，于点，于点 .若
，，则有下列结论：；
平分；； .其中正确的是
________.（填序号）
①②④
图12-Z-14
16.①②④ [解析] 在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF,故①正确;
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC,故②正确;
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).∴AE=AF.∴AB+BE=AC-CF.
∴AC-AB=BE+CF=2BE,故④正确;
由垂线段最短可得AE综上所述,正确的结论是①②④.故答案为①②④.
三、解答题（本大题共7个小题，共52分）
图12-Z-15
17.（6分）如图12-Z-15，点， 在线
段上，， ，
.求证： .
证明:， .
在和中，
.
18.（6分）如图12-Z-16，已知线段，和 .
求作：，使，， .
（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
图12-Z-16
解:如图， 即为所求.
图12-Z-17
19.（6分）学习了《利用三角形全等
测距离》后，“开拓”小组同学就“测量
河两岸， 两点间距离”这一问题，
设计了如下方案：如图12-Z-17，在点
所在河岸同侧平地上取点和点 ，
使点，， 在一条直线上，且
，测得 ， ，在 的延
长线上取一点，使 ，这时测得的长就是，
两点间的距离.你同意他们的说法吗？请说明理由.
图12-Z-17
解:同意.
理由： ， ，
.
， .
在和中，
.
， ，即
.
测得的长就是， 两点间的距离.
图12-Z-18
20.（8分）如图12-Z-18，在 中，
，是 边上的中线，
过点作，垂足为，过点 作
交的延长线于点 ，
.
（1）求证： ；
图12-Z-18
图12-Z-18
解:证明：， ，
，
.
，
.
.
在和 中，
.
图12-Z-18
（2）若，求 的长.
解:， ,
.
是的 边上的中线，
.
， .
21.（8分）如图12-Z-19，在等腰直角三角形 中，
， ，为射线 上的一个动点
（不与点,重合），连接，以为直角边， 为直角顶
点，在右侧作等腰直角三角形，连接 .
图12-Z-19
（1）如图①，当点在线段 上时，求证：
；
图12-Z-19
解:证明： ,
,
即 .
在和中，
.
（2）如图②，当点在线段 的延长线上时，请直接写出
线段和 的数量关系与位置关系.
图12-Z-19
解:, .
21.(2)BP=CD,BP⊥CD.[解析] ∵∠BAC=∠PAD=90°,
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC,即∠BAP=∠CAD.
在△BAP和△CAD中,∴△BAP≌△CAD(SAS).
∴BP=CD(全等三角形的对应边相等),
∠B=∠ACD(全等三角形的对应角相等).
∵∠B+∠ACB=90°,∴∠ACD+∠ACB=90°,即BP⊥CD.
图12-Z-20
22.（8分）如图12-Z-20，， 相
交于点，， ，
,点从点 出发，沿
的方向以 的速度匀
速运动，点从点出发，沿 的
（1）当时，___；当时，___ .
3
2
方向以的速度匀速运动.，两点同时出发，当点 回
到点时，，两点同时停止运动.设点的运动时间为 .
图12-Z-20
（2）求证： .
解:证明：在和 中，
.
.
（3）连接，当线段经过点时， 的长为多少厘米？
图12-Z-20
图12-Z-20
解:由（1）得 ，
，
.
根据题意，得 ,
则 .
当线段经过点时，在 和
中，
.
当时， ,
则 ,
解得，此时 ；
当时，,则 ,
解得，此时 .
综上所述，当线段经过点时，的长为或 .
23.（10分）如图12-Z-21①，在中， ，
，直线经过点，过点作于点 ，过
点作于点，易证明 ，我们将这
个模型称为“一线三直角”.接下来我们就利用这个模型来解
决一些问题：
图12-Z-21
（1）如图②，将一块三角尺 放置在平面直角坐标系
中， ，，点的坐标为，点 的
坐标为，点在第二象限，求点 的坐标；
图12-Z-21
图①
解:如图①，过点作轴于点 .
，，， .
由条件知， ，
， .
.
（2）如图③，在平面直角坐标系中， ，
，点的坐标为，点的坐标为，求点
的坐标.
图12-Z-21
图②
解:如图②,过点作轴，过点 作
于点，过点作 于点
，交轴于点 .
，， ，
.
易知 ，
， .
由条件知， ，
， .
， .
.
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