2024-2025学年江西省宜春市高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省宜春市高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为，则该扇环的外弧长为( )
A. B.
C. D.
3.已知函数对任意满足，，且，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知、均为锐角，若：，：，则是的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点( )
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
7.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的偶函数，当时，，对任意总有当，时，恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据：，，，，，，，，则( )
A. 这组数据的众数为 B. 这组数据的极差为
C. 这组数据的平均数为 D. 这组数据的分位数为
10.若，，则下列结论正确的有( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体某半正多面体由个正三角形和个正六边形构成，其可由正四面体切割而成在如图所示的半正多面体中，若其棱长为，则下列结论正确的是( )
A. 该半正多面体的表面积为
B. 与平面所成角的正弦值为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 若点，分别在线段，上，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线、于不同的两点、设，，则的最小值是______．
14.如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三点，，处测得古树顶点的仰角分别为，，，若米，则该古树的高度为______米
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为．
求的解析式；
设，若在上是单调函数，求实数的取值范围．
16.本小题分
在如图所示的多面体中四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为，平面，，点是棱的中点．
求证：平面；
求多面体的体积．
17.本小题分
甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
18.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且．
求；
若，，的平分线交于点，求的长．
19.本小题分
设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”．
记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；
设，其中，求的“友向量”模长的最大值；
已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值当点运动时，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为不等式的解集为，
所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上，
则可设，，
即，
由的图象过点，可得，
解得，
所以，
即；
因为，
对称轴，
因为在上是单调函数，
所以或，解得或．
即实数的取值范围．
16.解：证明：连接，，
因为平面，，，平面，
所以，，，
因为，是中点，所以四边形为矩形，
则，，
因为是正方形的对角线交点，所以为，中点，，
所以，，
因为四边形是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，得证；
因为四边形是正方形，所以，
因为平面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
因为，所以，，
因为四边形是边长为的正方形，所以，则，
故多面体的体积．
17.解：因为甲每轮猜对的概率为，
所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对个，乙猜对一个，和甲猜对个，乙猜对个，
所以所求概率为．
18.解：，，且，
则，
即，
由正弦定理可知，即，
则，又，
则，所以，，
又，所以；
，，则，
即，解得，
又为的平分线，则，
所以，
即，
所以，
解得，．
19.解：由已知，
则令，，
解得，，
即函数的单调递增区间为，；
，
则的“友向量”为，
所以
，
又，所以当，时，取得最大值为；
由已知点满足，
则，，且，
又，且，
且当，时，函数取得最大值，
即，，
所以，
即，
又，
设，
则原式，
且在上单调递减，
所以．
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