数学-2025届湖北省黄冈市高三9月调研考试（PDF版，含答案）

2024 年 9 月高三起点联考数学答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0 分
9. 10. 11. ABD
11.解析：
A. = 1 时， ' = 6 2 6 = 6 1 ,
在 ∞，0 递增， 0，1 递减， 1， +∞ 递增，
极大值 = 0 = > 0,
∴ ,A正确；
极小值 = 1 = 1 < 0
B.由（1）知： ( )在 0，1 递减，当 ∈ 0, 时，0 < sin2 < sin < 1,B正确；
C.因为 1 = 2 ,
1 1
所以 关于 ，1 对称，则 = 1,得 2 = 2,C错误；
2 2
D.由题意知： ' 0 = 6 02 6 0 + 1 = 0，①
又由 0 = 1 化简得：
( 0 1)[2 02 + 1 0 + 12 3 0 + 1 + (1 )] = 0,
因为 0 ≠ 1,所以 2 02 + 1 0 + 12 3 0 + 1 + 1 = 0， ②
① ②化简可得,D正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. ≤ 2
13. 1
14. 3 5,2 4
4 3
14.解析：
分析 = sin + 1,可知函数 单调递减，在(0，1)中心对称，
得： + = 2,将不等式 ( )+ ( + 2)>2，变形得
( )> ( + 2),所以得 < + 2,变形得：
1 < ( 2),
1 < ( 2) ,
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据图可得：
4 1 < (4 2)
4 , 解得 ∈ 3 5,2 4 .
5 1 ≥ (5 2) 4 3
5
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解： 1 证明：因为 = 1 ,
所以 +1 = 1 +1,
两式相减得： = 2 +1,....................................3 分
所以数列 1 为等比数列，公比 = ,2
当 = 1 1时， 1 = 1 1,所以 1 = ..................4 分2
1
所以 = ..................5 分2

（2） = 1
1
,所以 = 1 ..................7 分2
2 = 1 +
1

1
1, 9 分4 2
1 1 1 1 1 1
= + + 2 + + 2 + 2 + + 11 分4 4 4 2 2 2
1 1 5
= + 13 分
2 1 3 × 4 3
16.解：(1) ( ) = sin ·cos + 2 = 12 sin2 +
1+cos2 1 1 1 2
2 = 2 sin2 + 2 cos2 + 2 = 2 sin(2 +

4 ) +
1
2，....................................1 分
因为函数 ( ) 2 的最小正周期为 ，所以 = 2 = ，即 = 1，....................................2 分
所以 ( ) = 22 sin(2 +

4 ) +
1
2，........................................................................3 分
令 2 + 2 2 +
4 2 + 2 ( ∈ )，
3 解得 8 +

8 + ( ∈ )，
所以 ( ) 3 的单调递增区间为[ 8 + , 8 + ]( ∈ )，....................................5 分
2 + = ( ∈ ) = + 令 4 ，解得 8 2 ( ∈ )，
所以 ( )的对称中心为( + 8 2 ,
1
2 )( ∈ );..................7 分
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(2) 1将函数 ( )的图象向右平移8个单位，再向下平移 个单位，得到函数 ( )的图象，2
1 2
则 = 8 = 2 sin 2

8 +
+ 1 1 24 2 = 2 sin2 ，....................................9 分2 2
所以函数 ( )的最小正周期为 ，..................10 分
由 +1 = ( ∈ )知，3
1 + 2 + 3 = 4 + 5 + 6 = = 2020 + 2021 + 2022 ,
1 + + =
2 22 3
2=0， ..................13 分
2 4 4
2
所以 1 + 2 + + 2024 = 2023 + 2024 = 1 + 2 = . ..................15 分4
17. 解： 1 的定义域为 0， +∞ , ..................1 分
' = 2 + 3 + 3 ...............................................................2 分
2
由题意知： ' 1 = 3 = 1,所以 = 1.......................................................4 分
2 2
1 = 3 3 = 1 + , = 7.........................................................................6 分
4 4
' 2 3 (3 2 )( 2)2 = + + 3 =
2 2
令 ' = 0 1 = 2, =
2
2 ,........................................................................7 分3
当 ≤ 0 时，
所以 ( )在(0,2)单调递减，(2, + ∞)单调递增； ............................9 分
当 0 < < 3 时，0< 2 < 1
所以 ( ) 2 2在(0, )单调递增，( , 2)单调递减，(2, + ∞)单调递增；..................11 分
3 3
当 = 3 时， 1 = 2 = 2,
'( ) ≥ 0, ( )在(0, + ∞)单调递增；..................13 分
当 > 3 时，0 < 1 = 2 <
2
2 = ,3
所以 ( ) 2 2在(0,2)单调递增，(2, )单调递减，( , + ∞)单调递增. .....................................15 分
3 3
1 cos 1 1 2 sin2

2 2 sin
2
18. = 2 解： 1
sin 2 sin
= = tan , 3 分
2 cos 2 2 sin

2 cos
2
2
sin 2 sin

2 cos

= 2
2 sin cos
= 2 2 = tan ,
1+cos 1+(2 cos2 2 1) 2 cos
2 2
2
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故tan = 1 cos = sin . 6 分
2 sin 1+cos
(2)
(i)由题意设 = , = 2,由三角形三边关系知
> 0
+ > 2
+ 2 > 8 分
+ 2 >
解之得： ∈ 5 1 , 5+1 ....................................10 分
2 2
（ii）
由(1)的结论可知
sin 1 cos sin 1 cos
tan tan =
2 2 1 + cos sin
=
sin
12 分
1 + cos
2 + 2 2
1 2 + +
2
= 2 2 2 = = 2 14 分 1 + + + + + + 2
1 + 2 1 + 2 + 2 2
= 2 = = 1 15 分1 + + 1 + 2 + 1 + 2 +
2 1 3 5
= 1 1 ∈ [ , ) 16 分 + + 1
3 2
1 3 5
故tan tan 的取值范围为[ , ) 17 分
2 2 3 2
19.解：（1）当 ≥ 1 时， sin < 显然成立；
当 0 < < 1 时， sin = sin .
即证 sin < ， ∈ 0,1 . ※ 2 分
构造 = sin , ∈ (0,1).
' = 1 cos ≥ 0. ∴ 在(0,1)单调递增，
> 0 = 0,即※式成立
综上：|sinx| < ， > 0 4 分
(2)当 > 1 时， = sin , ' = cos 1,
当 ∈ (0,1)时，cos 单调递减， 1单调递增，
∴ ' 在(0,1)单调递减， 6 分
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又 ' 0 = 1 > 0, ' 1 = cos1 1 < 0,
∴ ' = 0 在(0,1)存在唯一零点，记为 0, 8 分
∴ ( ) 在(0, 0)单调递增，在( 0,1)单调递减， 9 分
∴ 0 > 0 = 0,证毕. 10 分
(3) < , > 0, sin sin 1即 < , > 0,

sin sin 1 1若 与 异号，显然成立，只考虑 sin 与 sin 同号， 11 分

又 = 1 时，sin21 < 1 命题成立； > 1 时， > 1 ≥ sin sin 1，命题成立， 12 分

故只需考虑 ∈ 0,1 时，sin sin 1 < , > 0 ※※ 13 分

若 0 < ≤ 1 1 1，sin sin = sin sin ≤ sin < ≤ ※※式成立（用（1）结论），

15 分
1 1
若 > 1,取 ∈ , > ,取 1 = ∈ (0, ), 0 (2 +12)
0
sin 11 sin = sin 1 sin 2 +
1 = sin 1 > 1 (由（2）结论), ※※式不成立， 16 分 1 2
综上：0 < ≤ 1. 17 分
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