(共19张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
1．如图，所保留的尺规作图痕迹是作( )
A．线段的垂直平分线
B．一个半径为定值的圆
C．一条直线的平行线
D．一个角等于已知角
1
利用尺规作线段的垂直平分线
A
2．如图，纸上有一线段AB.
(1)请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
(2)若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法(不作图)．
解：(1)作出线段AB的垂直平分线如图所示．
(2)对折，使得点A与点B重合，则折痕所在的直线即为线段AB的垂直平分线．
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点．已知线段PA＝5，则线段PB的长是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
2
线段垂直平分线的性质
B
4．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线．若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
C
5．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上．若BE＋CE＝20，则AB＝________.
20
6．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D.若△ADB的周长是10 cm，AB＝4 cm，求AC的长．
解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD.
∵△ADB的周长是10 cm，
∴AD＋BD＋AB＝10 cm，
∴AD＋CD＋AB＝10 cm，
∴AC＋AB＝10 cm.
∵AB＝4 cm，∴AC＝6 cm.
7．已知在△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P一定是△ABC( )
A．三条角平分线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条中线的交点
3
线段垂直平分线的判定
B
8．如图，若直线l上存在一点P，满足PA＝PB，则点P是____________________________的交点．
直线l与线段AB的垂直平分线
9．如图，点D是△ABC的边BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，并且DE＝DF，连接AD，EF.求证：AD垂直平分EF.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上．
又∵DE＝DF，
∴点A，D在线段EF的垂直平分线上，
即AD垂直平分EF.
10．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是( )
B
11．如图，点P在线段AB的垂直平分线上，PC⊥PA，PD⊥PB，AC＝BD.求证：点P在线段CD的垂直平分线上．
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB.
∵PC⊥PA，PD⊥PB，
∴∠APC＝∠BPD＝90°.
∴Rt△APC≌Rt△BPD(HL)，
∴PC＝PD，
∴点P在线段CD的垂直平分线上．
12．如图，平面上的四边形ABCD是一只风筝的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.
(1)王云同学观察了这个风筝的骨架后，她认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为点E，且BE＝ED，你同意王云同学的判断吗？请说明理由．
解：(1)王云同学的判断是正确的．理由如下：
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC为线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，且BE＝ED.
13．如图，在△ABC中，DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，垂足分别为点D，M，分别交BC于E，N，且DE和MN交于点F.
(1)若∠B＝20°，求∠BAE的度数．
(2)若∠BAC＝110°，求∠EAN的度数．
(3)若AB＝8，AC＝3，求△AEN的周长C的范围．
解：(1)∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
AD＝BD，
又∵DE＝DE，
∴△BDE≌△ADE(SSS)，∴∠BAE＝∠B＝20°.
(2)同(1)可证∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C.
∵∠BAC＝110°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＋∠C＝70°，
∴∠BAE＋∠CAN＝70°，
∴∠EAN＝40°.
(3)∵DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴BC＝BE＋EN＋CN＝AE＋EN＋AN，即为△AEN的周长．
∵AB＝8，AC＝3，∴5＜BC＜11，
∴△AEN的周长C的范围为5＜C＜11.(共20张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
第3课时 平面直角坐标系中的轴对称
1．在平面直角坐标系中，点P(－3,4)关于y轴的对称点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1
平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征
A
2．在平面直角坐标系中，点P(1，－2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－1,2) D．(－2,1)
A
3．如图，在平面直角坐标系中，线段AB垂直于y轴，垂足为点B，且AB＝2.若将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，则点C的横坐标为________.
－2
4．在平面直角坐标系中，已知点A(a＋b,2－a)与点B(5,2a)关于x轴对称．试确定点A，B的坐标并求ba的值．
5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－2,1)，(0,3)．请先在图中建立适当的平面直角坐标系，再作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′.
2
作关于坐标轴对称的图形
解：如图所示，在图中建立平面直角坐标系，画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′.
6．如图，在平面直角坐标系中，点A(－1,5)，B(－3，0)，C(－4，3)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1.
(2)点C关于y轴的对称点C1的坐标是______________.
解：(1)如图所示，
△A1B1C1即为所求．
(4,3)
7．(2023·金华)如图，两个灯笼的位置A，B的坐标分别是
(－3,3)，(1,2)，将点B向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点O对称
D．关于直线y＝x对称
B
8．已知正方形ABCD在平面直角坐标系内的位置如图所示，原点为正方形的中心，x轴、y轴分别是正方形的两条对称轴．若点A的坐标为(2,2)，则点B的坐标为______________，点C的坐标为_____________，点D的坐标为___________.
(2，－2)
(－2，－2)
(－2,2)
9．已知点M(2a－3,3－a)关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是__________________.
10．已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，－2)．若在坐标轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为_______________________________.
1.5
(2,0)或(－2,0)或(0，－4)或(0,4)
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为点A(－2,4)，B(－4,1)，C(－1，－1)．
(1)直接写出△ABC的面积.
(2)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(3)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
解：(1)S△ABC＝6.5.
(2)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(3)点B2的坐标是(1,2)．
12．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点A，B关于y轴对称．
(1)若点A(1,3)，写出点B的坐标．
(2)若点A(a，b)，且△AOB的面积为a2，求点B的坐标(用含a的代数式表示)．
解：(1)∵点A(1,3)，且点A，B关于y轴对称，
∴点B的坐标为
(－1,3)．
(2)如图，连接AB，交y轴于点P，连接OA，OB.
∵点A，B关于y轴对称，
∴AB⊥y轴，且AP＝BP.
∵A(a，b)在第一象限，∴a＞0，且b＞0，
13．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标．
(2)将△ABC向右平移6个单位长度，作出平移后的△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标．
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请画出这条对称轴．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为(1,1)．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为(4,2)．(共13张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
第2课时 轴对称
1．如图所示：
其中，轴对称图形有__________________，与甲成轴对称的图形有______.
1
轴对称的概念
甲、乙、丙、丁
丁
2．距离为20 cm的A 和B两点关于直线MN 成轴对称，则点A 到直线MN 的距离是________cm.
10
3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC＝∠B′A′C′；③BC＝B′C′.其中正确的有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
2
轴对称的性质
A
4．如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称．若∠B1＝25°，∠A＝35°，则∠C的度数是( )
A．90°
B．110°
C．120°
D．125°
C
5．如图，△ACD与△ABD关于AD所在的直线成轴对称，B，D，C三点在同一条直线上．若AC＝3，BD＝2，则△ABC的周长是( )
A．5
B．10
C．6
D．12
B
6．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′.
(2)△ABC的面积为______.
3
轴对称作图
3
7．下列说法中正确的是( )
A．全等三角形是关于某直线对称的
B．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
B
8．如图，将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在边DC上的点F处．若△AFD的周长为18，△ECF的周长为6，则该长方形纸片ABCD的周长是( )
A．20
B．24
C．32
D．48
B
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC的边BC沿∠ACB的平分线CD折叠到CE，点E在边AC上．若∠ADE＝10°，求∠A的度数．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋B＝90°.
由折叠可知，∠CED＝∠B.
∵∠CED＝∠A＋∠ADE，
且∠ADE＝10°，
∴∠B＝∠A＋10°，
∴∠A＋∠A＋10°＝90°，
∴∠A＝40°.
解：(1)如图所示．
(2)证明：连接NE，易证△NEM≌△ACM，
得NE＝AC＝AB，NM＝AM，∠ENA＝∠MAC.
∵DM⊥MA，∴∠DMN＝∠DMA＝90°.
又∵DM＝DM，∴△DMN≌△DMA(SAS)，
∴DN＝DA，∠DNA＝∠DAM，
易证△NDE≌△ADB(SSS)，
∴∠DNE＝∠DAB，
∴∠DAN＝∠DNA＝∠DNE＋∠ENA＝∠DAB＋∠MAC，(共17张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
第2课时 角的平分线的性质
1
角的平分线的性质
1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.若DE＝6，则DF的长是( )
A．2
B．3
C．4
D．6
D
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.若CB＝6，则DE＋DB＝( )
A．4
B．5
C．6
D．7
C
3．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为点A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
D
4．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB于点A，AD＝3，点P为边BC上一动点，则DP长的最小值是______.
3
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝______.
1
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于点E，点F在边AC上．
(1)求证：DC＝DE.
(2)若AC＝4，AB＝5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
解：(1)证明：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC.
又∵∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB，
∴DC＝DE.
7．如图，OC＝OD，PC＝PD，PM⊥OC于点M，PN⊥OD于点N.求证：PM＝PN.(提示：连接PO)
证明：如图，连接PO，
易证△OPC≌△OPD(SSS)，
∴∠POC＝∠POD.
又∵PM⊥OC，PN⊥OD，
∴PM＝PN.
8．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( )
A．8
B．6
C．4
D．2
C
9．沪科版八上教材P147练习5改编如图，已知OC平分∠AOB，点P为OC上一点，PD⊥OA于点D，且PD＝3 cm，过点P作PE∥OA交OB于点E.若∠AOB＝30°，则PE＝______cm.
6
1∶3
11．如图，已知AM平分∠BAC，点O是AM上一点，OD⊥BM于点D，OE⊥CM于点E.
(1)OD与OE相等吗？为什么？
(2)若AB＝AC，则OD＝OE吗？请说明理由．
解：(1)OD与OE不一定相等．
因为缺少一个条件证明△ABM≌△ACM，得不出∠AMB＝∠AMC，就不能利用角平分线的性质证OD＝OE.
(2)当AB＝AC时，OD＝OE.
理由如下：
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝∠CAM.
∴△ABM≌△ACM(SAS)，
∴∠AMB＝∠AMC，即AM平分∠BMC.
∵OD⊥BM，OE⊥CM，
∴OD＝OE.
12．如图，AP是△ABC的外角平分线，PM⊥BA，交BA的延长线于点M，且∠BPC＝∠BAC.
(1)求证：PB＝PC.
(2)求证：AC－AB＝2AM.
(3)若BM＝3，求AB＋AC的值．
解：(1)过点P作PN⊥AC于点N.
∵PM⊥AM，PA平分∠MAC，∴PM＝PN.
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠ABP＝∠PCA.
∵∠BMP＝∠CNP＝90°，
∴△PMB≌△PNC(AAS)，∴PB＝PC.
(2)∵△PMB≌△PNC，
∴BM＝CN，易证△PAM≌△PAN，∴AM＝AN，
∴AC－AB＝(AN＋CN)－(BM－AM)＝2AM.
(3)AB＋AC＝(BM－AM)＋(AN＋CN)＝BM＋CN＝2BM＝6.(共18张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
第3课时 角的平分线的判定
1
角平分线的判定定理
1．如图，点P是∠BAC内一点，且到AB，AC的距离PE，PF相等，则可以判定______________≌____________，依据是__________，所以∠____________＝∠____________.
△APF
△APE
HL
CAP
BAP
2．如图，已知∠CDA＝∠CBA＝90°，且CD＝CB，则点C一定在__________的平分线上，点A在__________的平分线上．
∠DAB
∠DCB
3．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D.若QC＝QD，则∠AOQ＝__________.
35°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：点D是BC的中点．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
且DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分线．
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴点D是BC的中点．
5．如图，BD＝CE，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点F.求证：点F在∠BAC的平分线上．
证明：易证△BDF≌△CEF(AAS)，
∴FD＝FE.
又∵FD⊥AB，FE⊥AC，
∴点F在∠BAC的平分线上．
2
三角形三条角平分线的交点的性质
6．在三角形中，到三边距离相等的点是( )
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
C
7．如图，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是8,12,16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为( )
A．4：3：2
B．5：3：2
C．2：3：4
D．3：4：5
A
8．如图，已知△ABC的周长是10，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝1，则△ABC的面积是( )
A．1
B．8
C．2
D．5
D
9．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有( )
A．一处
B．两处
C．三处
D．四处
D
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC于点E.若AD＝DE，且∠C＝50°，则∠ABD＝__________.
20°
11．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC＝____________.
125°
12．如图，△ABC的外角∠DAC，∠ACE的平分线AF，CF相交于点F.下列结论：①AF＝CF；②点F到BD，AC，BE的距离相等；③点F在∠ABC的平分线上．其中结论一定正确的是_________(填序号)，请说明理由．
②③
解：如图，过点F分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点G，M，N.
∵∠DAC，∠ACE的平分线相交于点F，
∴FG＝FN，FM＝FN，
∴FG＝FM＝FN，即点F到BD，AC，BE的距离相等，
∴BF平分∠ABC，即点F在∠ABC的平分线上，
∴结论②和③是正确的．
13．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC.
解：(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°.
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
(2)请猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并证明．
解：(2)AB＋AC＝2AE.证明如下：
由(1)得Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，
∴AB＋AC＝AB＋AF＋CF＝AB＋AE＋BE＝2AE.
14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB的中点，ED平分∠ADC.
(1)求证：CE平分∠BCD.
(2)求证：AD＋BC＝CD.
(3)若AB＝12，CD＝13，求S△CDE.
解：(1)证明：如图，过点E作EF⊥CD于点F，
证EA＝EF＝EB即可．
(2)证明：易证△ADE≌△FDE，
△BEC≌△FEC，
∴AD＝DF，BC＝CF，
∴AD＋BC＝CD.
(3)∵△ADE≌△FDE，△BEC≌△FEC，(共18张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15．3 等腰三角形
第3课时 等腰(边)三角形的判定
1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶5，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
1
等腰三角形的判定
A
2．下列描述的三角形中不是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别为75°，75°的三角形
B．有两个内角分别为110°和40°的三角形
C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形
B
3．在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°.若AB＝6，则AC的长为______.
4．如图，点D为△ABC的边AB上一点．若∠1＝∠2，AB＝7，AC＝3，则△ACD的周长为________.
6
10
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BF平分∠ABC交CD于点E，交AC于点F.求证：CE＝CF.
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠DBE，∴∠CFB＝∠DEB.
又∵∠FEC＝∠DEB，
∴∠CFB＝∠FEC，∴CE＝CF.
6．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
2
等边三角形的判定
D
7．(2023·江西)将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm,3 cm，则线段AB的长为______cm.
2
8．如图，将边长为5 cm的等边三角形ABC，沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于点M，则△MEC是________三角形，DM＝______cm.
等边
3
9．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC于点A，AE⊥AB于点A.
(1)求∠C的度数．
(2)求证：△ADE是等边三角形．
解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
即∠C＝30°.
(2)证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝60°.
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°.
∴△ADE是等边三角形．
10．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAD交BC于点E.下列结论中一定成立的是( )
A．AC＝AE
B．EC＝AE
C．BE＝AE
D．AC＝EC
D
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC＝AB，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.若AB＝6，EF＝2，则AD的长为________.
10
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF.
证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，
∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DMB，∴BD＝MD.
∵BD＝CE，∴MD＝CE.
∴△DMF≌△ECF(AAS)，∴DF＝EF.
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别为∠BAC，∠ABC的平分线．求证：
(1)△BQC是等腰三角形．
(2)AB＋BP＝AQ＋BQ.
(2)延长AB至点M，使得BM＝BP，连接MP，
∴∠M＝∠BPM.
由(1)可得BQ＝CQ，∠QBC＝∠C＝40°.
∵∠ABC＝∠M＋∠BPM，
∴∠M＝∠BPM＝40°＝∠C.
∵AP平分∠BAC，∴∠MAP＝∠CAP.(共9张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
第1课时 作角的平分线
1．尺规作图：作出已知角的平分线．
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线．
作法：
(1)以点______为圆心，__________为半径画弧分别交OA，OB于点M，N.
(2)分别以点__________为圆心，以___________的长为半径画弧，在∠AOB的内部相交于点C.
1
利用尺规作角的平分线
O
任意长
M，N
(3)作射线OC，射线OC即为所求．这种作已知角平分线的方法的依据是______ (填序号)．
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA
请你填空并根据提示作出∠AOB的平分线OC.
①
2．如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法作射线CP，使CP∥AB.(保留作图痕迹，不写作法)
3．如图，根据作图痕迹，这个作图是( )
A．平分已知角
B．作一个角等于已知角
C．过直线上一点作此直线的垂线
D．过直线外一点作此直线的垂线
2
过一点作已知直线的垂线
C
4．已知直线l及直线l外一点P.求作：直线l的垂线，使它经过点P.(尺规作图，保留作图痕迹)
解：如图所示，直线PQ即为所求．
5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论中错误的是( )
A．∠DAC＝∠DAB
B．DE⊥AB
C．∠EDB＝∠CAB
D．BE＝AE
D
6．(2023·河南)如图，在△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE＝BE.
解：(1)如图所示，即为所求．
(2)证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE.
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴DE＝BE.(共20张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1．在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，则∠B的度数为( )
A．20° B．30°
C．40° D．80°
1
等边对等角
C
2．等腰三角形的一个底角是50°，则另外两个角的度数分别是( )
A．65°，65°
B．50°，80°
C．65°，65°或50°，80°
D．50°，50°
B
3．(2023·长沙)如图，已知∠ABC＝50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是__________.
65°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长BC至点M，则∠ACM＝____________.
110°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，下列结论：①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CAD；③BD＝CD；④∠ADB＝∠ADC＝90°.其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2
三线合一
D
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6 cm，AD平分∠BAC，则BD＝______cm.
3
7．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠BAD的度数为__________.
60°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：AO⊥BC.
9．[易错题]在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为( )
A．36° B．45°
C．36°或45° D．45°或72°
D
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E.若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为( )
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
A
11．(2023·台州)如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中是假命题的是( )
A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC
B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE
C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC
D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE
A
12．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD＝__________.
55°
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是____________________.
10°或100°
14．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF.
(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
解：(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
由作图可得AE＝AF.
∴△ADE≌△ADF(SAS)．
(2)∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝40°.
由作图可得AE＝AD，∴∠ADE＝70°，
∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝∠ADB－∠ADE＝20°.
15．如图，在△AEC中，∠AEC＝90°，点D在边EC上，AD＝DC，DF⊥AD交AC于点F，FM⊥CD，垂足为点M.
(1)求证：∠EAD＝∠FDM.
(2)求证：AE＝DF＋FM.
证明：(1)∵∠AEC＝90°，
∴∠EAD＋∠ADE＝90°.
∵AD⊥DF，
∴∠ADF＝90°，
∴∠FDM＋∠ADE＝90°，
∴∠EAD＝∠FDM.
(2)证法一：在AE上截取AN＝DF，连接DN.
∵∠EAD＝∠FDM，AD＝DC，
∴△AND≌△DFC(SAS)，
∴∠ADN＝∠C，DN＝FC.
∵AD＝CD，∴∠ADN＝∠C＝∠DAC，
∴DN∥AC，∴∠NDE＝∠C.
∵∠E＝∠FMC＝90°，
∴△NDE≌△FCM(AAS)，∴NE＝FM，
∴AE＝AN＋NE＝DF＋FM.
证法二：过点C作CH⊥DF交DF的延长线于点H，易证CH∥AD，
∴∠HCF＝∠DAC＝∠ACE.
∵FM⊥BC，CH⊥DH，
∴∠FHC＝∠FMC＝90°.
又∵FC＝FC，∴△FHC≌△FMC(AAS)，
∴FM＝FH.
∵∠EAD＝∠FDC，∠AEC＝∠CHD＝90°，AD＝CD，
∴△ADE≌△DCH(AAS)，∴AE＝DH＝DF＋FH＝DF＋FM.(共8张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
第1课时 轴对称图形
1．(2023·连云港)在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是( )
轴对称图形
C
2．如图，认真观察4个图中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
特征1：___________________________________.
特征2：______________________________________________
________.
都是轴对称图形
这些图形的面积都等于4个小正方形面积(答案合理
即可)
3．下列图形中，只有三条对称轴的图形是_______(填序号)．
②
4．请画出下列轴对称图形的所有对称轴．
解：如图所示，即为所作．
5．下列四种图形中，对称轴条数最多的是( )
A．等边三角形
B．圆
C．长方形
D．正方形
B
6．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①②③④⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域为_______(填序号)．
①⑤
7．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上．请你再找一个格点D，使点A，B，C，D能组成一个轴对称图形，并画出对称轴．
解：如图所示，即为所作．(共21张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15．3 等腰三角形
第4课时 含30°角的直角三角形的性质
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，且AB＝6，则BC的长是( )
A．3
B．4
C．6
D．不确定
1
含30°角的直角三角形的性质
A
2．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量∠ABC＝30°，则树高是( )
A．6 m
B．9 m
C．10 m
D．12 m
B
3．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是中线，且AD＝3 cm，则AB的长是______cm.
6
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若CD＝4，则BC＝________.
12
6．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D是BC上一点，BD＝3，DE⊥BC交AB于点E，则AE＝______.
2
7．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足．求证：△DEF是等边三角形．
8．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20 m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°.
(1)求该斜坡的高度BD.
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．(假设图中C，A，D三点共线)
B
10．如图，已知OA＝12，点P是射线ON上一动点，∠AON＝60°.
(1)当△AOP是等边三角形时，OP的长为________.
(2)当△AOP是直角三角形时，OP的长为____________.
12
6或24
11．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若CD＝3AE，BC＝15，则AE的长为______.
3
12．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝6，点D为BC上的一点，且BD＝2DC，连接AD.求证：AD＝AC.
∴DE＝BE－BD＝5－4＝1，CE＝CD－DE＝2－1＝1，
∴点E是CD的中点，
∴AE垂直平分CD，
∴AD＝AC.
13．如图，等边三角形ABC的边长为8，点E为边AC上的一动点，ED⊥AB于点D，DF⊥BC于点F.
(1)若CE＝2，求CF的长．
(2)若DE＝DF，求CE的长．
解：(1)如图所示，△AND为所求作三角形．
(2)连接CD.
∵△AND与△AMN关于直线AN对称，
∴AM＝AD，∠MAD＝2∠MAN＝120°.
∵∠BAC＝∠MAD＝120°，∴∠BAM＝∠CAD.
又∵AB＝AC，∴△ABM≌△ACD(SAS)，(共17张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15．3 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
1．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，则∠BAD的度数是( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
1
等边三角形的性质
D
2．如图，a∥b，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A．60°
B．45°
C．40°
D．30°
C
3．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，且BD＝1 cm，则AC的长是________cm.
2
4．如图，在等边三角形ABC中，BE和CD分别是边AC，AB上的高，且相交于点F，则∠BFC＝____________.
120°
5．如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，求∠ACD的度数．
解：∵△ABC是等边三角形．
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABD＝12°，∴∠DBC＝72°.
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝72°，
∴∠BCD＝36°，
∴∠ACD＝60°－36°＝24°.
6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF.若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°
2
利用等边对等角求角度
C
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数是( )
A．39°
B．40°
C．49°
D．51°
A
8．如图，△ABC为等边三角形，CD⊥AC，CD＝AC，求∠ADB的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°.
∵CD⊥AC，CD＝AC，
∴∠ACD＝90°，BC＝CD，
∴∠ADC＝45°，∠DBC＝∠BDC.
∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝150°，
∴∠BDC＝15°，
∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝30°.
9．在如图所示的钢架中，∠A＝18°，P1A＝P1P2，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5，…来加固钢架，则∠P5P4B的度数是( )
A．80°
B．85°
C．90°
D．100°
C
10．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数是( )
A．67.5°
B．52.5°
C．45°
D．75°
A
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形ABE和等边三角形ACD.若∠EDC＝40°，则∠BAC的度数为__________.
20°
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BD＝BC，求∠A的度数．
解：设∠EBD＝α.
∵AD＝DE＝BE，BD＝BC，AB＝AC，
∴∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝α，∠C＝∠BDC＝∠ABC.
∵∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2∠EBD，
∴∠A＝2∠EBD＝2α.
∵∠BDC＝∠A＋∠EBD＝3∠EBD＝3α，
∴∠C＝∠ABC＝∠BDC＝3α.
∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，
∴2α＋3α＋3α＝180°，∴α＝22.5°，
∴∠A＝2α＝45°.
13．沪科版八上教材P150练习12改编如图，△ABC为任意三角形，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，CD与BE相交于点P.
(1)求证：△DAC≌△BAE.
(2)求∠BPC的度数．
解：(1)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE.
∴△DAC≌△BAE(SAS)．
(2)由(1)得∠ADC＝∠ABE，
∴∠BPC＝∠PBD＋∠PDB＝∠ABD＋∠ABE＋∠PDB＝∠ABD＋∠ADC＋∠PDB＝∠ABD＋∠ADB.
∵∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠BPC＝120°.