2024-2025学年天津实验中学高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津实验中学高三（上）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.函数的一个对称中心的是( )
A. B. C. D.
6.将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图像上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的函数解析式是( )
A. B. C. D.
7.函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则( )
A.
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 时，函数单调递增
D. 的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
8.定义在上的函数满足，且当时，若关于的方程有且只有个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
9.已知，，是虚数单位，若，则的值为 ．
10.的展开式中的系数为______．
11.已知点，，，，与同向单位向量为，则向量在方向上的投影向量为______．
12.已知，且，则的最小值为______．
13.函数在一个周期内的图像如图所示，则其解析式为______．
14.已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期及其图像的对称轴方程；
求在上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知向量，，，且，．
求与；
若，，求向量，的夹角的大小．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求在上的值域；
若的极大值为，求实数的值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ设，．
求的值；
求的值．
19.本小题分
设函数．
Ⅰ当时，求函数的单调区间；
Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证：；
Ⅲ设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
则的最小正周期为：；
令，可得对称轴方程：；
，
注意到在上单调递减，在上单调递增，
则，．
16.解：由，得，解得，
由，得，解得，
，；
因为，，
，，，
，且，
向量，的夹角为．
17.解：当时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，，，
所以在上的值域为；
易知，
令，解得：或，
当时，，单调递增，无极大值，不符合题意；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，不符合题意；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
解得．
综上，满足条件的实数的值为．
18.解：Ⅰ因为，
所以由正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，可得，
因为，可得，
所以，可得；
Ⅱ因为，，，
由余弦定理可得，可得，整理可得，
解得或舍去；
由可得，，，
可得，可得，
可得，，
又，
所以．
19.Ⅰ解：的定义域为，，
令，可得或，，可得，
的递增区间为和，递减区间为；
Ⅱ证明：函数有两个极值点，，
，即有两个不相等的实数根，
，
，，
．
设，则，
在上单调递减，
，即；
Ⅲ解：，
，
，，
，
在上单调递增，
，
在上恒成立．
令，则，
在上恒成立．
，
时，，在上单调递减，，不合题意；
时，，可得．
，即时，在上单调递减，存在，不合题意；
，即时，在上单调递增，，满足题意．
综上，实数的取值范围为．
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