第一章 三角函数（含解析）——高一数学北师大版必修二单元测试

第一章 三角函数——2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试
一、选择题
1．若角的终边上有一点,且,则( )
A.4 B.C.-C.-1 D.
2．要得到函数的图象,只需要将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
3．函数在区间上的最小值为,则m的最大值为( )
A. B. C. D.
4．已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12,若x,y均小于4,则该样本的方差最小时,的值分别为( )
A.1,3 B.11,13 C.2,2 D.12,12
5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6．设函数在的图象大致如图,则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7．函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
8．已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．要得到函数的图象,只要将函数图象上所有的点( )
A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位
B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位
C.向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D.向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
10．要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点( )
A.向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
B.向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
C.横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
D.横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．已知则________.
13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）.假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动20秒后，盛水筒M与水面距离为______米.
14．已知，则__________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）若，，求的值域；
（2）若，，都有恒成立，求a的取值范围．
16．已知函数.
（1）若为偶函数,求函数的定义域;
（2）若过点,设,若对任意的,,都有,求实数的取值范围.
17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如表:
0
x
0 2 0 0
（1）请将上表数据补充完整,函数的解析式为______(直接写出结果即可);
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
18．已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)将的图像向左平移个单位得到函数，求在上的值域.
19．已知函数（,且）为偶函数.
（1）求a的值;
（2）若,使成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由已知,得,解得.
因为,所以,则.
故选：C.
2．答案：B
解析：因为,
所以要得到函数的图象,
只需要将函数的图象向左平移个单位长度.
3．答案：C
解析：令,,解得,,
故的图象在y轴右侧的第一条对称轴为,
而,而在上的最小值为,
故m的最大值为,
故选:C.
4．答案：C
解析：因为x,y均小于4,由茎叶图可知,中位数为,
所以,样本的平均值为,要使样本的方差最小,即使最小,又,当且仅当“”时,等号成立,
所以x,y均为2,选C.
5．答案：B
解析：因为，
所以，
故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.
故选:B.
6．答案：C
解析：由函数的图象,
函数的最小正周期且,可排除A,D;
又由,即,,
若选B,则,此时,此时k不为整数,排除B项;
若选C,则,此时,此时,排除C项.
故选：C.
7．答案：C
解析：由正切函数的定义域,令,,
即,所以函数的定义域为.
故选：C.
8．答案：B
解析：函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足，为奇函数，排除D；
又选项C中函数满足，与图象不符，排除C；
选项A中函数满足，与图象不符，排除A，
只有B可选.
故选：B.
9．答案：BC
解析：要得到函数的图象,只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位;或者向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.
10．答案：AD
解析：将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到.
也可以将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到，
再把所得各点向右平行移动个单位长度得到.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角，
设t时刻两点重合，则，，即，，
此时点，
即，，
当时，，故A正确；
当时，，即，故B正确；
当时，，即，故D正确.
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.
故选：ABD.
12．答案：
解析：由诱导公式可得：，
故答案为：.
13．答案：
解析：因为时，盛水筒M与水面距离为2.25米，所以，即，
又，则，
当时，.
故答案为：.
14．答案：
解析：，
故答案为：.
15．答案：（1）；（2）
解析：（1）当时，，令，
则，
由，则，故，又，故，即的值域为；
（2）令，则，
当时，，，则，
由，即，化简得，
令，，由，故，故在上单调递增，
故，解得；
当时，，，故，
则有，即，
由，故有，，解得，综上所述，.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为为偶函数,
所以,即,
因为,所以,
解得:,,
所以,,
所以的定义域为.
（2）因为过点,所以,
因为,所以,
所以,
因为,所以,
所以,
又因为对任意的,,都有成立,
所以,,
,
因为,所以,
设,
则有图象开口向下,对称轴为的抛物线,
当时,在上单调递增,
所以,
所以,解得,所以;
当时,在上单调递减,
所以,所以,
解得,故;
当时,,
故,解得,所以,
综上所述:实数a的取值范围为.
17．答案：（1）答案见解析;
（2）最大值为1,最小值为.
解析：（1）表格如下
0
0 2 0 0
根据表格可得,,
再根据五点法作图可得,,
故解析式为:.
（2）因为,所以,
得,
所以,当即时,在区间上的最小值为,
当即时,在区间上的最大值为1.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)令，
由的单调性可知，当时，
即时此函数单调递增.
所以函数的单调增区间为.
(2)由题可得：，
时，有，所以的值域为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数为偶函数,则,
即,
整理得,
可得,结合x的任意性可得,
此时,
可得的定义域为R,符合题意,
综上所述:.
（2）因为,则,
则,当且仅当,即时,等号成立,
所以,
由题意可得:,即,
因为,令,则,
设,
可得,解得,
若,可知的图象开口向上,对称轴,
由题意可得,
整理得,
又因为,则,解得,
所以实数m的取值范围.