2024-2025学年四川省内江市隆昌一中高二（上）开学数学试卷（文科）（含答案）

2024-2025学年四川省内江市隆昌一中高二（上）开学数学试卷（文科）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.从小到大排列的数据，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为( )
A. B. C. D.
6.圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为，则：等于( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
7.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，年月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成次升空大气科学观测，最高升空至米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力，“极目一号”Ⅲ型浮空艇长米，高米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为( )
A. B. C. D.
8.如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是函数，的一个对称中心
C.
D. 函数在区间上是减函数
10.下列说法正确的是( )
A. 已知，则
B.
C. 已知，为单位向量，且，则在上的投影向量为
D. 一个袋子中有大小相同，标号分别为，，，的个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，则
11.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有( )
A. 若，，则周长的最大值为
B. 若，，则面积的最大值为
C. 若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为
D. 若，，为的中点，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是______．
13.如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则取得最小值______当为线段中点时，平面截正方体所得的截
面面积为______．
14.已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，且．
求向量与的夹角．
若向量与互相垂直，求的值．
若向量与互相平行，求的值
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
Ⅰ求；
Ⅱ若，且，求．
17.本小题分
一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天的日销售量单位：，将全部数据按区间，，，分成组，得到图所示的频率分布直方图．
求图中的值；并估计该水果店过去天苹果日销售量的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要在天中，大约有天可以满足顾客的需求请问，每天应该进多少水果？
在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽个苹果，再从这苹果中随机抽取个苹果，求抽取个苹果都来自日销售量在的概率．
18.本小题分
已知函数．
若，且，求的值；
在锐角三角形中，若，求的取值范围；
设函数，若在区间上恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
对于平面向量，定义“变换”：，
若向量，，求；
求证：；
已知，，且与不平行，，，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
得，
设向量与的夹角为，
由，
即，
又，
所以，
所以，
解得，
所以向量与的夹角为．
由向量向量与互相垂直，
得，
所以，
即，
解得或；
因为向量与互相平行，
所以存在，使得，
所以，
解得：．
16.解：Ⅰ因为，由正弦定理可得，
又，
所以，可得，
又，
所以可得，
又，
所以；
Ⅱ因为，，
由正弦定理，可得，，
又，
所以，可得，
由余弦定理，可得，
所以．
17.解：由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，，，，
由，解得．
则样本落在，，，的频率分别为，，，，，
所以该苹果日销售量的平均值为：
．
为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为．
所以每天应该进苹果．
由日销售量为，的频率分别为，知，
抽取的苹果来自日销售量中的有个，不妨记为，，
来自日销售量为的苹果有个，不妨记为，，，，
任意抽取个苹果，有，，，，，
，，，，，，
，，，，共有个基本事件，
其中个苹果都来自日销售中的有个基本事件，由古典概型可得．
18.解：，
由题意知，所以，
又，，，
，
，
则，
故
；
由得，
，，
，
，
，
，，
又，
故，
由是锐角三角形，得，
则，得，
即的取值范围为；
，
当时，，
令，则，在区间上恒成立，
等价于关于的不等式在区间上恒成立，
即有在区间上恒成立，
又在区间上单调递减，
当时，有最大值，
故有，即的取值范围为．
19.解：因为向量，
所以，
所以．
证明：因为．
所以，
．
．
，所以．
证明：方法一：，
，
由可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以．
所以．
方法二：设，
，
因为，
，
所以，
，
所以．
第1页，共1页