江苏省镇江市2025届高三期初质量监测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省镇江市2025届高三期初质量监测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 84.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-20 16:40:56 | ||
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文档简介
江苏省镇江市2025届高三期初质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据：，，，，，，则这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.由数字，，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
5.若正三棱锥的所有棱长均为，则该正三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.随机变量服从，若，则下列选项一定正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知正方体的棱长为，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数，满足，且，，则以下选项错误的是( )
A. B. 图象关于对称
C. 图象关于对称 D. 为偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.函数的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，
则称函数在区间上为“凸函数”下列函数在定义域上为凸函数的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某人参加一次考试，共有道试题，至少答对其中道试题才能合格，若他答每道题的正确率均为，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为 ．
13.已知二次函数从到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式 ．
14.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间象球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触如图勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体若构成勒洛四面体的正四面体的棱长为，在该“空心”勒洛四面体内放入一个球，则该球的球半径最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有折、折、折的奖券各张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取张奖券，最终餐厅将在结账时按照张奖券中最优惠的折扣进行结算．
求一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的概率
若自助餐的原价为元位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面，，，分别是棱，的中点．
证明：平面
求二面角的正弦值．
17.本小题分
我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”，当且仅当时，等号成立．
证明“三元不等式”．
已知函数．
解不等式
对任意，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
在如图所示的平行六面体中，，，，，．
求的长度
求二面角的大小求平行六面体的体积．
19.本小题分
已知函数．
函数是否具有奇偶性为什么
当时，求的单调区间
若有两个不同极值点，，证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：设一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的事件记为，从张中任选张有种方法，取到的折扣均不相同的取法有，则．
所以一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的概率为．
的所有取值为，，．
，，．
所以的分布列为：
所以数学期望．
16.解：连接．
因为，分别是棱，的中点，
所以，．
因为，，则，，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，，则平面，
平面，则平面平面．
因为，平面，平面，
所以由三垂线定理逆定理得：，
是的中点，则，取中点，则，
面面，面面，面，所以面，
过点作交于点，连结，由三垂线定理得，
所以为二面角平面角．
因为，即，
是棱的中点，则，，为等边三角形，，
在中，因为，得，
在中，，则，
17.解证明：因为
又因为，，均是正实数，所以，
且，所以若，，均是正实数，则成立，且当时等号成立。
解：
解集
解：取，，且，
，
当时，，，所以，即，所以在上单调递减．
当时，，，所以，即，所以在上单调递增所以在上有最小值，为，要使时，不等式恒成立，则，解得，，解得，
18.解：设，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，则，
设平面的法向量为，同理可得
设二面角的大小为，则
，所以，
二面角的大小为．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，则，
故到平面的距离为，
故．
19.解：，定义域为，
，
显然，，
所以函数是非奇非偶函数；
时，
，定义域为，
，
由，得，解得，
所以的递增区间为，递减区间为
，
因为有两个不同极值点，，
所以有两个不同的实数解，，
令，，
即有两个大于的实根，，
，解得，
其中，，
， ，
2
令，，
，
所以在递增，
，
即．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据：，，，，，，则这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.由数字，，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
5.若正三棱锥的所有棱长均为，则该正三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.随机变量服从，若，则下列选项一定正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知正方体的棱长为，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数，满足，且，，则以下选项错误的是( )
A. B. 图象关于对称
C. 图象关于对称 D. 为偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.函数的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，
则称函数在区间上为“凸函数”下列函数在定义域上为凸函数的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某人参加一次考试，共有道试题，至少答对其中道试题才能合格，若他答每道题的正确率均为，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为 ．
13.已知二次函数从到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式 ．
14.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间象球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触如图勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体若构成勒洛四面体的正四面体的棱长为，在该“空心”勒洛四面体内放入一个球，则该球的球半径最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有折、折、折的奖券各张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取张奖券，最终餐厅将在结账时按照张奖券中最优惠的折扣进行结算．
求一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的概率
若自助餐的原价为元位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面，，，分别是棱，的中点．
证明：平面
求二面角的正弦值．
17.本小题分
我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”，当且仅当时，等号成立．
证明“三元不等式”．
已知函数．
解不等式
对任意，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
在如图所示的平行六面体中，，，，，．
求的长度
求二面角的大小求平行六面体的体积．
19.本小题分
已知函数．
函数是否具有奇偶性为什么
当时，求的单调区间
若有两个不同极值点，，证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：设一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的事件记为，从张中任选张有种方法，取到的折扣均不相同的取法有，则．
所以一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的概率为．
的所有取值为，，．
，，．
所以的分布列为：
所以数学期望．
16.解：连接．
因为，分别是棱，的中点，
所以，．
因为，，则，，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，，则平面，
平面，则平面平面．
因为，平面，平面，
所以由三垂线定理逆定理得：，
是的中点，则，取中点，则，
面面，面面，面，所以面，
过点作交于点，连结，由三垂线定理得，
所以为二面角平面角．
因为，即，
是棱的中点，则，，为等边三角形，，
在中，因为，得，
在中，，则，
17.解证明：因为
又因为，，均是正实数，所以，
且，所以若，，均是正实数，则成立，且当时等号成立。
解：
解集
解：取，，且，
，
当时，，，所以，即，所以在上单调递减．
当时，，，所以，即，所以在上单调递增所以在上有最小值，为，要使时，不等式恒成立，则，解得，，解得，
18.解：设，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，则，
设平面的法向量为，同理可得
设二面角的大小为，则
，所以，
二面角的大小为．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，则，
故到平面的距离为，
故．
19.解：，定义域为，
，
显然，，
所以函数是非奇非偶函数；
时，
，定义域为，
，
由，得，解得，
所以的递增区间为，递减区间为
，
因为有两个不同极值点，，
所以有两个不同的实数解，，
令，，
即有两个大于的实根，，
，解得，
其中，，
， ，
2
令，，
，
所以在递增，
，
即．
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