第二章 平面向量及其应用——高一数学北师大版必修二单元测试（含解析）

第二章 平面向量及其应用——2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试
一、选择题
1．已知向量,,若,则实数k的值为( )
A.3B.-B.-1 C.3或-1 D.
2．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角( )
A. B. C. D.
3．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且若,则的形状是( )
A.等腰且非等边三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
4．在中，已知，且满足，则的面积为( )
A.1 B.2 C. D.
5．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则( )
A.9 B. C.12 D.
6．平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为( )
A. B.
C. D.
7．已知，，若，则( ).
A. B. C. D.
8．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则( )
A.60° B.75° C.60°或120° D.15°或75°
二、多项选择题
9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，.则第四个顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
10．下列等式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
11．关于平面向量，，，下列说法不正确的是( )
A.
B.
C.若，且，则
D.
三、填空题
12．直线的方向向量坐标可以是__________.（只需写出一个满足条件的一个向量）
13．邯郸丛台又名武灵丛台,相传始建于战国赵武灵王时期,是赵王检阅军队与观赏歌舞之地,是古城邯郸的象征.如图,某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB,选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C,D,现测得,,米,在点D处测得丛台台顶的仰角为,则丛台的高度为______米（结果精确到0.1米,取,）.
14．已知点，，，()，试求当点P在第三象限时，的取值范围________.
四、解答题
15．在中,已知,,,解这个三角形.
16．已知点,,,则是什么形状 证明你的猜想.
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,且的面积为.
（1）求A;
（2）求的周长.
18．如图，在中，点P满足，O是线段的中点，过点O的直线与边，分别交于点E，F.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值.
19．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，设的面积为S，满足，求b的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得 ,解得或3 ,经检验, 均满足要求.
故选：C.
2．答案：A
解析：由余弦定理可得,
,．
故选：A．
3．答案：C
解析： ,所以,又, ,
, ,
,, ,从而,为等边三角形,
故选：C．
4．答案：D
解析：在中，已知，由正弦定理得，即，，即.，的面积为.故选D.
5．答案：B
解析：由题意可知，，，
设，由勾股定理可得，解得，
所以，所以，
故选：B.
6．答案：C
解析：根据三角形中位线知：.
故选：C.
7．答案：C
解析：由题意得，解得.
故选：C.
8．答案：D
解析：在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，
利用正弦定理：，整理得，
所以或120°.
当时，，当时，.
故选：D.
9．答案：ABC
解析：当平行四边形为时,,设点D的坐标为.
所以,
所以,解得,所以点；
当平行四边形为时,同理可得;当平行四边形为时,同理可得.综上可知点D可能为,或.故选:ABC.
10．答案：ABD
解析：由向量加法运算律知，A，B，D选项正确；，，所以选项C错误.故选ABD.
11．答案：CD
解析：对于A、B，根据向量的运算法则，及分配律，易知A、B正确；
对于C，当,反向且都与垂直时满足题设，但，故C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误.
故选：CD.
12．答案：（只需满足即可）
解析：直线的斜率为，
所以，直线的方向向量坐标可以为.
故答案为：（只需满足即可）.
13．答案：26.4
解析：在中,,,则米.在中,,则米.
14．答案：
解析：解得，设点，则，于是，即又点P在第三象限，所以解得.所以的取值范围为.
15．答案：
解析：由正弦定理,得,
因为,,
所以,
于是或.
①当时,,
此时
.
②当时,.
此时
.
16．答案：见解析
解析：如图,在平面直角坐标系中画出点A,B,C,我们发现是直角三角形,证明如下:
因为,
,
所以,
于是,
因此,是直角三角形.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理可得,整理为.
由余弦定理得,因为,所以.
（2）因为,所以.
,所以.
所以的周长为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
因为O是线段的中点，所以，
设，则有，
因为C，O，E三点共线，所以，
解得，即，所以，所以；
（2）因为，同理可得，
由（1）可知，，所以，
因为E，O，F三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，
根据正弦定理，得.
因为，
所以，
所以.
因为，所以，
所以，则.
（2）由，得.
又由正弦定理得，
所以，解得.