第六章 立体几何初步——高一数学北师大版必修二单元测试（含解析）

第六章 立体几何初步——2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试
一、选择题
1．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈.高五丈.问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈.高丈.问它的体积是多少立方丈？( )
A. B. C. D.
2．若某圆锥的母线与底面所成的角为,且其母线长为4,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究,发现将该圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动,当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了周,如图,若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中,,四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为,则该方亭的体积为( )
A. B. C. D.
6．设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具,鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意,现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度）,其上、下底面边长分别为,侧棱长为,若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出）,设每立方分米的大米重千克,则该米斗盛装大米约( )
A.6.08千克 B.10.16千克 C.12.16千克 D.11.16千克
8．若制作一个容积为32的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为( )（）
A.2 B. C. D.4
二、多项选择题
9．判断平面与平面平行的条件可以是( )
A.平面内有无数条直线都与平行
B.直线，，且，
C.平面，且平面
D.平面内有两条不平行的直线都平行于平面
10．已知，是两个平面，则下列条件可以得到的是( )
A.对平面内的任何一条直线l，都有
B.平面内有无数条直线与平面平行
C.平面内任意一条直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
D.平面内有两条相交直线都在平面外
11．已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确的是( )
A.存在平面，，使，，且，
B.存在平面，，使，，且，
C.存在平面，使，，且
D.存在唯一的平面，使，且a，b与所成角相等
三、填空题
12．已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,体积为,则该圆台的母线长为_________.
13．已知三棱锥的底面ABC是边长为3的等边三角形.若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积的取值范围为__________.
14．若某正四棱台的上 下底面的边长分别为2和4,侧棱长为,则其体积为___________.
四、解答题
15．在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,三棱锥的体积为,平面与平面的交线为l.
（1）求四棱锥的体积,并在答卷上画出交线l（注意保留作图痕迹）.
（2）若,,且平面平面,在上是否存在点N,使平面与平面所成角的余弦值为？若存在,求的长度;若不存在,请说明理由.
16．如图，B为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心.
（1）求证：平面平面ACD；
（2）求.
17．已知在正三棱柱中,,.
（1）已知E,F分别为棱,的中点,求证：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面平面.
（1）求证:;
（2）MN与平面PAD是否平行 试证明你的结论.
19．如图所示,从底面半径为,高为的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆柱,求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值.
参考答案
1．答案：B
解析：
.
故选:B
2．答案：A
解析：因为该圆锥的母线与底面所成的角为,且其母线长为4,
所以该圆锥的高与底面半径相等,且都等于,
所以该圆锥的体积,
故选：A.
3．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l,则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l,周长为,
又圆锥底面半径为5,则底面周长为,
故,解得,
所以圆锥的高为,
所以圆锥的体积为,
故选:B.
4．答案：B
解析：由题可知该圆锥的底面半径为1,母线长为,所以侧面积为,选B.
5．答案：D
解析：如图, 过作,垂足为E,
由四个侧面的面积之和为知,侧面的面积为,
(梯形的面积公式),则
由题意得：,
中,,
连接,过作,垂足为F,
易知四边形为等腰梯形且,
,则,
,
该方亭的体积为.
故选：D.
6．答案：B
解析：若，则A，B两点到平面的距离相等，
但反之不成立，因为当A，B分别在平面a的两侧，
且满足A，B到平面的距离相等时，直线l与平面相交.
故选：B.
7．答案：C
解析：设该正棱台为,其中上底面为,取对角面,
如图所示,可得四边形为等腰梯形,
因为上、下底面边长分别为,,侧棱长为,
且,,,
分别过点,作,,垂足分别为E,F,可得,
由等腰梯形的几何性质,可得,
又因为,,所以,
所以,所以,
所以,即棱台的高为,
所以该米斗的体积为,
所以该米斗所盛大米的质量为千克.
故选：C.
8．答案：A
解析：设容积为32的无盖正四棱柱容器底面边长x，则高为，
则容器的表面积为，
则，令，得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以当，取最小值，所以最小值为，
所以底面边长为，所用材料最省.
故选：A.
9．答案：CD
解析：对A：结合图形可知A错误；
对B：结合图形可知B错误；
对C：由平面平行的传递性可以得证；
对D：由两平面平行的判定定理即可得证.
故选：CD.
10．答案：AC
解析：若不成立，则与相交，那么与内的任一条直线都与无公共点矛盾，故A，C正确；对于B，平面与平面也可能相交，故B错误；对于D，在平面外的直线与平面可以是平行，也可以是相交，故D错误.故选AC.
11．答案：ABC
解析：
12．答案：
解析：如图是圆台的轴截面,圆台的上下底面圆的半径分别为1,2,设圆台的高为h,母线长为l,
则圆台的高,
因为圆台的体积为,即,解得,
所以圆台的母线长.
故答案为：.
13．答案：
解析：设球O的半径为R，所以三棱锥的外接球的体积为，
解得，
如图，设三棱锥的外接球的球心为O，
作平面ABC于点H，则H为等边三角形ABC的外接圆的圆心.在中，由正弦定理得，所以，所以当且仅当S，O，H三点共线，且点S与点H在球心O的两侧时，三棱锥的体积取得最大值，又三棱锥的体积大于0，所以三棱锥的体积的取值范围为.
14．答案：
解析：如图所示,
在正四棱台中,点,O分别为上、下底面的中心,
连接,,,则由题意可知底面,,,
过点作交于点E,则底面,
进而得四边形为矩形,,所以,
又因为,所以,
即正四棱台的高为4,
所以正四棱台的体积为.
故答案为：.
15．答案：或
解析：,
,,,
,,
延长BC,AD,设BC的延长线和AD的延长线交点为M,连接PM,
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM,
证明：取AD的中点E,连接PE,,E是AD的中点,
,平面平面ABCD,平面平面,平面PAD,,平面ABCD,
,,即,
以点B为坐标原点,以直线BA、BM分别为轴,以过点B作平面ABCD的的垂线为轴,
建立空间直角坐标系,如图所示.
则,,,,
,,,
设,
则,
设平面PCD的法向量为,则,即,
令,得,
设平面CDN的法向量为,则,
即
令,可得,
夹角的余弦值为
,,
解得：或,
即在直线l上存在点N,平面与平面的夹角的余弦值为,
此时或.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.
M、N、G分别为、、的重心，则有：，
连结PF、FH、PH有，又平面ACD，平面ACD.
同理：平面ACD，，平面平面ACD.
（2）由（1）可知，，
又，，同理：，，
，其相似比为，.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取中点G,连接,.
,F分别为,中点,且,
又E分别为中点,且,
且,
故四边形是平行四边形,.
而平面,面,
平面.
（2）如图以A为坐标原点,,分别为y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
.
设平面的法向量为,
则,
令,得,,.
.
即直线与平面所成角的正弦值是.
18．答案：（1）见解析;
（2）见解析
解析：（1）证明因为,平面PAD,
平面PAD,所以平面PAD.
又平面平面,平面PBC,所以.
（2）平面PAD.证明如下:
如图所示,取PD中点E,连结AE,EN.
又为PC的中点,
又
即四边形AMNE为平行四边形.
,又平面PAD,平面PAD
平面PAD.
19．答案：
解析：由题意,知原圆柱的表面积,
挖去圆柱后所得几何体的表面积,
所以.