(共18张PPT)
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13．3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1
等边对等角
1．(2023·宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是( )
A．70° B．45°
C．35° D．50°
2．(2023·眉山)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为( )
A．70° B．100°
C．110° D．140°
C
C
3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠B＝__________.
4．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数是__________.
70°
36°
5．如图，AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求证：∠C＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABC＝∠C，
∠ABD＝∠D.
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∴∠ABC＝2∠D，∴∠C＝2∠D.
2
三线合一
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，下列结论中不一定正确的是( )
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
D
55°
8．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE＝__________.
35°
9．如图，在四边形ABCE中，∠E＝90°，CA平分∠BCE，AB＝AC.求证：BC＝2CE.
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
证Rt△ADC≌Rt△AEC(AAS)，
∴CD＝CE，再证BC＝2CD＝2CE.
10．若等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
D
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AC上，且DA＝DE，若∠BAD＝35°，∠EDC＝25°，则∠DAE的度数为( )
A．80° B．65°
C．60° D．50°
B
12．如图，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，以CB的长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB＝__________.
37°
13．如图，AD∥BE，点C在AB上，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE交DE于点F.求证：CF垂直平分DE.
证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B.
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC(SAS)，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等腰三角形．
∵CF平分∠DCE，
∴CF垂直平分DE.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且BD＝BC＝AD.
(1)求△ABC各角的度数．
(2)点E在边AB上，且AE＝DE.求证：BE＝AD.
解：(1)设∠A＝∠ABD＝x，则∠C＝∠BDC＝2x.
在△ABC中，x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝72°，∠C＝72°.
(2)证明：∵AE＝DE，
∴∠A＝∠ADE＝36°，∴∠BED＝72°＝∠C，易证∠EBD＝∠CBD＝36°，BD＝BD，
∴△EBD≌△CBD(AAS)，∴BE＝BC＝AD.
15．核心素养·推理能力如图，在顶角为钝角的等腰三角形ABC中，AC＝AB，AD⊥AB交BC于点D，在AC上取一点E，使CD＝DE，连接BE.
(1)作出△ADB关于AD对称的△ADF，连接CF，并证明CF⊥CD.
(2)若FC＝3CD，探究BE与DE之间的关系．
(3)若AE＝DE，求∠CAB的度数．
解：(1)如图，△ADF即为所求．
∵AF＝AC＝AB，
∴∠AFC＝∠ACF，
∠ACB＝∠ABC.
又∵∠AFC＋∠ACF＋∠ACB＋∠ABC＝2(∠ACF＋∠ACB)＝2∠FCB＝180°，
∴∠FCB＝90°，∴CF⊥CD.
(2)BE⊥DE，BE＝3DE.
理由：易证∠EDB＝2∠ECD，
∠FDC＝2∠ABC，∴∠EDB＝∠FDC，
∴△FCD≌△BED(SAS)，
∴∠BED＝∠FCD＝90°，即BE⊥DE.
∵FC＝3CD，∴BE＝3DE.
(3)设∠EAD＝∠ADE＝x，则∠CED＝∠ECD＝2x＝∠ABC，∠ADB＝3x.
在△ABD中，3x＋2x＝90°，
∴x＝18°，∴∠CAB＝108°.(共13张PPT)
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
1
两点之间线段最短
1．如图，小明家在点A处，学校在点B处，则小明从家到学校最短的路径是______(填序号)，其中的数学道理是____________________.
②
两点之间线段最短
2．如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点P处饮水，然后到对岸的B地买生活用品．请在图中画出路径最短时点P的位置，并说明理由．
解：连接AB交直线l于点P.理由：两点之间线段最短．
2
利用轴对称解决最短路径问题
3．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在( )
A．点A B．点B
C．点C D．点D
C
4．如图，牧马人骑马从A地出发，到河边l的点M处饮水，然后到C地宿营．请在图中画出最短路径．
解：作点C关于直线l的对称点C1，连接AC1，交直线l于点M，连接AM，CM.
5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
(2)在直线l上画出点P，使得PA＋PC1最小．
(3)在直线l上画出点Q，使得QA1＋QB1最小．
解：(1)如图所示．
(2)连接AC1交直线l于点P.
(3)连接AB1交直线l于点Q.
6．如图，已知六边形ABCDEF是正六边形，点G，H分别是AF和CD的中点，点P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的最小值为( )
A．线段GE的长度
B．线段AE的长度
C．线段AB长度的两倍
D．线段GD的长度
B
A
8．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8，则∠AOB的度数是__________.
30°
9．如图，牧马人骑马从A地出发，先到草地a让马吃草，再到河边b饮水，然后到C地宿营．请在图中画出最短路径．
解：作点A关于直线a的对称点A′，作点C关于直线b的对称点C′，连接A′C′，分别交直线a，b于点M，N，连接AM，MN，CN.
10．在如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点△ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标分别是(－4,6)，(－1,4)．
(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系．
(2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′，交y轴于点P，P(0,2)．(共16张PPT)
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
1
等边三角形的性质
1．已知△ABC为等边三角形，则它的一个内角∠A＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．如图，等边三角形ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则BD的长为( )
A．3 B．6
C
A
3．如图，直线l1∥l2∥l3，将等边三角形按如图所示放置．若∠α＝40°，则∠β的度数是__________.
20°
4．如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数是__________.
15°
5．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，BC＝CD，求∠ADB的度数．
解：∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝30°.∵BC＝AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝75°，
∴∠ADB＝∠CDA－∠BDC＝30°.
2
等边三角形的判定
6．下列命题中是假命题的是( )
A．有一个角是60°的三角形是等边三角形
B．有两个角是60°的三角形是等边三角形
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．三边相等的三角形是等边三角形
7．如图，已知OA＝5，点P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°.当OP＝______时，△AOP为等边三角形．
A
5
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若△ADE是等边三角形，AD＝2，BD＝3，则△ABC的周长为________.
15
9．如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形．
证明：∵DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.
又∵AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形．
10．(2023·金昌)如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数是( )
A．20° B．25°
C．30° D．35°
C
11．如图， 在△ABC中， AB＝AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边△ABE，△ACD，∠EDC＝40°，则∠BAC的度数为__________.
20°
12．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则∠OBD＝____________.
120°
13．如图，点D，E分别在等边△ABC的边CB，CA上，且CD＝CE，AF∥BC，AF与DE的延长线交于点F.
(1)求证：△AEF是等边三角形．
(2)连接CF，交BE的延长线于点G，求∠BGF的度数．
解：(1)证明：先证△CDE为等边三角形．
∵AF∥DC，
∴△AEF是等边三角形．
(2)证△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠ABE＝∠ACF，
∠BGC＝∠BAC＝60°，
∴∠BGF＝120°.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内一点，AE∥CD，交BD的延长线于点E，∠E＝60°，∠ABE＝∠BCD.
(1)求证：△ABC为等边三角形．
(2)探究AE，CD与BE之间的数量关系，并证明．
证明：(1)∵AE∥CD，∠E＝60°，
∴∠EDC＝∠E＝60°.
∵∠ABE＝∠BCD，
∴∠ABE＋∠DBC＝∠BCD＋∠DBC，
∴∠ABC＝∠EDC＝60°.
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
(2)如图，在BE上取点F，使得AF＝AE.
∵∠E＝60°，∴△AFE是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，AF＝AE＝EF，
∴∠FAB＋∠ABF＝60°.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝BC，
∴∠ABF＋∠CBD＝60°，
∴∠FAB＝∠CBD.
又∵AB＝BC，∠ABF＝∠BCD，
∴△FAB≌△DBC(ASA)，∴BF＝CD.
∵BE＝BF＋EF，
∴BE＝CD＋AE.(共18张PPT)
第十三章 轴对称
13.2 画轴对称图形
第2课时 用坐标表示轴对称
1
关于坐标轴对称的点的坐标特征
1．(2023·怀化)在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于x轴对称的点P′的坐标是( )
A．(－2，－3) B．(－2,3)
C．(2，－3) D．(2,3)
2．在平面直角坐标系中，点P(－3,4)关于y轴的对称点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D
A
3．已知A，B两点的坐标分别是(－4,7)和(4,7)，则下列四个结论：①A，B两点关于x轴对称；②A，B两点关于y轴对称；③A，B两点关于原点对称；④A，B两点之间的距离为8.其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．点(－2，－4)与点(－2,4)关于______轴对称，点(－2， －4)与点(2，－4)关于______轴对称．
5．若点A(a,4)与点B(3，b)关于y轴对称，则a＋b＝______.
B
x
y
1
6．已知点A(2a－b,5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．
(1)若点A，B关于x轴对称，求a－b的值．
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋b)2 024的值．
解：(1)∵点A，B关于x轴对称，
∴a－b＝－8＋5＝－3.
(2)∵点A，B关于y轴对称，
∴(4a＋b)2 024＝[4×(－1)＋3]2 024＝1.
2
图形关于坐标轴对称
7．教材P71习题3改编已知正方形ABCD在坐标轴上的位置如图所示，x轴、y轴分别是正方形的两条对称轴，已知A(2,2)，则点B的坐标为___________，点C的坐标为____________，点D的坐标为______________.
(2，－2)
(－2，－2)
(－2,2)
8．如图，分别画出四边形ABCD关于x轴和y轴对称的四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″.
解：如图所示．
9．小红同学误将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成A(a，b)，另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称的点的坐标，写成B(－b，－a)，则A，B两点原来的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．点A和点B重合 D．以上都不对
A
10．(2023·聊城)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(－4,4)．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2,1)，则点A2的坐标为( )
A．(1,5)
B．(1,3)
C．(5,3)
D．(5,5)
B
11．若点M(2a－3,3－a)关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是______________.
12．已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，－2)，若在坐标轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为______________________________________.
(2,0)或(－2,0)，(0，－4)，(0,4)
13．如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(2)在x轴上找出一个点P，使点P到A，B两点的距离相等．
解：(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求．
(2)如图所示，点P即为所求．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A(a＋b,2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称．
(1)试确定点A，B的坐标．
(2)若点B关于x轴的对称点是点C，求△ABC的面积．
解：(1)点A，B的坐标分别为A(4,1)，B(－4,1)．
(2)∵点B关于x轴的对称点是点C，B(－4,1)，
∴C(－4，－1)，
∴BC＝2，AB＝8，
15．如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A(－3,3)，B(－4，－2)，C(0，－1)．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题．
(1)在图1中，画出△ABC关于y轴对称的△DEC(点D与点A对应)，点E的坐标为________.
(2)在图2中，画出△ABC的中线AM，点M的坐标为________.
(3)在图2中，画出△ABC的高BF(保留作图痕迹)．
解：(1)如图1，作出点A，B关于y轴的对称点D，E，顺次连接，则△DEC即为所求作的三角形，点E的坐标为(4，－2)．
(2)如图2，连接PQ，交BC于一点M，连接AM，则AM即为所求．
根据作图可知，点M为所在方格的中点上，故点M的坐标为(－2，－1.5)．
(3)如图2，连接BN，交AC于点F，则BF即为所求作△ABC的高．(共15张PPT)
第十三章 轴对称
13．1 轴对称
13．1.1 轴对称
1
轴对称图形与轴对称
1．(2023·长沙)下列图形中，是轴对称图形的是( )
2．下列图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是( )
D
D
3．如图，有四个表情图形，其中，__________________是轴对称图形，______与甲成轴对称．
甲、乙、丙、丁
丁
4．判断下列图形是否是轴对称图形．若是，请画出它们的对称轴．
解：①③④⑤是轴对称图形，②不是轴对称图形．对称轴如图所示．
2
轴对称的性质
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，AA′交直线MN于点P，下列结论中不一定正确的是( )
A．△ABC≌△A′B′C′ B．BB′⊥MN
C．AP＝A′P D．AC⊥AA′
D
6．如图是一个风筝设计图，其主体部分(四边形ABCD)关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD.若AC＝30 cm，则AO＝________cm，∠AOB＝__________.
15
90°
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称．
(1)若∠A＝30°，∠B′＝40°，则∠C的度数是____________.
(2)若AC＝5，BC＝3，则A′B′的取值范围是____________________.
110°
2＜A′B′＜8
8．如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C 落在边AB上的点E处，折痕为BD，则下列结论中错误的是( )
A．CD＝DE B．CE⊥DB
C．∠C＝∠A＋∠ADE D．AE＋CB＝DB
D
9．如图，将一个长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使点C，D分别落在点C1，D1处．若∠ABC1＝50°，则∠AEB的度数是__________.
70°
10．如图，在2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有______个．
4
11．如图，△ABC和△ADE关于过点A的直线l对称，AE与BC交于点M，AC与DE交于点N.
(1)求证：∠BAE＝∠DAC.
(2)若AC＝8，AM＝3，求NC的长．
解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠BAE＋∠EAC，∠DAE＝∠DAC＋∠EAC，
∴∠BAE＝∠DAC.
(2)证△ADN≌△ABM(AAS)，
∴AN＝AM＝3，
∴NC＝AC－AN＝5.
12．如图，点O为△ABC内部一点，OB＝3，点P，R为点O分别以直线AB，直线BC为对称轴的对称点．
(1)请指出当∠ABC的度数是多少时，会使得PR的长度等于6？并说明理由．
(2)根据第(1)小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于6还是大于6？并说明你判断的理由．
解：(1)∠ABC＝90°时，PR＝6.
理由如下：如图，连接PB，RB，OP，OR.
∵点P，R为点O分别以直线AB，直线BC为对称轴的对称点，
∴PB＝OB＝3，RB＝OB＝3.
∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠CBR＝∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°，
∴点P，B，R三点共线，∴PR＝2×3＝6.
(2)PR的长度小于6.理由如下：
∵∠ABC≠90°，
∴点P，B，R三点不在同一直线上，
∴PB＋BR＞PR.
∵PB＋BR＝2OB＝2×3＝6，∴PR＜6.(共9张PPT)
第十三章 轴对称
13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
画轴对称图形
1．分别以直线l为对称轴作轴对称，下列所作轴对称图形中错误的是( )
C
2．如图，画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′.
解：如图所示．
3．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC(三角形的顶点都在网格格点上)，请在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′(要求：点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′相对应)．
解：如图所示，△A′B′C′即为所求．
4．在3×3的正方形网格图中，有格点△ABC和格点△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称．请在下列网格中画出所有这样的△DEF.
解：如图所示．
5．(2023·安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点(网格线的交点)．
(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1.
(2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2.
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB.
解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求．
(2)如图所示，线段A2B2即为所求．
(3)如图所示，直线MN即为所求．(共10张PPT)
第十三章 轴对称
综合与实践 筝形的折叠研究
在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
(1)【概念理解】
如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形ABCD，则四边形ABCD______(选填“是”或“不是”)筝形．
(2)【性质探究】
如图2，已知四边形ABCD纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明．
是
(3)【拓展应用】
如图3，AD是锐角三角形ABC的高，将△ABD沿AB边翻折后得到△ABE，将△ACD沿AC边翻折后得到△ACF，延长EB，FC交于点G.
①请写出图3中的“筝形”：__________________(写出一个即可)．
②若∠BAC＝50°，当△BGC是等腰三角形时，请直接写出∠BAD的度数．
四边形AEBD
解：(1)∵四边形ABCD为对折后折出的三角形展开形成的四边形，∴AD＝CD，AB＝CB，
∴四边形ABCD是筝形．
故答案为是．
(2)性质：在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，证明如下：
证明：如图，连接BD，AC.
∵四边形ABCD是筝形，∴AD＝CD，AB＝CB.
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ADC，BD平分∠ABC.
(3)①四边形AEBD.
②∵△ACD沿AC边翻折后得到△ACF，
∴△ACD≌△ACF，
∴AD＝AF，DC＝FC，
∴四边形ADCF是筝形，
∴∠DAC＝∠FAC，∠ACD＝∠ACF.
∵△ABD≌△ABE，
∴∠DAB＝∠EAB，∠ABD＝∠ABE.
∵在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，
∴∠EAF＝2(∠BAD＋∠DAC)＝2∠BAC＝100°.
∵四边形内角和为360°，∠AEG＝∠AFG＝90°，
∴∠BGC＝360°－∠EAF－∠AEG－∠AFG＝360°－100°－90°－90°＝80°.
当△BGC是等腰三角形时，有三种情况：
①当BC＝BG时，∠BGC＝∠BCG，
∴∠BCG＝80°，
∴∠CBG＝180°－∠BGC－∠BCG＝180°－80°－80°＝20°，
∵AD是锐角三角形ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠DBA＝180°－90°－80°＝10°；
②当BC＝CG时，∴∠CBG＝∠CGB＝80°，
∵AD是锐角三角形ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠DBA＝180°－90°－50°＝40°；
③当BG＝CG时，∴∠CBG＝∠BCG＝50°，
∵AD是锐角三角形ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠DBA＝180°－90°－65°＝25°.
综上所述，∠BAD的度数为25°或40°或10°.(共10张PPT)
第十三章 轴对称
图形研究 在等腰三角形中利用尺规作图
1．如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交AC于点E，连接BE.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上，若AB＝10，△BCE的周长为16，求BC的长．
解：(1)如图所示，即为所求．
(2)∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴△BCE的周长为BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋AE＝BC＋AC＝16.
又∵AC＝AB＝10，
∴BC＝16－10＝6.
2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC.
(1)尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上，若AC⊥BC，求证：DE＝2BC.
解：(1)如图所示，射线DE即为所求．
(2)证明：∵DA＝DC，
DE平分∠ADC，
∴AE＝EC，DE⊥AC，
∴AC＝2AE.
∵AD⊥AB，AC⊥CB，
∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE＋∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠B.
∴△DEA≌△ACB(AAS)，
∴DE＝AC，AE＝BC，
∴DE＝2BC.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，若点D是边AC的中点，
(1)求证：△ABC是等边三角形．
(2)在线段BD上求作点E，使得CE＝2DE.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：(1)∵BD⊥AC，点D是边AC的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴BC＝AB.
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
(2)∵CE＝2DE，BD⊥AC，
∴∠DCE＝30°.
∵∠ACB＝60°，
∴CE平分∠ACB.
4．如图，△ABC是等边三角形，点E是边AB上一点．
(1)尺规作图：作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，连接ED，延长ED与直线BC交于点F.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若DE⊥AB，当AE＝2，求BF的长．
解：(1)如图所示，即为所求．
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°.
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BFE＝30°，
∴AD＝2AE＝4，BF＝2BE.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AB＝2AD＝8，
∴BE＝AB－AE＝6，
∴BF＝2BE＝12.(共19张PPT)
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13．3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
1
等角对等边
1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2∶2∶5，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
2．下列说法中，不可能是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别为75°，75°的三角形
B．有两个内角分别为110°和40°的三角形
C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形
A
B
3．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD.若AB＝28，则AC的长是________.
28
4．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是______.
4
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD.
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠FAD＋∠AED＝90°.
又∵∠CAF＋∠CFA＝90°，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形．
2
作等腰三角形
6．如图，在4×5网格中的每个小正方形的边长都是1，线段AB的端点A，B是网格中的格点．请在下列三个图中找到格点C，画出以点A，B，C为顶点的等腰三角形．
解：如图所示．
7．如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α.
解：如图，
①作∠MBN＝∠α；
②在射线BM上截取BA＝a，然后以点A为圆心，a为半径画弧，交BN于点C；
③连接AC，则△ABC即为所求作的三角形．
3
等腰三角形性质与判定的综合应用
8．如图，AC与BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB，OC＝3 cm，则OD＝______cm.
3
9．教材P79练习1改编如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，则∠1＝__________，图中有______个等腰三角形．
72°
3
10．如图，已知平面直角坐标系内一点A(3，－2)，点O为原点，点P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．1
C
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论中一定成立的是( )
A．BC＝BE B．EC＝BE
C．BC＝EC D．AE＝EC
A
12．如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝__________.
58°
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC＝AB，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则AD的长为________.
10
14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，点D是边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，∠DEA＝∠DFC.
(1)求证：△DEF是等腰直角三角形．
(2)若AB＝4，求四边形AEDF的面积．
解：(1)证明：如图，连接AD.
证△AED≌△CFD(ASA)，
∴DE＝DF，
∠ADE＝∠FDC.
证AD⊥BC，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．
15．(1)如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：DE＝BD＋CE.
(2)如图2，若点F是∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线的交点，其他条件不变．求证：DE＝BD－CE.
图1
图2
证明：(1)∵BF和CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠CBF＝∠DBF，∠BCF＝∠ECF.
又∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∠BCF＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DF＝BD，EF＝CE，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，即DE＝BD＋CE.
(2)∵BF和CF分别是∠ABC和∠ACH的平分线，
∴∠CBF＝∠DBF，∠ECF＝∠HCF.
又∵DF∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∠HCF＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DF＝BD，EF＝CE，
∴DE＝DF－EF＝BD－CE，
即DE＝BD－CE.(共17张PPT)
第十三章 轴对称
13．1 轴对称
13．1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
1
线段的垂直平分线的性质
1．已知直线AB是线段CD的垂直平分线，并且垂足为B.若AC＝5 cm，则下列结论中正确的是( )
A．AB＝5 cm B．BC＝5 cm
C．BD＝5 cm D．AD＝5 cm
D
2．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
C
3．如图，AC⊥BD，OB＝OD，AB＝3，CD＝5，则四边形
ABCD的周长是________.
16
4．教材P62练习1改编如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．已知BD＝3，AB＝5，则DE＝______.
8
5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，AB－BC＝3，△BCD的周长为15，求AB的长．
解：∵MN为AC的垂直平分线，∴DC＝DA，
∴DC＋DB＋BC＝AD＋DB＋BC＝AB＋BC＝15.
又∵AB－BC＝3，∴AB＝9.
2
线段的垂直平分线的判定
6．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则( )
A．l垂直AB
B．l平分AB
C．l垂直平分AB
D．不能确定
7．已知线段AB，直线CD⊥AB于点O，AO＝OB.若点M在直线CD上，则MA＝________；若NA＝NB，则点N在____________上．
D
MB
直线CD
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，边BC的垂直平分线MN经过点A.求证：点A在CD的垂直平分线上．
证明：如图，连接AC，证AC＝AB＝AD即可．
9．如图，AB＝AC，OB＝OC.求证：AO垂直平分BC.
证明：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上．
∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC.
10．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，边AC的垂直平分线分别交边AC，BC于点F，G.若△AEG的周长为8，则BC的长是( )
A．12 B．8
C．6 D．4
B
11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线的交点P恰好在边AC上，且AC＝10 cm，则点B到点P的距离为____________.
5 cm
12．如图，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：
(1)DE＝DF.
(2)AD垂直平分EF.
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，∴DE＝DF.
(2)证Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE＝AF，DE＝DF，
即点A在EF的垂直平分线上，点D也在EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF.
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证：CF＝AD.
(2)连接BE.若AD＝2，AB＝8，当BC为多少时，点B在AF的垂直平分线上？请说明理由．
解：(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE.
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE.
在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴CF＝AD.
(2)当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上．
理由如下：∵AD＝2，
∴CF＝AD＝2.
∵BC＝6，
∴BF＝BC＋CF＝6＋2＝8.
∵AB＝8，
∴AB＝BF，
∴点B在AF的垂直平分线上．
14．如图，在△ABC中，点D在边AC的垂直平分线上，且BD平分∠ABC，DF⊥BC于点F.
(1)求证：BC－AB＝2CF.
(2)连接AD，若∠ABC＝90°，求∠DAC的度数．
解：(1)证明：如图，连接CD，过点D作DG⊥AB于点G.
证Rt△DCF≌Rt△DAG(HL)，
∴CF＝AG.
易证BF＝BG，
∴BC－AB＝(BF＋CF)－(BG－AG)＝CF＋AG＝2CF.
(2)由(1)得∠ADC＝∠GDF＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°.(共10张PPT)
第十三章 轴对称
13．1 轴对称
13．1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时 线段的垂直平分线的作法与应用
1
尺规作图作线段的垂直平分线
A．11 cm
B．13 cm
C．15 cm
D．17 cm
A
2．如图，在直线l上求作一点P，使PA＝PB(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如图所示．
3．作图题．(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图1中作出AB的垂直平分线．
(2)在图2中作出边AC上的中线BE.
解：(1)如图1所示，即为所求．
(2)如图2所示，BE即为所求．
图1
图2
2
尺规作图找对称轴
4．如图，△ABC和△DEF关于某条直线对称，请利用尺规作图画出这条直线，并说明作法．
5．如图，作出它们的对称轴．
解：如图所示．
6．(2023·陕西)如图，已知锐角三角形ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P.使PB＝PC，且∠PBC＝24°.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示，点P即为所求．
A
M
E
B
C
A●
●B
A
D
B
E
C
F
B
N
E
C
F
A
D
B
C(共16张PPT)
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形
1
含30°角的直角三角形的性质
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2，则AB的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB的长为( )
A．6 cm B．7 cm
C．8 cm D．9 cm
D
C
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是中线，且AD＝3 cm，则AB的长是______cm.
6
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点．试写出线段BD和DC的数量关系，并给出证明．
解：DC＝2BD，证明如下：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°.
∵∠B＝90°，∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，∴AD＝2BD，∴DC＝2BD.
2
含30°角的直角三角形的性质的应用
5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面6 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为( )
A．6 m B．9 m
C．12 m D．18 m
D
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．若∠A＝30°，AB＝8，则BD的长是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
A
7．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起．若AB＝ 4 cm，则阴影部分的面积是______cm2.
2
8．如图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A＝30°，AB＝7 m，则BC＝__________m，DE＝____________m.
3.5
1.75
9．新情境(2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是( )
A．4 m B．6 m
C．10 m D．12 m
B
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，边AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，边AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，若MN＝2，则NF的长是( )
C．2 D．4
B
11．如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，BP＝4 cm，点Q为射线边BC上一点．当CQ的长为______________时，△PBQ是直角三角形．
4 cm或2 cm
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交边AB于点M，过点M作MN∥BC交边AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为______.
6
13．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以每小时航行18 n mile的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得灯塔C在A的北偏西15°，灯塔C在B的北偏西30°方向上，在灯塔C的周围20 n mile范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由．
解：会有触礁危险．理由如下：
如图，过点C作CE⊥AN于点E.
由题意可得AB＝2×18＝36 n mile，
∵∠NBC＝∠A＋∠ACB，
∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，
∴∠ACB＝∠NAC＝15°.
∴BC＝AB＝36 n mile.
∵CE⊥AN，∴∠BEC＝90°.
∵∠NBC＝30°，
∵18＜20，
∴轮船不改变方向继续向前航行，会有触礁危险．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，交CA的延长线于点D.
(1)求证：AD＝AC.
(2)若BC＝8，求DE的长．
解：(1)证明：如图，连接AF.
∴∠AFC＝∠ABC＋∠BAF＝2∠ABC＝60°，
∴∠FAC＝90°，
∴AF⊥DC.易证FD＝FC，
∴AD＝AC.
