2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区高二（下）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区高二（下）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 62.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-20 16:02:39 | ||
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文档简介
2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.由，，，，，组成没有重复数字且，不相邻的六位数的个数是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，共面，则实数的值是( )
A. B. C. D.
5.甲、乙等人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为( )
A. B. C. D.
6.被除的余数为( )
A. B. C. D.
7.在正三棱锥中，，为的中点，，则的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示( )
A. 事件、发生的概率
B. 事件发生的概率
C. 事件不发生条件下事件发生的概率
D. 事件、同时发生的概率
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量分布，则
B. 若随机变量，则
C. 已知随机变量的分布列为，则
D. 已知，为两个随机事件，且，则
11.已知正方体的棱长为，动点，在对角线，上移动，且，，，则下列结论中正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为 B. 线段的最小值为
C. 与平面不平行 D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，，则 ______．
13.已知正方体的棱长为，则在上的投影向量的模为______．
14.图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关次将导致自身和所有相邻的开关改变状态例如，按将导致，，，，改变状态如果要求改变，，的状态，则需按开关的最少次数为______；如果只要求改变的状态，则需按开关的最少次数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知且满足各项的二项式系数之和为．
求的值；
求的值．
16.本小题分
袋中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为，，，从袋中取出个球，以表示取出的个球中的最大号码．
写出的分布列；
求的均值与方差．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
求证：平面平面；
若，求直线与面所成角的正弦值．
18.本小题分
设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球．
现从甲、乙两个袋内各任取个球，记取出的个球中红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．
现从甲袋中任取个球放入乙袋，再从乙袋中任取个球求从乙袋中取出的是个红球的概率．
19.本小题分
在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点．
点到平面的距离；
若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为各项的二项式系数之和为，所以，所以，
二项式展开式的通项为，
所以；
令，得，
令，得，
所以．
16.解：根据题意，已知袋中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为，，，，从袋中取出个球，以表示取出的个球中的最大号码，
则的可能取值为，，；
则有，，，
故的分布列为：
由分布列，；
．
17.解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
即，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
同理可得，，
因为，所以，
所以平面平面．
由知，，
因为，所以，
所以，解得，
故，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，．
18.解：由题意可知，的所有可能取值为，，，，，
则，，，，，
所以的分布列为：
所以；
记事件：从甲袋中取出个红球，：从甲袋中取出个白球，：从甲袋中取出个白球和个红球，：从乙袋中取出个红球，
显然，，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取个球”的样本空间，
由全概率公式，得，
即从乙袋中取出的是个红球的概率为．
19.解：根据题意，以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离；
根据题意，因为为的中点，所以，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
设，其中，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，
所以，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，
令，由于，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
若存在点，使得二面角一的余弦值为，
则，所以，解得舍或，
故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.由，，，，，组成没有重复数字且，不相邻的六位数的个数是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，共面，则实数的值是( )
A. B. C. D.
5.甲、乙等人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为( )
A. B. C. D.
6.被除的余数为( )
A. B. C. D.
7.在正三棱锥中，，为的中点，，则的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示( )
A. 事件、发生的概率
B. 事件发生的概率
C. 事件不发生条件下事件发生的概率
D. 事件、同时发生的概率
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量分布，则
B. 若随机变量，则
C. 已知随机变量的分布列为，则
D. 已知，为两个随机事件，且，则
11.已知正方体的棱长为，动点，在对角线，上移动，且，，，则下列结论中正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为 B. 线段的最小值为
C. 与平面不平行 D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，，则 ______．
13.已知正方体的棱长为，则在上的投影向量的模为______．
14.图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关次将导致自身和所有相邻的开关改变状态例如，按将导致，，，，改变状态如果要求改变，，的状态，则需按开关的最少次数为______；如果只要求改变的状态，则需按开关的最少次数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知且满足各项的二项式系数之和为．
求的值；
求的值．
16.本小题分
袋中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为，，，从袋中取出个球，以表示取出的个球中的最大号码．
写出的分布列；
求的均值与方差．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
求证：平面平面；
若，求直线与面所成角的正弦值．
18.本小题分
设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球．
现从甲、乙两个袋内各任取个球，记取出的个球中红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．
现从甲袋中任取个球放入乙袋，再从乙袋中任取个球求从乙袋中取出的是个红球的概率．
19.本小题分
在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点．
点到平面的距离；
若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为各项的二项式系数之和为，所以，所以，
二项式展开式的通项为，
所以；
令，得，
令，得，
所以．
16.解：根据题意，已知袋中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为，，，，从袋中取出个球，以表示取出的个球中的最大号码，
则的可能取值为，，；
则有，，，
故的分布列为：
由分布列，；
．
17.解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
即，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
同理可得，，
因为，所以，
所以平面平面．
由知，，
因为，所以，
所以，解得，
故，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，．
18.解：由题意可知，的所有可能取值为，，，，，
则，，，，，
所以的分布列为：
所以；
记事件：从甲袋中取出个红球，：从甲袋中取出个白球，：从甲袋中取出个白球和个红球，：从乙袋中取出个红球，
显然，，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取个球”的样本空间，
由全概率公式，得，
即从乙袋中取出的是个红球的概率为．
19.解：根据题意，以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离；
根据题意，因为为的中点，所以，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
设，其中，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，
所以，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，
令，由于，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
若存在点，使得二面角一的余弦值为，
则，所以，解得舍或，
故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处．
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