(共5张PPT)
第十二章 全等三角形
综合与实践 角平分线的作法和应用
【问题探究】
(1)如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．
请写出OE平分∠AOB的依据：________.
【类比迁移】
(2)小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由．
【拓展实践】
解：(1)∵OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE(SSS)，∴∠AOE＝∠BOE，∴OE是∠AOB的平分线．故答案为SSS.
(2)∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN(SSS)，∴∠AOC＝∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线．
(3)如图，点E即为所求作的点．(共19张PPT)
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时 用“HL”判定两个直角三角形全等
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，则判定Rt△ABD≌Rt△ACD的依据是( )
A．SAS B．ASA
C．SSS D．HL
1
用“HL”判定两个直角三角形全等
D
2．如图，已知AB⊥CD，垂足为点B，AB＝DB.若直接应用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DBE，则需要添加的一个条件是______________.
AC＝DE
3．如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D.若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠BAD的度数为__________.
60°
4．如图，点C是线段AB的中点，两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时分别到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB.若DA＝100 m，则BE＝__________m.
100
5．如图，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE.求证：BF＝EC.
证明：∵∠B＝∠E＝90°，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴BC＝EF，
∴BC－FC＝EF－FC，即BF＝EC.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，DB＝BC.求证：AC＝AE＋DE.
证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴△BEC和△BED都是直角三角形．
∵BD＝BC，BE＝BE，
∴Rt△BEC≌Rt△BED(HL)，
∴CE＝DE，
∴AC＝AE＋CE＝AE＋DE.
7．下列条件中不一定能判定两个直角三角形全等的是( )
A．两条直角边对应相等
B．有两条边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等
D．一条边和一个角对应相等
2
直角三角形全等的判定方法综合
D
8．如图，已知∠B＝∠C＝90°，AD＝AE，添加下列条件后不能使△ABD≌△ECA的是( )
A．AD＝2BD
B．BD＝AC
C．∠DAE＝90°
D．AB＝EC
A
9．如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD.求证：△ABC≌△CDE.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠BAC＋∠BCA＝90°＝∠BCA＋∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE.
∴△ABC≌△CDE(AAS)．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E.若∠B＝32°，则∠AEC＝ __________.
61°
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝____________时，△ABC和△PQA全等．
5或10
13．在八年级数学活动课上，同学们讨论了这样一道题目：
如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且CD＝BE.
证明：∠AEB＝∠ADC.
其中一个同学的解法是这样的：
所以△ABE≌△ACD(SSA)，
所以∠AEB＝∠ADC.
这种解法遭到了其他同学的质疑，理由是错在不能用“SSA”说明三角形全等．请你给出正确的解法．
证明：∵∠BAC是钝角，∴过B，C两点分别作CA，BA的垂线，垂足分别为点F，G.
在△ABF与△ACG中，
∴△ABF≌△ACG(AAS)，∴BF＝CG.
∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL)，
∴∠AEB＝∠ADC.
14．核心素养·创新意识(1)【问题背景】如图1，已知∠ADB＝∠AEC＝90°，AD＝AE，AB＝AC.求证：EC＝DB.
(2)【变式运用】如图2，AD＝AE，AC＝AB，∠D＝∠AEC＝90°，点E在线段AB上，CE的延长线交BD于点F，求证：CF＝DF＋DB.
(3)【拓展创新】如图3，已知点A(2,2)，点C在x轴正半轴上，点B在y轴的负半轴，AB＝AC，求OC－OB的值．
解：(1)证明：如图1，在Rt△ADB和Rt△AEC中，AB＝AC，AD＝AE，
∴Rt△ADB≌Rt△AEC(HL)，∴EC＝DB.
(2)证明：如图2，连接AF.由(1)知EC＝DB.
∵∠AEF＝∠D＝90°，AF＝AF，AD＝AE，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)，
∴DF＝EF，∴CF＝EF＋CE＝DF＋DB.
(3)如图3，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，
∴∠ANB＝∠AMC＝90°.
∵点A(2,2)，∴AN＝AM＝2.
∵AB＝AC，由(1)知BN＝MC，
∴OC－OB＝OM＋MC－(BN－ON)＝OM＋ON＝4.(共6张PPT)
第十二章 全等三角形
综合与实践 “SSA”不能判定两个三角形全等
通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究．
探究：已知：△ABC，
求作：△DEF，使EF＝BC，∠E＝∠B，DF＝AC(即两边和其中一边所对的角分别相等)．
(1)实践与操作：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程(保留作图痕迹)．
①画EF＝BC；②在线段EF的上方画∠E＝∠B；③画DF＝AC；④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察与小结：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______(填三角形的名称)与△ABC明显不全等，因此可得结论：_____________________ ___________________________________________________.
(3)猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢？存在与否，请举一例尺规作图验证(提示：按照探究中的已知先构造三角形，再根据求作要求尺规作图)．
(4)归纳与总结：用一句话归纳(3)________________________ ________________________________________________．
解：(1)作图如下：
(2)满足条件的三角形有两个，△D1EF，△D2EF，其中△D2EF与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．
(3)如图，当∠ABC＝90°时，按步骤作图，可得△DEF≌△ABC.
另，当∠ABC>90°时，按步骤作图，也可得△DEF≌△ABC.
(4)结论：两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等．(共17张PPT)
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第1课时 用“SSS”判定三角形全等
1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )
1
用“SSS”判定两个三角形全等
A．① B．②
C．③ D．④
C
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定( )
A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE
C．△BDE≌△CDE D．△ABE≌△CDE
B
3．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF时，需增加一个条件，这个条件可以是__________________________.
AC＝BD(或AB＝CD)
4．(2023·云南)如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC.求证：△ABC≌△EDC.
证明：∵C是BD的中点，∴BC＝DC.
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC(SSS)．
5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图．
作法：①以________为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D.
②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，________长为半径画弧，交O′A′于点C′.
③以点________为圆心，________长为半径画弧，与第②步中所画的弧交于点D′.
2
利用“SSS”作三角形和相等角
点O
OC
C′
CD
④过点D′画射线O′B′，测得∠A′O′B′＝∠AOB.
根据图形以及全等的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是__________________.
边边边或SSS
6．已知△ABC，用尺规作出△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，△A′B′C′即为所作．
7．如图，在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AC＝DC，∠ACB＝40°，则∠ACD的度数是( )
A．40° B．60°
C．80° D．100°
3
“SSS”判定的应用
C
8．沪科版八上教材P105练习3改编如图，若AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，∠CAE＝20°，则∠BAD＝__________.
20°
9．如图，AB＝AC，DB＝EC，AD＝AE，∠1＝20°，求∠2的度数．
解：∵AB＝AC，DB＝EC，AD＝AE，
∴△EAC≌△DAB(SSS)，
∴∠EAC＝∠DAB，∠EAC－∠BAC＝∠DAB－∠BAC，
∴∠2＝∠1＝20°.
10．如图，AB＝CD，AD＝BC，下列结论中不一定成立的是( )
A．AB∥DC B．∠B＝∠D
C．∠A＝∠C D．AB＝BC
D
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB上的点．若DE＝DC，BE＝BC，∠A＝40°，则∠BDC的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．65°
D
12．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，∠D＝48°，∠ABE＝42°.
(1)证明：△ABC≌△DEB.
(2)求∠ACB的度数．
解：(1)证明：在△ABC和△DEB中，
∴△ABC≌△DEB(SSS)．
(2)由△ABC≌△DEB，得∠A＝∠D＝48°，∠ACB＝∠DBE.
∵∠ABE＝42°，
∴∠BFC＝∠A＋∠ABE＝90°，
∴∠FBC＝∠FCB＝45°，即∠ACB＝45°.
13．如图，AB＝AC，AE＝AD，BE＝CD.
(1)求证：∠BAE＝∠CAD.
(2)探究∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明．
∴△ABE≌△ACD(SSS)，
∴∠BAE＝∠CAD.
(2)∠3＝∠1＋∠2.
证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE＝∠1，∠ABE＝∠2.
又∵∠BAE＋∠ABE＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠3.(共19张PPT)
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第2课时 用“SAS”判定三角形全等
1．如图，AC，BD相交于点O，∠1＝∠2.若用“SAS”说明△ACB≌△BDA，还需要加上条件( )
A．AD＝BC B．BD＝AC
C．∠D＝∠C D．OA＝AB
1
用“SAS”判定两个三角形全等
B
2．如图，点E，F在边AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( )
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B
C．AD∥BC D．∠DFA＝∠BEC
B
3．如图，AB＝AC，AE＝AD，利用“SAS”证明△ACD≌ △ABE，还需要补充的一个条件是______________________ ________________.
∠BAC＝∠EAD(或∠CAD＝∠EAB)
4．(2023·广州)如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE.求证：∠C＝∠E.
证明：∵B是AD的中点，
∴AB＝BD.
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D.
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE(SAS)，
∴∠C＝∠E.
5．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1＋∠2的度数是( )
A．150° B．180°
C．210° D．225°
2
“SAS”定理的应用
B
6．教材P43T3改编如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，做成一个测量工件内槽宽度的工具(卡钳)．若测得AB＝5 cm，则内槽宽为______cm.
5
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，AC平分∠BAD.若CD＝5，则四边形ABCD的周长为________.
26
8．如图，有一块三角形的瓷砖，小明不小心将它打破成①②两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上____，理由是________________________________________.
①
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
9．教材P44T10改编如图，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.求证：AD＝BC，且AD∥BC.
∴△AOD≌△COB(SAS)，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，∴AD∥BC，
∴AD＝BC，且AD∥BC .
10．如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为 24 cm，CF＝3 cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为( )
A．45 cm B．48 cm
C．51 cm D．54 cm
A
11．如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF相交于点O，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BEO＝__________.
85°
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠FDE＝α，则∠A＝_____________.(用含α的式子表示)
180°－2α
证明：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，则AE＝2AD.
∵AD是中线，
∴BD＝CD.
在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴AC＝BE.
在△ABE中，AE
14．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC＝∠DAE.
(1)求证：BD＝CE.
(2)连接DC，若∠BAD＝∠CAD，试说明：CD＝CE.
解：(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，
∴AB＝AC，AD＝AE.
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE.
(2)在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴BD＝CD.
∵BD＝CE，
∴CD＝CE.(共19张PPT)
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
1
角的平分线的尺规作图
1．如图，作∠AOB的平分线，作法如下：
①以________为圆心，适当长为半径作弧，交两边于点C，D.
②分别以点C，D为圆心，______________的长为半径作弧，两弧交于点E.
③则射线OE就是∠AOB的平分线．
这样做的依据是__________.
点O
SSS
2．(2023·河南)如图，在△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE＝BE.
解：(1)如图所示，即为所求，
(2)证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE.
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴DE＝BE.
2
角的平分线的性质
3．如图，已知BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE＝6，则DF 的长是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
D
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是( )
A．6 B．7
C．8 D．14
B
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.若CB＝6，则DE＋DB＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
C
6．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空．
(1)若∠1＝∠2，则BC＝________.
(2)若∠3＝∠4，则________＝AD.
DC
AB
7．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，AD＝13，则点E到
直线AD的距离为______.
8．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB于点A，AD＝2，点P为边BC上一动点，则DP长的最小值为______.
2
9．如图，点D是△ABC的外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为点E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AC的垂线，垂足为点H，若BC＝3，AB＝4，AC＝5，则IH的长为( )
A
11．教材P52T7改编如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是______.
4
12．如图，OD平分∠AOB，OA＝OB，点P为OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N.求证：PM＝PN.
证明：∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOD.
在△OBD和△OAD中，
∴△OBD≌△OAD(SAS)，
∴∠BDO＝∠ADO.
∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM＝PN.
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，BD＝DF.
(1)求证：CF＝EB.
(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∠C＝90°，DE⊥AB于点E，
∴DE＝DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，∴CF＝EB.
(2)设CF＝x，则AE＝12－x.在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE，
即8＋x＝12－x，解得x＝2，即CF＝2.
14．在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)如图1，求证：CD＝CB.
(2)如图2，O为AC的中点，M为AB上一点，BM＝AD.求证：CM＝2DO.
解：(1)如图1，过点C分别作CE⊥AB于点E，
CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CEB＝∠CFD＝90°.
∵∠ADC＋∠CDF＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠CDF＝∠ABC.
∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，∴△CDF≌△CBE(AAS)，∴CD＝CB.
(2)如图2，延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN.
∵AO＝OC，∠AON＝∠COD，∴△AON≌△COD(SAS)，∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，
∴CD∥AN，∴∠DAN＋∠ADC＝180°，∴∠DAN＝180°－∠ADC＝∠B.
又∵AD＝BM，∴△AND≌△BCM(SAS)，∴CM＝DN＝2DO.(共19张PPT)
第十二章 全等三角形
12．1 全等三角形
1．下列各组图形中，不是全等图形的是( )
1
全等形
A
2．下列说法中错误的是( )
A．能够完全重合的图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形
C
3．如图，将△ABC沿BC所在的直线平移得到△A′B′C′，则△ABC______△A′B′C′，图中∠A与____________，∠B与__________________，∠ACB与__________是对应角．
2
全等三角形的对应边和对应角
≌
∠A′
∠A′B′C′
∠C′
4．如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌____________，AB的对应边是________，∠BCA的对应角是____________，∠BAC的对应角是____________.
△ADC
AD
∠DCA
∠DAC
5．如图，△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，则△ABC______△ADE，其中AB与________，________与DE，AC与________是对应边，∠C与________是对应角．
≌
AD
BC
AE
∠E
6．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B的度数是( )
A．36° B．24°
C．60° D．120°
3
全等三角形的性质
D
7．如图，△ABE≌△ACD，若AB＝8，AE＝5，则BD的长为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12 cm，面积为 6 cm2，则△DEF的周长为________cm，面积为______cm2.
B
12
6
9．如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，且△ABF≌△DCE.求证：
(1)AF∥DE.
(2)AC＝BD.
证明：(1)∵△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D，∴AF∥DE.
(2)∵△ABF≌△DCE，
∴AB＝DC，
∴AB＋BC＝DC＋BC，∴AC＝BD.
10．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是( )
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE
C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
B
11．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且△DEF≌△DEA.若∠BDF－∠CEF＝60°，则∠A的度数是( )
A．30° B．32°
C．35° D．40°
A
12．一个三角形三条边的长分别是3,5,7，另一个三角形三条边的长分别是3,3x－2y，x＋2y.若这两个三角形全等，则x＋y的值是__________.
13．如图，点C，A，D在同一条直线上，∠C＝∠D＝90°，△ABC≌△EAD，AC＝4，BC＝3，则阴影部分的面积为
______.
4或5
14．如图，△ADF≌△BCE，∠B＝32°，∠F＝28°，BC＝5 cm，CD＝1 cm.
(1)求∠1的度数．
(2)求AB的长．
解：(1)∵△ADF≌△BCE，∠F＝28°，
∴∠E＝∠F＝28°，
∴∠1＝∠B＋∠E＝32°＋28°＝60°.
(2)∵△ADF≌△BCE，BC＝5 cm，
∴AD＝BC＝5 cm，CD＝1 cm，
∴AB＝AD＋CD＋CB＝11 cm.
15．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.
(1)当DE＝8，BC＝5时，求AE的长．
(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
解：(1)∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB－BE＝8－5＝3.
(2)∵△ABC≌△DEB，
∠D＝35°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－35°－60°＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠DBE＝85°－60°＝25°.
∵∠ABC＝85°，∴∠DEB＝85°，
∴∠AED＝180°－∠DEB＝180°－85°＝95°，
∴∠AFD＝∠A＋∠AED＝35°＋95°＝130°.
16．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2 cm，BC＝3 cm.
(1)求DE的长．
(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．
解：(1)∵△ABD≌△EBC，
∴BD＝BC＝3 cm，BE＝AB＝2 cm，
∴DE＝BD－BE＝1 cm.
(2)DB与AC垂直．
理由如下：∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC.
又点A，B，C在一条直线上，
∴∠EBC＝90°，
∴AC与DB垂直．
(3)直线AD与直线CE垂直．
理由如下：如图，延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC，∴∠D＝∠C.
∵在Rt△ABD中，∠A＋∠D＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，
∴∠AFC＝90°，即CE⊥AD.(共19张PPT)
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线的判定
1
角平分线的判定
1．如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，要使点P在∠AOB的平分线上，则PD＝( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
C
2．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD的度数是( )
A．10° B．40°
C．30° D．20°
B
3．新情境如图，一把直尺压住射线OB，另一把相同的直尺压住射线OA，并且与第一把直尺交于点P，则判断射线OP就是∠BOA的平分线的理论依据是_______________________ _______________________________.
在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
4．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线．
证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
在Rt△EBD和Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL)，
∴DE＝DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线，即AD是△ABC的角平分线．
2
角平分线的性质与判定的综合运用
5．三角形中，到三边距离相等的点是( )
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
6．在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点P.若点P到边AB的距离等于4 cm，则它到边AC和BC的距离之和等于______cm.
C
8
7．如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝60°，则∠BOC的度数是____________.
120°
8．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF，AB＝BC.求证：CD＝AD.
证明：连接BD.∵DE＝DF，
∴DB平分∠ABC，
∠CBD＝∠ABD.
再证△ABD≌△CBD(SAS)，
∴CD＝AD.
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？如果有，请作出这一点．说明理由并求出这个距离．
解：△ABC内有一点P到各边的距离相等．如图，作∠CAB和∠ABC的平分线，两射线交于点P，则点P到各边的距离相等．
理由如下：过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，
则PD＝PE，PE＝PF，所以PD＝PE＝PF，
即△ABC内有一点P到各边的距离相等，
12×5÷2＝30,30×2÷(5＋12＋13)＝60÷30＝2.
答：这个距离是2.
10．如图，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为点A，B，且PA＝PB.下列结论中不一定成立的是( )
A．PO平分∠AOB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB平分OP
D
11．如图，AB∥CD，AD⊥DC于点D，AE⊥BC于点E，∠DCA＝55°，AD＝AE，则∠B的度数是__________.
70°
12．如图，已知△ABC周长是10，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是______.
5
13．如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB交AB于点E，且CD＝CB，∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：AC平分∠BAD.
(2)若AE＝9，BE＝3，求AD的长．
解：(1)证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDF＋∠ADC＝180°，
∴∠CDF＝∠B.
∵CB＝CD，∴△CDF≌△CBE(AAS)，
∴CF＝CE，∴AC平分∠BAD.
(2)证△AEC≌△AFC(HL)，∴AE＝AF＝9.∵BE＝DF＝3，
∴AD＝AF－DF＝9－3＝6.
14．如图，CA＝CB，点E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF.
(1)求证：AE＝BD.
(2)求证：AF⊥BD.
(3)求∠CFB的度数．
解：(1)证明：
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE＝BD.
(2)∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE.
∵∠AEC＋∠CAE＝90°，∠AEC＝∠BEF，
∴∠CBD＋∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴AF⊥BD.
(3)如图，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N.
易证△ACM≌△BCN(AAS)，∴CM＝CN，
∴∠AFC＝∠CFD＝45°，∴∠CFB＝135°.(共17张PPT)
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
1．如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′的根据是( )
A．SAS B．SSA
C．ASA D．SSS
1
用“ASA”判定两个三角形全等
C
2．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，则( )
A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC
C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
D
3．如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABC≌△ABD，需再添加一个条件是______________________.
∠ABC＝∠ABD
4．如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC.求证：AB＝CD.
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C.
在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB＝CD.
5．如图，用∠B＝∠C，∠1＝∠2，直接判定△ABD与△ACD全等的理由是( )
A．AAS B．SSS
C．ASA D．SAS
2
用“AAS”判定两个三角形全等
A
6．(2023·嘉兴)如图，在△AOB和△COD中，∠A＝∠C，请添加一个条件______________________________________，使得△AOB≌△COD.
OA＝OC或OB＝OD或AB＝CD
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过点M作ME∥BC交AB于点E，则△ACB≌____________，判断的依据是__________(用字母表示)．
△MDE
AAS
8．如图，AB⊥AD，AE⊥AC，∠E＝∠C，DE＝BC.求证：AD＝AB.
证明：证△ADE≌△ABC(AAS)，
∴AD＝AB.
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(3,0)，B(0，－1)，点C在第四象限，且AB＝BC，∠ABC＝90°，则点C的坐标是( )
A．(－4,1) B．(1，－4)
C．(－1,4) D．(4，－1)
B
10．如图，小虎用10块高度都是3 cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角形(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长为( )
A．30 cm B．27 cm
C．24 cm D．21 cm
A
11．如图，在△ABE和△ACD中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝3，则CE的长是______.
2
12．如图，在△ABC中，延长CB至点D使得BD＝BC，过点D作DF∥AC，点F与AB上一点E连接且∠BEF＝∠A，若AC＝8，DF＝2，则EF＝______.
6
13．如图，AC，BD为△ABF的高，AC与BD相交于点E，AC＝BC，BD平分∠ABF.
(1)求证：AD＝FD.
(2)若AD＝4，求BE的长．
解：(1)证明：证△ABD≌△FBD(ASA)，
∴AD＝FD.
(2)证△BCE≌△ACF(AAS)，
∴BE＝AF＝2AD＝8.
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB.
②DE＝AD＋BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，猜想DE，AD，BE之间的关系，并证明．
解：(1)证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA＋∠ECB＝90°＝∠DCA＋∠DAC，
∴∠DAC＝∠ECB.
又∵AC＝CB，∴△ADC≌△CEB(AAS)．
②∵△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD＋CE＝AD＋BE.
(2)AD＝BE＋DE.证明如下：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA＋∠ECB＝90°＝∠DCA＋∠DAC，
∴∠DAC＝∠ECB.
又∵AC＝CB，∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD＝CE，CD＝BE.
∵CE＝CD＋DE，∴AD＝BE＋DE.