(共12张PPT)
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11．3.1 多边形
1．下列图形中属于多边形的是( )
A．线段 B．角
C．三角形 D．圆
2．下列图形中不是凸多边形的是( )
1
多边形
C
C
3．下列多边形中，对角线是5条的是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
4．从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( )
A．4,3 B．3,3
C．3,4 D．4,4
B
C
5．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长______ (选填“大”或“小”)，理由为____________________.
小
两点之间，线段最短
6．下列图形为正多边形的是( )
2
正多边形
D
7．下列说法中错误的是( )
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．正多边形的各边都相等
C．正三角形就是等边三角形
D．各内角相等的多边形不一定是正多边形
8．关于正多边形的特征，有下列说法：①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各条对角线相等；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．其中正确的是__________(填序号)．
A
①②③
9．平面内，将长度分别为1,2,4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是( )
A．1 B．2
C．7 D．8
B
10．如图，五边形ABCDE纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．以上都对
11．从多边形一条边上的一点(不是顶点)出发，连接各个顶点得到2 023个三角形，则这个多边形的边数为_______.
D
2 024
12．画出下列多边形的全部对角线．
解： 画出的各多边形的全部对角线如图所示．
13．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的最小边的长．
解：由题意得，n＝7，设最小边长为x，则其余边长为x＋1，x＋2，x＋3，x＋4，x＋5，x＋6，
可列方程x＋x＋1＋x＋2＋x＋3＋x＋4＋x＋5＋x＋6＝56，解得x＝5，∴最小边的长为5.
14．核心素养·推理能力在多边形边上或内部取一点，与多边形各顶点的连线将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．
(1)请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数．
(2)当多边形为n边形时，按照上述方法进行分割，并写出每种分割方法所得到的小三角形的个数．
解：(1)将图2中的六边形进行分割，如图所示，
所分割成的小三角形的个数分别是4个，5个，6个．
(2)结合两个特殊图形，可以发现：
第一种分割方法(点在顶点上)把n边形分割成了(n－2)个小三角形；
第二种分割方法(点在边上)把n边形分割成了(n－1)个小三角形；
第三种分割方法(点在内部)把n边形分割成了n个小三角形．(共14张PPT)
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
1．如图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是( )
1
三角形及其有关概念
C
2．教材P4练习1改编如图所示：
(1)图中共有______个三角形，分别是__________________ _________________________.
(2)△CDE和△BCD的公共角是________，公共边是________.
(3)在△ABC和△BEC中，∠ACB是边________和________的对角．
(4)BE是△__________和△__________的公共边．
5
△ABE，△BEC，△DEC，△ABC，△BCD
∠D
CD
AB
BE
ABE
BCE
3．下列说法中正确的是( )
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．③④
C．①②③④ D．①②④
2
三角形的分类
B
4．如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．以上都有可能
D
5．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．1,3,4 B．2,2,7
C．4,5,7 D．3,3,6
6．(2023·福建)若某三角形的三边长分别为3,4，m，则m的值可以是( )
A．1 B．5
C．7 D．9
3
三角形的三边关系
C
B
7．三角形的两边长分别为1和4，第三边的长为整数，则该三角形的周长为______.
8．已知三角形的两边长分别为8和10，第三边的长x最小．
(1)求x的取值范围．
(2)当x为何值时，围成的三角形周长最大？求出该三角形周长的最大值．
解：(1)由三角形的三边关系，得2＜x＜18，
∵x为最小，
∴x的取值范围是2＜x≤8.
(2)当x＝8时，三角形的周长最大，
且最大值是8＋10＋8＝26.
9
9．四根木棒的长度分别为4 cm,5 cm,8 cm，11 cm.现从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则这样的取法共有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
10．已知n是正整数，一个三角形的三边长分别是n＋2，n＋8,3n，则满足条件的n的值有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
C
D
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，则化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果是______.
12．若一个等腰三角形的两边长分别是6和4，则它的周长为______________.
0
14或16
13．已知a，b，c是△ABC的三边长，b和c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|a－4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
解：由题意，得b－2＝0，且c－3＝0，所以b＝2，c＝3.
又因为|a－4|＝2，所以a＝2或6.当a＝6，
b＝2，c＝3时，因为2＋3<6，所以不能构成三角形，应舍去；当a＝2，b＝2，c＝3时，
因为2＋2>3，所以能构成三角形，所以
C△ABC＝2＋2＋3＝7，此时△ABC为等腰三角形．
14．教材P3例题改编用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)若腰长是底边的2倍，求等腰三角形的各边长．
(2)这根细绳能围成有一边的长为10 cm的等腰三角形吗？为什么？
(3)直接写出等腰三角形的腰长l的取值范围：____________.
解：(1)4 cm,8 cm,8 cm.
(2)不能，若腰长为10 cm，则底边为0 cm，不成立；若底边为10 cm，则腰长为5 cm，不能构成三角形，也不成立，
所以不能围成有一边的长为10 cm的等腰三角形．
5 cm15．如图1，点P是△ABC内部一点，连接BP，并延长交AC于点D.
(1)试探究AB＋BC＋CA与2BD的大小关系．
(2)试探究AB＋AC与PB＋PC的大小关系．
(3)如图2，若点D，E是△ABC内部两点，试探究AB＋AC与BD＋DE＋CE的大小关系．
解：(1)AB＋BC＋CA>2BD.理由如下：
∵AB＋AD>BD，BC＋CD>BD，
∴AB＋AD＋BC＋CD>BD＋BD，
即AB＋BC＋CA>2BD.
(2)AB＋AC>PB＋PC.理由如下：
在△ABD中，AB＋AD>BP＋PD，
在△PDC中，PD＋DC>PC，
两式相加，得AB＋AD＋PD＋DC>BP＋PD＋PC，
即AB＋AC>PB＋PC.
(3)AB＋AC>BD＋DE＋CE.理由如下：
如图，延长BD交CE的延长线于点G，交AC于点F.
在△ABF中，AB＋AF>BD＋DG＋GF，①
在△GFC中，GF＋AC－AF>GE＋EC，②
在△DEG中，DG＋GE>DE，③
①＋②＋③，得AB＋AC>BD＋DE＋CE.(共8张PPT)
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11．1.3 三角形的稳定性
1．教材P7练习1改编下列图形中具有稳定性的是( )
三角形的稳定性
2．下列图形中不具有稳定性的是( )
A
B
3．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是( )
A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线
D．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
B
4．下列说法：①自行车的三脚架；②三角形房架；③照相机的三脚架；④门框的长方形架．其中利用三角形稳定性的是__________(填序号)．
5．(2023·吉林)如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是_______________________.
①②③
三角形具有稳定性
6．如图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．若用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，则至少需要添加螺栓( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A
7．根据平面图形的特性说明下列设计中应用的数学原理．
(1)用两个钉子把木条固定在墙上．
(2)有一个不稳当的凳子，一位同学找来两根木条钉成如图所示的样子．
解：(1)两点确定一条直线．
(2)三角形的稳定性．
8．如图，小明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，为了使这个钢架稳固，他计划在钢架的内部用三根钢管连接使它不变形．请帮助小明解决这个问题．(画图说明，用两种不同的方法)
解：如图所示．(共14张PPT)
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11．3.2 多边形的内角和
1．五边形的内角和是( )
A．900° B．720°
C．540° D．360°
2．(2023·永州)下列多边形中，内角和等于360°的是( )
1
多边形的内角和
C
B
3．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是( )
A．正八边形 B．正九边形
C．正十边形 D．正十一边形
4．下列角度不可能是多边形内角和的是( )
A．270° B．360°
C．540° D．900°
5．如图是用六个全等的直角三角形拼成的六边形花环，则∠ABC的度数是__________.
C
A
30°
6．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求x的度数．
解：∵六边形的内角和是720°，且内角都相等，则每个内角为720°÷6＝120°，
∴∠B＝∠F＝∠BAF＝120°.
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理可知，
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝(180°－120°)÷2＝30°，
∴x＝∠BAF－∠1－∠3＝120°－30°－30°＝60°.
7．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )
A．正六边形 B．正八边形
C．正十边形 D．正十二边形
8．若n边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A．3 B．7
C．8 D．4
2
多边形的外角和
C
C
9．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是该五边形的外角，则∠1＋∠2＋∠3＝____________.
180°
10．若多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，则这个多边形的内角和是多少？
解：设它的一个外角为x，则与它相邻的内角为(4x＋30)，∴4x＋30°＋x＝180°，解得x＝30°，360°÷30°＝12，
∴此多边形为十二边形，
∴它的内角和为180°×(12－2)＝1 800°.
11．如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠B＝200°，∠ADC，∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是( )
A．80° B．90°
C．100° D．110°
C
12．新情境如图，被树叶遮掩的部分是一个正n边形，若直线a，b所夹锐角为36°，则n的值是( )
A．10 B．8
C．6 D．5
D
13．如图，小明从点A出发沿直线前进10 m到达点B，向左转45°后又沿直线前进10 m到达点C，再向左转45°后沿直线前进10 m到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为________ m.
80
14．如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角(∠BCD)后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°.
(1)求六边形ABCDEF的内角和．
(2)求∠BGD的度数．
解：(1)六边形ABCDEF的内角和为180°×(6－2)＝720°.
(2)∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°，
∴∠GBC＋∠C＋∠CDG＝720°－460°＝260°，
∴∠BGD＝360°－(∠GBC＋∠C＋∠CDG)＝100°，
即∠BGD的度数是100°.
15．(1)如图1，图2，探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系．
(2)请你用文字描述上述关系．
(3)用你发现的结论解决下面的问题：
如图3，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
解：(1)设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6.
∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°，
∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．
∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
(2)在一个四边形中，两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．
(3)∵∠B＋∠C＝240°，
∴由(2)知∠MDA＋∠NAD＝240°.
∵AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线，
∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°.(共8张PPT)
第十一章 三角形
综合与实践 平面镶嵌
在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠(在几何里叫作平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．
(1)请根据下列图形，填写表中空格.
正多边形边数 3 4 5 6 ... n
正多边形每个内角的度数
(2)如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形．
(3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么？
(4)从边长相等的正三角形、正四边形、正六边形中任选两种或三种，能否镶嵌成一个平面图形？并探索共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
(2)设这个正多边形的边数为n.
故如果限于用一种正多边形镶嵌，正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形都能镶嵌成一个平面图形．
(4)在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形y个正四边形和z个正六边形．
根据题意，可得方程60x＋90y＋120z＝360，化简得2x＋3y＋4z＝12，
即用正三角形和正方形可以镶嵌成1个平面图形；
用正三角形和正六边形可以镶嵌成2个平面图形；
用1个正三角形、2个正方形、1个正六边形可以镶嵌成1个平面图形，
所以共能镶嵌成4种不同的平面图形．(共15张PPT)
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
1．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C的度数是 ( )
A．100° B．80°
C．60° D．40°
2．如图，BO平分∠ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，则∠OBC的度数是( )
A．15° B．25°
C．30° D．50°
1
三角形的内角和定理
B
B
3．若一个三角形的三个内角的度数比是2∶4∶6，则其最小内角的度数是__________.
4．如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝__________.
30°
35°
5．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数．
解：∵∠1＝∠2＝36°，
∴∠ADB＝180°－∠1－∠2＝108°，
∴∠3＝∠4＝180°－∠ADB＝72°.
在△ACD中，∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝180°－2×72°＝36°.
∴∠DAC＝36°.
6．如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，DF∥EC，∠D＝42°，求∠B的度数．
解：∵DF∥EC，
∴∠BCE＝∠D＝42°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.
∵∠A＝46°，
∴∠B＝180°－84°－46°＝50°.
7．新情境如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响煤气管道，准备在B，C两处开工挖出“V”字形通道．若∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，则∠BAC的度数是( )
A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
2
三角形的内角和的实际应用
A
8．如图，岛P位于岛Q的正西方，从岛P，Q处分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则从R处测岛P，Q两处的视角∠R的度数是__________.
75°
9．核心素养·应用意识如图，按规定，一块模板中AB，CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？
解：不符合规定．
如图，延长AB，CD交于点O.
在△AOC中，∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，
∴∠AOC＝180°－∠BAC－∠DCA＝
180°－32°－65°＝83°<85°，
∴模板不符合规定．
10．在△ABC中，∠A＋∠B＝130°，∠B＋∠C＝140°，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
11．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠ADE＝40°，AD平分∠BAC，交边BC于点D，DE∥AB，交边AC于点E，则∠C的度数是( )
A．46° B．66°
C．54° D．80°
B
C
12．两个三角形按如图所示的方式摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，若BC∥EF, 则∠DMC的度数为____________.
110°
13．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC相交于点F.
(1)填空：∠AFC＝________度．
(2)求∠EDF的度数．
解：(1)∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF＝30°.
∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠AFB＝180°－∠B－∠BAD－∠DAF＝70°，
∴∠AFC＝180°－∠AFB＝110°.
故答案为110.
(2)∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°－50°－30°＝100°.
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝100°，
∴∠EDF＝∠EDA＋∠BDA－∠BDF＝100°＋100°－180°＝20°.
14．【提出问题】如图，AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，OD⊥AO交AB于点D，探究∠C与∠BOD的数量关系．
(1)【特例探究】若∠CAB＝50°，∠CBA＝68°，则∠C与∠BOD的数量关系为____________________.
(2)【一般情形】对于一般情形，(1)中结论还成立吗？请说明理由．
∠C＝2∠BOD
解：成立．理由如下：
设∠OAB＝x，∠OBA＝y.
∵AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，
∴∠CAB＝2x，∠CBA＝2y，
∴∠AOB＝180°－x－y，∠C＝180°－2x－2y＝2(90°－x－y)．
∵OD⊥OA，∴∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOB－90°＝90°－x－y，
∴∠C＝2∠BOD.(共6张PPT)
第十一章 三角形
综合与实践 三角形的内角和定理的证明和应用
古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯(Thales，公元前6世纪)最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
(1)如图1，在△ABC中，求证：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB.
∵CE∥AB(已作)，
∴________＝∠1(两直线平行，内错角相等)，
________＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵__________________________________(平角的定义)，
∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°(等量代换)．
【实践运用】
(2)如图2，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，试证明：∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
∠A
∠B
∠1＋∠2＋∠ACB＝180°
【拓展提升】
(3)①如图3，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝34°，∠ADC＝18°，则∠P的度数为________.
②如图4，直线AP平分∠FAD，CP平分∠BCE，若∠ABC＝34°，∠ADC＝18°，则∠P的度数为________.
解：(2)证明：在△AOB中，∠A＋∠B＋∠AOB＝180°.在△COD中，∠C＋∠D＋∠COD＝180°.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
(3)①设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，
故答案为26°.
②在PA的延长线上取一点J，设∠FAJ＝∠DAJ＝m，∠PCB＝∠PCE＝n，
故答案为26°.(共19张PPT)
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
1．用三角尺作△ABC的边BC上的高，下列三角尺摆放的位置中正确的是( )
1
三角形的高
D
2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
C
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，AB＝10，BC＝8，AC＝6，求△ABC的面积和CD的长．
解：在△ABC中，把BC看作底，则AC是高，
∴24＝5CD，∴CD＝4.8.
4．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是 ( )
A．AB＝AC B．BD＝CD
C．BD＝AD D．AC＝AD
2
三角形的中线
B
5．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，且S△ABC＝4，则△ADC的面积为( )
A．2 B．1
A
6．如图，在△ABC中，AE是边BC上的中线，AB＝8 cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm，则AC＝________cm.
10
7．三角形的角平分线是一条( )
A．射线 B．直线
C．线段或射线 D．线段
8．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( )
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠ACB＝2∠3
D．CE是△ABC的角平分线
3
三角形的角平分线
D
D
9．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是__________.
20°
10．如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是边BC上一点，且不与点B，C，D重合，则AD是几个三角形的高线( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．8个
C
11．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为______cm2.
1
12．教材P9T9改编如图，点D是△ABC的边BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？请说明理由．
解：AD是△ABC的角平分线．
理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠ADE＝∠DAF，
∠ADF＝∠DAE.
又∵∠ADE＝∠ADF，
∴∠DAF＝∠DAE.
又∵∠DAF＋∠EAD＝∠BAC，
∴AD是△ABC的角平分线．
13．如图，在△ABC中(AC＞AB)，AC＝2BC，边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
解：设BD＝CD＝x，AB＝y，
则AC＝2BC＝4x.
∵边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC>AB，
∴AC＋CD>AB＋CD
∴AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，
当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，
∴AC＝48，AB＝28.
14．核心素养·几何直观请仅用无刻度的直尺作图并填空，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．
(1)如图1，△ABC的中线CD，BE交于点O.
①作出边BC的中点F；
②若S四边形ADOE＝4，则S△ABC的值为________.
(2)如图2，△ABC的三个顶点的坐标为A(0,4)，B(－1，b)，C(2，c)，BC经过原点O，AD，BE为△ABC的高．
①作出△ABC的高CF；
②S△ABO＝________，S△ACO＝________，AB·CF的值为________.
解：(1)①如图1，连接AO，并延长AO交BC交于点F，则点F是BC的中点；
②设S△ADO＝a，S△AEO＝b.
∵CD，BE，AF是△ABC的中线，
∴AD＝BD，AE＝EC，BF＝FC，
∴S△ADO＝S△BDO＝a，S△AEO＝S△CEO＝b，S△BOF＝S△FOC，S△ABE＝S△BCE，S△ABF＝S△AFC，
即2a＋b＝S△BOC＋b，则S△BOC＝2a，∴S△BOF＝S△FOC＝a，
∴2a＋a＝2b＋a，即a＝b，∴S△ABC＝6a＝12.故答案为12.
图1
(2)①如图2，延长AD，EB交于点H，连接CH，交AB的延长线于点F，则CF为边AB上的高，
②∵A(0,4)，
∴AO＝4，
∴AB·CF＝12，
故答案为2,4,12.
图2(共13张PPT)
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形两锐角互余
1．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为( )
A．40° B．45°
C．50° D．60°
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
1
直角三角形两锐角互余
C
B
3．如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A．25° B．30°
C．35° D．45°
C
4．如图，在△ADC中，∠A＝30°，∠ADC＝110°，BE⊥AC交AC于点E，求∠B的度数．
解：在△ADC中，∠A＝30°，∠ADC＝110°，
∴∠C＝180°－∠A－∠ADC＝40°.
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B＝90°－∠C＝50°.
5．在△ABC中，若∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
6．给定下列条件，其中不能判定该三角形是直角三角形的是( )
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
B．∠A－∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C
2
两锐角互余的三角形是直角三角形
C
C
7．如图，AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则△CEF是________(选填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形．
直角
8．教材P14T2改编如图，点E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB于点D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．
理由如下：因为ED⊥AB，所以∠ADE＝90°，所以∠1＋∠A＝90°.
又因为∠1＝∠2，所以∠2＋∠A＝90°，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形．
9．在Rt△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶m∶4，则m的值是( )
A．3 B．4
C．2或6 D．2或4
10．把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行．若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是( )
A．83°
B．57°
C．54°
D．33°
C
B
11．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交AC于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的度数是____________.
20°
12．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，点E是AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE，求证：△ACE是直角三角形．
证明：∵AD是边BC上的高，
∴∠ADC＝90°.
∵∠DCM＝∠MAE，∠CMD＝∠AME，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴△ACE是直角三角形．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为点D，E，∠AFD＝158°，求∠EDF的度数．
解：∵∠AFD＝158°，
∴∠DFC＝180°－∠AFD＝22°.
∵FD⊥BC，
∴∠FDC＝90°，
∴∠DFC＋∠C＝90°.
∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，
∴∠B＋∠BDE＝90°.
∵∠B＝∠C，∴∠BDE＝∠DFC＝22°，
∴∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝68°.
14．新考法【阅读理解】如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
【基础巩固】(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A＝70°，则∠B的度数为__________.
【尝试应用】(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，E为DA的延长线上一点，∠DAC＝2∠E，写出图中所有“准互余三角形”，并说明理由．
10°
解：(2)△ABD，△EDC是“准互余三角形”．理由如下：
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∴∠B＋2∠BAD＝90°，∴△ABD是“准互余三角形”．
∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＋∠DAC＝90°.
∵∠DAC＝2∠E，∴∠ADC＋2∠E＝90°，
∴△EDC为“准互余三角形”．(共20张PPT)
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11．2.2 三角形的外角
1．如图，下列各角是△ABC的外角的是( )
A．∠1 B．∠2
C．∠3 D．∠4
1
三角形外角的性质
C
2．如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠ACD的度数为( )
A．110° B．100°
C．90° D．80°
B
3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是( )
A．80° B．90°
C．100° D．110°
C
4．(2023·杭州)如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝__________.
90°
5．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AE平分△ABC的外角∠CAD.求证：AE∥BC.
证明：∵∠B＝∠C，
∴∠CAD＝∠B＋∠C＝2∠C.
∵AE平分∠CAD，
∴AE∥BC.
6．某零件的平面图如图所示，其中∠B＝∠C＝30°，∠A＝40°，求∠ADC的度数．
解：【解法一】如图，延长AD交BC于点E.
∵∠B＝30°，∠A＝40°，∴∠DEC＝70°.
∵∠C＝30°，
∴∠ADC＝70°＋30°＝100°.
【解法二】如图，连接BD并延长至点E.
根据三角形外角的性质，可得∠ADE＝∠A＋∠ABD，∠CDE＝∠C＋∠CBD，
∴∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠A＋∠C＋∠ABD＋∠CBD＝∠A＋∠C＋∠ABC＝100°.
7．关于三角形的外角和，下列说法中正确的是( )
A．三角形的外角和等于180°
B．三角形的外角和就是所有外角的和
C．三角形的外角和等于所有外角的和的一半
D．以上都不对
8．如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是( )
A．20° B．30°
C．40° D．50°
2
三角形的外角和
C
C
9．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A的度数是( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
D
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，则∠AEC的度数是( )
A．110° B．115°
C．120° D．125°
11．已知三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数是____________.
B
100°
12．(2023·徐州)如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝__________.
55°
13．新情境如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝140°，则图中∠D应________(选填“增加”或“减少”)__________.
增加
20°
解：∵∠1＝∠3＋∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，
∴∠3＝20°.
∴∠2＝10°，
∴∠ABC＝180°－100°－10°＝70°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝35°.
∵∠4＝∠2＋∠ABE，
∴∠4＝45°.
15．教材P17T11改编如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数．
(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E.
解：(1)∵∠B＝35°，∠E＝20°，
∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝110°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝75°.
(2)证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE.
∵∠DCE＝∠B＋∠E，∴∠ACE＝∠B＋∠E.
∵∠BAC＝∠ACE＋∠E，
∴∠BAC＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E.
16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在边BC上，点E在边AC上，且∠ADE＝∠AED.
(1)当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数．
(2)当点D在边BC上(点B，C除外)运动时，写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
解：(1)∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝105°.
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C＋∠CDE.
∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∴∠ADC－∠CDE＝∠C＋∠CDE，
即105°－∠CDE＝45°＋∠CDE，
解得∠CDE＝30°.
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋x.
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C＋∠CDE.
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADC－∠CDE＝∠C＋∠CDE，
