2023-2024学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若的图象与的图象关于轴对称，则的解析式为( )
A. B. C. D.
2.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在中，，，，则的解的个数是( )
A. B. C. D. 无法确定
4.设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为______．
6.若，，且，则 ______．
7.四边形为菱形，其中，，则 ______．
8.已知向量，的夹角为，，，则 ______．
9.已知钝角的终边上的一点，则 ______．
10.若函数满足，则 ______．
11.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 ______．
12.设当时，函数取得最大值，则______．
13.如图所示的平行四边形中，，，，为的中点，则 ______．
14.由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的条边，，与海伦公式有类似之处已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为______．
15.在锐角中，，它的面积为，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 ______．
16.已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
求函数在区间的值域．
19.本小题分
已知村庄在村庄的东偏北方向，且村庄，之间的距离是千米，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍
求村庄、之间的距离；
求农贸市场到村庄，的距离之和．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，．
若，，求与夹角的余弦值；
若，求的取值范围；
若点，且满足，求的最小值．
21.本小题分
已知定义在上的函数，若存在实数，，使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
已知，判断它是否为“函数”；
若函数是“函数”，当，，求在上的解．
证明函数为“函数”并求所有符合条件的、、．
参考答案
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17.解：，，，
，解得．
，，
又，
，，
，解得．
18.解：，
函数的最小正周期为，
令，，
则，，
单调递增区间为，．
，
，
，
，
则函数在区间的值域为．
19.解：由已知可得，，，，
在中，由正弦定理得，
，解得，
故村庄，之间的距离为千米；
已知村庄在村庄的正西方向，
又农贸市场在村庄的北偏东的方向，，
在中，由余弦定理可得：，
，，
解得：，，
故，
即农贸市场到村庄、的距离之和为千米．
20.解：由于，，
故；
设，，
由于，，
故，，
由，
知，
所以，得，
对，令，则此时，．
所以的取值范围是；
设，，
由于，，，
故，从而，
这表明条件等价于，
而在的条件下，我们有：
，
所以，
而当，时，有，
且
．
所以的最小值是．
21.解：若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立，
即，即对任意的实数恒成立，
则，解得，
所以是为“函数”；
因为函数是“函数”，所以，
由于当，，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
则，，
所以当，，
令，则，
所以或，即或，
因为，所以，
故在上的解为．
由题可得：，
则，其中，且，
由于，可化为，
即
由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有：，
解得：，
由，解得：，
所以函数为“函数，其中，，．
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