2023-2024学年江西省赣州市会昌中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省赣州市会昌中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知变量与之间的一组数据如表：
若与的线性回归方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.如图：在平行六面体中，为，的交点．若，，，则向量( )
A. B.
C. D.
3.已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.某学校有，两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为计算王同学第天去餐厅用餐的概率( )
A. B. C. D.
5.在一个具有五个行政区域的地图上如图，用种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知样本，，，，的平均数是，标准差是，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为，的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于，则截面所表示的椭圆的离心率为( )
注：在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于点，，由相切的几何性质可知，，，于是，为椭圆的几何意义
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 样本数据，，，，，，的第百分位数是
B. 随机变量，若，则
C. 已知随机事件，，且，，若，则事件，相互独立
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
10.如图，正八面体棱长为，为线段上的动点包括端点，则( )
A.
B. 的最小值为
C. 当时，与的夹角为
D.
11.已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有( )
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的渐近线方程为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线的倾斜角的取值范围是______．
13.若，记，则的值为______．
14.一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球，个白球采取不放回摸球，从中随机摸出个球作为样本，用表示样本中黄球的个数当最大时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：．
求直线被圆截得弦长；
已知圆过点且与圆：相切于原点，求圆的方程．
16.本小题分
在的展开式中，若第项的二项式系数为，求：
展开式中所有项的二项式系数之和；
展开式中的有理项；
展开式中系数最大的项．
17.本小题分
某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取个球，每次摸球结果相互独立，盒中有分和分的球若干，摸到分球的概率为，摸到分球的概率为．
学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率；
若学生甲摸球次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；
学生甲、乙各摸次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励已知甲前次摸球得了分，求乙获得奖励的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，与相交于点，点在上，．
证明：平面；
若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．
19.本小题分
给出如下的定义和定理：
定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．
定理：过抛物线上一点处的切线方程为．
完成下述问题：
如图所示，设、是抛物线：上两点过点、分别作抛物线的两条切线、，直线、交于点，点、分别在线段、的延长线上，且满足，其中．
若点、的纵坐标分别为、，用、和表示点的坐标；
证明：直线与抛物线相切；
设直线与抛物线相切于点，求．
参考答案
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15.解：由可得，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得弦长为．
设，
则，解得，；
因为圆与圆：相切于原点，且圆过点，
所以，，
两边平方整理可得，平方可求，
代入可得，所以圆的方程为．
16.解：依题意，，而，解得，
所以展开式中所有项的二项式系数之和为．
二项式展开式通项为，
当为整数时，为有理项，则，，，
因此当时，；当时，；当时，，
所以展开式中的有理项为．
设第项的系数最大，则，即，
整理得，解得，由，得或，
所以展开式中系数最大的项为．
17.解：由题意，摸到分球的概率为，摸到分球的概率为，
若学生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，则甲乙同时摸到分球或分球，
所以两人得分相等的概率为．
解：由题意知，学生甲摸球次的总得分的可能取值为，，，
可得，
所以随机变量的分布列为：
所以，期望为．
解：记甲最终得分为分，其中，，，乙获得奖励，
可得，
当甲的最终得分为分时，乙获得奖励需要最终得分为分，
则；
当甲最终得分为分时，乙获得奖励需要最终得分为分或分，
则，
所以，
所以乙获得奖励的概率为．
18.解：证明：底面是菱形，，
平面，且平面，
．
又，，平面，
平面，
平面，
，又，且，平面，，
平面，平面，
，
，
，即，又，平面，且，
平面．
以为原点，以，所在直线分别为轴、轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
，又，
在中由勾股定理得，
即，
，
，
，
，，
平面，
与平面所成的角为，
平面，
是平面的一个法向量，
平面，平面，
平面平面，
设，只需，则平面，
则，
令，则，
，
．
19.解：因为点，的纵坐标分别为，，
所以，
所以在处的切线方程为，即，
同理在处的切线方程为，
两式联立，解得，
所以点的坐标为．
设为抛物线上的一点，则，
抛物线在点处的切线方程为，
即，
由，得，
由，得，
所以，
，
所以，
取，
则点为点，为点，
此时满足，
所以直线与抛物线相切；
因为，
所以，
所以根据可知，，
所以，
所以，
而，
，
所以，
所以．
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