(共6张PPT)
微专题1 三角形的三边关系
重点强化一 利用三边关系判断能否组成三角形
1．已知下列四组三条线段的长度比，则能组成三角形的是( )
A．1∶2∶3 B．1∶1∶2
C．1∶3∶4 D．2∶3∶4
2．长度分别为8,6,6,4的四根木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边的长为( )
A．8 B．10
C．12 D．14
D
B
重点强化二 利用三边关系求边长、周长或取值范围
A．5 B．6
C．7 D．8
4．三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是( )
A．6
C．11A
D
5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则边AB的长的取值范围是( )
A．1 cmB．5 cmC．4 cmD．4 cm6．△ABC的两边长分别是2和5，且第三边的长为奇数，则第三边的长为______.
7．若三角形的三边长分别为4,1－2a,7，则a的取值范围是__________________.
B
5
－58．【变式体验】(人教八数上P8习题11.1T7)在△ABC中，AB＝2 cm，AC＝9 cm.
(1)求第三边BC的长的取值范围．
(2)若第三边BC的长是偶数，求BC的长．
(3)若△ABC是等腰三角形，求其周长．
解：(1)7 cm(2)BC的长是8 cm或10 cm.
(3)若△ABC是等腰三角形，则BC＝9 cm，
∴△ABC的周长为2＋9＋9＝20(cm)．
重点强化三 利用三边关系化简
9．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，化简：|a＋b－c|－2|a－b－c|＋|a＋b＋c|.
解：∵△ABC的三边长分别为a，b，c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
则a＋b－c＞0，a－b－c＜0，a＋b＋c＞0，
∴|a＋b－c|－2|a－b－c|＋|a＋b＋c|＝a＋b－c＋2a－2b－2c＋a＋b＋c＝4a－2c.(共9张PPT)
微专题13 轴对称作图
1．如图，△ABC在8×8的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形．
(1)画出△ABC关于AB的轴对称图形，使点C的对称点为点D，连接CD.
(2)直接写出△ADC的面积为______.
6
解：(1)如图所示，△ABD与△ABC关于AB成轴对称，点D即为所求．
故答案为6.
2．已知△ABC在如图所示的方格中．
(1)作出△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1.
(2)写出△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
(3)在图上标出C1平移的方向并测出平移的距离(精确到0.1 cm)．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)由图可得，先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度可以得到△A2B2C2.
(3)如图所示，C1C2即为平移方向，测量距离略．
3．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为A(－2,1)，B(－4,5)，C(－5,2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1.
(2)写出点A1，B1，C1 的坐标．
解：(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求．
(2)点A1，B1，C1 的坐标分别为A1(2,1)，B1(4,5)，C1(5,2)．
4．若点C(－2，－3)关于x轴的对称点为点A，关于y轴的对称点为点B.
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并求△ABC的面积．
(2)将△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.
解：(1)如图所示，△ABC即为所求，
(2)如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1，B1，C1的坐标分别为A1(2，5)，B1(6，－1)，C1(2，－1)．(共12张PPT)
微专题18 作平行线构造等边三角形
基本模型：如图，若DE∥BC，△ABC是等边三角形，则△ADE也是等边三角形．
1．如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，点E是边BC的延长线上一点，DE交AC于点F，DF＝EF.求证：AD＝CE.
证明：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，构造等边三角形ADG.
证△CEF≌△GDF(ASA)，
∴CE＝GD＝AD.
2．【变式体验】(人教八数上P93复习题13T13)如图，△ABC是等边三角形，点D是边AC上一点，延长BC至点E，使CE＝AD.求证：DB＝DE.
证明：方法一：如图1，过点D作DF∥BC交AB于点F.
证△BDF≌△DEC，
∴∠FDB＝∠CED.
∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠DBE＝∠CED，
∴DB＝DE.
方法二：如图2，过点D作DG∥AB交BC于点G，先由△DCG是等边三角形得CD＝CG.
又∵AC＝BC，∴AD＝BG，再证△DBG≌△DEC即可．
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且△ADE是等边三角形，CE＝AB.求证：CB＝CD.
证明：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F.
∵△ADE为等边三角形，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠DEC＝∠CFB＝120°，
AB＝AF＝BF.
∵CE＝AB，
∴AF＝BF＝AB＝CE，∴DE＝AE＝CF，
∴△FCB≌△EDC(SAS)，∴CB＝CD.
4．如图，等边三角形ABC的边长为1，过AB上一点P，作PE⊥AC于点E，点Q为BC的延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，求DE的长．
解：如图，过点P作PF∥BC交边AC于点F.
∵PF∥BC，
△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，
△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF.
∵PE⊥AC，∴AE＝EF.
∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ.(共14张PPT)
微专题3 常用角度转换模型
【模型1】 蝶形(8字形)
1．如图，∠ABC＝∠DBE＝90°，DE，AC相交于点F，∠ABD＝25°，∠C＝∠E，求∠EFC的度数．
解：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ABD＝25°.
∵∠C＝∠E，
∴∠EFC＝∠CBE＝25°.
2．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
解：如图，连接BE，则∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠AED＝∠ABE＋∠AEB＋∠A＝180°.
【模型2】 燕尾形
3．如图，求证：∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC.
证明：如图，延长BD交AC于点E.
∵∠A＋∠B＝∠BEC，
∠BDC＝∠BEC＋∠C，
∴∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC.
4．如图，PB平分∠ABD，PC平分∠ACD，∠A＝80°，∠D＝160°，求∠P的度数．
解：设∠ABP＝∠DBP＝x，
∠ACP＝∠DCP＝y，
则∠P＝x＋y＋80°，
∠D＝x＋y＋∠P＝160°，
∴2x＋2y＋80°＝160°，
∴x＋y＝40°，
∴∠P＝40°＋80°＝120°.
【模型3】 余角模型
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.求证：
(1)∠1＝∠A.
(2)∠2＝∠B.
证明：(1)∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝∠ACB＝90°，
∴∠1＋∠B＝∠A＋∠B＝90°，
∴∠1＝∠A.
(2)∵∠CDA＝∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠2＝∠A＋∠B＝90°，
∴∠2＝∠B.
6．如图，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点F.求证：
(1)∠A＝∠C.
(2)∠AFE＝∠B.
证明：(1)∵AD⊥BC，
CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴∠A＋∠B＝∠C＋∠B＝90°，
∴∠A＝∠C.
(2)∵∠AEF＝∠ADB＝90°，
∴∠AFE＋∠A＝∠B＋∠A＝90°，
∴∠AFE＝∠B.
【模型4】 补角模型
7．如图，∠B＋∠D＝180°.求证：∠DCE＝∠A.
证明：∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，
∠B＋∠D＝180°，
∴∠A＋∠BCD＝180°.
又∵∠DCE＋∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A.
【模型5】 一线三等角模型
8．如图，∠ADE＝∠B＝∠C.求证：
(1)∠CDE＝∠A.
(2)∠ADB＝∠E.
证明：(1)∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠A＋∠B，
∠ADE＝∠B，
∴∠CDE＝∠A.
(2)∵∠BDE＝∠ADB＋∠ADE＝∠E＋∠C，
∠ADE＝∠C，
∴∠ADB＝∠E.
9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，∠CDE＝∠BAD，求∠ADE的度数．
解：∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，
∠CDE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠B＝45°.(共5张PPT)
微专题24 因式分解
重点强化一 用提公因式法分解因式
1．分解因式：
(1)7a2－21a.
解：7a(a－3)．
(2)a2b＋ab2.
解：原式＝ab(a＋b)．
(3)6q(p＋q)－4p(p＋q)．
解：2(p＋q)(3q－2p)．
(4)(3a＋b)(2a－3b)＋4a(b＋3a)．
解：原式＝(3a＋b)(2a－3b＋4a)
＝(3a＋b)(6a－3b)
＝3(3a＋b)(2a－b)．
重点强化二 用平方差公式分解因式
2．分解因式：
(1)－x2＋4y2
解：原式＝(2y－x)(2y＋x)．
(3)x4－81.
解：(x2＋9)(x＋3)(x－3)．
(4)(2x＋y)2－(x＋2y)2.
解：原式＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)＝3(x＋y)(x－y)．
重点强化三 用完全平方公式分解因式
3．分解因式：
(1)4a2－4a＋1.
解：(2a－1)2.
(2)(x－1)(x－3)＋1.
解：原式＝x2－4x＋3＋1＝x2－4x＋4＝(x－2)2.
(3)(a＋b)2－2(a＋b)＋1.
解：(a＋b－1)2.
(4)(a＋b)2＋4(a＋b)＋4.
解：(a＋b＋2)2.
重点强化四 利用因式分解化简求值
4．已知a＋b＝5，ab＝3，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：∵a＋b＝5，ab＝3，
∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)
＝ab(a＋b)2＝3×52＝75.(共11张PPT)
微专题15 巧用“三线合一”解题
方法技巧一 遇等腰→作高
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC的外部，∠ABD＝∠C，∠D＝90°.求证：BC＝2BD.
解：如图，过A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，∴BE＝CE，∠ABC＝∠ACB，∠AEB＝∠AEC＝90°.
∵∠ABD＝∠C，∠D＝90°，
∴∠D＝∠AEB＝90°，∠ABD＝∠ABE.
∵AB＝AB，
∴△ABD≌△ABE，
∴BD＝BE，
∴BC＝2BD.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB交BA的延长线于点D，试探究∠BAC与∠BCD之间的数量关系．
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
则∠BAE＝∠CAE.
∵∠BAE＋∠B＝∠BCD＋∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠BCD，
∴∠BAC＝2∠BCD.
3．如图，点D，E分别在CA的延长线和AB上，AB＝AC，DE⊥BC.求证：AD＝AE.
证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F，延长DE交BC于点G.
∵AB＝AC，
∴∠BAF＝∠CAF.
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴DE∥AF，
∴∠BAF＝∠AED，∠CAF＝∠D，
∴∠AED＝∠D，∴AD＝AE.
方法技巧二 遇底边中点→连接底边上的中线
4．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为边AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，AE＝CF，求∠OEF的度数．
解：如图，连接OC，OF.
证△AEO≌△CFO(SAS)，
△OEF为等腰直角三角形，
∴∠OEF＝45°.
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF.
(2)若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数．
解：(1)证明：连接AD.
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
(2)∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°.
∵∠BDE＝55°，∴∠B＝35°.
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝35°，
∴∠BAC＝110°.(共18张PPT)
微专题9 角的平分线模型探究
【模型一】 作垂线
(一)已知角的平分线上的点向角的两边作垂线
基本图形1：如图，若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB；
若PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB，则∠1＝∠2.
1．如图，BE是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点D，S△ABC＝30 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，求DE的长．
解：DE＝2 cm.
(二)要证角的平分线向角的两边作垂线
2．如图，在△ABC中，BD＝CD，∠ABD＝∠ACD.求证：AD平分∠BAC.
证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，
则∠BMD＝∠CND＝90°.
在△BDM和△CDN中，
∴△BDM≌△CDN(AAS)，
∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC.
3．如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.求证：OP平分∠AOB.
证明：如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为E，F.
∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBF＝180°，
∴∠1＝∠PBF.
在△PAE和△PBF中，
∴△PAE≌△PBF(AAS)，
∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB.
【模型二】 截长补短
基本图形2：如图，若∠1＝∠2，OA＝OB，则△OAP≌ △OBP.
4．如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，连接EC.求证：BC＝AB＋CE.
证明：如图，在BC上截取BM＝BA，连接DM.
证△BAD≌△BMD(SAS)，∴AD＝MD＝DE.
再证△CED≌△CMD(SAS)，
∴CE＝CM，∴BC＝BM＋CM＝AB＋CE.
【模型三】 角平分线＋垂线段→延长法
基本图形3：如图，若∠1＝∠2，AC⊥OC，延长AC交OB于点B，则△OCA≌△OCB.
5．如图，在△ABC中，AB＜BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC.若△ABC的面积为4，求△BPC的面积．
解：如图，延长AP交BC于点D.
证△ABP≌△DBP(ASA)，
∴AP＝DP，
∴S△ABP＝S△DBP，S△APC＝S△DPC，
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，垂足为E.求证：∠ACE＝∠B＋∠ECD.
证明：如图，延长CE交AB于点F.
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠AEF＝90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE.
∴△FAE≌△CAE(ASA)，
∴∠AFC＝∠ACE.
∵∠AFC＝∠B＋∠ECD，
∴∠ACE＝∠B＋∠ECD.
7．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2AE.
证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F.
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°.
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABE＝∠FBE.
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AE＝FE，∴AF＝2AE.
∵∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴∠OAF＋∠AFO＝90°，
∠OBD＋∠AFO＝90°.
∴∠OAF＝∠OBD.
又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，
∴△AOF≌△BOD(ASA)，
∴AF＝BD，
∴BD＝2AE.(共14张PPT)
微专题6 证明三角形全等的基本思路
重点强化一 已知两边对应相等
方法1 寻找第三边对应相等，用“SSS”
1．如图，点E是AC上一点，BC＝CE，BC＋AE＝DE，AB＝CD，求证：△ABC≌△DCE.
证明：∵BC＝CE，BC＋AE＝DE，
∴CE＋AE＝DE，
∴AC＝DE.
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE(SSS).
方法2 寻找夹角对应相等，用“SAS”
2．【变式体验】(人教八数上P37练习T1)如图，点C是线段AB的中点，CD＝BE，CD∥BE.
求证：∠D＝∠E.
证明：证△ACD≌△CBE(SAS)，
∴∠D＝∠E.
重点强化二 已知两角对应相等
方法1 寻找夹边对应相等，用“ASA”
3．如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∵BF＝EC，
∴BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
方法2 寻找任一对应角的对边对应相等，用“AAS”
4．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，BE交AD于点F，EF＝BF，AD＝10，求DF的长．
解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠FED，
∠BAF＝∠EDF.
又∵EF＝BF，
∴△ABF≌△DEF(AAS)，
重点强化三 已知一边一角对应相等
方法1 有一边和该边的对角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E，AD＝3，DE＝4，求BC的长．
解：证△ABD≌△ECB(AAS)，
∴AD＝BE，
∴BC＝BD＝BE＋DE＝AD＋DE＝3＋4＝7.
方法2 有一边和该边的邻角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”
6．【变式体验】(人教八数上P39练习T2)如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C.求证：AF＝DE.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，
即BF＝CE.
证△ABF≌△DCE(SAS)，
∴AF＝DE.
方法3 有一边和该边的邻角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”
7．如图，点D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE.
证明：∵DE∥AB，
∴∠CAB＝∠EDA.
在△ABC和△DAE中，
∴△ABC≌△DAE(ASA)，
∴BC＝AE.(共7张PPT)
微专题22 整式的除法
重点强化一 同底数幂相除
1．计算：
(1)x10÷x4.
解：x6.
(2)(－xy)6÷(－xy)2÷(－xy)3.
解：－xy.
2．已知am＝2，an＝4，ak＝32(a≠0)．
(1)求a3m＋2n－k的值．
(2)求k－3m－n的值．
解：(1)∵a3m＝23，a2n＝42＝24，ak＝32＝25，
∴a3m＋2n－k＝a3m·a2n÷ak
＝23·24÷25＝23＋4－5
＝22＝4.
(2)∵ak－3m－n＝25÷23÷22＝20＝1＝a0，
∴k－3m－n＝0，
即k－3m－n的值是0.
重点强化二 单项式的除法
3．计算：
(3)3a·(－2b)2÷6ab.
解：2b.
重点强化三 多项式除以单项式
4．计算：
(1)(9x2－12x3)÷9x2.
(2)(4a3b－6a2b2＋12ab3)÷2ab.
解：(4a3b－6a2b2＋12ab3)÷2ab
＝2a2－3ab＋6b2.
重点强化四 化简求值
5．先化简，再求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2 023，y＝2 024.
解：原式＝x－y＝－1.
重点强化五 整体思想
6．已知2a－8b－5＝0，求[b(a－3b)－a(3a＋2b)＋(3a－b)(2a－3b)]÷(－3a)的值．(共13张PPT)
微专题5 数学思想与求角
【数学思想1】 整体思想
【方法指导】根据问题的结构特点，把相互关联的量看成一个整体，从宏观上寻求解决问题的思想方法．
1．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＋∠B＝140°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内．求∠1＋∠2的度数．
解：∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－140°＝40°，
∴∠CMN＋∠CNM＝140°，
∴∠DMC＋∠DNC＝2×140°＝280°，
∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°.
【数学思想2】 分类讨论思想
【方法指导】当题目问题或条件指待不明，存在不同情况时，则需要分类讨论，特别是有关等腰三角形或三角形的高的问题．
2．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是高，∠ABD＝20°，求∠ACB的度数．
解：∠ACB＝55°或35°.
【数学思想3】 方程思想
【方法指导】当问题中的角度关系较为复杂时，可通过挖掘等量关系，设未知数，建立方程来解决．
3．如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，且BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数．
解：在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，
故设∠A＝3x，∠ABC＝4x，∠ACB＝5x.
∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠A＝3x＝45°.
∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
∴在△ABD中，∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝180°－90°－45°＝45°，
∴∠BHC＝∠ABD＋∠BEC＝45°＋90°＝135°.
4．如图，在△ABC中，点D是边AC上一点，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠DBA＝∠A.
(1)求证：BD平分∠ABC.
(2)求∠A的度数．
解：(1)证明：设∠DBA＝∠A＝x，
则∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠CBD＝x＝∠DBA，
即BD平分∠ABC.
(2)由(1)知∠A＝x，
∠ABC＝∠C＝2x.
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，∴∠A＝36°.
【数学思想4】 转化思想
【方法指导】转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决．
一、借助平行转化
5．如图，AB∥ED，∠A＝20°，∠ACD＝140°，求∠D的度数．
解：如图，延长DC交AB于点F.
∵AB∥ED，
∴∠D＝∠BFC＝∠A＋∠ACF＝20°＋(180°－140°)＝60°.
二、多边形转化为三角形或四边形
6．(1)如图1，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
(2)如图2，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
解：(1)∵∠EGH＝∠A＋∠D，
∠GHC＝∠EGH＋∠E，
∴∠GHC＝∠A＋∠D＋∠E.
在四边形BCHF中，
∵∠B＋∠C＋∠GHC＋∠F＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
(2)如图2，连接CD.
∵∠F＋∠G＝180°－∠FHG，∠1＋∠2＝180°－∠CHD，∠FHG＝∠CHD，
∴∠F＋∠G＝∠1＋∠2.
在五边形ABCDE中，
∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°，
∴∠A＋∠B＋∠BCG＋∠1＋∠2＋∠FDE＋∠E＝540°，
∴∠A＋∠B＋∠BCG＋∠FDE＋∠E＋∠F＋∠G＝540°，
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°.(共7张PPT)
微专题12 一线三等角模型(二) 一般情形
基本模型：如图1，∠D＝∠BAC＝∠E，AB＝AC，则△ADB ≌△CEA；
如图2，∠BAC＝∠BDF＝∠CEF，AB＝AC，则△ADB≌ △CEA.
1．如图，点E，A，D在同一条直线上，AB＝AC，∠AEC＝∠ADB＝∠BAC＝60°.求证：DE＝DB＋CE.
证明：证△ADB≌△CEA(AAS)．
∴DB＝EA，AD＝CE.
∵DE＝EA＋AD，
∴DE＝DB＋CE.
2．如图，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E为AD上两点，∠ADB＝∠AEC＝120°，探究BD，CE与DE之间的数量关系.
解：CE＝BD＋DE.理由如下：
在△ABD中，∠ADB＝120°，
∴∠ABD＋∠BAD＝180°－120°＝60°.
∵∠BAD＋∠CAE＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝120°，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴AD＝AE＋DE＝BD＋DE，
即CE＝BD＋DE.
3．如图，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E为AD上两点，∠ADB＝∠AEC＝120°，BD＝2，CE＝4.5，求DE的长．
解：证△ABD≌△CAE(AAS)，
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD－AE＝CE－BD＝4．5－2＝2.5.
解：证△AEC≌△BDA(AAS)，(共12张PPT)
微专题28 分式方程的应用
重点强化一 工程问题
1．某地新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．原来规定修好这条路需要多长时间？
解：设原来规定x个月修好这条路，则甲工程队单独施工需x个月修好这条路，乙工程队单独施工需(x＋6)个月修好这条路．
整理，得2x－24＝0，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意．
答：原来规定修好这条路需要12个月．
重点强化二 行程问题
2．某学校组织学生去9 km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度和公共汽车的速度．
解：设自行车的速度为x km/h，则公共汽车的速度为3x km/h.
经检验，x＝12是原分式方程的解，
∴3x＝36.
答：自行车的速度是12 km/h，公共汽车的速度是 36 km/h.
3．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6 m．在绿灯亮时，小明共用11 s通过AC段，其中通过BC段时的速度是通过AB段时速度的1.2倍，求小明通过AB段时的速度．
解：设小明通过AB段时的速度是x m/s.
解得x＝1.
经检验，x＝1是原分式方程的解．
答：小明通过AB段时的速度是1 m/s.
重点强化三 销售问题
4．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A，B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价是多少？
解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为(x＋13)元．
经检验，x＝117是原分式方程的解，且符合题意．
答：A商家每张餐桌的售价是117元．
5．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲种型号手机二月份售价比一月份每台降价500元．如果卖出相同数量的甲种型号手机，那么一月份的销售额为9万元，二月份的销售额只有8万元．
(1)一月份的甲种型号手机每台售价为多少元？
(2)为了提高利润，该店计划三月份购进乙种型号手机销售，已知甲种型号手机每台进价为3 500元，乙种型号手机每台进价为4 000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.5万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
解：(1)设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型号手机每台售价为(x－500)元．
解得x＝4 500，
经检验，x＝4 500是原分式方程的解，且符合题意．
答：一月份甲型号手机每台售价为4 500元．
(2)设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机(20－m)台．
根据题意，得
解得8≤m≤10.
∵m为正整数，
∴m＝8或9或10.
∴共有3种进货方案：甲型号8台，乙型号12台；甲型号9台，乙型号11台；甲型号10台，乙型号10台．
重点强化四 方案问题
6．在“双十二”期间，A，B两个超市开展促销活动，活动方式如下：
A超市：购物金额打九折后，若超过2 000元再优惠300元；
B超市：购物金额打八折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在A，B两个超市的标价相同．根据两个超市的活动方式：
(1)若一次性付款4 200元购买这种篮球，则在B超市购买的数量比在A超市购买的数量多5个．求这种篮球的标价．
(2)学校计划购买50个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少(直接写出购买方案)．
解：(1)设这种篮球的标价为x元．
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意．
答：这种篮球的标价为50元．
(2)去A超市买45个，B超市买5个.(共18张PPT)
微专题16 构造等腰三角形
方法技巧一 作平行线构造等腰三角形
(一)利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形
证明：如图，连接AD.
则AD⊥BC，易证DE＝AE，
再证BE＝DE，
(二)作腰的平行线构造等腰三角形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边AB上，点F在AC的延长线上，且BE＝CF，EF交BC于点N，EM⊥BC于点M.
(1)求证：EN＝NF.
(2)若∠B＝45°，求证：BN＝CN＋2EM.
证明：(1)如图，过点E作EG∥AC交BC于点G.
证△ENG≌△FNC(AAS)，
∴EN＝NF.
(2)证BM＝MG，GN＝CN，
可得BN＝CN＋2BM.
又∵∠B＝45°，∴BM＝EM，
∴BN＝CN＋2EM.
(三)作底边的平行线构造等腰三角形
3．如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在边AC的延长线上，点E在边BC上，且CD＝CE.求证：DE⊥AB.
证明：如图，过点D作DM∥AB交BC的延长线于点M.
易证∠CDM＋∠CDE＝∠MDE＝90°，
∴DE⊥DM.
又∵DM∥AB，
∴DE⊥AB.
(四)中线倍长得平行线构造等腰三角形
4．如图，在△ABC中，AD为中线，点E为边AB上一点，AD，CE相交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF.
证明：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG.
证△ABD≌△GCD(SAS)，
∴AB＝CG，
再证∠G＝∠EAF＝∠EFA＝∠GFC，
∴CG＝CF，
∴AB＝CF.
方法技巧二 利用倍半角关系构造等腰三角形
(一)作二倍角的平分线构造等腰三角形
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，AC＝2BC.求证：∠B＝90°.
证明：如图，作∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE⊥ AC于点E.
证CD＝AD，
AE＝CE＝BC，△BCD≌△ECD即可．
(二)延长二倍角的一边构造等腰三角形
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交边AB于点D.求证：AC＋AD＝BC.
证明：如图，延长CA至点E，使EA＝AD，
连接DE.
证∠E＝∠ADE＝∠B，
再证△CDE≌△CDB(AAS)即可．
方法技巧三 截长补短法构造等腰三角形
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
解：方法一(截长法)：如图，在CD上取点E，使DE＝BD，连接AE.
则CE＝AB＝AE，
∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.
∵∠BAC＝135°，∴180°－3∠C＝135°，
∴∠C＝15°；
方法二(补短法)：如图，延长DB至点F，
使BF＝AB.
则AB＋BD＝DF＝CD，
∴180°－3∠C＝135°，∴∠C＝15°.
证明：如图，延长BC至点D，使CD＝AC.
可证∠B＝∠D，
AB＝AD.
∵AB＋AD>BC＋CD，
∴2AB>BC＋AC，(共7张PPT)
微专题11 一线三等角模型(一) 三垂直图形
基本模型：如图1，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，B在同一条直线上，DC＝CE，则△ADC≌△BCE；
如图2，∠A＝∠EBC＝∠DCE＝90°，点A，C，B在同一条直线上，CD＝CE，则△ADC≌△BCE.
1．如图，C(0,2)，A(3,0)，AB⊥AC，且AB＝AC，求点B的坐标．
解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E.
证△AOC≌△BEA(AAS)，
∴OA＝BE＝3，OC＝AE＝2，
∴点B的坐标是(5,3)．
2．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝3，BC＝5，过点A作AE⊥AB，且AE＝AB，连接DE，求△ADE的面积．
解：如图，过点B作BM⊥AD交DA的延长线于点M，过点E作EN⊥AD交AD的延长线于点N，
∴∠AMB＝∠ENA＝90°.
∵AE⊥AB，∴∠BAM＋∠EAN＝90°.
又∵∠BAM＋∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠EAN.
又∵AB＝AE，∴△ABM≌△EAN(AAS)，
∴AM＝EN.
∵AD＝3，DM＝BC＝5，
∴AM＝5－3＝2，∴EN＝2，
3．如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
解：△ADC与△CEB全等．理由如下：
根据题意，可知AC＝CB，
∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°.
在Rt△ADC中，∠CAD＋∠ACD＝90°.
又∵∠ACD＋∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE.
∴△ADC≌△CEB(AAS)．(共7张PPT)
微专题10 半倍角模型——截长补短法
基本图形一 半45°倍90°
1．如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，过点C作NC⊥AC交AN于点N，过点B作BM⊥AB交AM于点M，连接MN.
(1)如图1，当∠MAN在∠BAC内部时．求证：BM＋CN＝MN.
(2)如图2，当AM，AN在AC的两侧时，直接写出BM，CN，MN之间的数量关系．
解：(1)如图，延长MB至点G，使BG＝CN，连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS)，
∴AG＝AN，∠BAG＝∠CAN.
∵∠GAM＝∠BAG＋∠BAM＝∠CAN＋∠BAM＝45°＝∠MAN，证△AMN≌△AMG(SAS)，
∴MN＝MG＝BM＋BG＝BM＋CN.
(2)MN＝BM－CN.
基本图形二 半60°倍120°
2．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E为AB上一点，∠DCE＝60°，∠DAE＝120°.求证：DE－AD＝BE.
证明：延长EB至点F，使BF＝AD，连接CF，易证△CBF≌ △CAD(SAS)，
△CED≌△CEF(SAS)，
∴DE－AD＝FE－BF＝BE.
基本图形三 半α倍2α
解：如图，延长FD至点G，使DG＝BE，连接AG.
证△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，
∠BAE＝∠DAG.
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋
∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.
证△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝GF.
∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF.(共7张PPT)
微专题20 幂的运算法则
重点强化一 正用幂的运算法则
(一)运用法则计算
1．计算：
(1)a2·a5＋a·a3·a3.
解：2a7.
(2)t3·t4·t＋(t2)4＋(2t4)2.
解：6t8.
＝2x4y5.
(4)(－3a2)3＋(－4a3)2.
解：－11a6.
(二)运用法则求值
2．已知8×2m×16m＝213，求m的值．
解：3＋m＋4m＝13，∴m＝2.
3．已知xm－n·x2n＋1＝x11，ym－1·y4－n＝y5，求m，n的值．
重点强化二 逆用幂的运算法则
(一)逆用法则简便计算
4．计算：
(2)0.255×(－4)6.
解：4.
(二)逆用法则求值
5．已知10a＝4,10b＝3.
(1)求102a＋103b的值．
(2)求102a＋3b的值．
解：(1)原式＝(10a)2＋(10b)3＝42＋33＝16＋27＝43.
(2)原式＝102a·103b＝(10a)2·(10b)3＝42×33＝432.
重点强化三 综合运用幂的运算法则
6．已知a＝814，b＝(28)5，c＝647，试比较a，b，c的大小．
解：a＝814＝242，b＝(28)5＝240，c＝647＝(26)7＝242，
∴a＝c>b.(共11张PPT)
微专题7 中点模型——全等构造
方法技巧一 将中点处的线段倍长→构造全等三角形
基本图形1：如图，若OA＝OC，OB＝OD，则△AOB≌ △COD(SAS)．
1．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点．
(1)求证：AB＋AC＞2AD.
(2)若AB＝5，AC＝7，则AD的取值范围为_____________.
1解：(1)如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
证△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC＝BE.
∵AB＋BE>AE，
∴AB＋AC>2AD.
(2)∵BE－AB＜AE＜BE＋AB，
∴7－5＜2AD＜7＋5，∴1＜AD＜6.
2．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证：EB＋CF＞EF.
证明：如图，延长FD至点N，使DN＝DF，连接BN，EN.
易得△CDF≌△BDN(SAS)，
∴CF＝BN.
在△BEN中，由三角形的三边关系，得EB＋BN＞EN，
∴EB＋CF＞EN.
∵DE⊥DF，DN＝DF，∴EF＝EN，
∴EB＋CF＞EF.
方法技巧二 过线段的两端点向中点处的线段作垂线→构造全等三角形
基本图形2：如图，若OA＝OB，BC⊥CD，AD⊥CD，则△AOD≌△BOC(AAS)．
3．如图，A(－2,1)，C(0,2)，且点C为线段AB的中点，求点B的坐标．
解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E.
证△ACD≌△BCE(AAS)，
∴AD＝BE＝2，CD＝EC＝1，
∴点B的坐标是(2,3)．
4．如图，∠C＝90°，BE⊥AB，且BE＝AB，BD⊥BC，且BD＝BC，CB的延长线交ED于点F.
(1)求证：DF＝EF.
解：(1)证明：如图，过点E作EM⊥CF交CF的延长线于点M.
先证△EMB≌△BCA(AAS)，
∴EM＝BC＝BD，
再证△DBF≌△EMF(AAS)，
∴DF＝EF.(共5张PPT)
微专题23 乘法公式探究
1．【变式体验】(人教八数上P112习题14.2T7)
已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝19.
2．【变式体验】(人教八数上P112习题14.2T7)
已知a＋b＝1，ab＝－3，求(a－b)2的值．
解：(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝13.
3．【变式体验】(人教八数上P112习题14.2T7)
已知a－b＝5，ab＝1，求a2＋b2与(a＋b)2的值．
解：a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝27，
(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝29.
5．已知a－b＝1，a2＋b2＝4，求ab与(a＋b)2的值．
(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝7.
6．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，求m2＋n2与mn的值．
7．已知实数m，n满足m＋n＝6，mn＝－3.
(1)求(m－2)(n－2)的值．
(2)求m2＋n2的值．
解：(1)∵m＋n＝6，mn＝－3，
∴(m－2)(n－2)＝mn－2m－2n＋4＝mn－2(m＋n)＋4＝－3－2×6＋4＝－11.
(2)m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝62－2×(－3)＝36＋6＝42.(共7张PPT)
微专题8 线段和差处理——等量代换法
方法技巧：通过全等得到等线段，等量代换，将不在同一条直线上的几条线段转化到一条直线上来解决问题．
1．如图，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，AB＝AC，AB⊥AC.求证：DE＝BD＋CE.
证明：证△ABD≌△CAE(AAS)，
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC与∠ACB的平分线BD，CE交于点I.求证：BC＝BE＋CD.
证明：如图，作∠BIC的平分线IF交BC于点F.可求得∠BIC＝120°，
∴∠BIF＝∠BIE＝60°.
证△BIE≌△BIF(ASA)，
∴BE＝BF，同理CD＝CF，
∴BF＋CF＝BE＋CD，
∴BC＝BE＋CD.
3．如图，AD为△ABC的中线，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F.求证：
(1)DE＝DF.
(2)AE＋AF＝2AD.
证明：(1)证△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
(2)AE＋AF＝AD＋DE＋AD－DF＝2AD.
4．如图，点F，E分别是△ABC的中线CD及其延长线上的点，AE∥BF.求证：
(1)AE＝BF.
(2)CE－CF＝2DE.
证明：(1)∵CD是边AB上的中线，
∴AD＝BD.
∵AE∥BF，
∴∠EAD＝∠FBD.
∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴AE＝BF.
(2)由(1)可得△ADE≌△BDF，
∴DE＝DF，
∴EF＝DE＋DF＝DE＋DE＝2DE.
∵EF＝CE－CF，∴CE－CF＝2DE.(共27张PPT)
微专题4 角平分线模型
【模型1】 三角形两内角平分线夹角模型
证明：∵PB平分∠ABC，
PC平分∠ACB，
2．在△ABC中，∠A＝60°.
(1)如图1，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数是____________.
(2)如图2，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，则∠BO1C的度数是__________，∠BO2C的度数是__________.
(3)如图3,∠ABC,∠ACB的n等分线交于点O1,O2,…,On－1，
则∠BO1C的度数是___________________，∠BOn－1C的度数
是______________.(均用含n的代数式表示)
120°
100°
140°
【模型2】 三角形两外角平分线夹角模型
证明：∵点P是△ABC的两条外角平分线的交点．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B为y轴上一点，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度数．
【模型3】 三角形内角平分线与外角平分线夹角模型
5．如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B为y轴上一点，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP与DA的延长线交于点P，求∠P的度数．
6．问题情境：
如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD.
(1)探索发现：
若∠A＝60°，则∠O的度数为__________；若∠A＝130°，则∠O的度数为__________.
(2)猜想证明：
试判断∠A与∠O的关系，并说明理由．
(3)结论应用：
如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D.若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，则∠D的度数为__________.
30°
65°
25°
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A＋∠ABC.
∵∠OCD是△OBC的外角，
∴∠OCD＝∠O＋∠OBC，
(3)如图2，延长BM，CN交于点A.
∵∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，
∴∠AMN＝180°－∠BMN＝180°－130°＝50°，
∠ANM＝180°－∠CNM＝180°－100°＝80°，
∴∠A＝180°－∠AMN－∠ANM
＝180°－50°－80°＝50°，
∴∠D＝25°.故答案为25°.
【拓展变式】 (设参计算＋整体思想)
7．如图，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P.若∠P＝20°，∠D＝10°，求∠A的度数．
解：设∠ABP＝∠DBP＝x，
∠ACP＝∠DCP＝y.
∵∠A＋x＝∠P＋y，
∴∠A＝20°＋y－x.
∵∠P＋∠D＋x＝y，
∴20°＋10°＋x＝y，
∴y－x＝30°，
∴∠A＝20°＋30°＝50°.
8．如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B为y轴上一点，点M为线段BO上的一个动点，过点M作AB的垂线交x轴于点E，点D为垂足，∠OME与∠OAB的平分线交于点N.
(1)求证：∠OEM＝∠ABO.
(2)求∠ANM的度数．
解：(1)证明：∵∠EDA＝∠EOM＝90°，
∴∠OEM＋∠EAD＝∠OAD＋∠ABO，
∴∠OEM＝∠ABO.
(2)易证∠OME＝∠OAB.
∴∠NMO＝∠OAN，
∴∠ANM＝∠AOM＝90°.
【模型4】 角平分线与高线夹角模型(设参计算＋整体思想)
10．如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠B＝70°，AE平分∠CAB，AD⊥BC于点D，DF⊥AE于点F.
(1)求∠CAE的度数．
(2)求∠ADF的度数．
解：(1)∵∠C＝40°，∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－40°＝70°.
∵AE平分∠CAB，
(2)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－40°＝50°.
由(1)得∠CAE＝35°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝50°－35°＝15°.
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°－∠DAE＝90°－15°＝75°.
【模型5】 蝶形(8字形)＋双角平分线(设参计算＋整体思想)
证明：设∠PCD＝∠PCB＝x，
∠PAD＝∠PAB＝y，
∠P＋y＝x＋∠D①，∠P＋x＝y＋∠B②，
由①＋②得，2∠P＋x＋y＝∠B＋∠D＋x＋y，
∴2∠P＝∠B＋∠D，
【模型6】 燕尾形＋双角平分线(设参计算＋整体思想)
证明：如图，延长BP交AC于点E.设∠PBA＝∠PBD＝x，∠PCA＝∠PCD＝y，
∠BPC＝∠BEC＋y＝x＋∠A＋y，
∴x＋y＝∠BPC－∠A，同理可得
∠D＝x＋y＋∠BPC＝2∠BPC－∠A，
∴2∠BPC＝∠A＋∠D，
13．(1)如图1，∠BAC＝90°，PB，PC分别平分∠ABC，∠ACB，且交于点P，求∠P的度数．
(2)如图2，∠BAC＝∠BDC＝90°，直线BA，CD交于点F，直线BD，AC交于点E，PB，PC分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P，求∠P的度数．
(2)∠P＝90°.(共9张PPT)
微专题25 分式的基本性质
重点强化一 分式的基本性质
1．下列分式从左到右变形错误的是( )
C
C
x＋y
8b
9a2
－24ab2
重点强化二 约分
6．下列各分式约分正确的是( )
C
7．约分：
(a＋3)(a－3)
3(3－a)
－3(a＋3)(a－3)
9．通分：(共7张PPT)
微专题27 分式的求值技巧
方法技巧一 设参代入求值
方法技巧二 化简不定方程(组)
方法技巧三 整体代入求值
方法技巧四 取倒求值(共7张PPT)
微专题26 分式的化简求值
(1)化简T.
(2)若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
二、先通分，再化简求值
三、整体代入求值(共17张PPT)
微专题17 数学思想与等腰三角形中的求角
思想方法一 方程的思想
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数．
解：易证∠ADC＝90°.
设∠CDE＝x，
则∠ADE＝∠AED＝x＋50°，
∴x＋(x＋50°)＝90°，
∴x＝20°，
∴∠CDE＝20°.
2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝DA＝AC，∠BAC＝72°.求∠CAD的度数．
解：设∠B＝∠BAD＝x，
则∠ADC＝∠C＝2x，
∠B＋∠C＝3x.
∵3x＋72°＝180°，
∴x＝36°，
∴∠CAD＝180°－4x＝180°－144°＝36°.
3．在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于点D.
(1)如图1，若AE⊥BC于点E，∠C＝75°，求∠DAE的度数．
(2)如图2，若DF⊥AD交AB于点F，求证：BF＝DF.
解：(1)∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，
∴∠B＝25°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠ADE＝∠BAD＋∠B＝65°.
∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－65°＝25°.
(2)证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－4α.
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝90°－∠BAD＝2α.
∵∠AFD＝∠B＋∠BDF，
∴∠BDF＝α＝∠B，
∴BF＝DF.
思想方法二 整体的思想
4．如图，点E，F分别在△ABC的边AB，AC上，DE＝DB，DC＝DF.若∠A＝α，求∠EDF的度数．
解：设∠B＝x＝∠DEB，
∠C＝∠DFC＝y，
则∠EDF＝180°－[(180°－2x)＋(180°－2y)]
＝2x＋2y－180°.
又∵x＋y＝180°－∠A＝180°－α，
∴∠EDF＝180°－2α.
思想方法三 分类讨论的思想
(一)顶角底角不明时需讨论
5．等腰三角形的一个角比另一个角大30°，求该等腰三角形的顶角的度数．
解：①较大的角为顶角，设这个角为x，
则 x＋2(x－30°)＝180°，x＝80°；
②较大的角为底角，设顶角为y，
则 y＋2(y＋30°)＝180°，y＝40°，
综上所述，该等腰三角形的顶角为80°或40°.
6．等腰三角形的一个角是80°，求它的另外两个角的度数．
则另外两个角分别是50°和50°；
②若底角是80°，则顶角为180°－80°－80°＝20°，
则另外两个角分别是80°和20°，
综上所述，另外两个角是50°和50°或80°和20°.
(二)涉及高时常需讨论
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求该等腰三角形的顶角的度数．
解：如图，
在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD为边AC上的高，由题意知∠ABD＝50°,则∠A＝40°，即等腰三角形的顶角为40°.
以上解法错在哪里？请你写出正确的解答过程．
解：错在当为钝角三角形时没有求解．
①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示．
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°－50°＝40°，
∴该等腰三角形的顶角为40°；
②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示．
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°－50°＝40°.
∵∠BAD＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝140°，
∴该等腰三角形的顶角为140°.
综上所述，该等腰三角形的顶角为40°或140°.
(三)动点引起的分类讨论
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°.
(1)如图，点D在边AB上，点E在边AC上，BD＝CE，BE与CD交于点F.求证：BF＝CF.
(2)若点D是边AB上的一个动点，点E是边AC上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F.当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
在△BCD与△CBE中，
∴△BCD≌△CBE(SAS)，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴BF＝CF.
(2)∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
由(1)知∠FBC＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠ECF.
设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝(67.5°－x)，∠BDF＝∠ECF＋∠BAC＝x＋45°，
∠DFB＝2∠FBC＝2(67.5°－x)＝135°－2x.
∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，
∴x＋45°＝135°－2x，得x＝30°，
即∠FBD＝30°；
②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，
∴x＝135°－2x，得x＝45°，
即∠FBD＝45°；
③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，
∴x＝x＋45°，不符题意，舍去．
综上所述，∠FBD＝30°或45°.(共7张PPT)
微专题19 巧用含30°角的直角三角形解题
方法技巧一 直接利用含30°角的直角三角形的性质求长度或比值
30°
2．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F.
(1)∠D＝__________.
(2)若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为________.
30°
10
方法技巧二 构造含30°角的直角三角形
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，点D为边BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长．
解：如图，连接AD.
在△ABC中，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°.
∵点D为边BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.
在Rt△AED中，AD＝2AE＝4，
在Rt△ADC中，AC＝2AD＝8，
∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.
4．如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AC于点E，AB的垂直平分线FH交边AB于点F，交边AC于点H.
(1)∠A的度数是__________.
解：(2)如图，连接BH，BE.
∵CE＝BE，
15°
方法技巧三 作垂线构造含30°角的直角三角形
5．如图，AD是△ABC的中线，AD⊥AB，∠DAC＝30°，AC＝10，求AB的长．
解：过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
证△ABD≌△ECD(AAS)，(共8张PPT)
微专题21 整式的乘法
重点强化一 利用整式的乘法法则解方程或不等式
1．解方程：(x－3)(x－2)＋18＝(x＋9)(x＋1)．
解：去括号，得x2－5x＋6＋18＝x2＋10x＋9，
移项、合并同类项，得15x＝15，
解得x＝1.
2．解不等式：(3x＋4)(3x－4)＜9(x－2)(x＋3)．
解：去括号，得9x2－16＜9x2＋9x－54，
移项、合并同类项，得9x＞38，
重点强化二 利用整式的乘法法则化简求值
3．若x＋y＝3，(x＋2)(y＋2)＝12.
(1)求xy的值．
(2)求(x＋5)(y＋5)的值．
解：(1)2.
(2)42.
重点强化三 利用整式的乘法法则进行证明
4．求证：对于任意的正整数n，式子n(n＋7)－(n＋3)(n－2)的值必是6的倍数．
证明：∵n(n＋7)－(n＋3)(n－2)＝6n＋6＝6(n＋1)，
n为正整数，
∴原式必是6的倍数．
5．观察下列等式：
(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1；
(x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋27；
(x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋216.
(1)按以上等式的规律填空：
(a＋b)(____________________)＝a3＋b3.
(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立．
(3)利用(1)中的公式化简：(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋2y)(x2－2xy＋4y2)．
a2－ab＋b2
解：(2)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3.
(3)原式＝x3＋y3－x3－8y3＝－7y3.
重点强化四 利用整式的乘法求待定系数的值
6．甲、乙两人共同计算一道整式乘法：(2x＋a)·(3x＋b)，甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2＋11x－10；乙抄漏了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2－9x＋10.请计算出a，b的值各是多少？并写出这道整式乘法的正确结果．
解：∵甲得到的算式：(2x－a)(3x＋b)＝6x2＋(2b－3a)x－ab＝6x2＋11x－10.由对应系数相等，得2b－3a＝11，ab＝10.
乙得到的算式：(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋(2b＋a)x＋ab＝2x2－9x＋10.由对应系数相等，
得2b＋a＝－9，ab＝10.
∴原式＝(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10.(共8张PPT)
微专题2 三角形的高、中线
重点强化一 三角形的高的运用
运用1 与高有关的角度问题
1．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．
解：当高AD在△ABC的内部时(如图1)，∠BAC＝90°.
当高AD在△ABC的外部时(如图2)，∠BAC＝50°.
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°.
运用2 与高有关的面积问题
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC上的高BD＝4，点P为边BC上的一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，求PE＋PF的值．
解：如图，连接AP.
∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，
∵AB＝AC，BD＝4，∴PE＋PF＝4.
重点强化二 三角形的中线的运用
运用1 与中线有关的线段问题
3．如图，BE＝EC，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，求△ABC的周长．
解：∵△AEC的周长为24，
∴AE＋EC＋AC＝24.
∵EB＝EC，
∴AE＋EB＋AC＝AB＋AC＝24.
∵BD＝CD＝8，
∴BC＝16，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.
运用2 与中线有关的面积问题
4．(1)如图1，AD是△ABC的一条中线.求证：S△ABD＝S△ACD.
(2)请运用第(1)题的结论解答下列问题：如图2，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于点G.若S△ABC＝60，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：如图1，过点A作AM⊥BC交BC于点M.
∴S△ABD＝S△ACD.
(2)∵△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△AGF＝S△BGF＝S△BDG＝S△CDG.
∴S阴影＝S△CGE＋S△BGF＝20.(共8张PPT)
微专题14 线段的垂直平分线
重点强化一 线段的垂直平分线的性质
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E，连接BE.若△ABC与△EBC的周长分别是40和24，求AB的长．
解：设AB＝x，BC＝y，
∴x＝16，∴AB＝16.
重点强化二 线段的垂直平分线的判定
2．如图，AD与BC相交于点O，连接AB，CD，BD，点E是BD下方一点，连接OE，BE，DE.若OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD.
证明：在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上．
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.
重点强化三 线段的垂直平分线在实际问题中的应用
3．如图，AO，BO是互相垂直的墙壁，墙脚O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处有一只老鼠正向洞口逃去．若猫以与老鼠同样的速度去追捕，请在图中找出最快能截住老鼠的位置C(保留作图痕迹)．
解：如图，连接AB，作DE垂直平分AB交AB于点D，交OB于点C，连接AC，则AC＝BC，因此点C即为所求．
重点强化四 线段的垂直平分线的综合应用
4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝2∠C，边 BC 的垂直平分线交边AC于点D，交边BC于点E，连接BD，求∠ADB的度数．
解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠C＝180°－60°＝120°.
又∵∠ABC＝2∠C，
∴3∠C＝120°，
∴∠C＝40°.
∵边BC的垂直平分线交边AC于点D，
∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝40°，
∴∠ABD＝40°，
∴∠ADB＝180°－60°－40°＝80°.