2024-2025学年上海市宝山区大同中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市宝山区大同中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.事件与独立，、分别是、的对立事件，则下列命题中成立的是( )
A. B.
C. D.
2.已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为( )
A. B. C. D.
3.经过点可以作与曲线相切的不同直线共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
4.如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点、分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱、、分别交于、、，设四面体的体积为，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.不等式的解集为______．
6.为虚数单位，若复数，则 ______．
7.的二项展开式中的常数项为______．
8.若双曲线的离心率为，则 ______．
9.设，若抛物线的焦点为坐标原点，则 ______．
10.下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为单位：万元，销售额为单位：万元，则关于的回归方程为______回归系数精确到
广告费用万元
销售额万元
11.设，若，则 ______．
12.在中，点，分别是线段，的中点，点在直线上，若的面积为，则的最小值是______．
13.将由曲线、、所围成的封闭区域绕轴旋转一周后得到的旋转体记为，则该旋转体的体积为______．
14.某医药研究所将在天时间内检测种不同抗生素类药品、种不同抗过敏类药品、种降压类药品若每天只能检测种药品，且降压类药不在第天或第天检测，种不同抗生素类药品中恰有种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为______．
15.如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，“果圆”与轴的交点分别为、，若在“果圆”轴右侧部分上存在点使得，则的取值范围为______．
16.已知三角形的面积为，，，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数其中，．
若求的值；
在的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图象象左平移个单位所对应的函数是偶函数．
18.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是线段上的动点．
求证：平面平面；
当三棱锥与四棱锥的体积之比为时，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
某网站规定：一个邮箱在一天内出现次密码尝试错误，该邮箱将被锁定小时小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定．
求当天小王的该邮箱被锁定的概率；
设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布及，的值．
20.本小题分
已知双曲线：的左、右顶点分别为点、，为双曲线上的动点，点．
求点到的两条渐近线的距离之积；
求经过点的双曲线的切线方程；
设点在第一象限，且在渐近线的上方，直线，分别与轴交于点，过点作的两条切线，分别与轴交于点，在的上方，证明：．
21.本小题分
设，已知函数的解析为．
当时，求函数的最小值；
证明当时函数至多有两个零点；
如果函数有个不同的零点，分别设为、、，求实数的取值范围；如果，进一步证明存在唯一的实数，使得、、成等差数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或
17.解：由得．
即又，．
解法一：由得，依题意，，又，故，
，
函数的图象向左平移个单位后所对应的函数为
又是偶函数当且仅当，即，
从而，最小正实数．
解法二：由得，依题意，，又，故，
．
函数的图象向左平移个单位后所对应的函数为，
又是偶函数当且仅当对恒成立．
亦即对恒成立．
．
即对恒成立．．
故，．
从而，最小正实数．
18.解：证明：由题意可知，四边形是正方形，折叠后，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是的中点，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
设，由得平面，所以是直线与平面所成角，
依题意得：，
则，所以，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件，
则．
由题意，可能取到，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以，
．
20.解：设点，所以，两个渐近线方程为，
所以点到的两条渐近线的距离之积为；
由题意得切线方程斜率存在，设经过点的切线方程为，
联立，消去得，
因为直线与双曲线相切，所以，
所以，所以切线方程为；
证明：设，，因为，，
所以直线的方程为，直线的，
所以，，
设过且与双曲线相切的直线方程为，
联立，消去得，
所以，所以，
设直线，的斜率分别为，，所以，
所以的方程为，所以，
同理的方程为，所以，
所以，
，
所以，所以，
所以，所以．
21.解：当时，，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数的最小值为；
，则，
时，恒成立，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时函数至多有两个零点；
，
则，
由可知，时不合题意，
当时，，
，解得或，，解得，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
由函数有个不同的零点，则，
又，
令，记，
则，其中，
则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，即，当且仅当时取等号，
故不等式组的解集为，
因为，，
故当时函数有个不同的零点，
因为，，结合中结论得，
当时，若存在符合题意的实数，则由于，
因此，，
因此，，，成等差数列可得出，
考虑，
即，
这等价于，
所以，
令，
则，
令，
则，
当时，，则单调递增，即函数单调递增，
所以，则单调递增，故函数单调递增，
因为，，所以在上存在唯一零点，记为，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
，，
因此在上无零点，在上存在唯一的零点，
所以存在唯一的实数使得，，成等差数列，
此时，
得，
当时，，则，不合题意，
综上所述，存在唯一的实数使得，，成等差数列．
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