2024年人教A版（2019）高中数学必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》练习 （含解析）

2024年人教A版（2019）高中数学必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》同步卷
一．选择题（共15小题）
1．函数f（x）＝x2+（3a+1）x+4a在(﹣∞，1]上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1 B．a≥﹣1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
2．已知函数f（x）＝﹣x2+2bx，若f（f（x））的最大值与f（x）的最大值相等，则实数b的取值范围是（　　）
A．b≤0 B．b≥1或b≤0 C．﹣1≤b≤0 D．b≥﹣1
3．已知函数f（x）＝x2+2ax+4在（﹣∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
4．设x＝2a（a+2），y＝（a﹣1）（a+3），则有（　　）
A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x≤y
5．若2a+1＝3，2b，则以下结论正确的有（　　）
①b﹣a＜1；②2；③ab；④b2＞2a．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a＞b＞0，则下列结论错误的是（　　）
A． B．log2（a﹣b）＞0
C． D．3a＞3b
7．已知实数x，y满足x3＞y3，则下列关系恒成立的是（　　）
A．cosx＞cosy B． C．lnx＞lny D．ex＞ey
8．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知a，b∈（0，+∞），x＝a5+b5，y＝a4b+ab4，z＝a3b2+a2b3，则（　　）
A．x≤y≤z B．y≤z≤x C．z≤x≤y D．z≤y≤x
10．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，则不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0的解集为（　　）
A． B．{x|x＜1或x} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＜﹣2或x＞1}
11．已知关于x的一元二次不等式2ax2+4x+b≤0的解集为，且a＞b，则的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
12．已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜1} B．{x＜﹣1或x}
C．{x|﹣1＜x} D．{x|x或x＞1}
13．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则下列不正确的是（　　）
A．a B．v C． D．v
14．已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
15．若 x＞0，使得，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4
二．填空题（共10小题）
16．函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+1（a＞0），若对任意的x1∈[﹣2，2]，存在x2∈[﹣2，2]，使f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是　 　．
17．已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是　 　．
18．设m，n，p，则m，n，p的大小顺序为　 　．
19．若关于x的不等式x2﹣5x+a＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则a＝　 　．
20．已知b∈R，c∈R，关于x的一元二次不等式x2+bx+c＜0的解集为（1，2），则b+c＝　 　．
21．若关于x的不等式ax2+（a+b）x+1＞0（a，b∈R，a≠0）的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则b＝　 　
22．设a，b为正数，若2a+b＝2，当a取值为　 　时，取最小值为　 　．
23．已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则a+c的最小值为 　 　．
24．设方程x2﹣mx+4＝0的两根为α，β，其中α∈[1，3]，则实数m的取值范围是 　 　．
25．关于x的一元二次方程x2+kx+2k﹣1＝0在区间（﹣1，2）内、外各有一个实数根，则实数k的取值范围是　 　．
三．解答题（共5小题）
26．（1）已知函数f（x）的定义域为（0，2），求f（x+3）的定义域；
（2）已知函数f（x+2）＝x2﹣4x+8，求f（x）的解析式，并求函数f（x）在区间[﹣2，7]上的最大值与最小值．
27．已知x，y都是实数，比较x2+y2与4x﹣2y﹣5的大小．
28．设函数f（x）＝（k2+4k﹣5）x2+2（1﹣k）x+1，若对任意的x∈R，都有f（x）＞0，求实数k的取值范围．
29．已知x＞0，y＞0，4x+y＝3．
（1）求xy的最大值；
（2）求的最小值．
30．关于x的函数f（x）＝bx2﹣2x+a．
（1）若b＝1，方程f（x）＝0的两个实根一个根在（﹣1，1）内，另一个根在（2，3）内，求a的取值范围；
（2）若b＝2，求关于x的不等式f（x）＜ax2的解集？
人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》2023年最热同步卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．函数f（x）＝x2+（3a+1）x+4a在(﹣∞，1]上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1 B．a≥﹣1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
【解答】解：因为f（x）＝x2+（3a+1）x+4a在(﹣∞，1]上为减函数，
所以x，
解得，a≤﹣1．
故选：A．
2．已知函数f（x）＝﹣x2+2bx，若f（f（x））的最大值与f（x）的最大值相等，则实数b的取值范围是（　　）
A．b≤0 B．b≥1或b≤0 C．﹣1≤b≤0 D．b≥﹣1
【解答】解；因为f（x）＝﹣x2+2bx的对称轴x＝b，开口向下，
所以当x＝b时，函数取得最大值f（b）＝b2，
令t＝f（x），则f（f（x））＝f（t）＝﹣t2+2bt的对称轴t＝b，
当b≤b2即b≥1或b≤0时，f（f（x））的最大值与f（x）相等．
故选：B．
3．已知函数f（x）＝x2+2ax+4在（﹣∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
【解答】解：因为f（x）＝x2+2ax+4在（﹣∞，2]上的单调递减，
所以x＝﹣a≥2，
解可得a≤﹣2．
故选：A．
4．设x＝2a（a+2），y＝（a﹣1）（a+3），则有（　　）
A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x≤y
【解答】解：x﹣y＝2a（a+2）﹣（a﹣1）（a+3）＝a2+2a+3＝（a+1）2+2＞0，
∴x＞y．
故选：A．
5．若2a+1＝3，2b，则以下结论正确的有（　　）
①b﹣a＜1；②2；③ab；④b2＞2a．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：2a+1＝3，2b，则a＝log23﹣1＝log2，b＝log23﹣log23
∴b﹣a＝log2log2log2（）＝log2log22＝1，故①正确；
∵a+b＝log2log2log24＝2，ab＝（log23﹣1）（3﹣log23）＝﹣（log23）2+4log23﹣3＝﹣（log23﹣2）2+1＜1，
∵2﹣log23＜2﹣log22，
∴ab＝﹣（log23﹣2）2+11，故③正确；
∴2，故②正确；
b2﹣2a＝（3﹣log23）2﹣2（log23﹣1）＝（log23）2﹣8log23+11＝（log23﹣4）2﹣5，
∵log23＞log22，
∴（log23﹣4）2＜9，
∴b2﹣2a＞0，故④正确；
故选：D．
6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a＞b＞0，则下列结论错误的是（　　）
A． B．log2（a﹣b）＞0
C． D．3a＞3b
【解答】解：令a＝2，b＝1，
得选项B错误，
故选：B．
7．已知实数x，y满足x3＞y3，则下列关系恒成立的是（　　）
A．cosx＞cosy B． C．lnx＞lny D．ex＞ey
【解答】解：∵x3＞y3，∴x＞y，
A．x＞y得不出cosx＞cosy，比如x＝π，y＝0；
B．x＞y得不出，比如x＝2，y＝1；
C．x＞y得不出lnx＞lny，比如x，y都是负数；
D．∵x＞y，∴ex＞ey，该关系恒成立．
故选：D．
8．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：，
∵a＞b＞0，m＞0，n＞0，
∴0，
∴，
∵，
∵a＞b＞0，m＞0，n＞0，
∴0，
∴0，
∴，
，
∵a＞b＞0，n＞0，
∴0，
∴，
综上可知，，
故选：A．
9．已知a，b∈（0，+∞），x＝a5+b5，y＝a4b+ab4，z＝a3b2+a2b3，则（　　）
A．x≤y≤z B．y≤z≤x C．z≤x≤y D．z≤y≤x
【解答】解：已知a，b∈（0，+∞），
因为x﹣y＝a5+b5﹣a4b﹣ab4
＝a4（a﹣b）+b4（b﹣a）
＝（a﹣b）（a4﹣b4）
＝（a+b）（a﹣b）2（a2+b2）≥0，
所以x≥y．
因为z﹣y＝a3b2+a2b3﹣a4b﹣ab4
＝a3b（b﹣a）+ab3（a﹣b）
＝﹣ab（a+b）（a﹣b）2≤0，
所以z≤y，
所以z≤y≤x．
故选：D．
10．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，则不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0的解集为（　　）
A． B．{x|x＜1或x} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＜﹣2或x＞1}
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），
则，解得c＝﹣4a，b＝3a，且a＜0，
所以不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0可化为：
3x2+x﹣4＜0，解得，
故选：A．
11．已知关于x的一元二次不等式2ax2+4x+b≤0的解集为，且a＞b，则的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：由题设可得：，即，
∴ba＝2＞0，又a＞b a，
∴，
又∵a﹣b＞0，
∴（a﹣b）24，当且仅当时取“＝“，
∴，当且仅当时取“＝“，
故选：B．
12．已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜1} B．{x＜﹣1或x}
C．{x|﹣1＜x} D．{x|x或x＞1}
【解答】解：不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
所以﹣1，2是方程ax2+bx+2＝0的两个实数根，且a＜0，
由根与系数的关系知，解得a＝﹣1，b＝﹣1；
所以不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣x﹣1＜0，
解得x＜1；
所以不等式2x2+bx+a＜0的解集为{x|x＜1}．
故选：A．
13．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则下列不正确的是（　　）
A．a B．v C． D．v
【解答】解：根据题意，设从甲地到乙地距离为2S，
则小明从甲地到乙地的时间t，则其平均速度v，D正确，
又由a＜b，a+b＞2，则有，C错误，
故选：C．
14．已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
【解答】解：x＞0，y＞0，且，则x+y＝（x+y）（）＝33+23+2，
当且仅当，即x＝1，y＝2时取等号，
故选：D．
15．若 x＞0，使得，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4
【解答】解：由 x＞0，使得，可得到：m≥（x）min，
又当x＞0时，x≥24，当且仅当x＝2时取等号，
∴（x）min＝4，
∴m≥4，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
16．函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+1（a＞0），若对任意的x1∈[﹣2，2]，存在x2∈[﹣2，2]，使f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是　[）　．
【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x的对称轴x＝1，开口向上，x∈[﹣2，2]
当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣1，当x＝﹣2时函数取得最大值f（﹣2）＝8，
故x1∈[﹣2，2]时，f（x1）∈[﹣1，8]，
对任意的x1∈[﹣2，2]，存在x2∈[﹣2，2]，使f（x1）＝g（x2），
∴[﹣1，8] [﹣2a+1，2a+1]，
故，
解可得，a．
故答案为：[）．
17．已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是　[1，+∞）　．
【解答】解：不妨设x1＞x2，
∵，
∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，
令g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
①当a＝0时，g（x）＝﹣2x+1，显然不成立，
②当a≠0时，则，解得a≥1，
综上所述，实数a的取值范围是：[1，+∞），
故答案为[1，+∞）．
18．设m，n，p，则m，n，p的大小顺序为　p＜n＜m　．
【解答】解：m，n，p，
则，，，
∴，
∴p＜n＜m，
故答案为：p＜n＜m．
19．若关于x的不等式x2﹣5x+a＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则a＝　6　．
【解答】解：不等式x2﹣5x+a＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
所以2和3是方程x2﹣5x+a＝0的两个实数解，
由根与系数的关系知，a＝2×3＝6．
故答案为：6．
20．已知b∈R，c∈R，关于x的一元二次不等式x2+bx+c＜0的解集为（1，2），则b+c＝　﹣1　．
【解答】解：不等式x2+bx+c＜0的解集为（1，2），
所以对应方程x2+bx+c＝0的解是1和2，
由根与系数的关系知，，
解得b＝﹣3，c＝2，
所以b+c＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
21．若关于x的不等式ax2+（a+b）x+1＞0（a，b∈R，a≠0）的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则b＝　1　
【解答】解：关于x的不等式ax2+（a+b）x+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，
所以方程ax2+（a+b）x+1＝0的实数解为﹣1和3，
由根与系数的关系知，，
解得a，b＝1．
故答案为：1．
22．设a，b为正数，若2a+b＝2，当a取值为　　时，取最小值为　4　．
【解答】解：∵a，b为正数，2a+b＝2，
∴（）（2a+b）（4）4，
当且仅当且2a+b＝2即a，b＝1时取等号，
故答案为：，4
23．已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则a+c的最小值为 　　．
【解答】解：∵a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，
∴3＝（a+b）（a+2c）≤（）2＝（a+c）2，当且仅当b＝2c时取“＝“，
∴a+c，当且仅当b＝2c时取“＝“，
故答案为：．
24．设方程x2﹣mx+4＝0的两根为α，β，其中α∈[1，3]，则实数m的取值范围是 　{m|4≤m≤5}　．
【解答】解：∵方程x2﹣mx+4＝0的两根为α，β，其中α∈[1，3]，
即方程x2﹣mx+4＝0至少有一个根在区间[1，3]上．
令f（x）＝x2﹣mx+4，
①当Δ＝m2﹣16＝0，方程x2﹣mx+4＝0有2个相同的实数根，
此时，m＝±4，检验可得m＝4 满足条件，m＝﹣4不满足条件．
②当Δ＝m2﹣16＞0时，方程x2﹣mx+4＝0有2个不同的实数根．
若方程x2﹣mx+4＝0两个实数根都在区间[1，3]上，
则，求得 4＜m．
若方程x2﹣mx+4＝0只有1个实数根在区间[1，3]上，
则，求得m≤5．
综合①②可得，4≤m≤5，
故答案为：{m|4≤m≤5}．
25．关于x的一元二次方程x2+kx+2k﹣1＝0在区间（﹣1，2）内、外各有一个实数根，则实数k的取值范围是　（，0]　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx+2k﹣1＝0在区间（﹣1，2）内、外各有一个实数根，
令f（x）＝x2+kx+2k﹣1，
若f（﹣1）＝1+k﹣1＝0，则k＝0，此时，f（x）＝x2﹣1，它的2个零点分别为1 和﹣1，满足条件．
若f（2）＝4k+3＝0，则k，此时，f（x）＝x2x，
它的2个零点分别为2和 全在（﹣1，2）外，不满足条件．
再根据 ，求得k＜0．
综上可得，k≤0，
故答案为：（，0]．
三．解答题（共5小题）
26．（1）已知函数f（x）的定义域为（0，2），求f（x+3）的定义域；
（2）已知函数f（x+2）＝x2﹣4x+8，求f（x）的解析式，并求函数f（x）在区间[﹣2，7]上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为（0，2），
∴0＜x＜2，
∴0＜x+3＜2，
∴﹣3＜x＜﹣1，
即f（x）的定义域为（﹣3，﹣1）．
（2）令t＝x+2，则x＝t﹣2．
∵f（x+2）＝x2﹣4x+8，
∴f（t）＝（t﹣2）2﹣4（t﹣2）+8＝t2﹣8t+20，
∴f（x）＝x2﹣8x+20．
∵f（x）的对称轴为直线x＝4，开口方向向上，
∴f（x）在[﹣2，4]上递减，在[4，7]上递增，
∴当x＝4时，f（x）min＝f（4）＝4，
∵|4﹣（﹣2）|＝6＞|7﹣4|＝3，
∴f（x）max＝f（﹣2），当x＝﹣2时，f（﹣2）＝40．
∴f（x）max＝40．
27．已知x，y都是实数，比较x2+y2与4x﹣2y﹣5的大小．
【解答】解：x2+y2﹣（4x﹣2y﹣5）
＝（x﹣2）2+（y+1）2≥0，当且仅当x＝2，y＝﹣1时取等号．
∴x2+y2≥4x﹣2y﹣5．
28．设函数f（x）＝（k2+4k﹣5）x2+2（1﹣k）x+1，若对任意的x∈R，都有f（x）＞0，求实数k的取值范围．
【解答】解：令k2+4k﹣5＝0，解得k＝1或k＝﹣5，
当k＝1时，f（x）＝1＞0恒成立；
当k＝﹣5时，f（x）＝12x+1，不满足对任意的x∈R，都有f（x）＞0；
当k≠1且k≠﹣5时，应满足，
解得，
即k＞1；
所以实数k的取值范围是[1，+∞）．
29．已知x＞0，y＞0，4x+y＝3．
（1）求xy的最大值；
（2）求的最小值．
【解答】解：（1）∵，
∴，当且仅当4x＝y时取等号，即时取等号，
即，
所以xy的最大值为．
（2）由4x+y＝3可得，则，
当且仅当时取等号，即时取等号，
所以的最小值为16．
30．关于x的函数f（x）＝bx2﹣2x+a．
（1）若b＝1，方程f（x）＝0的两个实根一个根在（﹣1，1）内，另一个根在（2，3）内，求a的取值范围；
（2）若b＝2，求关于x的不等式f（x）＜ax2的解集？
【解答】解：（1）关于x的函数f（x）＝bx2﹣2x+a，
若b＝1，方程f（x）＝0，
即 x2﹣2x+a＝0 的两个实根一个根在（﹣1，1）内，另一个根在（2，3）内，
令g（x）＝x2﹣2x+a，则 ，
解得：﹣3＜a＜0．
（2）若b＝2，求关于x的不等式f（x）＜ax2，即 2x2﹣2x+a＜ax2，
即 （a﹣2） x2+2x﹣a＞0，
①当a＝2时，不等式可化为：2x﹣2＞0，即x＞1；
②当a＞2时，解不等式可得：x＞1或x；
③当a＜2时，方程（a﹣2） x2+2x﹣a＝0的两根分别为，1，；
当1；即a＝1时，不等式无解；
当1；即a＜1时，不等式的解为：x＜1；
当1；即1＜a＜2时，不等式的解为：1＜x；
综上可知：当a＝2时，不等式的解为：{x|x＞1}；
当a＞2时，不等式的解为：{x|x＞1或x}；
当1＜a＜2时，不等式的解为：{x|1＜x}；
当a＝1时，不等式无解；
当a＜1时，不等式的解为：{x|x＜1}．
第16页（共20页）