2023-2024学年湖南省湘西州永顺一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省湘西州永顺一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知圆锥的底面直径，母线，过顶点作平面与底面相交于，两点，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对边的长分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. 或 D.
6.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.在世纪中期，我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形如图所示，当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到的近似值为取近似值
A. B. C. D.
8.已知在中，，点满足，且，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有( )
A.
B. 平面
C. 平面
D. 三棱锥的体积为恒定值
10.函数，下面的结论正确的是( )
A. 函数的图象为中心对称图形 B. 存在，使得有三个零点
C. 当且仅当时，有零点 D. 存在，使得有两个零点
11.已知，，分别是三个内角，，的对边，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知函数，则函数的最小正周期为______．
13.世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高，我们也称为“万能求积公式”例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且若，则的取值范围是______．
15.本小题分
设其中向量，
当时，求函数的值域；
当时，求函数的单调递减区间．
16.本小题分
如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证：
直线平面；
平面平面；
若正方体棱长为，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
17.本小题分
函数的部分图象如图所示．
求函数解析式；
若，求的值．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点．
求的值；
直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值．
19.本小题分
从；；；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答在锐角中，，，分别是角，，的对边，若_____．
求角的大小；
求取值范围；
当取得最大值时，在所在平面内取一点与在两侧，使得线段，，求面积的最大值．
注：若选择多个条件，按第一个解答计分
参考答案
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14.
15.解：，
当时，
，，，
，函数的值域是．
当时，
求函数的单调递减区间即求的单调递增区间
由
得，
当时，函数的单调递减区间是，．
16.解：证明：连接，由为的中位线，可得，
由平面，平面，可得平面；
由，平面，平面，
可得平面，
又由可得平面，
，可得平面平面；
取的中点，连接，，
可得，，
取的中点，连接，，
可得，，
可得截面为平行四边形，且，
所以截面的面积为．
17.解：由图象可知，
周期，
所以，
，又，则．
所以；
因为，
所以，
又，则，
可得：，
所以．
18.解：设，，
，
，即；
设，即，，
因为在上，所以，即，
，
即，即，
即，
由于，，三点共线，所以，
，，
，，，
则，，
，
，
故．
19.解：若选：，
由正弦定理得，即，
，即，
，整理得，
又，即，
则；
若选：，
由正弦定理得，
即，
，
又，即，
，即，
，
；
若选：，
，
即，
又，则，
又，即，
，
；
在锐角中，由得，解得，
，
又，则，
故的取值范围为．
当取得最大值时，，解得，
在中，令，，，
则，所以；
又，
，
，
，
又，
故当时，的最大值为，
面积的最大值为．
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