第四章 三角恒等变换——高一数学北师大版必修二单元测试（含解析）

第四章 三角恒等变换——2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试
一、选择题
1．在中,若,且,那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B.直角三角形
C. 等腰三角形 D.等边三角形
2．已知，，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知,则( )
A. B. C. D.
4．如图,,是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角,则( )
A. B. C. D.1
5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的( )
A.倍 B. C.倍 D.
6．如图所示，为的边上的高，，，则( )
A.3 B.4 C. D.
7．顶角为的等腰三角形，常称为“最美三角形”.已知，则“最美三角形”的底边长与腰长的比为( )
A. B. C. D.
8．已知，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知，，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10．已知O为坐标原点，点，，，，则( )
A. B.
C. D.
11．下列各式中,值为的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知,,则________.
13．若，则__________.
14．已知，是方程的两根，则________.
四、解答题
15．已知向量，，函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的对称轴方程.
16．已知函数.
(1)若点在角的终边上，求的值；
(2)若，求的值域.
17．已知，.
(1)求；
(2)求.
18．已知,求下列各式的值.
（1）;
（2）.
19．已知.
（1）求的值.
（2）求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：,则,
因为A,,所以,则,
又因为,,则,
则,即,
即,又因为A,,则,
所以,即.
即一定是等边三角形,故D正确.
故选：D.
2．答案：A
解析：，，
则，
故选A.
3．答案：A
解析：因为,可得,
可得,
所以.
故选:A.
4．答案：D
解析：由图可得：,
则
故选：D.
5．答案：C
解析：由第一次的“晷影长"是“衣高”的3倍得，又，所以，故第二次的“晷影长”是“表高”的倍.
故选：C.
6．答案：C
解析：由题意：在直角中，；
在直角中，;
所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：如图，在中，，，点D为中点，
所以，，
又，则，
解得或（舍去），
即，
又，
所以，即“最美三角形”的底边长与腰长的比为.
故选：B.
8．答案：A
解析：因为，可得，
可得，
所以.
故选：A.
9．答案：AC
解析：由已知得，，两式分别平方相加得，整理得，故A正确，B错误；
，，，，，故C正确，D错误.故选AC.
10．答案：AC
解析：方法一：对于选项A，因为，，所以，，则，故A正确；对于选项B，因为，，
所以，，当时，，故B错误；对于选项C，，，所以，，
所以，故C正确；对于选项D，，，当且时，，故D错误.故选AC.
方法二：如图，由图可知，故A正确；当且仅当时，成立，故B错误；因为，，且，故C正确；，，因为与不一定相等，故D错误.故选AC.
11．答案：BC
解析：由余弦倍角公式,可得,所以A不正确;
由正切的倍角公式,可得,所以B正确;由正弦的倍角公式,可得,所以C正确;
由,所以D不正确.
故选:BC.
12．答案：
解析：,
故答案为:.
13．答案：3
解析：由，得，
显然，否则，矛盾，
所以.
故答案为：3.
14．答案：1
解析：因为，是方程的两根，
所以，，
所以
.
故答案为：1
15．答案：(1)，
(2)
解析：(1)，
令，，解得：，，
故的单调递减区间为，；
(2)
由题意得：，
令，，解得：，，
故的对称轴方程为
16．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为点在角的终边上，所以，，所以
（2），
因为，所以，
所以，
所以的值域是.
17．答案：(1)
(2)-2
解析：（1）因为，则，由，
解得.
.
（2）由（1）知，，
所以.
18．答案：（1）5
（2）
解析：（1）.
（2）.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.