2024-2025学年河南省郑州市中牟第一高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市中牟第一高级中学高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
3.已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用表示，则( )
A. B. C. D.
4.三棱锥中，点面，且，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是( )
A. B. C. D.
6.已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知二面角的大小为，，，，，，
且，，则( )
A. B.
C. D.
8.如图，正三棱柱的棱长都是，是的中点，，且，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，分别为平面，的法向量，为直线的方向向量，且，则( )
A. B. C. D.
10.若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则( )
A. B.
C. 与为相交直线 D. 在上的投影向量为
11.如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知三点，，，则点到直线的距离为______．
13.在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点的坐标为______．
14.在空间直角坐标系中，已知点，，点，分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，．
用，，分别表示向量，；
求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
已知正三棱柱，底面边长，，点、分别是边，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
Ⅰ求正三棱柱的侧棱长；
Ⅱ求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
在三棱锥中，，平面，点是棱上的动点，点是棱上的动点，且．
当时，求证：；
当的长最小时，求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱的中点证明：
平面；
平面平面．
19.本小题分
如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点．
求直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：如图，为棱的中点，，
，
又为棱的中点，
正四面体中，的两两夹角都为，并设正四面体的棱长为，则它们的模都为，
，
，同理，
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
16.解：Ⅰ设正三棱柱的侧棱长为，
由题意得 ，，，，，．
，
所以 ．
Ⅱ，，，
， ．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
17.证明：在平面内过点作，使得点与点在同侧，
平面，平面，平面，
，，则，，两两互相垂直．
以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，；
由得，，，
为等腰直角三角形，；
同理可得：为等腰直角三角形，
当时，，，分别是，中点，
，，
，；
由可得：，，，，为等腰直角三角形，
，
则；
当时，最小，，分别是，中点，
，
，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
由图形可知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为．
18.解：因为平面，且平面，所以，
又因为，且，，平面，所以平面，
依题意，以点为原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由为棱的中点，得，则，
所以为平面的一个法向量，
又，所以，
又平面，所以平面．
由知平面的法向量，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，所以，
又，
所以，所以平面平面．
19.解：以为原点，的方向分别作为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设直线与所成的角为，
则，，
故直线与所成角的余弦值是．
由知，，，
设平面的法向量为，则
取，得，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
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